גדילה ודעיכה-4 יחידות-שאלון 472. פרק אחד22 שיעורים10 שבועות
שיעור 10-מציאת הזמן -t
גדילה ודעיכה · 4 יחידות · שאלון 472
📄 דף הסבר: מציאת הזמן t בגדילה ודעיכה
כשהנעלם t נמצא בחזקה, מוצאים אותו בעזרת ln
הנוסחה
ax = b
⇓
x = ln bln a
כש־x נמצא בחזקה: ln של b חלקי ln של a
נוסחת גדילה ודעיכה
M(t) = M(0) · qt
גדילה: q = 1 + p%100
דעיכה: q = 1 − p%100
כשמחפשים את הזמן, הנעלם t נמצא בחזקה של q, ובשביל זה הנוסחה עם ln.
שלביםמציאת t
1מוצאים את q
בגדילה: q = 1 + p%100
בדעיכה: q = 1 − p%100
2מציבים בנוסחה
מציבים את הנתונים ואת q בנוסחה:
M(t) = M(0) · qt
3מחלקים ב־M(0)
מקבלים משוואה בצורה:
ax = b
4מוצאים את t
עושים במחשבון:
t = ln bln a
M(t) = M(0) · qt ← b = at ← t = ln bln a ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון למדנו את הנוסחה ax = b ⇒ x = ln bln a , תרגלנו אותה על שתי משוואות, ופתרנו שאלה על גידול מספר התושבים בעיר: בעוד כמה שנים יהיו 571,000 תושבים.
🔵 תרגיל 1: פתרון משוואה מעריכית 3x = 81 בעזרת ln
מצאו את x: 3x = 81
לפי הנוסחה:
ax = b ⇒ x = ln bln a
x = ln 81ln 3
x = 4
בדיקה: 34 = 81 ✓
תשובה: x = 4
🟣 תרגיל 2: פתרון משוואה מעריכית 5x = 125 בעזרת ln
מצאו את x: 5x = 125
לפי הנוסחה:
ax = b ⇒ x = ln bln a
x = ln 125ln 5
x = 3
כי 53 = 125
תשובה: x = 3
🟢 תרגיל 3: בעוד כמה שנים יהיו בעיר 571,000 תושבים – מציאת הזמן t בגדילה של 3.1% לשנה
מספר התושבים בעיר מסוימת גדל באחוז קבוע של 3.1% לשנה. כיום יש בעיר 505361 תושבים. מצא בעוד כמה שנים יהיו בעיר 571,000 תושבים.
נתונים:
p = 3.1%
q = 1 + 3.1100 = 1.031
M(0) = 505361
M(t) = 571000
t = ?
מציבים בנוסחה:
M(t) = M(0) · qt
571000 = 505361 · 1.031t
(מחלקים ב־505361)
1.129 = 1.031t
זו הצורה ax = b :
b = 1.129 , a = 1.031
t = ln 1.129ln 1.031
t = 3.974
בלי עיגול באמצע הדרך יוצא בערך 4 שנים.
תשובה: t = 3.974 ≈ 4 שנים
💡 לזכור
כשמחפשים את הזמן t: מגיעים לצורה at = b ואז t = ln bln a.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il