בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – חורף 2022

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע – התפלגות נורמלית (שאלה 1), אשכול פיננסי כלכלי – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 2–3), אשכול התמצאות במישור ובמרחב – גופים במרחב וראייה מרחבית (שאלות 4–5). יש לענות על שלוש שאלות, 3313 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022

שאלון 372 חורף 2022 – עמוד שאלות 1
עמוד 1 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2022 – עמוד שאלות 2
עמוד 2 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2022 – עמוד שאלות 3
עמוד 3 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2022 – עמוד שאלות 4
עמוד 4 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2022 – עמוד שאלות 5
עמוד 5 מתוך 5 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: גובה התלמידים

📄 נוסח השאלה

התפלגות הגבהים של תלמידים בבית ספר מסוים היא נורמלית. הגובה של 16% מן התלמידים קטן מ־162 ס"מ. סטיית התקן היא 6 ס"מ.

א. מהו ממוצע הגבהים של התלמידים בבית הספר?

ב. מהו אחוז התלמידים בבית הספר שהגובה שלהם הוא בין 162 ס"מ ל־180 ס"מ?

בבית הספר יש 1,200 תלמידים. הוחלט כי למיון לנבחרת הכדורסל של בית הספר יוכלו להירשם רק תלמידים שגובהם מעל 177 ס"מ.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה תלמידים סך הכול יוכלו להירשם למיון לנבחרת הכדורסל של בית הספר?

ד. (1) מהו ציון התקן של תלמיד שגובהו 168 ס"מ?   (2) תן דוגמה לגובה של תלמיד שציון התקן שלו הוא שלילי.

לפניך גרף ההתפלגות מדף הנוסחאות. השתמש בו בחישוביך.

גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות עם האחוזים ברצועות
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הממוצע

בגרף 12 רצועות, כל אחת ברוחב חצי סטיית תקן. נצבור משמאל:
0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%
ארבע רצועות משמאל = סטיית תקן אחת מתחת לממוצע. לכן 162 נמצא סטיית תקן אחת (6 ס"מ) מתחת לממוצע:
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%162168
162 + 6 = 168
✅ פתרון סופי: 168 ס"מ

סעיף ב – בין 162 ל־180

162 הוא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (2 רצועות משמאל לממוצע).
180 − 168 = 12 = 2 · 6
כלומר 180 הוא שתי סטיות תקן מעל הממוצע (4 רצועות מימין):
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%162168180
15% + 19% + 19% + 15%
+ 9% + 5% = 82%
✅ פתרון סופי: 82%

סעיף ג – כמה יוכלו להירשם

177 − 168 = 9 = 1.5 · 6
כלומר 177 הוא סטיית תקן וחצי מעל הממוצע (3 רצועות מימין). מעליו:
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%168177
5% + 1.5% + 0.5% = 7%
מתוך 1,200 תלמידים:
0.07 · 1200 = 84
✅ פתרון סופי: 84 תלמידים

סעיף ד – ציון תקן

(1)
z = (168 − 168) : 6 = 0📐 ציון תקןציון תקן = (הערך − הממוצע) : סטיית התקן
(2) ציון התקן שלילי כשהגובה קטן מהממוצע (168). למשל 162:
z = (162 − 168) : 6 = −1
✅ פתרון סופי: (1) 0; (2) למשל 162 ס"מ (כל גובה קטן מ־168)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א168 ס"מ
ב82%
ג84 תלמידים
ד(1) 0; (2) למשל 162 ס"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – מציאת ציונים בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – תכנון ליניארי: משקאות בתפריט

📄 נוסח השאלה

לאדם מסוים ניתן תפריט לכמה ימים. לפי תפריט זה, עליו לשתות רק משקה ירוק או משקה כתום.

בטבלה שלפניך מוצגים נתונים על כמות הפחמימות וכמות החלבונים בכוס משקה ירוק ובכוס משקה כתום.

פחמימותחלבונים
כוס משקה ירוק10 גרם3 גרם
כוס משקה כתום15 גרם9 גרם

לפי התפריט הזה, על האדם לצרוך ביום אחד 120 גרם פחמימות לכל היותר ו־54 גרם חלבונים לפחות.

א. רשום את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטט את התחום האפשרי של הבעיה.

מחיר כוס משקה ירוק הוא 20 שקלים ומחיר כוס משקה כתום הוא 15 שקלים.

ג. רשום את פונקציית המטרה.

ד. כמה כוסות מכל אחד מן המשקאות על האדם לשתות ביום כדי לעמוד בתנאי התפריט בהוצאה מינימלית?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מערכת האילוצים

נסמן ב־x את מספר כוסות המשקה הירוק וב־y את מספר כוסות המשקה הכתום.
פחמימות – לכל היותר 120 גרם:
10x + 15y ≤ 120
נחלק ב־5:
2x + 3y ≤ 24
חלבונים – לפחות 54 גרם:
3x + 9y ≥ 54
נחלק ב־3:
x + 3y ≥ 18
מספר הכוסות אינו שלילי:
x ≥ 0 , y ≥ 0
✅ פתרון סופי: 10x + 15y ≤ 120 , 3x + 9y ≥ 54 , x ≥ 0 , y ≥ 0

סעיף ב – התחום האפשרי

2x + 3y = 24: חיתוך עם הצירים (12,0) ו־(0,8). התחום מתחת לישר.
x + 3y = 18: חיתוך עם הצירים (18,0) ו־(0,6). התחום מעל הישר.
נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
(2x + 3y) − (x + 3y) = 24 − 18
x = 6
נציב:
6 + 3y = 18
y = 4
התחום האפשרי הוא המשולש הכחול, שקודקודיו (0,6), (0,8), (6,4):
2x + 3y = 24x + 3y = 18(0,6)(0,8)(6,4)xy36924
✅ פתרון סופי: משולש עם הקודקודים (0,6) , (0,8) , (6,4)

סעיף ג – פונקציית המטרה

ההוצאה: 20 שקלים לכוס ירוקה ו־15 לכוס כתומה:
✅ פתרון סופי: f = 20x + 15y

סעיף ד – הוצאה מינימלית

מציבים את קודקודי התחום:
קודקודf = 20x + 15y
(0,6)90
(0,8)120
(6,4)120 + 60 = 180
ההוצאה הקטנה ביותר, 90 שקלים, מתקבלת בקודקוד (0,6).
✅ פתרון סופי: 0 כוסות משקה ירוק ו־6 כוסות משקה כתום

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א10x + 15y ≤ 120 , 3x + 9y ≥ 54 , x, y ≥ 0
גf = 20x + 15y
ד0 ירוק, 6 כתום (90 שקלים)
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גאומטריה אנליטית: המרובע ABCD

📄 נוסח השאלה

נתון המרובע ABCD, ובו האלכסון AC מאונך לאלכסון BD (ראה סרטוט). אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E.

המרובע ABCD במערכת צירים, האלכסונים AC ו־BD נפגשים בנקודה E

משוואת הישר שעליו מונח האלכסון AC היא: y = −3x + 42. שיעור ה־x של קודקוד A הוא 7.

א. מצא את שיעור ה־y של הקודקוד A.

הנקודה E היא אמצע האלכסון BD ושיעוריה הם (12 , 6).

ב. מצא את משוואת האלכסון BD.

נתון כי משוואת הישר שעליו מונחת הצלע AB היא: y = 4.5x − 10.5.

ג. (1) מצא את שיעורי הקודקוד B.   (2) מצא את שיעורי הקודקוד D.

ד. הצלע BC מקבילה לציר ה־x. (1) מצא את שיעורי הקודקוד C.   (2) האם המשולש DBC הוא שווה שוקיים? נמק.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שיעור y של A

נציב x = 7 במשוואת AC:
y = −3 · 7 + 42 = 21
✅ פתרון סופי: y = 21 , כלומר A(7 , 21)

סעיף ב – משוואת BD

השיפוע של AC הוא −3. BD מאונך ל־AC, ולכן:
−3 · m = −1📐 ישרים מאונכיםישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m = 13
הישר עובר דרך E(12 , 6):
y − 6 = 13(x − 12)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 13x − 4 + 6
y = 13x + 2
✅ פתרון סופי: y = 13x + 2

סעיף ג – הקודקודים B ו־D

(1) B הוא נקודת החיתוך של AB ו־BD:
4.5x − 10.5 = 13x + 2
נכפול ב־6:
27x − 63 = 2x + 12
25x = 75
x = 3
y = 13 · 3 + 2 = 3
(2) E אמצע BD:
12 = 3 + xD2📐 אמצע קטעxE = xB + xD2
xD = 24 − 3 = 21
6 = 3 + yD2
yD = 12 − 3 = 9
✅ פתרון סופי: (1) B(3 , 3); (2) D(21 , 9)

סעיף ד – הקודקוד C והמשולש DBC

(1) BC מקביל לציר ה־x, ולכן לכל נקודה עליו y = 3 (כמו B). C על AC:
3 = −3x + 42
3x = 39
x = 13
(2) נחשב את אורכי הצלעות:
BC = 13 − 3 = 10
DC = √((21 − 13)2 + (9 − 3)2)📐 נוסחת המרחקd = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
= √(64 + 36) = √100 = 10
BC = DC = 10, ולכן המשולש DBC שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: (1) C(13 , 3); (2) כן – CB = CD = 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

אy = 21
בy = 13x + 2
ג(1) B(3 , 3) (2) D(21 , 9)
ד(1) C(13 , 3) (2) כן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – שיפועים שווים ושיפועים הופכיים ונגדיים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גופים במרחב: קופסאות פופקורן

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים הוחלט לארגן לתלמידים יום גיבוש שבו יוקרן סרט ויחולק פופקורן. בשיעור אומנות התבקשו התלמידים להכין שני סוגים של קופסאות לפופקורן: סוג אחד בצורת תיבה וסוג אחר בצורת פירמידה.

לקופסאות משתי הצורות יש פתח זהה בצורת ריבוע (ראה סרטוט). נתון: אורך צלע הריבוע הוא 12 ס"מ. גובה הקופסה בצורת תיבה הוא 16 ס"מ.

קופסה בצורת תיבה 12 על 12 על 16 ס

א. חשב את נפח הקופסה בצורת תיבה.

הנפח של קופסה בצורת תיבה גדול פי שניים מן הנפח של קופסה בצורת פירמידה.

ב. (1) מהו נפח הקופסה בצורת פירמידה?   (2) מהו גובה הקופסה בצורת פירמידה?

התלמידים הכינו פופקורן וחילקו את כל הכמות לקופסאות משני הסוגים: הם מילאו 45 קופסאות בצורת תיבה ואת שאר הפופקורן העבירו לקופסאות בצורת פירמידה. הנפח הכולל של כל הקופסאות שהם מילאו היה 144,000 סמ"ק.

ג. כמה קופסאות בצורת פירמידה הם מילאו?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נפח התיבה

12 · 12 · 16 = 2304📐 נפח תיבהנפח תיבה = אורך · רוחב · גובה
✅ פתרון סופי: 2,304 סמ"ק

סעיף ב – הפירמידה

(1) נפח התיבה גדול פי 2:
23042 = 1152
(2) בסיס הפירמידה הוא הריבוע: 12 · 12 = 144. נציב בנוסחה:
1152 = (144 · h) : 3📐 נפח פירמידהנפח פירמידה = (שטח הבסיס · גובה) : 3
1152 = 48h
h = 115248 = 24
✅ פתרון סופי: (1) 1,152 סמ"ק; (2) 24 ס"מ

סעיף ג – מספר הפירמידות

נפח 45 התיבות:
45 · 2304 = 103680
הנפח שנשאר לפירמידות:
144000 − 103680 = 40320
כל פירמידה 1152 סמ"ק:
403201152 = 35
✅ פתרון סופי: 35 קופסאות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א2,304 סמ"ק
ב(1) 1,152 סמ"ק, (2) 24 ס"מ
ג35 קופסאות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חישוב נפח ושטח פנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבני קוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוט I שלפניך ובסרטוט II שבסוף השאלה מתוארים מבנים של קוביות זהות הניצבות על משטח. החץ מייצג את המבט מלפנים. הנח שכל קובייה בסרטוט עומדת על קובייה אחרת או על המשטח. ענה על שני הסעיפים א–ב.

סרטוט I:

סרטוט I: מבנה קוביות על משטח 3 על 3 עם חץ המבט מלפנים

א. (1) מלא את התרשים המספרי של המבנה בסרטוט I, ואת תרשימי המבטים המתאימים לו (מבט מלפנים, מבט מלמעלה, מבט מימין).   (2) כמה קוביות יש במבנה שבסרטוט I?

ב. לפניך תרשים מבטים של מבנה קוביות (מבט מלפנים, מבט מלמעלה, מבט מימין). בסרטוט II שלפניך, קבע אילו מן המבנים (1)–(3) אינם מתאימים לתרשים המבטים. נמק את קביעתך – רשום את המבט שאינו מתאים למבנה.

תרשים המבטים הנתון: מבט מימין, מבט מלמעלה, מבט מלפנים

סרטוט II:

סרטוט II: שלושה מבנים של קוביות (1), (2), (3)
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תרשים מספרי ומבטים

(1) בכל משבצת רושמים כמה קוביות יש בה זו על זו. השורה התחתונה היא הצד של החץ (מלפנים).
מלפנים, משמאל לימין: קובייה אחת, קובייה אחת, משבצת ריקה. בשורה האמצעית: מגדל של 3, קובייה אחת, קובייה אחת. בשורה האחורית: מגדל של 2, קובייה אחת, מגדל של 2.
תרשים מספרי
21231111מלפנים (צד החץ)
מבט מלפנים – בכל עמודה (משמאל לימין) המגדל הגבוה ביותר: 3, 1, 2:
מבט מלמעלה – כל משבצת שיש בה קובייה (כולן חוץ מהקדמית־ימנית):
מלפנים (צד החץ)
מבט מימין – מסתכלים מצד ימין; השורה הקדמית נראית משמאל. בכל שורה המגדל הגבוה ביותר: מלפנים 1, באמצע 3, מאחור 2:
(2) סכום כל המספרים בתרשים:
2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1
+ 1 + 1 = 12
✅ פתרון סופי: 12 קוביות

סעיף ב – אילו מבנים אינם מתאימים

מהתרשים הנתון: מלמעלה – כל המשבצות מלאות חוץ מהקדמית־אמצעית; מלפנים – עמודות בגובה 3, 1, 3; מימין – 1 (מלפנים), 3, 2 (מאחור).
מבנה (1): מתאים לשלושת המבטים.
מבנה (2): העמודה הימנית מגיעה רק לגובה 2 קוביות, ובמבט מלפנים הנתון היא בגובה 3 – המבט מלפנים אינו מתאים.
מבנה (3): בעמודה השמאלית יש מדרגות 1 , 2 , 3, כך שבשורה האחורית יש מגדל של 3. במבט מימין הנתון השורה האחורית בגובה 2 בלבד – המבט מימין אינו מתאים.
✅ פתרון סופי: מבנים (2) ו־(3) אינם מתאימים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א (1)מאחור 2 , 1 , 2; באמצע 3 , 1 , 1; מלפנים 1 , 1 , 0
א (2)12 קוביות
במבנים (2) ו־(3)
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות