מה הפתרון של שאלה 1 (סדרה הנדסית וסדרה חשבונית) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: q = −2 , a1 = −1.5; סעיף ב: בסדרה 18 איברים; סעיף ג (1): d = 9; סעיף ג (2): האיברים במקומות 21 ו־22

מה הפתרון של שאלה 2 (פירמידה ישרה שבסיסה מלבן) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: AC = 15a; סעיף ב: SO = 4.5a · tan(80) ≈ 25.52a; סעיף ג: VSABC ≈ 1564.83 יחידות נפח

מה הפתרון של שאלה 3 (פונקציות טריגונומטריות) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: (0 , 1/2) , (−π/12 , 0) , (−5π/12 , 0); סעיף ב: (−π/2 , 1/2) max (קצה) , (−π/4 , −1/2) min; סעיף ב: (π/4 , 1.5) max , (π/2 , 1/2) min (קצה); סעיף ג: הסקיצה – בדף הפתרון המלא; סעיף ד: g(x) = −2f(x) ✓; סעיף ה (1): (−π/2 , −1) min (קצה) , (−π/4 , 1) max; סעיף ה (1): (π/4 , −3) min , (π/2 , −1) max (קצה); סעיף ה (2): הסקיצה – בדף הפתרון המלא; סעיף ו: k = −1

מה הפתרון של שאלה 4 (חקירת פונקציה מעריכית (מנה) וגרף) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: (1) x ≠ 0; סעיף א: (2) x = 0; סעיף ב: (ln 3 , −1) min (ln 3 ≈ 1.10); סעיף ג: ירידה: x ln 3; סעיף ד (1): (ln 2 , 0) , (ln 5 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y; סעיף ד (2): גרף I; סעיף ה: x = ln 2 – max; סעיף ה: x = ln 5 – min

מה הפתרון של שאלה 5 (חקירת פונקציית ln עם פרמטר) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: (1) 1 < x < 3; סעיף א: (2) x = 1 , x = 3; סעיף ב: (2 , 0) max; סעיף ג: עלייה: 1 < x < 2; סעיף ג: ירידה: 2 < x < 3; סעיף ד: הסקיצה – בדף הפתרון המלא; סעיף ה: טענה (2) נכונה; סעיף ו: (1.5 , 0) , (2.5 , 0)

בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (035482) · תוכנית ניסוי

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2021 מועד מיוחד

Q: מה הפתרון של שאלה 5 (חקירת פונקציית ln עם פרמטר) בבגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד?

סעיף א: (1) 1 < x < 3; סעיף א: (2) x = 1 , x = 3; סעיף ב: (2 , 0) max; סעיף ג: עלייה: 1 < x < 2; סעיף ג: ירידה: 2 < x < 3; סעיף ד: הסקיצה – בדף הפתרון המלא; סעיף ה: טענה (2) נכונה; סעיף ו: (1.5 , 0) , (2.5 , 0)

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות וטריגונומטריה במרחב (שאלות 1–2), ופרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות, מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ו־45 דקות. במועד זה לא פורסם פתרון סופי של משרד החינוך – את כל הפתרונות כאן כתבנו ובדקנו בעצמנו. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד

שאלון 472 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 5

שאלון 472 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – סדרות, טריגונומטריה במרחב
שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית
שאלה 2 – פירמידה ישרה שבסיסה מלבן
פרק שני – פונקציות טריגונומטריות, מעריכיות ולוגריתמיות
שאלה 3 – פונקציות טריגונומטריות
שאלה 4 – חקירת פונקציה מעריכית (מנה) וגרף
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר

שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית a_n שבה a₄ = 12 , a₇ = −96.

א. מצאו את מנת הסדרה ואת a₁.

נתון: בסדרה a_n יש מספר זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים של הסדרה הוא 262,143.

ב. מצאו את מספר האיברים בסדרה a_n.

נתונה סדרה חשבונית b_n המקיימת: b₁ = a₃ , b₇ = a₆.

ג. (1) מצאו את הפרש הסדרה b_n. (2) מצאו את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה b_n שסכומם הוא 357.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המנה והאיבר הראשון

a₄ = a₁q³ = 12 ; a₇ = a₁q⁶ = −96📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה: a₁q⁶a₁q³ = −9612 → q³ = −8 → q = −2

מציבים: a₁ · (−2)³ = 12 → −8a₁ = 12 → a₁ = −1.5

✅ פתרון סופי: q = −2 , a₁ = −1.5

סעיף ב – מספר האיברים

נסמן את מספר האיברים ב־n (זוגי). האיברים במקומות הזוגיים: a₂ , a₄ , a₆ , … , a_n – יש n2 כאלה.

הם סדרה הנדסית: האיבר הראשון a₂ = −1.5 · (−2) = 3, והמנה q² = (−2)² = 4 (כל פעם מדלגים שני מקומות).

S = 3(4^n/2 − 1)4 − 1 = 4^n/2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

4^n/2 − 1 = 262143 → 4^n/2 = 262144

n2 = log 262144log 4 = 9 → n = 18📐 פתרון משוואה מעריכיתa^x = b → x = log blog a

✅ פתרון סופי: בסדרה 18 איברים

סעיף ג (1) – ההפרש של הסדרה החשבונית

b₁ = a₃ = −1.5 · (−2)² = −6 ; b₇ = a₆ = −1.5 · (−2)⁵ = 48📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

b₇ = b₁ + 6d → 48 = −6 + 6d → 6d = 54 → d = 9📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתb_n = b₁ + (n − 1)d

✅ פתרון סופי: d = 9

סעיף ג (2) – שני איברים סמוכים שסכומם 357

נסמן את המקומות k ו־k + 1.

b_k = −6 + 9(k − 1) ; b_k+1 = −6 + 9k📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתb_n = b₁ + (n − 1)d

−6 + 9(k − 1) − 6 + 9k = 357 → 18k − 21 = 357 → 18k = 378 → k = 21

בדיקה: b₂₁ = −6 + 180 = 174 , b₂₂ = 183 , 174 + 183 = 357 ✓

✅ פתרון סופי: האיברים במקומות 21 ו־22

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	q = −2 , a₁ = −1.5
סעיף ב	18
סעיף ג (1)	d = 9
סעיף ג (2)	21 ו־22

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סדרות – שאלון 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – פירמידה ישרה שבסיסה מלבן

📄 נוסח השאלה

נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. SO הוא גובה הפירמידה (ראו סרטוט). נתון: AB = 12a , BC = 9a. a הוא פרמטר חיובי.

א. הביעו באמצעות a את אורך אלכסון הבסיס, AC.

E היא נקודה על האלכסון AC כך שמתקיים: EC = 4 · AE. נתון כי גודל הזווית שבין SE לבסיס הוא 80 מעלות.

ב. הביעו באמצעות a את גובה הפירמידה, SO.

ג. נתון כי שטח המשולש SEO שווה ל־130. חשבו את נפח הפירמידה המשולשת SABC.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – אלכסון הבסיס AC

במשולש ישר הזווית ABC (∢B = 90, זווית במלבן): AC² = (12a)² + (9a)² = 144a² + 81a² = 225a²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

AC = √225a² = 15a

✅ פתרון סופי: AC = 15a

סעיף ב – גובה הפירמידה SO

AE + EC = 15a → AE + 4AE = 15a → 5AE = 15a → AE = 3a

בפירמידה ישרה O הוא מפגש האלכסונים, ולכן AO = 15a2 = 7.5a📐 אלכסוני מלבןשווים וחוצים זה את זה

EO = AO − AE = 7.5a − 3a = 4.5a

SO מאונך לבסיס, ולכן EO הוא ההיטל של SE על הבסיס, והזווית בין SE לבסיס היא ∢SEO = 80 מעלות.

במשולש ישר הזווית SOE: tan(80) = SO4.5a → SO = 4.5a · tan(80) ≈ 25.52a📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד

✅ פתרון סופי: SO = 4.5a · tan(80) ≈ 25.52a

סעיף ג – נפח הפירמידה SABC

S_SEO = 4.5a · 25.52a2 ≈ 57.42a²📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

57.42a² = 130 → a² ≈ 2.264 → a ≈ 1.505 (a חיובי)

SO ≈ 25.52 · 1.505 ≈ 38.40

S_ABC = 12a · 9a2 = 54a² ≈ 54 · 2.264 ≈ 122.25📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

V_SABC = 122.25 · 38.403 ≈ 1564.83📐 נפח פירמידהV = שטח הבסיס · גובה3

(בחישוב השתמשנו בערכים המדויקים מהמחשבון ועיגלנו רק בסוף.)

✅ פתרון סופי: V_SABC ≈ 1564.83 יחידות נפח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	AC = 15a
סעיף ב	SO ≈ 25.52a
סעיף ג	V ≈ 1564.83

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – פונקציות טריגונומטריות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) + 12 המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.

א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −4sin(x) · cos(x) − 1 המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.

ד. הוכיחו כי g(x) = −2f(x) לכל x בתחום.

ה. (1) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ו. מצאו בעבור איזה ערך של k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה g(x) בשלוש נקודות שונות.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = sin(0) + 12 = 12 ← (0 , 12).

ציר ה־x: sin(2x) + 12 = 0 → sin(2x) = −12. ידוע ש־sin(−π6) = −12.

2x = −π6 + 2πk או 2x = π + π6 + 2πk📐 פתרון משוואת סינוסsin x = sin a ← x = a + 2πk או x = π − a + 2πk

x = −π12 + πk או x = 7π12 + πk

בתחום: k = 0 ← x = −π12 ; k = −1 בפתרון השני ← x = 7π12 − π = −5π12. שאר הפתרונות מחוץ לתחום.

✅ פתרון סופי: (0 , 12) , (−π12 , 0) , (−5π12 , 0)

סעיף ב – נקודות קיצון

f′(x) = 2cos(2x)📐 נגזרת של סינוס[sin(kx)]′ = k · cos(kx)

2cos(2x) = 0 → 2x = π2 + πk → x = π4 + πk2

בתחום: x = −π4 , x = π4. בנוסף בודקים את קצות התחום x = ±π2.

f(−π2) = sin(−π) + 12 = 12 ; f(−π4) = sin(−π2) + 12 = −12

f(π4) = sin(π2) + 12 = 1.5 ; f(π2) = sin(π) + 12 = 12

x	f′(x)	f(x)
x = −π2		קצה, max
−π2 < x < −π4	−	↘ יורדת
x = −π4	0	min
−π4 < x < π4	+	↗ עולה
x = π4	0	max
π4 < x < π2	−	↘ יורדת
x = π2		קצה, min

נקודות בדיקה: f′(−π3) = 2cos(−2π3) = −1 < 0 , f′(0) = 2 > 0 , f′(π3) = −1 < 0

✅ פתרון סופי: (−π2 , 12) max (קצה) , (−π4 , −12) min

✅ פתרון סופי: (π4 , 1.5) max , (π2 , 12) min (קצה)

סעיף ג – סקיצה של f(x)

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – הוכחה: g(x) = −2f(x)

g(x) = −2 · 2sin(x)cos(x) − 1 = −2sin(2x) − 1📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin(x)cos(x)

−2f(x) = −2(sin(2x) + 12) = −2sin(2x) − 1

✅ פתרון סופי: g(x) = −2f(x) ✓

סעיף ה (1) – נקודות הקיצון של g(x)

g′(x) = −2f′(x), ולכן g′(x) = 0 באותם x כמו f′(x) = 0, וגם הקצוות אותם קצוות.

הכפל ב־−2 הופך את הסימן של הנגזרת: איפה ש־f עולה, g יורדת, ולהפך. לכן כל max של f הוא min של g, וכל min של f הוא max של g.

g(−π2) = −2 · 12 = −1 ; g(−π4) = −2 · (−12) = 1 ; g(π4) = −2 · 1.5 = −3 ; g(π2) = −1

✅ פתרון סופי: (−π2 , −1) min (קצה) , (−π4 , 1) max

✅ פתרון סופי: (π4 , −3) min , (π2 , −1) max (קצה)

סעיף ה (2) – סקיצה של g(x)

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – הישר y = k שחותך את g בשלוש נקודות

לפי הסקיצה, g עולה מ־−1 עד 1, יורדת מ־1 עד −3, ועולה שוב מ־−3 עד −1.

עבור −1 < k < 1: שתי נקודות (בעלייה הראשונה ובירידה). עבור −3 < k < −1: שתי נקודות (בירידה ובעלייה האחרונה). עבור k = 1 או k = −3: נקודה אחת.

עבור k = −1 הישר עובר דרך שני קצות הגרף וגם חותך את הירידה. בדיקה: −2sin(2x) − 1 = −1 → sin(2x) = 0 → 2x = πk → x = πk2

בתחום: x = −π2 , x = 0 , x = π2 – שלוש נקודות שונות ✓

✅ פתרון סופי: k = −1

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	(0 , 12) , (−π12 , 0) , (−5π12 , 0)
סעיף ב	(−π2 , 12) max , (−π4 , −12) min , (π4 , 1.5) max , (π2 , 12) min
סעיף ה (1)	(−π2 , −1) min , (−π4 , 1) max , (π4 , −3) min , (π2 , −1) max
סעיף ו	k = −1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציה מעריכית (מנה) וגרף

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = e^2x + 3e^x − 1 − 7.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשמו את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ה. נתונה הפונקציה g(x) שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). נגזרת הפונקציה g(x) מקיימת: g′(x) = f(x). מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

המכנה לא 0: e^x − 1 = 0 → e^x = 1 → x = 0.

ב־x = 0 המונה e⁰ + 3 = 4 ≠ 0, ולכן זו אסימפטוטה אנכית.

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0

✅ פתרון סופי: (2) x = 0

סעיף ב – נקודת הקיצון

f′(x) = 2e^2x(e^x − 1) − (e^2x + 3) · e^x(e^x − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

(e^2x)′ = 2e^2x ; (e^x)′ = e^x📐 נגזרת של e(e^kx)′ = k · e^kx

f′(x) = e^x(2e^2x − 2e^x − e^2x − 3)(e^x − 1)² = e^x(e^2x − 2e^x − 3)(e^x − 1)²

e^x > 0 תמיד, ולכן f′(x) = 0 ← e^2x − 2e^x − 3 = 0. נציב t = e^x:

t² − 2t − 3 = 0 → (t − 3)(t + 1) = 0

t = 3 ← e^x = 3 ← x = ln 3 ; t = −1 ← e^x = −1 – אין פתרון.

f(ln 3) = e^{2ln 3} + 3e^{ln 3} − 1 − 7 = 9 + 33 − 1 − 7 = 6 − 7 = −1

סימן הנגזרת: f′(x) = e^x(e^x − 3)(e^x + 1)(e^x − 1)² – הכול חיובי חוץ מ־e^x − 3.

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0 < x < ln 3	−	↘ יורדת
x = ln 3	0	min
x > ln 3	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: (ln 3 , −1) min (ln 3 ≈ 1.10)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים מסעיף ב:

✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0 , 0 < x < ln 3

✅ פתרון סופי: עלייה: x > ln 3

סעיף ד (1) – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ← אין חיתוך עם ציר ה־y.

ציר ה־x: e^2x + 3e^x − 1 = 7 → e^2x + 3 = 7e^x − 7 → e^2x − 7e^x + 10 = 0

נציב t = e^x: t² − 7t + 10 = 0 → (t − 2)(t − 5) = 0 ← t = 2 או t = 5.

e^x = 2 → x = ln 2 ≈ 0.69 ; e^x = 5 → x = ln 5 ≈ 1.61📐 פתרון משוואה מעריכיתe^x = b → x = ln b

✅ פתרון סופי: (ln 2 , 0) , (ln 5 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y

סעיף ד (2) – איזה גרף מתאר את f(x)

מימין לאסימפטוטה x = 0: הגרף יורד עד המינימום (ln 3 , −1) שמתחת לציר ה־x, ואז עולה – לכן הוא חותך את ציר ה־x פעמיים (ב־ln 2 וב־ln 5) וממשיך לעלות.

משמאל לאסימפטוטה (x < 0): e^x − 1 < 0 והמונה חיובי, ולכן e^2x + 3e^x − 1 < 0 ו־f(x) < −7: הגרף כולו מתחת לציר ה־x ויורד.

רק בגרף I החלק הימני חותך את ציר ה־x פעמיים, עם מינימום מתחת לציר, ואחר כך עולה בלי סוף. בגרפים III ו־IV החלק הימני חותך את הציר פעם אחת בלבד, ובגרף II הוא כולו מתחת לציר.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה – נקודות הקיצון של g(x)

g′(x) = f(x), ולכן נקודות קיצון של g הן איפה ש־f(x) = 0 ו־f מחליפה סימן.📐 נקודת קיצוןהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן

f(x) = 0 ב־x = ln 2 וב־x = ln 5 (סעיף ד). עבור x < 0 מתקיים f(x) < −7 < 0 – אין שם אפסים.

x	g′(x) = f(x)	g(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0 < x < ln 2	+	↗ עולה
x = ln 2	0	max
ln 2 < x < ln 5	−	↘ יורדת
x = ln 5	0	min
x > ln 5	+	↗ עולה

✅ פתרון סופי: x = ln 2 – max

✅ פתרון סופי: x = ln 5 – min

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ 0 ; x = 0
סעיף ב	(ln 3 , −1) min
סעיף ג	ירידה x < 0 , 0 < x < ln 3 ; עלייה x > ln 3
סעיף ד	(ln 2 , 0) , (ln 5 , 0) ; גרף I
סעיף ה	x = ln 2 max , x = ln 5 min

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ln(−x² + 4x − 3).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לציר ה־y.

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + b. b הוא פרמטר.

ה. קבעו איזו מן הטענות (1)–(2) שלפניכם נכונה. נמקו את קביעתכם. (1) כאשר b < 0, גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות. (2) כאשר b > 0, גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.

ו. נתון כי הישר y = −ln(0.75) משיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודת הקיצון שלה. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

−x² + 4x − 3 > 0 → x² − 4x + 3 < 0 → (x − 1)(x − 3) < 0📐 תחום הגדרה של lnמה שבתוך ה־ln חייב להיות חיובי

פרבולה "מחייכת" שלילית בין השורשים: 1 < x < 3.

בקצוות x → 1 ו־x → 3 מה שבתוך ה־ln שואף ל־0 מצד חיובי, ולכן f(x) → −∞: אסימפטוטות אנכיות.

✅ פתרון סופי: (1) 1 < x < 3

✅ פתרון סופי: (2) x = 1 , x = 3

סעיף ב – נקודת הקיצון

f′(x) = −2x + 4−x² + 4x − 3📐 נגזרת של ln[ln(u)]′ = u′u

f′(x) = 0 → −2x + 4 = 0 → x = 2

f(2) = ln(−4 + 8 − 3) = ln 1 = 0

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן לפי המונה −2x + 4:

x	f′(x)	f(x)
1 < x < 2	+	↗ עולה
x = 2	0	max
2 < x < 3	−	↘ יורדת

✅ פתרון סופי: (2 , 0) max

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים מסעיף ב:

✅ פתרון סופי: עלייה: 1 < x < 2

✅ פתרון סופי: ירידה: 2 < x < 3

סעיף ד – סקיצה

הגרף כולו מתחת לציר ה־x, חוץ מנקודת המקסימום (2 , 0) שנוגעת בציר.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזו טענה נכונה

g(x) = f(x) + b – הזזה של הגרף ב־b למעלה או למטה. נקודת המקסימום עוברת ל־(2 , b), והאסימפטוטות נשארות.

כאשר b > 0: המקסימום מעל ציר ה־x, ובשני הצדדים הגרף יורד ל־−∞ – לכן הוא חותך את ציר ה־x פעם אחת משמאל ל־2 ופעם אחת מימין ל־2.

כאשר b < 0: המקסימום מתחת לציר, והגרף כולו מתחת לציר – אין חיתוך.

✅ פתרון סופי: טענה (2) נכונה

סעיף ו – נקודות החיתוך של g עם ציר ה־x

נקודת הקיצון של g היא (2 , b). הישר האופקי y = −ln(0.75) משיק לגרף בנקודה זו, ולכן b = −ln(0.75).

g(x) = 0 → ln(−x² + 4x − 3) − ln(0.75) = 0 → ln(−x² + 4x − 3) = ln(0.75)

−x² + 4x − 3 = 0.75 → x² − 4x + 3.75 = 0📐 שוויון של lnln A = ln B → A = B

x_1,2 = 4 ± √16 − 152 = 4 ± 12📐 פתרון משוואה ריבועיתx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

x = 2.5 או x = 1.5 – שניהם בתחום 1 < x < 3.

✅ פתרון סופי: (1.5 , 0) , (2.5 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	1 < x < 3 ; x = 1 , x = 3
סעיף ב	(2 , 0) max
סעיף ג	עלייה 1 < x < 2 ; ירידה 2 < x < 3
סעיף ה	טענה (2)
סעיף ו	(1.5 , 0) , (2.5 , 0)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.