מה הפתרון של שאלה 1 (גדילה ודעיכה) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: גרף 2 – בריכת המבוגרים, גרף 1 – בריכת הילדים; סעיף ב: 1,600 ו־380 מ"ק; סעיף ג: ≈ 944.78 מ"ק; סעיף ד: פי 1.2 בכל שעה

מה הפתרון של שאלה 2 (הסתברות) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: 0.1 ו־0.5; סעיף ב: 4/45 ≈ 0.089

מה הפתרון של שאלה 3 (טריגונומטריה) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: CD ≈ 1,084.32 מטר; סעיף ב: AB ≈ 2,039.39 מטר; סעיף ג: כן – בערך 51 שניות

מה הפתרון של שאלה 4 (משולשים דומים) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: ABE ו־CDE; סעיף ב: BE = 5.4 מטר, DE = 2.16 מטר; סעיף ג: CD = 0.9 מטר

מה הפתרון של שאלה 5 (פונקציה קווית) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: 60, 64, 40 שקלים; סעיף ב: I – מותאם, II – רגיל, III – קבוע; סעיף ג: I – y = 4 + 0.6x, II – y = 10 + 0.5x, III – y = 40

מה הפתרון של שאלה 6 (סטטיסטיקה) בבגרות 371 חורף 2022?

סעיף א: 15 ספרים; סעיף ג: ממוצע 36, שכיח 30; סעיף ד: הממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תקטן

בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 371 (35371) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 – חורף 2022

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלה 1 – גדילה ודעיכה, שאלה 2 – הסתברות), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלה 3 – טריגונומטריה, שאלה 4 – משולשים דומים ומשפט פיתגורס) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלה 5 – פונקציה קווית, שאלה 6 – ממוצע, שכיח וסטיית תקן). תשובה מלאה על שאלה מזכה ב־20 נקודות. מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם עמודי השאלות, ואחריהם כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 371 חורף 2022 – עמוד 6 — עמוד 6 מתוך 6 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

אשכול חברה ומדע
שאלה 1 – גדילה ודעיכה: שתי בריכות שחייה
שאלה 2 – הסתברות: שטרות בארנק
אשכול התמצאות במישור ובמרחב
שאלה 3 – טריגונומטריה: הצוק, הספינה והמסוק
שאלה 4 – משולשים דומים ופיתגורס: הגשה בטניס
אשכול פיננסי כלכלי
שאלה 5 – פונקציה קווית: מסלולי תשלום לטלפון
שאלה 6 – סטטיסטיקה: מחירי ספרים

שאלה 1 – גדילה ודעיכה: שתי בריכות שחייה

📄 נוסח השאלה

בקיבוץ יש שתי בריכות שחייה: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים. ביום מסוים החליטו לרוקן את בריכת המבוגרים ולמלא את בריכת הילדים. לפניך גרף 1 וגרף 2: כל אחד מהם מתאר את כמות המים שהייתה באחת מן הבריכות מן השעה 10:00 עד לשעה 16:00.

גרף 1 עולה מ־380 וגרף 2 יורד מ־1,600, והם נפגשים בשעה 15:00

א. קבע איזה גרף מתאר את כמות המים בבריכת המבוגרים ואיזה גרף מתאר את כמות המים בבריכת הילדים.

ב. מה הייתה כמות המים בכל אחת מן הבריכות בשעה 10:00?

כמות המים בבריכת המבוגרים קטנה בצורה מעריכית. בכל שעה קטנה כמות המים ב־10%.

ג. חשב מה הייתה כמות המים בבריכת המבוגרים בשעה 15:00.

נתון: בשעה 15:00 כמות המים בשתי הבריכות הייתה שווה. כמות המים בבריכת הילדים גדלה בצורה מעריכית.

ד. מצא פי כמה גדלה כמות המים בבריכת הילדים בכל שעה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – איזה גרף לאיזו בריכה

את בריכת המבוגרים מרוקנים – כמות המים בה קטנה, והגרף שלה יורד. את בריכת הילדים ממלאים – הכמות גדלה, והגרף עולה.

גרף 2 יורד וגרף 1 עולה.

✅ פתרון סופי: גרף 2 – בריכת המבוגרים ; גרף 1 – בריכת הילדים

סעיף ב – הכמות בשעה 10:00

בשעה 10:00 (תחילת הגרפים): הגרף היורד מתחיל ב־1,600 והגרף העולה מתחיל ב־380.

✅ פתרון סופי: בריכת המבוגרים 1,600 מ"ק ; בריכת הילדים 380 מ"ק

סעיף ג – בריכת המבוגרים בשעה 15:00

מ־10:00 עד 15:00 עברו 5 שעות. ירידה של 10% בשעה:

q = 1 − 10100 = 0.9📐 גורם הדעיכהדעיכה ב־p אחוזים: q = 1 − p100

m(5) = 1,600 · 0.9⁵📐 גדילה ודעיכהm(t) = m(0) · q^t

= 1,600 · 0.59049

≈ 944.78

✅ פתרון סופי: ≈ 944.78 מ"ק

סעיף ד – פי כמה גדלה בריכת הילדים בכל שעה

בשעה 15:00 גם בבריכת הילדים 944.78 מ"ק. התחילה ב־380, ועברו 5 שעות:

380 · q⁵ = 944.78📐 גדילה ודעיכהm(t) = m(0) · q^t

q⁵ = 944.78380 ≈ 2.486

q = ⁵√2.486 ≈ 1.2

✅ פתרון סופי: גדלה פי 1.2 בכל שעה (גדילה של 20%)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א	גרף 2 – מבוגרים, גרף 1 – ילדים
ב	1,600 ו־380 מ"ק
ג	≈ 944.78 מ"ק
ד	פי 1.2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12-גדילה ודעיכה עם גרפים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: שטרות בארנק

📄 נוסח השאלה

להדר יש 10 שטרות בארנק: 5 שטרות של 20 שקלים, 4 שטרות של 50 שקלים, שטר אחד של 200 שקלים.

הדר הוציאה באקראי מן הארנק שטר אחד.

א. (1) מהי ההסתברות שהשטר שהוציאה הדר הוא שטר של 200 שקלים?
(2) מהי ההסתברות שהשטר שהוציאה הדר הספיק לתשלום בעבור קופסת שוקולדים שמחירה 45 שקלים?

הדר לא קנתה דבר בשטר שהוציאה, אלא החזירה אותו לארנק. לאחר מכן, היא נכנסה לחנות בגדים, והחליטה לקנות בה מעיל שמחירו 250 שקלים. כשעמדה ליד הקופה כדי לשלם, היא הוציאה באקראי שטר מן הארנק ואחריו הוציאה באקראי שטר נוסף (הוצאה ללא החזרה).

ב. מהי ההסתברות ששני השטרות שהוציאה הדר הספיקו יחד לתשלום בעבור המעיל?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שטר אחד

(1) שטר אחד של 200 מתוך 10:

P = 110 = 0.1📐 הסתברותP = מספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות

(2) שטר מספיק ל־45 שקלים – שטר של 50 או של 200: יש 4 + 1 = 5 כאלה.

P = 510 = 0.5📐 הסתברותP = מספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות

✅ פתרון סופי: (1) 0.1 ; (2) 0.5

סעיף ב – שני שטרות למעיל של 250 שקלים

אילו זוגות מגיעים ל־250? 200 + 50 = 250 – כן. 200 + 20 = 220 – לא. 50 + 50 = 100 – לא. כלומר צריך שטר של 200 ושטר של 50, באחד משני הסדרים.

קודם 200 ואחר כך 50 (נשארו 9 שטרות, מהם 4 של 50):

110 · 49 = 490📐 הוצאה ללא החזרהP(גם וגם) = P(ראשון) · P(שני אחרי הראשון)

קודם 50 ואחר כך 200:

410 · 19 = 490

נחבר את שני הסדרים:

490 + 490 = 890 = 445 ≈ 0.089

✅ פתרון סופי: 445 ≈ 0.089

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א (1)	0.1
א (2)	0.5
ב	445 ≈ 0.089

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7-תרגיל הסתברות בהוצאת כדורים מכד

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – טריגונומטריה: הצוק, הספינה והמסוק

📄 נוסח השאלה

נדב עומד על שפת צוק בנקודה B. בנקודה C, שנמצאת בים למרגלות הצוק, שטה ספינה. בנקודה A, שגובהה שווה לגובה הצוק, מרחף מסוק (ראה ציור).

הצוק בנקודה B, המסוק בנקודה A, הספינה בנקודה C והנקודה D מעליה

זווית העומק שבה נדב רואה את הספינה בים היא ABC = 38 מעלות. המרחק של המסוק מן הספינה בקו ישר (AC) הוא 1,265 מטרים. זווית העומק שבה טייס המסוק רואה את הספינה היא BAC = 59 מעלות.

א. חשב את הגובה של המסוק מעל פני הים (CD).

ב. באיזה מרחק נמצא המסוק מנדב (AB)?

ג. אם מהירות הטיסה של המסוק היא 40 מטרים לשנייה, האם יוכל המסוק להגיע לשפת הצוק (נקודה B) בפחות מדקה אחת? פרט את חישוביך.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הגובה CD

CD מאונך לקו BA, ולכן המשולש ADC ישר זווית ב־D. היתר AC = 1,265, והזווית ב־A היא 59 מעלות; CD מול הזווית:

sin 59 = CD1,265📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin הזווית = הניצב שמול הזוויתהיתר

CD = 1,265 · sin 59

≈ 1,265 · 0.8572 ≈ 1,084.32

✅ פתרון סופי: ≈ 1,084.32 מטר

סעיף ב – המרחק AB

AB = BD + DA. נמצא כל חלק.

במשולש ADC: AD ליד הזווית של 59 מעלות:

cos 59 = AD1,265📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos הזווית = הניצב שליד הזוויתהיתר

AD = 1,265 · cos 59 ≈ 651.52

במשולש הישר זווית BDC: הזווית ב־B היא 38 מעלות, CD מולה ו־BD לידה:

tan 38 = 1,084.32BD📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan הזווית = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

BD = 1,084.32tan 38

≈ 1,084.320.7813 ≈ 1,387.86

AB ≈ 1,387.86 + 651.52

≈ 2,039.39

✅ פתרון סופי: ≈ 2,039.39 מטר

סעיף ג – פחות מדקה?

זמן = דרך חלקי מהירות:

2,039.3940 ≈ 50.98

בערך 51 שניות – פחות מ־60 שניות (דקה).

✅ פתרון סופי: כן – בערך 51 שניות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א	≈ 1,084.32 מטר
ב	≈ 2,039.39 מטר
ג	כן (≈ 51 שניות)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5-תרגול משולש ישר זוית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – משולשים דומים ופיתגורס: הגשה בטניס

📄 נוסח השאלה

שחקנית טניס עומדת בנקודה B. היא מגישה את הכדור מן הנקודה A שגובהה (AB) הוא 2.25 מטרים. בנקודה D עומדת רשת אנכית. גובה הרשת הוא CD. המרחק בין השחקנית המגישה ובין הנקודה D הוא 3.24 מטרים. הכדור עובר בדיוק מעל הרשת ופוגע בקרקע בנקודה E (ראה ציור). אורך מסלול הכדור (AE) הוא 5.85 מטרים. מסלול הכדור הוא בקירוב קו ישר.

השחקנית בנקודה B, הכדור יוצא מ־A, הרשת CD והכדור פוגע בקרקע ב־E

א. מה הם שני המשולשים הדומים בציור? נמק את תשובתך.

ב. (1) מצא את המרחק BE.
(2) חשב את המרחק בין הרשת ובין נקודת הפגיעה של הכדור בקרקע (DE).

ג. מהו גובה הרשת (CD)?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – המשולשים הדומים

במשולשים ABE ו־CDE:

הזווית ב־B והזווית ב־D ישרות (השחקנית והרשת אנכיות לקרקע).

הזווית ב־E משותפת לשני המשולשים.

שתי זוויות שוות – המשולשים דומים.

✅ פתרון סופי: משולש ABE דומה למשולש CDE (שתי זוויות שוות)

סעיף ב – BE ו־DE

(1) במשולש הישר זווית ABE היתר הוא AE:

BE² + 2.25² = 5.85²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

BE² = 34.2225 − 5.0625

BE² = 29.16

BE = √29.16 = 5.4

(2)

DE = BE − BD = 5.4 − 3.24 = 2.16

✅ פתרון סופי: (1) 5.4 מטר ; (2) 2.16 מטר

סעיף ג – גובה הרשת

מהדמיון: CD מתאים ל־AB, ו־DE מתאים ל־BE:

CD2.25 = 2.165.4📐 משולשים דומיםבמשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות קבוע

CD2.25 = 0.4

CD = 0.4 · 2.25 = 0.9

✅ פתרון סופי: 0.9 מטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א	ABE ו־CDE
ב (1)	5.4 מטר
ב (2)	2.16 מטר
ג	0.9 מטר

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 4-משפט פיתגורס

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציה קווית: מסלולי תשלום לטלפון

📄 נוסח השאלה

חברת טלפונים סלולריים מציעה שלושה מסלולי תשלום:
• המסלול הרגיל: תשלום קבוע בסך 10 שקלים לחודש, ונוסף על כך 0.5 שקל לכל דקת שיחה.
• המסלול המותאם: תשלום קבוע בסך 4 שקלים לחודש, ונוסף על כך 0.6 שקל לכל דקת שיחה.
• מסלול קבוע: תשלום קבוע בסך 40 שקלים לחודש, ללא תוספת תשלום לדקת שיחה.

א. אורי מדבר 100 דקות בחודש. מצא כמה עליו לשלם בכל אחד משלושת המסלולים.

הישרים I–III בסרטוט שלפניך מתארים את שלושת מסלולי התשלום.

שלושה ישרים I, II, III בגרף תשלום מול זמן בדקות

ב. כתוב איזה מסלול כל אחד מן הישרים I–III מתאר. נמק.

ג. לפניך ארבע משוואות של קו ישר. שלוש מהן מתאימות לישרים I–III המסורטטים בגרף. כתוב בעבור כל אחד מן הישרים I–III את המשוואה שמתאימה לו.
(1) y = 10 + 0.5x
(2) y = 10 − 0.5x
(3) y = 40
(4) y = 4 + 0.6x

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – 100 דקות

המסלול הרגיל:

10 + 0.5 · 100 = 10 + 50 = 60

המסלול המותאם:

4 + 0.6 · 100 = 4 + 60 = 64

המסלול הקבוע: 40 שקלים, בלי קשר למספר הדקות.

✅ פתרון סופי: רגיל 60 ; מותאם 64 ; קבוע 40 שקלים

סעיף ב – איזה ישר לאיזה מסלול

ישר III אופקי – התשלום לא משתנה עם הדקות: זה המסלול הקבוע.

בשני הישרים האחרים: בזמן 0 רואים רק את התשלום הקבוע. ישר II מתחיל גבוה יותר (10 שקלים) – המסלול הרגיל. ישר I מתחיל נמוך יותר (4 שקלים) ועולה בתלילות רבה יותר (0.6 לדקה) – המסלול המותאם.

כך גם ב־100 דקות: ישר I הגבוה ביותר (64), אחריו II (60), ו־III הנמוך (40) – כמו בסעיף א.

✅ פתרון סופי: I – מותאם ; II – רגיל ; III – קבוע

סעיף ג – המשוואות

המשוואה y = 10 − 0.5x יורדת – התשלום לא יכול לקטון כשמדברים יותר, ואין ישר יורד בגרף. היא המיותרת.

✅ פתרון סופי: I – y = 4 + 0.6x ; II – y = 10 + 0.5x ; III – y = 40

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א	רגיל 60, מותאם 64, קבוע 40 שקלים
ב	I – מותאם, II – רגיל, III – קבוע
ג	I – משוואה (4), II – (1), III – (3)

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – סטטיסטיקה: מחירי ספרים

📄 נוסח השאלה

בחנות ספרים בדקו ביום מסוים כמה ספרים נמכרו באותו יום ומה היה מחיר כל ספר. בבדיקה נמצא שנמכרו באותו יום 100 ספרים. דיאגרמת העיגול שלפניך מציגה את כמות הספרים שנמכרה באותו יום על פי מחיריהם.

דיאגרמת עיגול: 35 ספרים ב־30 שקלים, 25 ב־40, 25 ב־50, וסימן שאלה ב־20 שקלים

א. כמה ספרים שמחירם 20 שקלים נמכרו באותו יום?

ב. בנה טבלת שכיחויות של כמות הספרים בעבור כל אחד מן המחירים.

ג. בעבור 100 הספרים שנמכרו באותו יום:
(1) חשב את המחיר הממוצע של ספר.
(2) מצא את המחיר השכיח של ספר.

לאחר בדיקה נוספת התגלה שבאותו יום נמכרו 5 ספרים נוספים. מחיר כל אחד מן הספרים הנוספים היה 36 שקלים.

ד. (1) אם נכלול את 5 הספרים האלה בחישוב הממוצע, האם המחיר הממוצע לספר יגדל, יקטן או יישאר ללא שינוי? הסבר.
(2) אם נכלול את 5 הספרים האלה בחישוב סטיית התקן, האם סטיית התקן תגדל, תקטן או תישאר ללא שינוי? הסבר.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – ספרים של 20 שקלים

לפי הדיאגרמה: 35 ספרים ב־30 שקלים, 25 ב־40 ו־25 ב־50. השאר ב־20 שקלים:

100 − 35 − 25 − 25 = 15

✅ פתרון סופי: 15 ספרים

סעיף ב – טבלת שכיחויות

מחיר ספר (שקלים)	20	30	40	50
מספר ספרים	15	35	25	25

✅ פתרון סופי: הטבלה למעלה (15, 35, 25, 25)

סעיף ג – ממוצע ושכיח

(1)

20 · 15 + 30 · 35 + 40 · 25 + 50 · 25100📐 ממוצע משוקללממוצע = סכום (ערך · שכיחות)סכום השכיחויות

= 300 + 1,050 + 1,000 + 1,250100

= 3,600100 = 36

(2) השכיח – המחיר שמופיע הכי הרבה פעמים: 30 שקלים (35 ספרים).

✅ פתרון סופי: (1) 36 שקלים ; (2) 30 שקלים

סעיף ד – חמשת הספרים הנוספים

(1) המחיר של כל ספר נוסף, 36 שקלים, שווה בדיוק לממוצע. הוספת ערכים ששווים לממוצע לא משנה אותו:

3,600 + 5 · 36105 = 3,780105 = 36

(2) הספרים הנוספים נמצאים בדיוק על הממוצע – המרחק שלהם מן הממוצע הוא 0. סכום ריבועי ההפרשים לא גדל, אבל מחלקים במספר גדול יותר (105 במקום 100), ולכן סטיית התקן קטנה.

✅ פתרון סופי: (1) הממוצע לא ישתנה ; (2) סטיית התקן תקטן

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א	15 ספרים
ב	טבלה: 15, 35, 25, 25
ג (1)	36 שקלים
ג (2)	30 שקלים
ד (1)	לא ישתנה
ד (2)	תקטן

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7-ממוצע

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.