בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2024 מועד א'
פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). בבחינה זו היו הנחיות מיוחדות: עונים על 3 שאלות לבחירה (מכל פרק שרוצים), 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות. כאן פתורות כל 5 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
לשאלון זה גרסה אחת.
📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד א'
🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים
- שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: שני מעגלים, משיקים ופרבולה
- שאלה 2 – וקטורים: שני ישרים, מישור ופירמידה
- שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מעוין במישור גאוס ומצולע משוכלל
- פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר והפונקציה g = 1 : f
- שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, שטחים ואינטגרלים
שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: שני מעגלים, משיקים ופרבולה
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל I שמשוואתו (x − 3)2 + (y − 4)2 = 9, ומרכזו בנקודה K.
נתון מעגל II שמשוואתו (x + 5)2 + (y − 2)2 = 1, ומרכזו בנקודה L.
הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B נמצאת על מעגל II.
מעבירים משיק למעגל I דרך הנקודה A ומשיק למעגל II דרך הנקודה B. שני המשיקים נחתכים בנקודה M.
א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות MA = MB הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.
ב. (1) הראו כי הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף א והישר KL מאונכים זה לזה.
(2) האם קיימת נקודה M שמתקיים בעבורה ML = MK ? נמקו את תשובתכם.
נתון כי בעבור אחת מן הנקודות M, הנמצאת מעל הישר KL, שטח המשולש KLM הוא 9.
ג. מצאו את שיעורי הנקודה M.
הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה y2 = 2px , p הוא פרמטר.
ד. מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – המקום הגאומטרי של M
נסמן ב־M(x , y) נקודה כלשהי במקום הגאומטרי. מתוך משוואות המעגלים נקרא את המרכזים והרדיוסים:
K(3 , 4) , R1 = 3📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
L(−5 , 2) , R2 = 1
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן המשולש MAK ישר־זווית ב־A. לפי משפט פיתגורס:
MA2 = MK2 − 32 = MK2 − 9📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
באותו אופן במשולש MBL (ישר־זווית ב־B):
MB2 = ML2 − 12 = ML2 − 1📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
נכתוב את MK2 ואת ML2 לפי נוסחת המרחק:
MK2 = (x − 3)2 + (y − 4)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
ML2 = (x + 5)2 + (y − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
התנאי MA = MB שקול ל־MA2 = MB2 (שני האורכים חיוביים):
(x − 3)2 + (y − 4)2 − 9 =
= (x + 5)2 + (y − 2)2 − 1
נפתח סוגריים:
אגף שמאל:
x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 9
אגף ימין:
x2 + 10x + 25 + y2 − 4y + 4 − 1
האיברים x2 ו־y2 מצטמצמים משני האגפים:
−6x − 8y + 16 = 10x − 4y + 28
−16x − 4y − 12 = 0
נחלק ב־−4:
4x + y + 3 = 0
y = −4x − 3
קיבלנו משוואה ממעלה ראשונה ב־x וב־y, ולכן המקום הגאומטרי הוא קו ישר.
━ המעגלים (כחול) ━ הישר y = −4x − 3 (ירוק) ━ הישר KL (תכלת) ━ המשיקים MA , MB (סגול)
✅ פתרון סופי: y = −4x − 3 – קו ישר
סעיף ב (1) – הישר מאונך לישר KL
שיפוע הישר שמצאנו בסעיף א:
m1 = −4
שיפוע הישר KL לפי K(3 , 4) ו־L(−5 , 2):
mKL = 4 − 23 − (−5)📐 נוסחה: שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
mKL = 28 = 14
נבדוק את מכפלת השיפועים:
m1 · mKL = −4 · 14 = −1📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
מכפלת השיפועים היא −1, ולכן הישרים מאונכים זה לזה.
✅ פתרון סופי: מכפלת השיפועים −1 – הישרים מאונכים ✔
סעיף ב (2) – האם ייתכן ML = MK
הנקודה M מקיימת MA = MB, ולכן לפי סעיף א:
MK2 − 9 = ML2 − 1📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
MK2 = ML2 + 8
לכן לכל נקודה כזאת MK2 גדול מ־ML2 ב־8, כלומר תמיד MK > ML.
אם היה מתקיים ML = MK היינו מקבלים ML2 = ML2 + 8, כלומר 0 = 8 – סתירה.
דרך נוספת לראות זאת: הנקודות שמקיימות ML = MK נמצאות על האנך האמצעי לקטע KL. האנך האמצעי מאונך ל־KL ועובר דרך האמצע (−1 , 3), ולכן הוא מקביל לישר y = −4x − 3. הנקודה (−1 , 3) לא נמצאת על הישר הזה (−4 · (−1) − 3 = 1 ≠ 3), ולכן שני הישרים מקבילים ולא נפגשים.
✅ פתרון סופי: לא – לכל נקודה M כזאת MK2 = ML2 + 8, ולכן MK ≠ ML
סעיף ג – שיעורי הנקודה M
נחשב את אורך הצלע KL:
KL2 = (3 + 5)2 + (4 − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
KL2 = 64 + 4 = 68
KL = √68 = 2√17
לפי נוסחת השטח נמצא את הגובה מ־M לצלע KL (נסמן אותו h):
KL · h2 = 9📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
2√17 · h2 = 9
√17 · h = 9
h = 9√17
נמצא את משוואת הישר KL (שיפוע 14, דרך K(3 , 4)):
y − 4 = 14(x − 3)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
4y − 16 = x − 3
x − 4y + 13 = 0
הנקודה M נמצאת על הישר y = −4x − 3, ולכן נסמן M(t , −4t − 3). הגובה h הוא המרחק של M מהישר KL:
|t − 4(−4t − 3) + 13|√(12 + (−4)2) = 9√17📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√(A2 + B2)
|t + 16t + 12 + 13|√17 = 9√17
|17t + 25| = 9
שתי אפשרויות:
17t + 25 = 9
17t = −16
t = −1617
17t + 25 = −9
17t = −34
t = −2
נמצא את שתי הנקודות ונבדוק איזו מהן נמצאת מעל הישר KL. על הישר KL: y = x + 134.
עבור t = −2:
y = −4 · (−2) − 3 = 5
M(−2 , 5)
גובה הישר KL ב־x = −2:
y = −2 + 134 = 2.75
5 > 2.75
הנקודה (−2 , 5) נמצאת מעל הישר KL ✔
עבור t = −1617:
y = −4 · (−1617) − 3 = 1317 ≈ 0.76
גובה הישר KL באותו x:
y = −1617 + 134 ≈ 3.01
0.76 < 3.01
הנקודה הזאת נמצאת מתחת לישר KL, ולכן נפסלת.
✅ פתרון סופי: M(−2 , 5)
סעיף ד – המשיק לפרבולה בנקודה M
נציב את M(−2 , 5) במשוואת הפרבולה y2 = 2px:
52 = 2p · (−2)
25 = −4p
p = −254 = −6.25
משוואת הפרבולה:
y2 = −12.5x
נציב בנוסחת המשיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1) = (−2 , 5):
y · 5 = −254(x + (−2))📐 נוסחה: משיק לפרבולהy · y1 = p(x + x1)לפרבולה y2 = 2px בנקודה (x1 , y1)
5y = −254(x − 2)
נחלק ב־5:
y = −54(x − 2)
y = −54x + 52
בדיקה: −54 · (−2) + 52 = 2.5 + 2.5 = 5 ✔
━ הפרבולה (כחול) · ━ המשיק (ירוק)
✅ פתרון סופי: y = −1.25x + 2.5 (כלומר y = −54x + 52)
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | y = −4x − 3 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכחה (−4 · ¼ = −1) |
| סעיף ב (2) | לא |
| סעיף ג | M(−2 , 5) |
| סעיף ד | y = −1.25x + 2.5 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – וקטורים: שני ישרים, מישור ופירמידה
📄 נוסח השאלה
נתונים שני ישרים ℓ1 ו־ℓ2. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים:
ℓ1 : x = t(−1 , 3 , 0)
ℓ2 : x = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
k הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים ℓ1 ו־ℓ2.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A.
ב. נתון שהקוסינוס של הזווית בין הישרים ℓ1 ו־ℓ2 הוא 3√25. מצאו את הערך של k שבעבורו זה מתקיים.
הציבו k = 2 וענו על הסעיפים ג–ה.
המישור מכיל את הישרים ℓ1 ו־ℓ2 (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו פשוט "המישור").
ג. מצאו את משוואת המישור.
הנקודה B נמצאת על הישר ℓ2, והנקודה O היא ראשית הצירים. המשולש AOB הוא שווה שוקיים, AO = AB.
ד. הסבירו מדוע המשולש AOB נמצא במישור.
מן הנקודה A מעלים אנך למישור ומסמנים עליו את הנקודה S. נתון: נפח הפירמידה SAOB הוא 14√23.
ה. מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – נקודת החיתוך A
נשווה את שתי ההצגות (נקודה משותפת לשני הישרים):
t(−1 , 3 , 0) =📐 נוסחה: נקודת חיתוך של ישריםמשווים את הרכיבים: x = x , y = y , z = z
= (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
נכתוב משוואה לכל רכיב:
x: −t = 1
y: 3t = −3 + mk
z: 0 = m
מהמשוואה של z: m = 0. מהמשוואה של x: t = −1.
נבדוק במשוואה של y:
3 · (−1) = −3 + 0 · k
−3 = −3 ✔
המשוואה מתקיימת לכל k. נציב t = −1 בישר ℓ1:
A = −1 · (−1 , 3 , 0)
A = (1 , −3 , 0)
✅ פתרון סופי: A(1 , −3 , 0)
סעיף ב – הערך של k
וקטורי הכיוון של הישרים:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , k , 1)
נחשב את המכפלה הסקלרית ואת האורכים:
u · v = −1 · 0 + 3 · k + 0 · 1📐 נוסחה: מכפלה סקלרית(a , b , c) · (d , e , f) == ad + be + cf
u · v = 3k
|u| = √((−1)2 + 32 + 02) = √10📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|v| = √(02 + k2 + 12) = √(k2 + 1)📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
נציב בנוסחת הזווית בין ישרים:
|3k|√10 · √(k2 + 1) = 3√25📐 נוסחה: הזווית בין שני ישריםcos = |u · v||u| · |v|u , v – וקטורי הכיוון
שני האגפים חיוביים, ולכן נעלה בריבוע:
9k210(k2 + 1) = 9 · 225 = 1825
נכפיל בהצלבה:
25 · 9k2 = 18 · 10(k2 + 1)
225k2 = 180k2 + 180
45k2 = 180
k2 = 4
k = 2 או k = −2
בשני המקרים |3k| = 6 ו־k2 + 1 = 5, ולכן שני הערכים מתאימים.
✅ פתרון סופי: k = 2 או k = −2
סעיף ג – משוואת המישור
עם k = 2 וקטורי הכיוון במישור הם:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , 2 , 1)
נסמן את הנורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הכיוונים:
n · u = −a + 3b = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור
n · v = 2b + c = 0📐 נוסחה: וקטור נורמל למישורn · u = 0 , n · v = 0u , v – שני כיוונים במישור
מהמשוואה הראשונה a = 3b, ומהשנייה c = −2b. נבחר b = 1:
n = (3 , 1 , −2)
משוואת המישור:
3x + y − 2z + d = 0📐 נוסחה: משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – הנורמל
המישור מכיל את ℓ1, ולכן הוא עובר דרך ראשית הצירים (הנקודה של ℓ1 עבור t = 0):
3 · 0 + 0 − 2 · 0 + d = 0
d = 0
בדיקה עם A(1 , −3 , 0):
3 · 1 + (−3) − 2 · 0 = 0 ✔
✅ פתרון סופי: 3x + y − 2z = 0
סעיף ד – למה המשולש AOB נמצא במישור
הנקודה O היא ראשית הצירים, והיא נמצאת על הישר ℓ1 (עבור t = 0).
הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה B נמצאת על הישר ℓ2.
שני הישרים ℓ1 ו־ℓ2 מוכלים במישור, ולכן כל שלושת הקודקודים A, O ו־B נמצאים במישור.
משולש שכל קודקודיו נמצאים במישור – כולו נמצא במישור.
✅ פתרון סופי: כל קודקודי המשולש נמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2 שבמישור, ולכן המשולש AOB נמצא במישור
סעיף ה – שיעורי הנקודה S
הנקודה B על הישר ℓ2 (עם k = 2):
B(1 , −3 + 2m , m)
נחשב את AO (מ־A(1 , −3 , 0) לראשית):
AO = √(12 + (−3)2 + 02) = √10📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
נחשב את AB:
AB = B − A = (0 , 2m , m)
AB = m(0 , 2 , 1)
AB = |m| · √(0 + 4 + 1) = |m|√5📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
לפי הנתון AO = AB:
|m|√5 = √10
|m| = √2
יש שתי נקודות B אפשריות (m = √2 או m = −√2), ובשתיהן שטח המשולש יוצא זהה, כפי שנראה.
הזווית OAB היא הזווית בין הקטעים AO ו־AB, שנמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2. לכן הזווית OAB שווה לזווית בין הישרים או משלימה אותה ל־180 מעלות – ובשני המקרים לסינוס אותו ערך.
לפי סעיף ב הקוסינוס של הזווית בין הישרים הוא 3√25. נמצא את הסינוס:
sin2 = 1 − (3√25)2 = 1 − 1825 = 725📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin2x + cos2x = 1
sin(OAB) = √75
שטח המשולש AOB:
S = 12 · AO · AB · sin(OAB)📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S = 12 · √10 · √10 · √75
S = 12 · 10 · √75 = √7
הגובה של הפירמידה הוא AS (האנך למישור הבסיס). נציב בנוסחת הנפח:
13 · √7 · AS = 14√23📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
√7 · AS = 14√2
AS = 14√2√7 = 14 · √2√7
AS = 14 · √147 = 2√14
האנך למישור דרך A – וקטור הכיוון שלו הוא הנורמל n = (3 , 1 , −2):
S = (1 , −3 , 0) + s(3 , 1 , −2)📐 נוסחה: ישר מאונך למישורוקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור
S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)
אורך הקטע AS:
AS = |s| · √(9 + 1 + 4) = |s|√14📐 נוסחה: אורך וקטור|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
|s|√14 = 2√14
|s| = 2
s = 2 או s = −2
נציב:
עבור s = 2:
S = (1 + 6 , −3 + 2 , −4)
S = (7 , −1 , −4)
עבור s = −2:
S = (1 − 6 , −3 − 2 , 4)
S = (−5 , −5 , 4)
━ המשולש AOB (כחול) ━ האנך למישור (סגול) ━ מקצועות הפירמידה (ירוק)
הסרטוט בהטלה מרחבית לפי השיעורים האמיתיים (עם B שעבורו m = √2).
✅ פתרון סופי: S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | A(1 , −3 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | k = 2 או k = −2 |
| סעיף ג | 3x + y − 2z = 0 |
| סעיף ד | הסבר |
| סעיף ה | S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מעוין במישור גאוס ומצולע משוכלל
📄 נוסח השאלה
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס.
אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים.
המספר המרוכב z מייצג את הקודקוד A.
נתון: BD = 2AC.
א. הביעו באמצעות z את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו־D.
נסמן: z = r(cos t + i · sin t) (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה ב־t).
ב. ענו על התת־סעיפים (1) ו־(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות r ו־t אם יש צורך.
(1) כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים (1z , …) למספרים המייצגים את קודקודי המעוין.
(2) ארבעת המספרים שמצאתם בתת־סעיף ב(1) מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.
ג. נתונה המשוואה: w11 = w , w הוא מספר מרוכב השונה מ־0. מצאו את סכום 12 הפתרונות של המשוואה.
פתרונות המשוואה שבסעיף ג מייצגים קודקודים של מצולע ששטחו שווה לשטח המרובע שמצאתם בתת־סעיף ב(2).
ד. מצאו את הערך של r.
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – המספרים שמייצגים את B, C, D
אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ונפגשים בראשית, ולכן C סימטרית ל־A ביחס לראשית:
zC = −z📐 משפט: מספר נגדי−z = סיבוב של z ב־180 מעלות (סימטריה לראשית)
מ־BD = 2AC ומכך שהאלכסונים חוצים זה את זה:
OB = BD2 = 2AC2 = 2 · OA📐 משפט: תכונות המעויןהאלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה
האלכסונים מאונכים, ולכן OB מאונך ל־OA. הנקודה A ברביע הראשון ו־B ברביע השני, ולכן מקבלים את B מסיבוב של A ב־90 מעלות נגד כיוון השעון, ומכפילים את המרחק פי 2:
zB = 2 · i · z = 2iz📐 משפט: כפל ב־iכפל ב־i = סיבוב ב־90 מעלות נגד כיוון השעון
D סימטרית ל־B ביחס לראשית:
zD = −2iz📐 משפט: מספר נגדי−z = סיבוב של z ב־180 מעלות (סימטריה לראשית)
הסרטוט בקנה מידה, לדוגמה עם r = 1 וזווית של 30 מעלות.
✅ פתרון סופי: zB = 2iz
zC = −z
zD = −2iz
zC = −z
zD = −2iz
סעיף ב (1) – הצגה קוטבית של המספרים ההופכיים
נכתוב את כל הקודקודים בהצגה קוטבית. נשתמש ב־i = cis 90, −1 = cis 180, −i = cis 270:
zA = r cis t
zB = 2 cis 90 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr1 cis a · r2 cis b == r1r2 cis(a + b)
zB = 2r cis(t + 90)
zC = cis 180 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr1 cis a · r2 cis b == r1r2 cis(a + b)
zC = r cis(t + 180)
zD = 2 cis 270 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr1 cis a · r2 cis b == r1r2 cis(a + b)
zD = 2r cis(t + 270)
כעת נמצא את ההופכי של כל אחד:
1zA = 1r cis(−t)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)
1zB = 12r cis(−t − 90)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)
1zC = 1r cis(−t − 180)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)
1zD = 12r cis(−t − 270)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)
(אפשר לכתוב גם cis(180 − t) במקום cis(−t − 180), ו־cis(90 − t) במקום cis(−t − 270) – אלה אותן זוויות עד כדי 360 מעלות.)
✅ פתרון סופי: 1zA = 1r cis(−t)
1zB = 12r cis(−t − 90)
1zC = 1r cis(−t − 180)
1zD = 12r cis(−t − 270)
1zB = 12r cis(−t − 90)
1zC = 1r cis(−t − 180)
1zD = 12r cis(−t − 270)
סעיף ב (2) – שטח המרובע
הזוויות של ארבעת המספרים יורדות כל פעם ב־90 מעלות, ולכן הנקודות נמצאות על שני ישרים מאונכים שעוברים בראשית.
1zA ו־1zC: אותו מרחק 1r מהראשית וזוויות בהפרש 180 מעלות – סימטריות ביחס לראשית. המרחק ביניהן:
d1 = 1r + 1r = 2r
1zB ו־1zD: אותו מרחק 12r וזוויות בהפרש 180 מעלות. המרחק ביניהן:
d2 = 12r + 12r = 1r
למרובע אלכסונים שחוצים זה את זה (נפגשים בראשית, באמצע כל אחד) ומאונכים זה לזה – לכן הוא מעוין. השטח:
S = d1 · d22 = 2r · 1r2📐 נוסחה: שטח מעויןS = d1 · d22
S = 1r2
אותה דוגמה (r = 1, 30 מעלות): האלכסונים באורך 2 ו־1, מאונכים זה לזה.
✅ פתרון סופי: S = 1r2
סעיף ג – סכום 12 הפתרונות
ניקח ערך מוחלט לשני האגפים:
|w11| = |w|📐 נוסחה: ערך מוחלט|wn| = |w|n , |w| = |w|
|w|11 = |w|
נחלק ב־|w| (מותר, כי w ≠ 0):
|w|10 = 1
|w| = 1
נכפיל את שני אגפי המשוואה ב־w:
w12 = w · w📐 נוסחה: מכפלה בצמודw · w = |w|2
w12 = |w|2 = 1
הפתרונות הם 12 השורשים מסדר 12 של 1:
wk = cis 360k12 = cis(30k)📐 נוסחה: שורשים מסדר nwn = 1 ⟹ w = cis 360knk = 0 , 1 , … , n − 1
k = 0 , 1 , … , 11
כל 12 המספרים מקיימים את המשוואה המקורית: w11 = w12w = 1w = w (כי |w| = 1).
הפתרונות הם קודקודי מצולע משוכלל בן 12 צלעות שמרכזו בראשית. לכל פתרון cis(30k) יש פתרון נגדי cis(30k + 180) = −cis(30k) (כי 180 מעלות הן 6 צעדים של 30). לכן הפתרונות מתחלקים ל־6 זוגות של מספרים נגדיים, וסכום כל זוג הוא 0:
w0 + w1 + … + w11 = 0
12 הפתרונות על מעגל היחידה, בהפרש של 30 מעלות. מודגש אחד מ־12 המשולשים המרכזיים.
✅ פתרון סופי: 0
סעיף ד – הערך של r
לפי סעיף ג הפתרונות הם קודקודי מצולע משוכלל בן 12 צלעות החסום במעגל שרדיוסו 1. נחלק אותו ל־12 משולשים שווי שוקיים עם קודקוד בראשית, שוקיים באורך 1 וזווית ראש של
36012 = 30
שטח משולש אחד:
S1 = 12 · 1 · 1 · sin 30📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S1 = 12 · 12 = 14
שטח המצולע:
S = 12 · 14 = 3
לפי הנתון שטח המצולע שווה לשטח המרובע מסעיף ב (2):
1r2 = 3
r2 = 13
r הוא מרחק, ולכן חיובי:
r = 1√3 = √33 ≈ 0.577
✅ פתרון סופי: r = 1√3
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | zB = 2iz , zC = −z , zD = −2iz |
|---|---|
| סעיף ב (1) | 1r cis(−t) , 12r cis(−t − 90) 1r cis(−t − 180) , 12r cis(−t − 270) |
| סעיף ב (2) | 1r2 |
| סעיף ג | 0 |
| סעיף ד | r = 1√3 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – מציאת קודקודי מעוין (בגרות 2024)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר והפונקציה g = 1 : f
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ex − b(ex − 4)2 , b הוא פרמטר חיובי, b ≠ 4.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. הביעו באמצעות b אם יש צורך.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון שבה x = ln 12.
ב. מצאו את הערך של b, וקבעו את סוג הקיצון.
הציבו את הערך של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ו.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x).
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x) המאונכות לצירים.
ד. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x).
ה. מהו שיעור ה־y של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x)? נמקו את תשובתכם.
ו. קבעו אם הערך של ∫−2−1 (f(x) − g(x))dx קטן או גדול מ־112. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
המכנה חייב להיות שונה מ־0:
ex − 4 ≠ 0📐 נוסחה: תחום הגדרההמכנה שונה מ־0
ex ≠ 4
x ≠ ln 4📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־x = ln 4. נבדוק את המונה בנקודה זו:
eln 4 − b = 4 − b ≠ 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
(כי נתון b ≠ 4), ולכן:
x = ln 4
אסימפטוטה אופקית כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־e2x:
f(x) = e−x − b · e−2x(1 − 4e−x)2📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞ : f(x) → 0 − 0(1 − 0)2 = 0
y = 0
אסימפטוטה אופקית כאשר x → −∞: ex → 0:
x → −∞ : f(x) → 0 − b(0 − 4)2 = −b16📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −b16
✅ פתרון סופי: x = ln 4 , y = 0 (מימין) , y = −b16 (משמאל)
סעיף א (3) – נקודות החיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־x (y = 0): מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס:
ex − b = 0
ex = b
x = ln b📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
(b > 0, ולכן ln b מוגדר, ו־ln b ≠ ln 4 כי b ≠ 4.)
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = e0 − b(e0 − 4)2 = 1 − b(−3)2 = 1 − b9
✅ פתרון סופי: (ln b , 0) , (0 , 1 − b9)
סעיף ב – הערך של b וסוג הקיצון
נגזור לפי נגזרת של מנה. המונה u = ex − b, המכנה v = (ex − 4)2:
u′ = ex📐 נוסחה: נגזרת(ex)′ = ex
v′ = 2(ex − 4) · ex📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((ex − 4)2)′ = 2(ex − 4) · ex
f′(x) = u′v − uv′v2 = u′v − uv′(ex − 4)4📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נחשב את המונה:
u′v = ex(ex − 4)2
uv′ = (ex − b) · 2(ex − 4)ex
u′v − uv′ = ex(ex − 4)2 −
− 2ex(ex − b)(ex − 4)
נוציא גורם משותף ex(ex − 4) במונה ונצמצם:
f′(x) = ex[(ex − 4) − 2(ex − b)](ex − 4)3
f′(x) = ex(2b − 4 − ex)(ex − 4)3
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. נציב x = ln 12 (eln 12 = 12):
f′(ln 12) = 12(2b − 4 − 12)(12 − 4)3 = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0והנגזרת מחליפה סימן
2b − 16 = 0
b = 8
נציב b = 8 בנגזרת:
f′(x) = ex(12 − ex)(ex − 4)3
נבדוק את סימן הנגזרת משני צידי x = ln 12 (בתחום x > ln 4 המכנה חיובי):
x = ln 8 : f′ = 8(12 − 8)43 > 0
x = ln 16 : f′ = 16(12 − 16)123 < 0
הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום:
f(ln 12) = 12 − 8(12 − 4)2 = 464 = 116
✅ פתרון סופי: b = 8 , נקודת מקסימום (ln 12 , 116)
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
עם b = 8:
g(x) = 1f(x) = (ex − 4)2ex − 8
g(x) מוגדרת רק כאשר f(x) מוגדרת ושונה מ־0.
f(x) לא מוגדרת ב־x = ln 4 (סעיף א).
f(x) = 0 כאשר ex = 8:
x = ln 8📐 נוסחה: משוואה מעריכיתex = a ⟺ x = ln a (a > 0)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln 4 , x ≠ ln 8
סעיף ג (2) – אסימפטוטות של g
אנכית: המכנה של g מתאפס ב־x = ln 8, והמונה שם:
(8 − 4)2 = 16 ≠ 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס
x = ln 8
ב־x = ln 4 המונה מתאפס והמכנה 4 − 8 = −4, כלומר הביטוי שואף ל־0 – זו נקודה שחסרה בתחום ולא אסימפטוטה.
אופקית כאשר x → −∞ (ex → 0):
g(x) → (0 − 4)20 − 8 = 16−8 = −2📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = −2
כאשר x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
g(x) = ex − 8 + 16e−x1 − 8e−x📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקיתx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
המונה שואף ל־∞ והמכנה ל־1, ולכן g(x) → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית מימין.
✅ פתרון סופי: x = ln 8 , y = −2 (משמאל)
סעיף ד – סקיצה של f(x) ושל g(x)
הגרף של f(x) (עם b = 8):
• משמאל מתקרב לאסימפטוטה y = −816 = −12, חותך את ציר ה־y ב־(0 , −79) ויורד ל־−∞ ליד x = ln 4.
• בתחום x < ln 4 הנגזרת שלילית (המונה חיובי והמכנה (ex − 4)3 שלילי) – יורדת.
• מימין ל־x = ln 4 עולה מ־−∞, חותכת את ציר ה־x ב־(ln 8 , 0), מגיעה למקסימום (ln 12 , 116) ויורדת אל y = 0.
הגרף של g(x): בלי לגזור – קוראים אותו מתוך הגרף של f, קטע אחרי קטע:
g = 1f📐 משפט: הגרף של 1 חלקי ff עולה ⇐ 1f יורדת (ולהפך)
מקסימום של f ⇐ מינימום של 1f
כש־f = 0 ⇐ אסימפטוטה אנכית של 1f
כש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
אסימפטוטה y = c של f ⇐ אסימפטוטה y = 1c של 1f
מקסימום של f ⇐ מינימום של 1f
כש־f = 0 ⇐ אסימפטוטה אנכית של 1f
כש־f → ±∞ ⇐ 1f → 0
אסימפטוטה y = c של f ⇐ אסימפטוטה y = 1c של 1f
• x < ln 4: f יורדת מ־−12 אל −∞.
⇐ g עולה מ־−2 (אסימפטוטה) ומתקרבת ל־0 (בנקודה (ln 4 , 0) – עיגול ריק, היא לא בתחום).
• ln 4 < x < ln 8: f עולה מ־−∞ אל 0.
⇐ g יורדת מ־0 אל −∞ (ב־x = ln 8 יש f = 0, ולכן שם אסימפטוטה של g).
• ln 8 < x < ln 12: f עולה מ־0 עד המקסימום 116.
⇐ g יורדת מ־+∞ עד g(ln 12) = 11/16 = 16.
• מקסימום של f ב־(ln 12 , 116) ⇐ מינימום של g ב־(ln 12 , 16).
• x > ln 12: f יורדת מ־116 אל 0.
⇐ g עולה מ־16 אל ∞.
━ f(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ נקודות החיתוך (סגול)
מימין ל־ln 8 הגרף של g יוצא מגבולות הסרטוט. כאן הוא בקנה מידה אחר, עם המינימום שלו:
סעיף ה – שיעור ה־y של נקודות החיתוך
בנקודת חיתוך f(x) = g(x), כלומר:
f(x) = 1f(x)
f2(x) = 1
f(x) = 1 או f(x) = −1
הערך הגדול ביותר של f הוא המקסימום 116 (משמאל ל־ln 4 הפונקציה שלילית), ולכן f(x) = 1 לא מתקבל.
הערך f(x) = −1 מתקבל: משמאל ל־ln 4 הפונקציה יורדת מ־−12 ל־−∞, ובין ln 4 ל־ln 8 היא עולה מ־−∞ ל־0.
בנקודות החיתוך y = f(x) = −1 (וגם g(x) = 1−1 = −1).
✅ פתרון סופי: y = −1
סעיף ו – האם האינטגרל קטן או גדול מ־1½
הקטע −2 ≤ x ≤ −1 נמצא כולו בתחום x < ln 4.
בתחום הזה f יורדת מהאסימפטוטה y = −12, ולכן:
f(x) < −12
בתחום הזה g עולה מהאסימפטוטה y = −2, ולכן:
g(x) > −2
−g(x) < 2
נחבר את שני אי־השוויונות:
f(x) − g(x) < −12 + 2 = 112
אורך הקטע הוא −1 − (−2) = 1. לכן:
∫−2−1 (f(x) − g(x))dx < 112 · 1📐 משפט: חסם לאינטגרלאם h(x) < c בכל הקטע [a , b] אז∫ab h(x)dx < c(b − a)
(לבדיקה במחשבון: ערך האינטגרל בערך 1.28.)
✅ פתרון סופי: הערך קטן מ־112
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ ln 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = ln 4 y = 0 (מימין) y = −b16 (משמאל) |
| סעיף א (3) | (ln b , 0) , (0 , 1 − b9) |
| סעיף ב | b = 8 , מקסימום (ln 12 , 116) |
| סעיף ג (1) | x ≠ ln 4 , x ≠ ln 8 |
| סעיף ג (2) | x = ln 8 , y = −2 (משמאל) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | y = −1 |
| סעיף ו | קטן מ־1½ |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ואסימפטוטה והשלכה על 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, שטחים ואינטגרלים
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x((ln x)2 − 2 ln x + 2) , בתחום x > 0.
א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. מצאו את שיעורי נקודת הפיתול של הפונקציה f(x).
ג. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
נתונה הפונקציה g(x) = (ln x)2 − 4 , בתחום x > 0.
ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.
נתונה הפונקציה h(x) = f(x)x2 , בתחום x > 0.
דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x מעבירים אנכים לציר ה־x.
ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות g(x) ו־h(x) ועל ידי האנכים.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחומי עלייה וירידה
נגזור לפי נגזרת של מכפלה, עם u = x ו־v = (ln x)2 − 2 ln x + 2:
u′ = 1
v′ = 2 ln x · 1x − 2 · 1x📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
f′(x) = u′v + uv′📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
u′v = 1 · ((ln x)2 − 2 ln x + 2)
uv′ = x(2 ln x · 1x − 2x)
uv′ = 2 ln x − 2
f′(x) = (ln x)2 − 2 ln x + 2 +
+ 2 ln x − 2
f′(x) = (ln x)2
ריבוע אינו שלילי, ולכן f′(x) ≥ 0 לכל x > 0. הנגזרת מתאפסת רק כאשר:
ln x = 0
x = 1📐 נוסחה: משוואה לוגריתמיתln x = a ⟺ x = ea
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית בתחום, חוץ מ־x = 1 (שם היא 0 ולא מחליפה סימן).
לכן f עולה בכל התחום, ואין תחום ירידה.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: עולה בכל התחום x > 0 , אין תחומי ירידה
סעיף ב – נקודת הפיתול
נגזור שוב את f′(x) = (ln x)2:
f″(x) = 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
נשווה ל־0 (המכנה x > 0):
2 ln x = 0📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן
ln x = 0
x = 1
סימן f″: המכנה חיובי, ולכן הסימן כסימן ln x:
0 < x < 1 : f″ < 0
x > 1 : f″ > 0
הנגזרת השנייה מחליפה סימן ב־x = 1 – זו נקודת פיתול. נחשב את y:
f(1) = 1 · (02 − 2 · 0 + 2) = 2
(בנקודה זו גם f′(1) = 0, כלומר זו נקודת פיתול עם משיק אופקי.)
✅ פתרון סופי: (1 , 2)
סעיף ג – תחומי חיוביות ושליליות
נשלים לריבוע את הביטוי שבסוגריים (נסמן a = ln x):
(ln x)2 − 2 ln x + 2 =📐 נוסחה: השלמה לריבועa2 − 2a + 2 = (a − 1)2 + 1
= (ln x − 1)2 + 1
לכן:
f(x) = x · ((ln x − 1)2 + 1)
בתחום x > 0: הגורם x חיובי, והגורם (ln x − 1)2 + 1 ≥ 1 חיובי. מכפלה של שני חיוביים היא חיובית:
f(x) > 0 לכל x > 0
✅ פתרון סופי: חיובית בכל התחום x > 0 , אין תחומי שליליות
סעיף ד – סקיצות של f(x) ושל f′(x)
(1) הגרף של f(x): הפונקציה חיובית ועולה בכל התחום (סעיפים א, ג), עם נקודת פיתול (1 , 2) שבה המשיק אופקי: משמאל לה הגרף קעור כלפי מטה, ומימין לה קעור כלפי מעלה.
כאשר x מתקרב ל־0 מימין, ערכי הפונקציה מתקרבים ל־0 (למשל f(0.001) ≈ 0.06), ולכן הגרף יוצא מהראשית (עיגול ריק – x = 0 לא בתחום).
━ f(x) (כחול)
(2) הגרף של f′(x) = (ln x)2: אי־שלילי, מתאפס רק ב־x = 1 (נקודת מינימום שנוגעת בציר ה־x).
הנגזרת שלה f″(x) שלילית ב־0 < x < 1 וחיובית ב־x > 1: f′ יורדת ואחר כך עולה. כאשר x → 0 מימין, f′(x) → ∞. נקודות עזר: f′(e) = 1 , f′(e2) = 4.
━ f′(x) = (ln x)2 (ירוק)
סעיף ה – השטח בין g(x) לציר ה־x
נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה־x:
(ln x)2 − 4 = 0
(ln x)2 = 4
ln x = 2 או ln x = −2
x = e2 או x = e−2📐 נוסחה: משוואה לוגריתמיתln x = a ⟺ x = ea
בין שתי הנקודות −2 < ln x < 2, ולכן (ln x)2 < 4 ו־g(x) < 0 – השטח מתחת לציר ה־x:
S = −∫e−2e2 ((ln x)2 − 4)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ab g(x)dx(כאשר g(x) ≤ 0 בקטע)
לפי סעיף א f′(x) = (ln x)2, כלומר f(x) היא פונקציה קדומה של (ln x)2:
∫ (ln x)2dx = f(x) + c📐 משפט: אינטגרל של נגזרת∫ f′(x)dx = f(x) + c
∫ (ln x)2dx =
= x((ln x)2 − 2 ln x + 2) + c
לכן פונקציה קדומה של g:
G(x) = f(x) − 4x
G(x) = x((ln x)2 − 2 ln x + 2) −
− 4x
נציב את הגבולות (ln e2 = 2 , ln e−2 = −2):
G(e2) = e2(4 − 4 + 2) − 4e2📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
G(e2) = 2e2 − 4e2 = −2e2
G(e−2) = e−2(4 + 4 + 2) − 4e−2
G(e−2) = 10e−2 − 4e−2 = 6e−2
∫e−2e2 g(x)dx = −2e2 − 6e−2📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
S = −(−2e2 − 6e−2) = 2e2 + 6e2
S ≈ 14.78 + 0.81 ≈ 15.59
━ g(x) (ירוק) ━ השטח המבוקש (תכלת)
✅ פתרון סופי: S = 2e2 + 6e2 ≈ 15.59
סעיף ו – השטח בין h(x) ל־g(x)
האנכים הם x = e−2 ו־x = e2 (סעיף ה). נבדוק איזה גרף למעלה:
h(x) = f(x)x2 = (ln x)2 − 2 ln x + 2x
לפי סעיף ג f(x) > 0, ולכן h(x) > 0. בקטע שבין האנכים g(x) ≤ 0 (סעיף ה). לכן h מעל g:
S = ∫e−2e2 (h(x) − g(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (h(x) − g(x))dx(h מעל g בקטע)
S = ∫e−2e2 h(x)dx − ∫e−2e2 g(x)dx
את האינטגרל של g חישבנו בסעיף ה: −2e2 − 6e−2.
נפרק את h לשלושה מחוברים:
h(x) = (ln x)2 · 1x −
− 2 ln x · 1x + 2 · 1x
∫ (ln x)2 · 1xdx = (ln x)33📐 נוסחה: אינטגרל של חזקת ln כפול 1/x∫ (ln x)n · 1xdx = (ln x)n+1n + 1 + c
∫ 2 ln x · 1xdx = 2 · (ln x)22📐 נוסחה: אינטגרל של חזקת ln כפול 1/x∫ (ln x)n · 1xdx = (ln x)n+1n + 1 + c
∫ 2 ln x · 1xdx = (ln x)2
∫ 2 · 1xdx = 2 ln x📐 נוסחה: אינטגרל∫ 1xdx = ln x + c
פונקציה קדומה של h:
H(x) = (ln x)33 − (ln x)2 + 2 ln x
H(e2) = 83 − 4 + 4 = 83📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
H(e−2) = −83 − 4 − 4 = −83 − 8
∫e−2e2 h(x)dx = 83 + 83 + 8 = 403📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
השטח:
S = 403 − (−2e2 − 6e−2)
S = 403 + 2e2 + 6e2
S ≈ 13.33 + 15.59 ≈ 28.92
━ h(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ האנכים (סגול) ━ השטח (תכלת)
ליד x = e−2 הגרף של h מגיע לגובה h(e−2) = 10e2 ≈ 74 – מעל גבול הסרטוט.
✅ פתרון סופי: S = 403 + 2e2 + 6e2 ≈ 28.92
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | עולה ב־x > 0 , אין ירידה |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 2) |
| סעיף ג | חיובית ב־x > 0 , אין שליליות |
| סעיף ד | סקיצות |
| סעיף ה | 2e2 + 6e2 ≈ 15.59 |
| סעיף ו | 403 + 2e2 + 6e2 ≈ 28.92 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יחידות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il