סיכום ונוסחאות – ראייה מרחבית וגופים במרחב

3 יחידות · שאלון 372

בעמוד הזהראייה מרחבית – מבנים מקוביות גופים במרחב – נפח ושטח פנים

ראייה מרחבית – מבנים מקוביות

1תרשים מספרים

תרשים מספרים הוא המבט מלמעלה: בכל משבצת כתוב כמה קוביות עומדות זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא הצד הקדמי.

מספר הקוביות = סכום כל המספרים בתרשים

3	1	0
2	2	1
1	0	2

2שלושת המבטים

מלפנים: בכל עמודה – המספר הגדול ביותר

מהצד: בכל שורה – המספר הגדול ביותר

מלמעלה: המשבצות שיש בהן לפחות קובייה אחת

במבט מימין הצד הקדמי בצד שמאל של התמונה, ובמבט משמאל – בצד ימין. במבט מלמעלה לא רואים גובה.

3הוספה והורדה של קוביות

מבט מלפנים או מהצד לא משתנה כל עוד הגובה הגדול ביותר בכל עמודה (או שורה) נשאר אותו דבר. מבט מלמעלה לא משתנה כל עוד אותן משבצות תפוסות.

כדי להוריד הכי הרבה קוביות בלי לשנות את המבט מלמעלה – משאירים קובייה אחת בכל משבצת תפוסה.

4דוגמה – תרשים

התרשים שבכרטיס 1 (השורה התחתונה – הצד הקדמי).

✏️ דוגמה

א. כמה קוביות במבנה? ב. מה רואים מלפנים, מימין ומלמעלה? ג. כמה קוביות אפשר להוריד לכל היותר בלי לשנות את המבט מלמעלה?

א. נחבר את כל המספרים:

3 + 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 0 + 2 = 12

ב. מלפנים – בכל עמודה המספר הגדול ביותר. מימין – בכל שורה המספר הגדול ביותר, והשורה הקדמית בצד שמאל של התמונה:

מלפנים

מימין

מלמעלה

ג. 7 משבצות תפוסות – משאירים בכל אחת קובייה אחת:

12 − 7 = 5

✅ תשובה: 12 קוביות; אפשר להוריד 5 קוביות

גופים במרחב – נפח ושטח פנים

5תיבה וקובייה

V = a · b · c

S = 2(ab + ac + bc)

d² = a² + b² + c²

קובייה:

V = a³

S = 6a²

S – שטח הפנים: סכום השטחים של כל הפאות. d – אלכסון התיבה.

6מנסרה ישרה

V = S_בסיס · h

מעטפת = היקף הבסיס · h

שטח פנים = מעטפת + 2 בסיסים. תיבה היא מנסרה שהבסיס שלה מלבן.

7גליל

V = πr² · h

M = 2πr · h

S = 2πr² + 2πrh

M – המעטפת: מלבן שמתגלגל סביב הבסיס. S – שטח הפנים, עם שני העיגולים.

8פירמידה

V = S_בסיס · h3

h – הגובה מהקדקוד אל הבסיס, מאונך לו. הגובה והקווים המשופעים יוצרים משולשים ישרי זווית – פותרים בפיתגורס.

9חרוט

V = πr² · h3

M = πrl

l² = r² + h²

l – הקו היוצר (מהקדקוד לשפת הבסיס). חרוט – שליש מנפח גליל עם אותו בסיס ואותו גובה.

✏️ דוגמה

לחרוט רדיוס 3 ס"מ וגובה 4 ס"מ. מצאו את הקו היוצר, את הנפח ואת שטח המעטפת.

נציב r = 3 , h = 4:

l² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

l = √25 = 5

נציב r = 3 , h = 4:

V = π · 3² · 43 = 36π3 = 12π ≈ 37.70

נציב r = 3 , l = 5:

M = π · 3 · 5 = 15π ≈ 47.12

✅ תשובה: קו יוצר 5 ס"מ, נפח ≈ 37.70 סמ"ק, מעטפת ≈ 47.12 סמ"ר

10יחידות נפח

1 ליטר = 1,000 סמ"ק

1 מ"ק = 1,000 ליטר

נפח בסמ"ק ← מחלקים ב־1,000 ומקבלים ליטרים.

חזרה לקורס 372