בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 371 (35371) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלה 1 – דעיכה, שאלה 2 – הסתברות), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלה 3 – מלבן וחצי עיגול, שאלה 4 – משולשים דומים ומשפט פיתגורס) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלה 5 – משוואות ואחוזים, שאלה 6 – ממוצע וסטיית תקן). תשובה מלאה על שאלה מזכה ב־20 נקודות. מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 371 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 371 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 371 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 371 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 371 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – דעיכה: חומר פעיל בדם

📄 נוסח השאלה

במחקר רפואי בודקים את כמות החומר הפעיל בדם לאחר לקיחה של שתי תרופות: תרופה א' ותרופה ב'. קצב ההתפרקות בדם של כל אחת מן התרופות הוא מעריכי.

לפניכם גרף המתאר את כמות החומר הפעיל בדם לפי הזמן שעבר מלקיחת כל אחת משתי התרופות.

גרף כמות החומר הפעיל בדם לפי הזמן לשתי התרופות משאלה 1

א. מהי כמות החומר הפעיל בדם ברגע לקיחת כל אחת משתי התרופות?

ב. באיזו משתי התרופות (תרופה א' או תרופה ב') כמות החומר הפעיל בדם קטנה מהר יותר?

ג. רופא שמטפל בחולה מסוים מעוניין שבשעה ה־6 מרגע לקיחת התרופה יהיו בדמו של החולה יותר מ־12 מיליגרם חומר פעיל. איזו משתי התרופות ימליץ לו הרופא לקחת? נמקו.

ד. בשעה 8:00 מטופל א' לקח את תרופה א' ומטופל ב' לקח את תרופה ב'.

(1) באיזו שעה הייתה כמות החומר הפעיל בדמו של מטופל א' שווה לכמות החומר הפעיל בדמו של מטופל ב'?

(2) מה הייתה כמות החומר הפעיל בדם של מטופל א' בשעה שמצאתם בסעיף ד (1)?

ה. מטופל לקח את תרופה א'. בכמה אחוזים קטנה כמות החומר הפעיל בדמו בכל שעה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הכמות ברגע הלקיחה

ברגע הלקיחה הזמן הוא 0. קוראים בגרף את נקודת ההתחלה של כל גרף על הציר האנכי:
תרופה א' מתחילה ב־25 מיליגרם, ותרופה ב' מתחילה ב־50 מיליגרם.
✅ פתרון סופי: תרופה א' – 25 מיליגרם; תרופה ב' – 50 מיליגרם

סעיף ב – איזו תרופה מתפרקת מהר יותר

בגרף רואים ששני הגרפים נפגשים אחרי 3 שעות, בגובה 20 מיליגרם.
בשלוש השעות האלה תרופה ב' ירדה מ־50 ל־20 (ירידה של 30 מיליגרם), ותרופה א' ירדה רק מ־25 ל־20 (ירידה של 5 מיליגרם).
הגרף של תרופה ב' יורד בתלילות רבה יותר.
✅ פתרון סופי: בתרופה ב'

סעיף ג – איזו תרופה ימליץ הרופא

נקרא בגרף את הכמות בשעה ה־6:
תרופה א': כ־16 מיליגרם – יותר מ־12.
תרופה ב': כ־8 מיליגרם – פחות מ־12.
בדיקה בחישוב: בכל 3 שעות הכמות מוכפלת באותו מספר.
תרופה א' (מ־25 ל־20 ב־3 שעות):
2025 = 0.8
20 · 0.8 = 16
תרופה ב' (מ־50 ל־20 ב־3 שעות):
2050 = 0.4
20 · 0.4 = 8
✅ פתרון סופי: הרופא ימליץ על תרופה א' (כ־16 מיליגרם בשעה ה־6)

סעיף ד – מתי הכמויות שוות

הכמויות שוות בנקודת המפגש של שני הגרפים: אחרי 3 שעות, בגובה 20 מיליגרם.
(1) שני המטופלים לקחו את התרופה בשעה 8:00, ולכן:
8:00 + 3 = 11:00
(2) בנקודת המפגש הכמות היא 20 מיליגרם.
✅ פתרון סופי: (1) בשעה 11:00; (2) 20 מיליגרם

סעיף ה – אחוז הירידה בכל שעה (תרופה א')

בתרופה א' הכמות ההתחלתית היא 25, ואחרי 3 שעות הכמות היא 20:
M0 = 25 , t = 3 , M3 = 20
20 = 25 · q3📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
q3 = 2025 = 0.8
נוציא שורש שלישי (במחשבון):
q = 3√0.8 ≈ 0.9283
זו דעיכה, ולכן:
0.9283 = 1 − p100
p100 = 1 − 0.9283 = 0.0717
p ≈ 7.17
✅ פתרון סופי: קטנה בכ־7.17% בכל שעה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אא' – 25; ב' – 50
סעיף בתרופה ב'
סעיף גתרופה א'
ד (1)11:00
ד (2)20 מ"ג
סעיף הכ־7.17%
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: גלגל מזל

📄 נוסח השאלה

נתון גלגל המחולק לשש גזרות שוות. על כל אחת מן הגזרות רשום אחד המספרים 7, 8 או 9. המספר 7 רשום על שלוש גזרות, המספר 8 רשום על שתי גזרות והמספר 9 רשום על גזרה אחת, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

גלגל עם שש גזרות משאלה 2

כאשר מסובבים את הגלגל פעם אחת הוא נעצר באקראי על אחד המספרים (הגלגל אינו נעצר על הקווים המפרידים בין הגזרות). מסובבים את הגלגל פעם אחת.

א. מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על המספר 9?

ב. מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על המספר 8?

ג. מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר אי־זוגי?

מסובבים את הגלגל פעמיים.

ד. מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר בשתי הפעמים על המספר 8?

ה. מהי ההסתברות שסכום שני המספרים שעליהם ייעצר הגלגל יהיה 16?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – המספר 9

9 רשום על גזרה אחת מתוך 6 גזרות שוות:
ההסתברות:📐 הסתברותהסתברות של מאורע =מספר התוצאות הרצויותמספר כל התוצאות
P = 16
✅ פתרון סופי: 16

סעיף ב – המספר 8

8 רשום על 2 גזרות מתוך 6:
ההסתברות:📐 הסתברותהסתברות של מאורע =מספר התוצאות הרצויותמספר כל התוצאות
P = 26 = 13
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ג – מספר אי־זוגי

המספרים האי־זוגיים הם 7 ו־9. מספר הגזרות שלהם:
3 + 1 = 4
ההסתברות:📐 הסתברותהסתברות של מאורע =מספר התוצאות הרצויותמספר כל התוצאות
P = 46 = 23
✅ פתרון סופי: 23

סעיף ד – 8 בשני הסיבובים

הסיבובים לא משפיעים זה על זה. נצייר עץ, והמסלול "8, 8" מסומן בירוק:
367367268169268367268169169367268169למעלה: סיבוב ראשון · למטה: סיבוב שני
ההסתברות של המסלול:📐 כלל הכפל בעץהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
P = 26 · 26 = 436 = 19
✅ פתרון סופי: 19

סעיף ה – סכום 16

סכום 16 מתקבל בשלושה מסלולים:
7 + 9 , 8 + 8 , 9 + 7
המסלולים מסומנים בעץ בירוק:
367367268169268367268169169367268169למעלה: סיבוב ראשון · למטה: סיבוב שני
מסלול "7 ואחר כך 9":📐 כלל הכפל בעץהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
36 · 16 = 336
מסלול "8, 8":
26 · 26 = 436
מסלול "9 ואחר כך 7":
16 · 36 = 336
נחבר:
P = 336 + 436 + 336 = 1036 = 518
✅ פתרון סופי: 518

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א16
סעיף ב13
סעיף ג23
סעיף ד19
סעיף ה518
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – בריכת השחייה: מלבן וחצי עיגול

📄 נוסח השאלה

נדב מתאמן לקראת תחרות שחייה לבני נוער. בריכת השחייה מורכבת משני חלקים צמודים: מלבן ABCD וחצי עיגול. אורכי צלעות המלבן הם 40 מטר ו־20 מטר. BC הוא קוטר העיגול ו־O הוא מרכזו, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

סרטוט בריכת השחייה: מלבן וחצי עיגול משאלה 3

א. מצאו את הרדיוס של חצי העיגול.

נדב שוחה במסלול האמצעי (EF) בקו ישר. המסלול האמצעי של הבריכה מתחיל בנקודה E (אמצע הקטע AD), עובר דרך הנקודה O ומסתיים בנקודה F (אמצע הקשת BC).

ב. מצאו את אורך המסלול האמצעי.

נדב רוצה לשחות 1,000 מטר סך הכול.

ג. כמה פעמים הוא יצטרך לשחות לכל אורך המסלול האמצעי?

ביום מסוים החליט נדב לשנות את מסלול השחייה. הוא יצא מן הנקודה D ושחה צמוד לשפת הבריכה במסלול המקיף פעם אחת את כל הבריכה וחזר לאותה הנקודה, D.

ד. מהו אורך המסלול החדש של נדב?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – רדיוס חצי העיגול

הקוטר של העיגול הוא הצלע BC של המלבן. לפי הסרטוט BC = AD = 20 מטר (הצלע הקצרה).
r = 202 = 10📐 רדיוס וקוטרd = 2r
✅ פתרון סופי: 10 מטרים

סעיף ב – אורך המסלול האמצעי

המסלול EF מורכב משני חלקים: EO – לאורך המלבן, שווה לצלע הארוכה (40 מטר), ו־OF – רדיוס חצי העיגול (10 מטר).
ABCDEOF40102040
EF = EO + OF
EF = 40 + 10 = 50
✅ פתרון סופי: 50 מטרים

סעיף ג – כמה פעמים לשחות

1,00050 = 20
✅ פתרון סופי: 20 פעמים

סעיף ד – המסלול סביב כל הבריכה

המסלול עובר לאורך DA, AB, הקשת BC ו־CD. הקטע BC נמצא בתוך הבריכה, ולכן לא שוחים לאורכו.
אורך הקשת הוא חצי מהיקף מעגל שהרדיוס שלו 10:
2 · π · 102 = 10π ≈ 31.42📐 היקף מעגלP = 2πr
20 + 40 + 10π + 40 = 100 + 10π
100 + 10π ≈ 131.42
✅ פתרון סופי: 100 + 10π ≈ 131.42 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א10 מ'
סעיף ב50 מ'
סעיף ג20 פעמים
סעיף ד≈ 131.42 מ'
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – המעמד: משולשים דומים ומשפט פיתגורס

📄 נוסח השאלה

תלמידי מגמת אומנות בבית ספר מסוים בונים מעמדים מקורות עץ. רועי בונה מעמד בצורת משולש שווה שוקיים (AB = AC) ובו קורה אנכית תומכת (AG) שאורכה 46 ס"מ, ושני מדפים אופקיים המקבילים זה לזה: DE ∥ BC.

אורכו של המדף הפנימי (DE) הוא 51.75 ס"מ, ואורכו של המדף התחתון (BC) הוא 69 ס"מ (ראו סרטוט). המשולש ADE גם הוא שווה שוקיים (AD = AE).

סרטוט המעמד: משולש שווה שוקיים עם שני מדפים משאלה 4

א. מהו האורך של קורת העץ AB?

ב. הוכיחו כי המשולשים ADF ו־ABG דומים.

ג. חשבו את יחס הדמיון בין המשולש ADF ובין המשולש ABG.

ד. חשבו את האורך של AF.

רועי זכה בתחרות ריצה וקיבל גביע שגובהו 12 ס"מ.

ה. האם אפשר להעמיד את הגביע על המדף התחתון? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – אורך הקורה AB

AG הוא קורה אנכית, כלומר גובה לבסיס BC. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן:
BG = 692 = 34.5
המשולש ABG ישר זווית (הזווית G ישרה), ו־AB הוא היתר:
AB2 = AG2 + BG2📐 משפט פיתגורסבמשולש ישר זווית:a2 + b2 = c2(c – היתר, מול הזווית הישרה)
AB2 = 462 + 34.52
AB2 = 2116 + 1190.25
AB2 = 3306.25
AB = √3306.25 = 57.5
✅ פתרון סופי: AB = 57.5 ס"מ

סעיף ב – הוכחת הדמיון

הקורה AG מאונכת לבסיס, והמדף DE מקביל לבסיס:
AG ⊥ BC , DE ∥ BC
ולכן הקורה מאונכת גם למדף:
AG ⊥ DE
לכן הזווית AFD ישרה, כמו הזווית AGB.
הזווית A (הזווית DAF = הזווית BAG) משותפת לשני המשולשים.
יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים.📐 משולשים דומיםמשפט דמיון ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: המשולשים ADF ו־ABG דומים לפי ז.ז

סעיף ג – יחס הדמיון

גם במשולש שווה השוקיים ADE, הגובה AF הוא תיכון, ולכן:
DF = 51.752 = 25.875
הצלע DF מתאימה לצלע BG:
k = DFBG = 25.87534.5📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
k = 0.75 = 34
✅ פתרון סופי: יחס הדמיון 34

סעיף ד – האורך של AF

AF מתאים ל־AG:
AF46 = 34📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
AF = 34 · 46
AF = 34.5
✅ פתרון סופי: AF = 34.5 ס"מ

סעיף ה – האם הגביע נכנס

הגובה שבין המדף התחתון למדף הפנימי הוא FG:
FG = AG − AF
FG = 46 − 34.5 = 11.5
11.5 < 12
הגביע (12 ס"מ) גבוה מהמרווח בין המדפים (11.5 ס"מ).
✅ פתרון סופי: אי אפשר – המרווח בין המדפים הוא 11.5 ס"מ בלבד

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א57.5 ס"מ
סעיף בדומים לפי ז.ז
סעיף ג34
סעיף ד34.5 ס"מ
סעיף האי אפשר (11.5 ס"מ)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 4 – משפט פיתגורס
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – קניות לגן: משוואות ואחוזים

📄 נוסח השאלה

גננת קונה בכל חודש בריסטולים ודפי מדבקות. המחיר של בריסטול אחד הוא 3 שקלים והמחיר של דף מדבקות אחד הוא 2 שקלים.

א. בחודש הראשון קנתה הגננת 20 בריסטולים וכמה דפי מדבקות. בעבור קנייה זו היא שילמה 120 שקלים סך הכול. כמה דפי מדבקות היא קנתה?

ב. בחודש השני קנתה הגננת מספר שווה של בריסטולים ושל דפי מדבקות. גם בעבור קנייה זו היא שילמה 120 שקלים סך הכול. כמה בריסטולים קנתה הגננת בחודש זה?

גם בחודש השלישי קנתה הגננת בריסטולים ודפי מדבקות ושילמה בעבורם 120 שקלים סך הכול. בחודש הרביעי עלה מחירו של בריסטול ב־20%. המחיר של דף מדבקות נשאר ללא שינוי.

בחודש הרביעי קנתה הגננת אותו מספר של בריסטולים ודפי מדבקות כמו שקנתה בחודש השלישי, ושילמה בעבור קנייה זו 138 שקלים סך הכול.

ג. כמה בריסטולים, וכמה דפי מדבקות קנתה הגננת בחודש השלישי? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – דפי המדבקות בחודש הראשון

20 בריסטולים עולים:
20 · 3 = 60
נשאר לדפי המדבקות:
120 − 60 = 60
כל דף עולה 2 שקלים:
602 = 30
✅ פתרון סופי: 30 דפי מדבקות

סעיף ב – הבריסטולים בחודש השני

נסמן ב־x את מספר הבריסטולים. גם מספר דפי המדבקות הוא x:
3x + 2x = 120
5x = 120
x = 1205 = 24
✅ פתרון סופי: 24 בריסטולים

סעיף ג – החודש השלישי

נסמן ב־x את מספר הבריסטולים וב־y את מספר דפי המדבקות.
בחודש השלישי:
3x + 2y = 120
בחודש הרביעי מחיר בריסטול עלה ב־20%:
3 · 1.2 = 3.6📐 הגדלה באחוזיםהגדלה ב־p אחוזים = כפל ב־100 + p100
3.6x + 2y = 138
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה (הביטוי 2y מתבטל):
3.6x − 3x = 138 − 120
0.6x = 18
x = 180.6 = 30
נציב במשוואה הראשונה:
3 · 30 + 2y = 120
90 + 2y = 120
2y = 30
y = 15
בדיקה בחודש הרביעי:
3.6 · 30 + 2 · 15
= 108 + 30 = 138 ✓
✅ פתרון סופי: 30 בריסטולים ו־15 דפי מדבקות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א30 דפים
סעיף ב24 בריסטולים
סעיף ג30 בריסטולים, 15 דפים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – המספרה: ממוצע וסטיית תקן

📄 נוסח השאלה

מספרת "ראש טוב" היא מספרה לגברים ולילדים. לפניכם המחירון של המספרה:

מחירון מספרת ראש טוב
תספורת לגבר50 שקלים
תספורת לילד40 שקלים
סידור זקן בלבד20 שקלים
תספורת לגבר וסידור זקן60 שקלים

בטבלה שלפניכם מפורט מספר הלקוחות במספרה ביום מסוים לפי סוג השירות שהם קיבלו:

סוג השירותמספר לקוחות
תספורת לגבר14
תספורת לילד23
סידור זקן בלבד10
תספורת לגבר וסידור זקן3

א. כמה לקוחות סך הכול קיבלו שירות במספרה ביום זה?

ב. מה היה התשלום הממוצע ללקוח ביום זה?

לאחר סיום יום העבודה, הגיע ילד נוסף למספרה וביקש להסתפר. הספר הסכים לספר אותו, והילד שילם עבור תספורת לילד.

ג. האם לאחר שהילד שילם, התשלום הממוצע ללקוח באותו יום גדל, קטן או לא השתנה? נמקו.

ד. האם לאחר שהילד שילם, סטיית התקן באותו יום גדלה, קטנה או לא השתנתה? הסבירו.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – מספר הלקוחות

14 + 23 + 10 + 3 = 50
✅ פתרון סופי: 50 לקוחות

סעיף ב – התשלום הממוצע

נצמיד לכל שירות את המחיר שלו ואת מספר הלקוחות ששילמו אותו:
תשלום (שקלים)מספר לקוחות
5014
4023
2010
603
סך הכול50
התשלום הממוצע:📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר כל הערכים
50 · 14 + 40 · 23 + 20 · 10 + 60 · 350
= 700 + 920 + 200 + 18050
= 2,00050
= 40
✅ פתרון סופי: 40 שקלים

סעיף ג – האם הממוצע השתנה

הילד שילם 40 שקלים – בדיוק הממוצע. כשמוסיפים ערך ששווה לממוצע, הממוצע לא משתנה. בחישוב:
הממוצע החדש:📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר כל הערכים
2,000 + 4051 = 2,04051 = 40
✅ פתרון סופי: התשלום הממוצע לא השתנה (נשאר 40 שקלים)

סעיף ד – האם סטיית התקן השתנתה

סטיית התקן מודדת עד כמה הערכים מפוזרים סביב הממוצע.
הערך החדש (40) שווה לממוצע, ולכן המרחק שלו מהממוצע הוא 0: סכום ריבועי המרחקים לא משתנה, אבל מספר הערכים גדל מ־50 ל־51.📐 סטיית תקןסטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע:סכום ריבועי המרחקים מהממוצעמספר הערכים ← שורש
מחלקים את אותו סכום במספר גדול יותר, ולכן התוצאה קטנה – הפיזור סביב הממוצע קטן.
✅ פתרון סופי: סטיית התקן קטנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א50
סעיף ב40 ₪
סעיף גלא השתנה
סעיף דקטנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 8 – סטיית תקן
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות