אינטגרלים 5 יחידות-571-פונקציה קדומה, שטחים אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית, אינטגרל צובר 8 פרקים44 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור14- פתרון בגרות 2021 מועד מיוחד
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2021 מועד מיוחד מוצאים חיתוכים של שתי פרבולות עם ציר x, מתאימים כל פונקציה לגרף שלה, ומחשבים שטח שמתחלק לשני חלקים.
🔵 סעיף א: נקודות החיתוך A , B , C של הגרפים עם ציר x
בציור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות: f(x) = −x² + 8x − 12 , g(x) = −x² + 12x − 20 . שני הגרפים חותכים את ציר ה־x בנקודה A . גרף I חותך את ציר ה־x גם בנקודה C , וגרף II חותך את ציר ה־x גם בנקודה B . א. מצא את שיעורי הנקודות A , B ו־C .
בחיתוך עם ציר x משווים ל־0 – פעם את f(x) ופעם את g(x) .
f(x) = 0 :
−x² + 8x − 12 = 0
בנוסחת השורשים: a = −1 , b = 8 , c = −12
x₁,₂ = −8 ± √8² − 4·(−1)·(−12)2·(−1)
x₁,₂ = −8 ± √16−2 = −8 ± 4−2
x₁ = 2 , x₂ = 6
g(x) = 0 :
−x² + 12x − 20 = 0 / ·(−1)
x² − 12x + 20 = 0
בטרינום:
(x − 10)(x − 2) = 0
x = 10 , x = 2
הפתרון שמשותף לשתי הפונקציות הוא x = 2 – זו הנקודה A .
B נמצאת לפני C , לכן B היא 6 ו־C היא 10.
תשובה: A(2,0) , B(6,0) , C(10,0)
🟢 סעיף ב: איזה גרף הוא f(x) ואיזה g(x) – לפי נקודות החיתוך
ב. איזה מן הגרפים I , II הוא הגרף של הפונקציה f(x) , ואיזה מהם הוא הגרף של הפונקציה g(x) ? נמק.
לפי הנקודות שיצאו בסעיף א:
f(x) חותכת את ציר x ב־2 וב־6, כלומר ב־A וב־B ← גרף II .
g(x) חותכת את ציר x ב־2 וב־10, כלומר ב־A וב־C ← גרף I .
תשובה: f(x) = II , g(x) = I
🟣 סעיף ג: השטח המקווקו בין גרף I , גרף II וציר x
ג. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף I , על ידי גרף II ועל ידי ציר ה־x (השטח המקווקו בציור).
מחלקים את השטח בנקודה B לשני חלקים: S₁ בין 2 ל־6, ו־S₂ בין 6 ל־10.
ב־S₁ השטח בין שני הגרפים: גרף I (g) למעלה וגרף II (f) למטה. ב־S₂ מגביל רק גרף I .
החלק הראשון:
S₁ = ∫62g(x) − f(x) dx
S₁ = ∫62−x² + 12x − 20
−1(−x² + 8x − 12) dx
פותחים סוגריים (ה־x² מתקזז):
S₁ = ∫62−x² + 12x − 20
+ x² − 8x + 12 (dx)
S₁ = ∫624x − 8 (dx)
S₁ = 4x²2 − 8x|62 = 2x² − 8x|62
S₁ = (2·6² − 8·6)
− (2·2² − 8·2)
= 24 − (−8) = 32
החלק השני:
S₂ = ∫106g(x) dx
= ∫106−x² + 12x − 20 (dx)
= −x³3 + 12x²2 − 20x|106
(−10³3 + 12·10²2 − 20·10)
− (−6³3 + 12·6²2 − 20·6)
= 6623 − 24 = 4223
השטח כולו:
S = S₁ + S₂ = 32 + 4223
S = 7423
תשובה: S = 7423
💡 לזכור
כדי להתאים פונקציה לגרף – בודקים איפה היא חותכת את הצירים. כשבחלק מהשטח יש שני גרפים ובחלק רק אחד – מחלקים את השטח: עליונה פחות תחתונה, ואחר כך אינטגרל של הגרף לבדו.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.ilפתרון בגרות2021 מועד מיוחד-אינטגרלים
