בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2025 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שני פרקים ובהם שש שאלות. פרק ראשון – תכנון ליניארי וגאומטרייה אנליטית (שאלות 1–2); פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית וגופים במרחב (שאלות 3–6). יש לענות על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק; לכל שאלה 27 נקודות, וסך הכול לא יותר מ־100 נקודות. אם עונים על יותר מארבע שאלות, נבדקות רק ארבע התשובות הראשונות במחברת. משך הבחינה: שעתיים וחצי. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד א'

שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – תכנון ליניארי: מארזי שוקולד וחטיפים

📄 נוסח השאלה

בחנות ממתקים מוכרים מארזי שי לחג. בכל מארז יש פריטים משני סוגים: חפיסות שוקולד וחטיפים. המשקל של חפיסת שוקולד אחת הוא 150 גרם והמשקל של חטיף אחד הוא 50 גרם. בכל מארז יש לכל היותר 20 פריטים, והמשקל של מארז אחד הוא לכל היותר 1,500 גרם.

נסמן ב־x את מספר חפיסות השוקולד במארז וב־y את מספר החטיפים במארז.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה.

התחום האפשרי משאלה 1

ב. מצאו את שיעורי הנקודות A , B ו־C שבסרטוט.

הרווח מחפיסת שוקולד אחת הוא 4 שקלים, והרווח מחטיף אחד הוא 3 שקלים.

ג. כתבו את פונקציית המטרה.

ד. (1) כמה חפיסות שוקולד וכמה חטיפים צריכים להיות במארז אחד כדי להשיג רווח מקסימלי?

(2) מהו הרווח המקסימלי ממארז אחד?

ה. האם ייתכן שיש במארז אחד 9 חפיסות שוקולד ו־4 חטיפים? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מערכת האילוצים

מספרי הפריטים לא שליליים:
x ≥ 0 , y ≥ 0
לכל היותר 20 פריטים:
x + y ≤ 20
משקל: 150 גרם לכל חפיסה ו־50 גרם לכל חטיף, לכל היותר 1,500 גרם:
150x + 50y ≤ 1,500
✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 ; x + y ≤ 20 ; 150x + 50y ≤ 1,500

סעיף ב – הנקודות A, B, C

A – על ציר ה־y, כלומר x = 0. נציב בשני הישרים:
x + y = 20
0 + y = 20
y = 20
150x + 50y = 1,500
50y = 1,500
y = 30
התחום חייב לקיים את שני האילוצים, ולכן הוא נגמר בנקודה הנמוכה מביניהן: A(0 , 20).
B – על ציר ה־x, כלומר y = 0:
x + 0 = 20
x = 20
150x = 1,500
x = 10
הנקודה הקרובה יותר: B(10 , 0).
C – נקודת החיתוך של שני הישרים. נבודד את y מהמשוואה הראשונה:
y = 20 − x
נציב במשוואה השנייה:
150x + 50(20 − x) = 1,500
150x + 1,000 − 50x = 1,500
100x = 500
x = 5
y = 20 − 5 = 15
✅ פתרון סופי: A(0 , 20) , B(10 , 0) , C(5 , 15)

סעיף ג – פונקציית המטרה

רווח של 4 שקלים לכל חפיסה ו־3 שקלים לכל חטיף:
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 4x + 3y

סעיף ד – הרווח המקסימלי

הרווח המקסימלי מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב כל קודקוד בפונקציית המטרה:
O(0 , 0): 4 · 0 + 3 · 0 = 0
A(0 , 20): 4 · 0 + 3 · 20 = 60
B(10 , 0): 4 · 10 + 3 · 0 = 40
C(5 , 15): 4 · 5 + 3 · 15 = 65
הערך הגדול ביותר – 65, בנקודה C.
✅ פתרון סופי: (1) 5 חפיסות שוקולד ו־15 חטיפים ; (2) 65 שקלים

סעיף ה – 9 חפיסות ו־4 חטיפים

נבדוק את האילוצים בנקודה (9 , 4):
9 + 4 = 13 ≤ 20
אילוץ מספר הפריטים מתקיים. משקל:
150 · 9 + 50 · 4 = 1,350 + 200 = 1,550
1,550 > 1,500
המשקל גדול מ־1,500 גרם – אילוץ המשקל לא מתקיים, והנקודה מחוץ לתחום האפשרי.
✅ פתרון סופי: לא – המשקל 1,550 גרם, יותר מ־1,500

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx + y ≤ 20 , 150x + 50y ≤ 1,500
סעיף בA(0 , 20) , B(10 , 0) , C(5 , 15)
סעיף גf = 4x + 3y
ד (1)5 חפיסות , 15 חטיפים
ד (2)65 שקלים
סעיף הלא
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90 מעלות). הקודקוד A נמצא על ציר ה־x. הנקודה E היא אמצע הצלע AB (ראו סרטוט).

סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2

נתון: A(−2 , 0) , E(4 , 9).

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ב. (1) מצאו את שיפוע הצלע AB.

(2) מצאו את משוואת הצלע AC.

הצלע BC מקבילה לציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

נתון: D(10 , 5).

ד. הראו כי המשולש ADB הוא שווה שוקיים.

ה. חשבו את היקף המרובע ADBC.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הקודקוד B

E אמצע AB. נסמן B(x , y):
4 = −2 + x2📐 אמצע קטעx = x1 + x22 , y = y1 + y22
8 = −2 + x
x = 10
9 = 0 + y2
y = 18
✅ פתרון סופי: B(10 , 18)

סעיף ב (1) – שיפוע AB

mAB = 18 − 010 − (−2)📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
mAB = 1812 = 1.5
✅ פתרון סופי: mAB = 1.5

סעיף ב (2) – משוואת AC

AC ⊥ AB (הזווית A ישרה):
mAC · 1.5 = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAC = −11.5 = −23
הישר עובר דרך A(−2 , 0):
y − 0 = −23(x + 2)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −23x − 43
✅ פתרון סופי: y = −23x − 43

סעיף ג – הקודקוד C

BC מקבילה לציר ה־x, ולכן לכל הנקודות עליה אותו y כמו ל־B: y = 18.
C נמצא גם על AC. נציב y = 18:
18 = −23x − 43
נכפול ב־3:
54 = −2x − 4
2x = −58
x = −29
✅ פתרון סופי: C(−29 , 18)

סעיף ד – המשולש ADB שווה שוקיים

נחשב את AD:
AD = √(10 − (−2))2 + (5 − 0)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AD = √144 + 25 = √169 = 13
ל־D ול־B אותו x = 10 (הקטע אנכי), ולכן:
DB = 18 − 5 = 13
AD = DB = 13
שתי צלעות שוות – המשולש ADB שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: AD = DB = 13 – שווה שוקיים

סעיף ה – היקף המרובע ADBC

ההיקף: AD + DB + BC + CA.
BC – קטע אופקי (y = 18):
BC = 10 − (−29) = 39
CA:
CA = √(−2 − (−29))2 + (0 − 18)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
CA = √272 + 182
CA = √729 + 324 = √1,053
CA ≈ 32.45
P = 13 + 13 + 39 + 32.45
P ≈ 97.45
✅ פתרון סופי: כ־97.45 (65 + 9√13)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אB(10 , 18)
ב (1)1.5
ב (2)y = −23x − 43
סעיף גC(−29 , 18)
סעיף דAD = DB = 13
סעיף הכ־97.45
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32- פתרון בגרות 2017 ב-משולש ישר זוית, שימוש בנקודת אמצע
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – התפלגות נורמלית: ציוני המבחן במתמטיקה

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערך מבחן במתמטיקה. הציונים במבחן מתפלגים נורמלית וסטיית התקן היא 8. נתון כי הציון של 93% מן התלמידים שנבחנו במתמטיקה נמוך מ־84.

א. (1) מצאו את ממוצע הציונים במבחן במתמטיקה.

(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את הציונים במבחן במתמטיקה.

התלמידים שהציון שלהם במבחן גבוה מ־80 התקבלו ללימודי העשרה במתמטיקה.

ב. מהו אחוז התלמידים שהתקבלו ללימודי העשרה?

נתון כי הציון של 32 תלמידים שנבחנו במתמטיקה גבוה מ־80.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה תלמידים נבחנו במתמטיקה?

עמית נבחן במתמטיקה. ציון התקן שלו במבחן הוא 1.75.

ד. מהו הציון של עמית במבחן במתמטיקה?

גרף ההתפלגות הנורמלית משאלה 3
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – הממוצע

בגרף, כל אזור ברוחב חצי סטיית תקן. נצבור את האחוזים משמאל:
0.5 + 1.5 + 5 + 9 + 15 + 19 = 50
50 + 19 + 15 + 9 = 93
לכן הציון 84 נמצא 3 אזורים מימין לממוצע, כלומר 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע (z = 1.5). נסמן ב־m את הממוצע:
z = x − mS📐 ציון תקןm – הממוצע, S – סטיית התקןz = x − mS
1.5 = 84 − m8
84 − m = 1.5 · 8 = 12
m = 84 − 12 = 72
✅ פתרון סופי: הממוצע 72

סעיף א (2) – הציונים בגרף

הממוצע 72 באמצע. כל קו הוא חצי סטיית תקן: 0.5 · 8 = 4. לכן מוסיפים 4 ימינה ומחסירים 4 שמאלה:
52 , 56 , 60 , 64 , 68 , 72
76 , 80 , 84 , 88 , 92
5256606468727680848892591519191595(האחוזים בכל אזור כמו בגרף שבשאלה)
✅ פתרון סופי: 52 עד 92 בקפיצות של 4 (72 באמצע)

סעיף ב – אחוז המתקבלים

80 הוא 2 אזורים מימין לממוצע (סטיית תקן אחת). נחבר את האחוזים שמימין ל־80:
5256606468727680848892591519191595(האחוזים בכל אזור כמו בגרף שבשאלה)
9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%
✅ פתרון סופי: 16%

סעיף ג – מספר הנבחנים

32 תלמידים הם 16% מכל הנבחנים. נסמן ב־N את מספר הנבחנים:
0.16 · N = 32
N = 320.16 = 200
✅ פתרון סופי: 200 תלמידים

סעיף ד – הציון של עמית

1.75 = x − 728📐 ציון תקןm – הממוצע, S – סטיית התקןz = x − mS
x − 72 = 1.75 · 8 = 14
x = 72 + 14 = 86
✅ פתרון סופי: 86

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)72
א (2)52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92
סעיף ב16%
סעיף ג200 תלמידים
סעיף ד86
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2-תרגול ממוצע וסטיית תקן בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול הכדור לסל

📄 נוסח השאלה

נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.5x2 + 2x + 2, כמתואר בסרטוט. ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה. ציר ה־y מייצג את גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים).

מסלול הכדור לסל משאלה 4

א. מצאו את הגובה שממנו זרקה נועה את הכדור.

ב. מצאו את הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור.

ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה הכדור במגמת עלייה.

כאשר הכדור הגיע לסל הוא היה בגובה 3.02 מטר.

ד. מצאו את שיעור ה־x של הכדור כאשר הוא הגיע לסל.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – גובה הזריקה

בנקודת הזריקה המרחק האופקי הוא 0. נציב x = 0:
y = −0.5 · 02 + 2 · 0 + 2 = 2
✅ פתרון סופי: 2 מטרים

סעיף ב – הגובה המקסימלי

הגובה המקסימלי – בקודקוד הפרבולה. כאן a = −0.5 , b = 2:
x = −22 · (−0.5)📐 קודקוד פרבולהלפרבולה y = ax² + bx + cx = −b2a
x = −2−1 = 2
נציב x = 2 בפרבולה:
y = −0.5 · 22 + 2 · 2 + 2
y = −2 + 4 + 2 = 4
(0 , 2)(2 , 4)(3.4 , 3.02)0.623.40
✅ פתרון סופי: 4 מטרים

סעיף ג – מגמת עלייה

a = −0.5 שלילי – הפרבולה "בוכה" (קודקוד מקסימום). לכן היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו.
הכדור יוצא מ־x = 0 ועולה עד הקודקוד ב־x = 2:
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2

סעיף ד – שיעור ה־x בסל

−0.5x2 + 2x + 2 = 3.02
−0.5x2 + 2x − 1.02 = 0
נכפול ב־−2:
x2 − 4x + 2.04 = 0
a = 1 , b = −4 , c = 2.04:
x1,2 = 4 ± √(−4)2 − 4 · 1 · 2.042 · 1📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
b2 − 4ac = 16 − 8.16 = 7.84
√7.84 = 2.8
x1 = 4 + 2.82 = 3.4
x2 = 4 − 2.82 = 0.6
בגובה 3.02 הכדור היה פעמיים: בעלייה (x = 0.6) ובירידה (x = 3.4). לפי הסרטוט הכדור נכנס לסל בירידה – אחרי הקודקוד (x > 2).
✅ פתרון סופי: x = 3.4 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א2 מטרים
סעיף ב4 מטרים
סעיף ג0 < x < 2
סעיף דx = 3.4
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס פרבולה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבנה מקוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

המבנה מקוביות משאלה 5

א. השלימו בתבנית (3 עמודות, 4 שורות) את תרשים המספרים של המבנה.

ב. השלימו בתבניות את המבט מימין ואת המבט משמאל של המבנה.

הורידו מן המבנה את מספר הקוביות הגדול ביותר האפשרי כך שהמבט מלמעלה לא השתנה.

ג. (1) כמה קוביות הורידו מן המבנה?

(2) כמה קוביות נשארו במבנה לאחר ההורדה?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תרשים המספרים

תרשים מספרים הוא המבט מלמעלה: בכל משבצת כותבים כמה קוביות עומדות זו על זו במקום הזה. משבצת ריקה – אין שם קובייה.
השורה התחתונה בתרשים היא הצד הקדמי (הצד שהחץ מצביע עליו). סופרים כל עמוד במבנה:
321
131
111
1
מספר הקוביות במבנה – סכום המספרים:
3 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1
+ 1 + 1 + 1 + 1 = 15
✅ פתרון סופי: התרשים שלמעלה (15 קוביות)

סעיף ב – מבט מימין ומבט משמאל

במבט מהצד רואים כל שורה של התרשים כעמודה אחת, והגובה שלה הוא המספר הגדול ביותר בשורה:
3 , 3 , 1 , 1
(שורה אחורית: 3 ; שנייה: 3 ; שלישית: 1 ; קדמית: 1.)
מבט מימין: כשעומדים מימין ומסתכלים על המבנה, הצד הקדמי בצד שמאל של התמונה:
מבט מימין
מבט משמאל: אותם גבהים, בסדר הפוך – הצד הקדמי מימין:
מבט משמאל
✅ פתרון סופי: מבט מימין: גבהים 1 , 1 , 3 , 3 ; מבט משמאל: 3 , 3 , 1 , 1

סעיף ג – כמה קוביות אפשר להוריד

המבט מלמעלה תלוי רק בשאלה באילו משבצות יש קובייה. כדי שלא ישתנה, צריך להשאיר קובייה אחת בכל משבצת שאינה ריקה, ואפשר להוריד את כל השאר.
משבצות לא ריקות בתרשים:
3 + 3 + 3 + 1 = 10
נשארות 10 קוביות (אחת בכל משבצת), ולכן הורידו:
15 − 10 = 5
✅ פתרון סופי: (1) 5 קוביות ; (2) 10 קוביות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א3 2 1 / 1 3 1 / 1 1 1 / 1 0 0
סעיף במימין 1 , 1 , 3 , 3 ; משמאל 3 , 3 , 1 , 1
ג (1)5
ג (2)10
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – גופים במרחב: המקרר והסירים

📄 נוסח השאלה

המקרר של נעמי הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. נתון כי גובה המקרר הוא 180 ס"מ ואורך צלע הבסיס הוא 75 ס"מ (ראו סרטוט).

המקרר והסירים משאלה 6

א. חשבו את נפח המקרר.

במקרר זה הגובה בין שני מדפים סמוכים המוצבים זה מעל זה הוא 15% מגובה המקרר.

ב. חשבו את הגובה שבין שני מדפים סמוכים במקרר.

סבא של נעמי רוצה להכין לה מרק, ולהביא לה אותו בסיר שאפשר להכניס בגובה שבין שני מדפים סמוכים במקרר. יש לו שני סירים בצורת גליל – סיר א' וסיר ב'.

רדיוס הבסיס של סיר א' הוא 10 ס"מ והנפח שלו 1,400π סמ"ק.

ג. חשבו את הגובה של סיר א'.

רדיוס הבסיס של סיר ב' הוא 12 ס"מ ושטח המעטפת שלו 672π סמ"ר.

ד. קבעו אם אפשר להכניס את סיר ב' בגובה שבין שני מדפים סמוכים במקרר. נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – נפח המקרר

הבסיס ריבוע: אורך ורוחב 75 ס"מ, והגובה 180 ס"מ:
V = 75 · 75 · 180📐 נפח תיבהV = אורך · רוחב · גובה
V = 5,625 · 180 = 1,012,500
✅ פתרון סופי: 1,012,500 סמ"ק

סעיף ב – הגובה בין שני מדפים

15100 · 180 = 27📐 אחוז מתוך שלםהחלקהשלם · 100
✅ פתרון סופי: 27 ס"מ

סעיף ג – הגובה של סיר א'

π · 102 · h = 1,400π📐 נפח גלילV = πr2h
100π · h = 1,400π
נחלק ב־100π:
h = 1,400100 = 14
✅ פתרון סופי: 14 ס"מ

סעיף ד – האם סיר ב' נכנס

2π · 12 · h = 672π📐 מעטפת גלילM = 2πrh
24π · h = 672π
נחלק ב־24π:
h = 67224 = 28
הגובה בין המדפים הוא 27 ס"מ (סעיף ב):
28 > 27
סיר ב' גבוה יותר מהרווח בין המדפים, ולכן אי אפשר להכניס אותו.
✅ פתרון סופי: לא – גובה הסיר 28 ס"מ, יותר מ־27 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א1,012,500 סמ"ק
סעיף ב27 ס"מ
סעיף ג14 ס"מ
סעיף דלא (28 > 27)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3- חישוב נפח ושטח פנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות