בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (035481) · תוכנית ניסוי

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2021 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – אלגברה, גאומטריה אנליטית והסתברות (שאלות 1–3), פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור (שאלות 4–5), ופרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות רציונליות ופונקציות שורש (שאלות 6–8). עונים על 4 שאלות לבחירה, 25 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. במועד זה לא פורסם פתרון סופי של משרד החינוך – את כל הפתרונות כאן כתבנו ובדקנו בעצמנו. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד

שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – בעיית תנועה: שתי רכבות

📄 נוסח השאלה

ביום ראשון יצאו שתי רכבות מאותו מקום, בשעה 14:00, ונסעו באותו המסלול. רכבת א נסעה ללא עצירות במהירות קבועה של 80 קמ"ש. רכבת ב נסעה במהירות קבועה של 120 קמ"ש ועצרה בדרכה בתחנה אחת למשך 12 דקות. זמן־מה לאחר שיצאה רכבת ב מן התחנה שעצרה בה בדרכה, היא חלפה על פני רכבת א.

א. באיזו שעה חלפה רכבת ב על פני רכבת א?

גם ביום שני יצאו שתי הרכבות מאותו המקום ובאותה השעה. ביום זה, רכבת א הגבירה את מהירותה ב־x קמ"ש לעומת יום ראשון ונסעה ללא עצירות, ואילו רכבת ב הפחיתה את מהירותה ב־2x קמ"ש לעומת יום ראשון. ביום שני, רכבת ב עצרה בדרכה בתחנה אחת למשך 6 דקות, וזמן־מה לאחר שהמשיכה בדרכה חלפה על פני רכבת א, במרחק של 90 ק"מ ממקום היציאה של שתי הרכבות.

ב. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מתי רכבת ב חלפה על פני רכבת א

נסמן ב־t את הזמן (בשעות) מהשעה 14:00 ועד הרגע שבו רכבת ב חלפה על פני רכבת א.
12 דקות הן 1260 = 0.2 שעות. רכבת ב עמדה 0.2 שעות, ולכן היא נסעה רק t − 0.2 שעות.
מהירות (קמ"ש)זמן (שעות)דרך (ק"מ)
רכבת א80t80t
רכבת ב120t − 0.2120(t − 0.2)
ברגע החלוף שתי הרכבות באותה נקודה, כלומר עברו אותה דרך: 80t = 120(t − 0.2)📐 דרךדרך = מהירות · זמן
80t = 120t − 24 → 24 = 120t − 80t → 24 = 40t
t = 2440 = 0.6 שעות
0.6 · 60 = 36 דקות. 14:00 + 36 = 14:36
✅ פתרון סופי: רכבת ב חלפה על פני רכבת א בשעה 14:36

סעיף ב – מציאת x

ביום שני: מהירות רכבת א 80 + x, מהירות רכבת ב 120 − 2x. העצירה: 660 = 0.1 שעות.
שתי הרכבות עברו עד החלוף 90 ק"מ. הזמן של כל אחת:📐 זמןזמן = דרךמהירות
מהירותדרךזמן נסיעה
רכבת א80 + x909080 + x
רכבת ב120 − 2x9090120 − 2x
רכבת א נסעה כל הזמן. רכבת ב נסעה ועוד עמדה 0.1 שעות. שתיהן יצאו באותה שעה ונפגשו באותו רגע, ולכן:
9080 + x = 90120 − 2x + 0.1
כופלים את שני האגפים ב־10(80 + x)(120 − 2x):
900(120 − 2x) = 900(80 + x) + (80 + x)(120 − 2x)
108000 − 1800x = 72000 + 900x + 9600 − 160x + 120x − 2x2
108000 − 1800x = 81600 + 860x − 2x2
2x2 − 2660x + 26400 = 0 → x2 − 1330x + 13200 = 0
x1,2 = 1330 ± √13302 − 4 · 1 · 132002 = 1330 ± √17161002 = 1330 ± 13102📐 פתרון משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x = 1320 או x = 10.
עבור x = 1320 המהירות של רכבת ב: 120 − 2 · 1320 = −2520 – מהירות שלילית, לא ייתכן. לכן x = 10.
בדיקה: רכבת א: 9090 = 1 שעה. רכבת ב (100 קמ"ש): 90100 + 0.1 = 1 שעה ✓
✅ פתרון סופי: x = 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א14:36
סעיף בx = 10
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – משולש במערכת צירים ומעגל חוסם

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABD. נתון: הקודקוד A נמצא על ציר ה־y והקודקוד B נמצא על ציר ה־x. משוואת הצלע AB היא y = −14x + 2.

א. מצאו את אורך הצלע AB.

נתון: AB = AD. הקודקוד D נמצא ברביע הראשון, ושיעור ה־x שלו הוא 2.

ב. (1) מצאו את שיעור ה־y של הקודקוד D. (2) הוכיחו כי AD מאונך ל־AB.

דרך נקודה D העבירו ישר המקביל לצלע AB. הישר חותך את ציר ה־y בנקודה E.

ג. מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש AED.

הנקודה F נמצאת על המעגל שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. נתון כי DF הוא קוטר במעגל.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה F.

סרטוט לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – אורך הצלע AB

A על ציר ה־y, ולכן x = 0: y = −14 · 0 + 2 = 2 ← A(0 , 2).
B על ציר ה־x, ולכן y = 0: 0 = −14x + 2 → 14x = 2 → x = 8 ← B(8 , 0).
AB = √(8 − 0)2 + (0 − 2)2 = √64 + 4 = √68 ≈ 8.25📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AB = √68 ≈ 8.25

סעיף ב (1) – שיעור ה־y של D

D(2 , y) ו־AD = AB = √68.
(2 − 0)2 + (y − 2)2 = 68📐 מרחק בין נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
4 + (y − 2)2 = 68 → (y − 2)2 = 64 → y − 2 = ±8
y = 10 או y = −6. D ברביע הראשון, ולכן y > 0 ← y = 10.
✅ פתרון סופי: y = 10 , כלומר D(2 , 10)

סעיף ב (2) – AD מאונך ל־AB

mAD = 10 − 22 − 0 = 82 = 4📐 שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
שיפוע AB לפי המשוואה: mAB = −14.
mAD · mAB = 4 · (−14) = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
✅ פתרון סופי: מכפלת השיפועים −1, ולכן AD ⊥ AB ✓

סעיף ג – משוואת המעגל החוסם את המשולש AED

קודם מוצאים את E. הישר דרך D מקביל ל־AB, ולכן שיפועו −14.
y − 10 = −14(x − 2) → y = −14x + 10.5📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
על ציר ה־y: x = 0 ← y = 10.5 ← E(0 , 10.5).
טענה: ∢ADE = 90 מעלות. נימוק: DE ∥ AB ו־AD ⊥ AB (סעיף ב), ולכן AD ⊥ DE.📐 ישר המאונך לאחד משני ישרים מקביליםמאונך גם לשני
טענה: AE הוא קוטר במעגל החוסם. נימוק: זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.📐 זווית היקפית של 90 מעלותנשענת על קוטר
M = (0 + 02 , 2 + 10.52) = (0 , 6.25)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
AE = 10.5 − 2 = 8.5 ← R = 8.52 = 4.25 ← R2 = 4.252 = 18.0625
(x − 0)2 + (y − 6.25)2 = 18.0625📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: x2 + (y − 6.25)2 = 18.0625

סעיף ד – שיעורי הנקודה F

DF קוטר, ולכן מרכז המעגל M(0 , 6.25) הוא אמצע הקטע DF. נסמן F(x , y).
2 + x2 = 0 → x = −2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22
10 + y2 = 6.25 → 10 + y = 12.5 → y = 2.5📐 אמצע קטעyM = y1 + y22
✅ פתרון סופי: F(−2 , 2.5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אAB = √68 ≈ 8.25
סעיף ב (1)yD = 10
סעיף גx2 + (y − 6.25)2 = 18.0625
סעיף דF(−2 , 2.5)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: סוכריות בשקית

📄 נוסח השאלה

בשקית סוכריות יש 2 סוכריות בטעם לימון, וכל שאר הסוכריות בשקית הן בטעם תות. הוציאו באקראי מן השקית שתי סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה.

ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן השקית הן בטעם לימון היא 1153.

א. כמה סוכריות יש בשקית סך הכול?

ב. מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן השקית הן בטעמים שונים?

ג. (1) מהי ההסתברות שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות? (2) אם ידוע שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות, מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו הן בטעמים שונים?

החזירו את כל הסוכריות לשקית והוציאו מן השקית באקראי שלוש סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה.

ד. מהי ההסתברות שכל שלוש הסוכריות שהוציאו הן באותו הטעם?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספר הסוכריות בשקית

נסמן ב־n את מספר הסוכריות בשקית. בהוצאה הראשונה יש 2 לימון מתוך n. אחרי שהוצאנו לימון נשארו 1 לימון מתוך n − 1.
2n · 1n − 1 = 1153📐 הסתברות של שני מאורעות בזה אחר זהP = P(ראשון) · P(שני אחרי הראשון)
2n(n − 1) = 1153 → n(n − 1) = 306 → n2 − n − 306 = 0
n1,2 = 1 ± √1 + 12242 = 1 ± 352📐 פתרון משוואה ריבועיתn1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
n = 18 או n = −17 (מספר סוכריות חיובי, נפסל).
✅ פתרון סופי: בשקית 18 סוכריות (2 לימון ו־16 תות)

סעיף ב – טעמים שונים

טעמים שונים: לימון ואז תות, או תות ואז לימון.
P(לימון ואז תות) = 218 · 1617 = 32306📐 כפל לאורך ענף בעץP = P(ראשון) · P(שני אחרי הראשון)
P(תות ואז לימון) = 1618 · 217 = 32306📐 כפל לאורך ענף בעץP = P(ראשון) · P(שני אחרי הראשון)
P(שונים) = 32306 + 32306 = 64306 = 32153📐 חיבור ענפים זריםP(A או B) = P(A) + P(B)
✅ פתרון סופי: 32153 ≈ 0.209

סעיף ג (1) – לפחות סוכרייה אחת בטעם תות

המאורע המשלים ל"לפחות תות אחת" הוא "שתיהן לימון".
P(לפחות תות אחת) = 1 − 1153 = 152153📐 מאורע משליםP(לא A) = 1 − P(A)
✅ פתרון סופי: 152153 ≈ 0.993

סעיף ג (2) – הסתברות מותנית

אם שתי הסוכריות בטעמים שונים, אחת מהן בטוח תות. לכן המאורע "שונים וגם לפחות תות אחת" הוא פשוט "שונים".
P(שונים | לפחות תות) = 32153152153 = 32152 = 419📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)
✅ פתרון סופי: 419 ≈ 0.211

סעיף ד – שלוש סוכריות באותו הטעם

יש רק 2 סוכריות לימון, ולכן אי אפשר להוציא 3 לימון. "אותו הטעם" = שלוש סוכריות תות.
P = 1618 · 1517 · 1416 = 33604896 = 3551📐 כפל לאורך ענף בעץP = P(ראשון) · P(שני) · P(שלישי)
✅ פתרון סופי: 3551 ≈ 0.686

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א18
סעיף ב32153
סעיף ג (1)152153
סעיף ג (2)419
סעיף ד3551
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מעגל, משולש שווה שוקיים ודמיון משולשים

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם מתואר מעגל. הנקודות A , B , D , F נמצאות על המעגל. הנקודה E נמצאת על המיתר DF. הקטעים AE ו־BF נחתכים בנקודה C. הקטעים AD ו־BF נחתכים בנקודה G. נתון: AB = AC.

א. הוכיחו: ∢ABG = ∢ECF.

ב. הוכיחו: △AGB ∼ △FEC.

נתון: AG הוא חוצה זווית ∢BAC.

ג. הוכיחו: ∢CEF = 90 מעלות.

נתון: EF = 8 , CE = 6 , BG = 5.

ד. מצאו את אורך הקטע AC.

ציור לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה: ∢ABG = ∢ECF

טענה: ∢ABC = ∢ACB נימוק: AB = AC (נתון), ובמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
טענה: ∢ACB = ∢ECF נימוק: זוויות קודקודיות (A , C , E על ישר אחד ו־B , C , F על ישר אחד).📐 זוויות קודקודיותשוות זו לזו
טענה: ∢ABG = ∢ABC נימוק: G ו־C נמצאות על הקטע BF, כלומר זו אותה זווית.
מכאן: ∢ABG = ∢ABC = ∢ACB = ∢ECF.
✅ פתרון סופי: ∢ABG = ∢ECF ✓

סעיף ב – הוכחה: △AGB ∼ △FEC

טענה: ∢BAD = ∢BFD נימוק: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת BD.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
טענה: ∢BAG = ∢CFE נימוק: ∢BAG היא ∢BAD (G על AD), ו־∢CFE היא ∢BFD (C על FB, E על FD).
טענה: ∢ABG = ∢FCE נימוק: הוכח בסעיף א.
טענה: △AGB ∼ △FEC (התאמה: A ↔ F , G ↔ E , B ↔ C). נימוק: שתי זוויות שוות בהתאמה.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △AGB ∼ △FEC ✓

סעיף ג – הוכחה: ∢CEF = 90 מעלות

טענה: AG ⊥ BC , כלומר ∢AGB = 90 מעלות נימוק: במשולש שווה שוקיים ABC חוצה זווית הראש (AG חוצה את ∢BAC, נתון) הוא גם גובה לבסיס.📐 משולש שווה שוקייםחוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון לבסיס
טענה: ∢FEC = ∢AGB נימוק: זוויות מתאימות במשולשים הדומים (G ↔ E, סעיף ב).📐 משולשים דומיםהזוויות המתאימות שוות
לכן ∢CEF = 90 מעלות.
✅ פתרון סופי: ∢CEF = 90 מעלות ✓

סעיף ד – אורך הקטע AC

במשולש ישר הזווית CEF (∢CEF = 90): CF2 = 62 + 82 = 100 ← CF = 10📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
GBEC = ABFC📐 יחס הדמיוןAGFE = GBEC = ABFC
56 = AB10 → 6 · AB = 50 → AB = 506 = 253
AC = AB (נתון), ולכן AC = 253 ≈ 8.33.
✅ פתרון סופי: AC = 253 ≈ 8.33

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף דAC = 253 ≈ 8.33
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה במשולש שווה שוקיים

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC בציור שלפניכם הוא שווה שוקיים. נתון: AB = 12 , CA = CB = 8.

א. מצאו את גודל הזווית ∢BAC.

הנקודה F היא אמצע הצלע AC. דרך הנקודה F העבירו ישר החותך את הצלע AB בנקודה E. נתון: שטח המשולש EAF שווה ל־10.

ב. מצאו את אורך הצלע AE.

ג. חשבו את גודל הזווית ∢ECB.

ד. חשבו את שטח המרובע EBCF.

ציור לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הזווית BAC

טענה: הגובה CH לבסיס AB הוא גם תיכון: AH = 122 = 6 נימוק: CA = CB – במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.📐 משולש שווה שוקייםהגובה לבסיס הוא גם תיכון
במשולש ישר הזווית AHC: cos(∢A) = AHAC = 68 = 0.75📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב לידיתר
∢BAC ≈ 41.41
✅ פתרון סופי: ∢BAC ≈ 41.41 מעלות

סעיף ב – אורך AE

F אמצע AC: AF = 82 = 4.
12 · AE · 4 · sin(41.41) = 10📐 שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהןS = 12 · a · b · sin(∢C)
2 · AE · 0.6614 = 10 → 1.3229 · AE = 10
AE = 101.3229 ≈ 7.56
✅ פתרון סופי: AE ≈ 7.56

סעיף ג – הזווית ECB

במשולש AHC: CH2 = 82 − 62 = 28 ← CH = √28 ≈ 5.29📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
AE ≈ 7.56 > AH = 6, ולכן E בין H ל־B: EH = 7.56 − 6 ≈ 1.56.
במשולש ישר הזווית CHE: tan(∢ECH) = EHCH = 1.565.29 ≈ 0.2946 ← ∢ECH ≈ 16.42📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
במשולש CHB: ∢B = ∢A ≈ 41.41 (זוויות בסיס), ולכן ∢HCB = 180 − 90 − 41.41 = 48.59📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
∢ECB = ∢HCB − ∢ECH = 48.59 − 16.42 ≈ 32.17
(בחישוב השתמשנו בערכים המדויקים מהמחשבון ועיגלנו רק בסוף.)
✅ פתרון סופי: ∢ECB ≈ 32.17 מעלות

סעיף ד – שטח המרובע EBCF

SABC = 12 · 5.292 ≈ 31.75📐 שטח משולשS = צלע · הגובה אליה2
המרובע EBCF הוא המשולש ABC בלי המשולש AEF:
SEBCF = 31.75 − 10 ≈ 21.75
✅ פתרון סופי: SEBCF ≈ 21.75

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א41.41 מעלות
סעיף בAE ≈ 7.56
סעיף ג32.17 מעלות
סעיף ד21.75
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x2x2 − 4x + 3 + a. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש צורך, הביעו באמצעות a).

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (אם יש צורך, הביעו באמצעות a).

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון: האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x) נמצאת מתחת לציר ה־x.

ה. בחרו ערך מסוים של a שמתאים לנתון. נמקו את בחירתכם.

הציבו בפונקציה f(x) את a שבחרתם וענו על סעיפים ו–ז.

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ז. מצאו משוואת ישר המקביל לציר ה־x וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה אחת בלבד (מצאו את 3 האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

המכנה לא יכול להיות 0: x2 − 4x + 3 = 0
x1,2 = 4 ± √16 − 122 = 4 ± 22📐 פתרון משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x = 3 או x = 1. כלומר x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
✅ פתרון סופי: x ≠ 1 , x ≠ 3

סעיף ב – אסימפטוטות

אנכיות: מאפסי המכנה. במונה: 3 · 12 = 3 ≠ 0 , 3 · 32 = 27 ≠ 0, ולכן אלה אסימפטוטות: x = 1 , x = 3.
אופקית: במונה ובמכנה החזקה הגבוהה היא 2 (שוות), ולכן y = 31 + a = 3 + a📐 אסימפטוטה אופקית כשהחזקות שוותy = המקדם המוביל במונההמקדם המוביל במכנה
✅ פתרון סופי: אנכיות: x = 1 , x = 3
✅ פתרון סופי: אופקית: y = 3 + a

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = 6x(x2 − 4x + 3) − 3x2(2x − 4)(x2 − 4x + 3)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
f′(x) = 6x3 − 24x2 + 18x − 6x3 + 12x2(x2 − 4x + 3)2 = −12x2 + 18x(x2 − 4x + 3)2 = −6x(2x − 3)(x2 − 4x + 3)2
f′(x) = 0 ← −6x(2x − 3) = 0 ← x = 0 או x = 1.5.
f(0) = 03 + a = a ; f(1.5) = 3 · 2.252.25 − 6 + 3 + a = 6.75−0.75 + a = a − 9
המכנה ריבוע – תמיד חיובי. הסימן של f′ נקבע לפי −6x(2x − 3):
xf′(x)f(x)
x < 0−↘ יורדת
x = 00min
0 < x < 1+↗ עולה
1 < x < 1.5+↗ עולה
x = 1.50max
1.5 < x < 3−↘ יורדת
x > 3−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: (0 , a) min
✅ פתרון סופי: (1.5 , a − 9) max

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים מסעיף ג:
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 , 1 < x < 1.5
✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0 , 1.5 < x < 3 , x > 3

סעיף ה – בחירת a

האסימפטוטה האופקית y = 3 + a מתחת לציר ה־x ← 3 + a < 0 → a < −3.
בוחרים a = −4, כי −4 < −3. אז האסימפטוטה האופקית y = 3 + (−4) = −1 – מתחת לציר ✓
✅ פתרון סופי: a = −4 (כל a < −3 מתאים)

סעיף ו – סקיצה עבור a = −4

f(x) = 3x2x2 − 4x + 3 − 4: min (0 , −4) , max (1.5 , −13) , אסימפטוטות x = 1 , x = 3 , y = −1.
חיתוך עם האסימפטוטה האופקית: 3x2x2 − 4x + 3 = 3 → 3x2 = 3x2 − 12x + 9 → x = 0.75 ← (0.75 , −1).
ליד האסימפטוטות: משמאל ל־1 הגרף עולה ל־+∞, בין 1 ל־3 הוא יורד ל־−∞ משני הצדדים, ומימין ל־3 הוא יורד מ־+∞ אל y = −1.
xyx = 1x = 3y = −1(0 , −4) min(1.5 , −13) max(0.75 , −1)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ז – שלושה ישרים שחותכים את הגרף בנקודה אחת

ישר המקביל לציר ה־x הוא y = k. מחפשים k שבעבורו למשוואה f(x) = k יש פתרון אחד בלבד. לפי הסקיצה אלה שלושה מקרים:
1. דרך נקודת המינימום, y = −4: 3x2x2 − 4x + 3 − 4 = −4 → 3x2 = 0 → x = 0 – נקודה אחת.
2. דרך נקודת המקסימום, y = −13: 3x2x2 − 4x + 3 = −9 → 3x2 = −9x2 + 36x − 27 → 12x2 − 36x + 27 = 0 → 4x2 − 12x + 9 = 0
(2x − 3)2 = 0 → x = 1.5 – נקודה אחת.📐 ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. האסימפטוטה האופקית, y = −1: הגרף לא מגיע אליה משמאל ל־0 ומימין ל־3, וחותך אותה פעם אחת בלבד, ב־x = 0.75 (סעיף ו).
בכל ערך אחר של k: מעל −1 – שתי נקודות (אחת משמאל ל־1 ואחת מימין ל־3); בין −4 ל־−1 – שתי נקודות משמאל ל־1; בין −13 ל־−4 – אף נקודה; מתחת ל־−13 – שתי נקודות בין 1 ל־3.
✅ פתרון סופי: y = −4 , y = −13 , y = −1

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ 1 , 3
סעיף בx = 1 , x = 3 , y = 3 + a
סעיף ג(0 , a) min , (1.5 , a − 9) max
סעיף דעלייה 0 < x < 1 , 1 < x < 1.5 ; ירידה x < 0 , 1.5 < x < 3 , x > 3
סעיף הa = −4
סעיף זy = −4 , y = −13 , y = −1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציית שורש, גרף הנגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −5 + √x2 − 10x + 16.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (בתשובותיכם תוכלו להשאיר 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = −4 ועל ידי הצירים. תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם.

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות אי שלילי: x2 − 10x + 16 ≥ 0.
x1,2 = 10 ± √100 − 642 = 10 ± 62📐 פתרון משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
השורשים x = 2 ו־x = 8. פרבולה "מחייכת" (מקדם x2 חיובי) – אי שלילית מחוץ לשורשים.
✅ פתרון סופי: x ≤ 2 או x ≥ 8

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 2x − 102√x2 − 10x + 16 = x − 5√x2 − 10x + 16📐 נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
f′(x) = 0 ← x = 5, אבל x = 5 לא בתחום. המכנה חיובי, ולכן הסימן לפי x − 5:
xf′(x)f(x)
x < 2−↘ יורדת
x = 2קצה: (2 , −5) min
x = 8קצה: (8 , −5) min
x > 8+↗ עולה
f(2) = −5 + √4 − 20 + 16 = −5 ; f(8) = −5 + √64 − 80 + 16 = −5
✅ פתרון סופי: ירידה: x < 2
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 8

סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0, בתחום): f(0) = −5 + √16 = −1 ← (0 , −1).
ציר ה־x (y = 0): √x2 − 10x + 16 = 5 → x2 − 10x + 16 = 25 → x2 − 10x − 9 = 0
x1,2 = 10 ± √100 + 362 = 5 ± √34📐 פתרון משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x ≈ −0.83 או x ≈ 10.83. שני הפתרונות בתחום: הראשון קטן מ־2 והשני גדול מ־8. בהעלאה בריבוע האגף הימני 5 חיובי, ולכן שניהם מתאימים.
✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (−0.83 , 0) , (10.83 , 0)

סעיף ד – סקיצה

שני חלקים: משמאל ל־2 יורד עד (2 , −5), ומימין ל־8 עולה מ־(8 , −5). בין 2 ל־8 אין גרף.
xy(0 , −1)(−0.83 , 0)(10.83 , 0)(2 , −5)(8 , −5)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

f′(x) מוגדרת רק עבור x < 2 ו־x > 8 (בקצוות המכנה 0).
עבור x < 2 הפונקציה f יורדת ← f′(x) < 0: החלק השמאלי של גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x.
עבור x > 8 הפונקציה f עולה ← f′(x) > 0: החלק הימני כולו מעל ציר ה־x.
רק בגרף III החלק השמאלי כולו מתחת לציר והחלק הימני כולו מעליו, עם רווח באמצע. ב־I וב־IV החלק השמאלי מעל הציר, וב־II החלק הימני יורד מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – השטח בין גרף הנגזרת, הישר x = −4 והצירים

בתחום −4 ≤ x ≤ 0 מתקיים f′(x) < 0 (סעיף ה), כלומר השטח מתחת לציר ה־x. לכן לוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס.
S = −∫0−4 f′(x) dx = −[f(x)]−40 = −(f(0) − f(−4))📐 פונקציה קדומה לנגזרת∫ f′(x) dx = f(x) + c
f(0) = −1 ; f(−4) = −5 + √16 + 40 + 16 = −5 + √72
S = −(−1 − (−5 + √72)) = −(4 − √72) = √72 − 4 ≈ 4.49
✅ פתרון סופי: S = √72 − 4 ≈ 4.49

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≤ 2 או x ≥ 8
סעיף בירידה x < 2 ; עלייה x > 8
סעיף ג(0 , −1) , (−0.83 , 0) , (10.83 , 0)
סעיף הIII
סעיף ו√72 − 4 ≈ 4.49
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: ריבוע ומלבן

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם ריבוע ומלבן. נתון: אורך המלבן גדול פי 3 מרוחב המלבן. סכום ההיקפים של הריבוע והמלבן הוא a. נסמן את רוחב המלבן ב־x.

א. הביעו באמצעות a ו־x את אורך צלע הריבוע.

ב. מצאו את הערך של x שבעבורו סכום השטחים של הריבוע והמלבן הוא מינימלי (הביעו באמצעות a).

ג. נתון כי סכום השטחים של הריבוע והמלבן הוא מינימלי כאשר אורך צלע הריבוע הוא 3. מצאו את a.

ציור לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – צלע הריבוע

רוחב המלבן x, אורכו 3x.
Pמלבן = 2 · x + 2 · 3x = 8x📐 היקף מלבןP = 2 · אורך + 2 · רוחב
נסמן את צלע הריבוע ב־b: 4b + 8x = a → 4b = a − 8x → b = a − 8x4📐 היקף ריבועP = 4 · צלע
✅ פתרון סופי: b = a − 8x4 = a4 − 2x

סעיף ב – x שבעבורו סכום השטחים מינימלי

S(x) = (a4 − 2x)2 + x · 3x = (a4 − 2x)2 + 3x2📐 שטח ריבוע ושטח מלבןSריבוע = b2 ; Sמלבן = אורך · רוחב
תחום: x > 0 וגם צלע הריבוע חיובית: a4 − 2x > 0 → x < a8.
S′(x) = 2(a4 − 2x) · (−2) + 6x = −a + 8x + 6x = 14x − a📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))2]′ = 2g(x) · g′(x)
S′(x) = 0 → 14x − a = 0 → x = a14 (בתחום, כי a14 < a8).
xS′(x)S(x)
0 < x < a14−↘ יורדת
x = a140min
a14 < x < a8+↗ עולה
✅ פתרון סופי: x = a14

סעיף ג – מציאת a

מציבים x = a14 בצלע הריבוע:
b = a4 − 2 · a14 = a4 − a7 = 7a − 4a28 = 3a28
3a28 = 3 → 3a = 84 → a = 28
✅ פתרון סופי: a = 28

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אa4 − 2x
סעיף בx = a14
סעיף גa = 28
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות