📋 סיכום ונוסחאותהסתברות
5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. הסתברות של מאורע בודד
📐 הנוסחה
P = רצויסך האפשרויות
0 ≤ P ≤ 1 · המשלים: 1 − P
| "גם", "ו" | כפל |
| "או" | חיבור |
| "לפחות" | מינימום: זה או יותר |
| "לכל היותר" | מקסימום: זה או פחות |
דוגמה (שיעור 5): בדומינו 28 אבנים. סופרים את האבנים המתאימות (רצוי), מחלקים ב־28 ומצמצמים.
🔹 כדאי לרשום את כל האפשרויות (או לצייר אותן) ולסמן את המתאימות, ורק אז לחלק.
2. הסתברות של שני מאורעות
📐 בלתי תלויים (עם החזרה)
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
כמות = הסתברות · סך הכל
| עם החזרה | ההסתברות בפעם השנייה לא משתנה |
| בלי החזרה | הסך הכל (וגם הצבע שהוצא) קטן ב־1 |
| "תחילה… ואחריו" | סדר אחד |
| "אחד… ואחד" | שני סדרים, ומחברים |
| "בדיוק שניים" | רושמים את כל האפשרויות ומחברים |
| "לפחות אחד" | המשלים: 1 − (אף אחד) |
דוגמה (שיעור 13): 8 צהובים, 7 שחורים, 5 ירוקים, עם החזרה
תחילה צהוב ואחריו שחור: 820·720 = 0.14
צהוב אחד ושחור אחד: 2·0.14 = 0.28
תחילה צהוב ואחריו שחור: 820·720 = 0.14
צהוב אחד ושחור אחד: 2·0.14 = 0.28
דוגמה (שיעור 11): התרופה מרפאת 90%, שני חולים. לפחות אחד מבריא:
1 − 0.1·0.1 = 0.99
1 − 0.1·0.1 = 0.99
3. טבלה דו ממדית, תלויים ובלתי תלויים
| A | A̅ | סה"כ | |
|---|---|---|---|
| B | 0.3 | 0.2 | 0.5 |
| B̅ | 0.3 | 0.2 | 0.5 |
| סה"כ | 0.6 | 0.4 | 1 |
- כל שורה וכל עמודה מסתכמות. A̅ הוא תמיד המשלים של A.
- אחוז מתוך מספר ← מחלקים ב־100 וכופלים.
- "מבין הנשים" ← הסה"כ של הנשים במכנה.
- בבגרות כותבים מתחת לטבלה איך מילאנו.
📐 תלויים או בלתי תלויים
P(A)·P(B) = P(A ∩ B) ← בלתי תלויים
שונה ← תלויים
בטבלה למעלה: P(A)·P(B) = 0.6·0.5 = 0.3 = P(A ∩ B) ← בלתי תלויים.
4. הסתברות עם נעלמים
- מסמנים את הכמות שלא ידועה ב־x. השאר: סך הכל פחות x.
- כותבים את ההסתברות המבוקשת בעזרת x ("גם" ← כפל).
- משווים לנתון ופותרים.
- בודקים שהתשובה מספר שלם וחיובי.
דוגמה: בשקית 10 מטפחות, x צהובות. מוציאים שתיים בלי החזרה, וההסתברות ששתיהן צהובות 13:
x10·x − 19 = 13 ← x2 − x − 30 = 0 ← x = 6 (פוסלים −5)
x10·x − 19 = 13 ← x2 − x − 30 = 0 ← x = 6 (פוסלים −5)
5. הסתברות מותנת ודיאגרמת עץ
📐 הסתברות מותנת ("ידוע")
P = רצויידוע
מה שידוע ← מכנה · מה שרוצים מתוכו ← מונה
📐 עץ
לאורך מסלול ← כפל · בין מסלולים ("או") ← חיבור
דוגמה: בוחרים קופסה (חצי חצי). בקופסה א 0.3 אדום, בקופסה ב 0.6 אדום.
אדום: 0.5·0.3 + 0.5·0.6 = 0.15 + 0.3 = 0.45
ידוע שיצא אדום, מה ההסתברות שזו קופסה ב? 0.30.45 = 23
אדום: 0.5·0.3 + 0.5·0.6 = 0.15 + 0.3 = 0.45
ידוע שיצא אדום, מה ההסתברות שזו קופסה ב? 0.30.45 = 23
🔹 בלי החזרה: בענף השני הסך הכל קטן ב־1.
🔹 בהסתברות מותנת, המונה הוא חלק מהמסלולים שבמכנה.
🔹 בהסתברות מותנת, המונה הוא חלק מהמסלולים שבמכנה.
6. נוסחת ברנולי
📐 ברנולי
Pn(k) = (nk)·pk·(1 − p)n−k
n ניסיונות · k הצלחות · p הסיכוי להצלחה
🔹 אחוזים מחלקים ב־100 לפני שמציבים.
🔹 את מספר הסדרים מחשבים במחשבון: n, מקש הצירופים, k.
🔹 את מספר הסדרים מחשבים במחשבון: n, מקש הצירופים, k.
✔️ סדר פתרון שאלת הסתברות (בגרות)
- מרכזים נתונים: טבלה (שני נושאים מצטלבים) או עץ (שלבים זה אחרי זה).
- מתרגמים מילים: "גם" ← כפל · "או" ← חיבור · "ידוע" ← מותנת · "לפחות אחד" ← משלים.
- אותו ניסוי חוזר n פעמים ושואלים על k הצלחות ← ברנולי.
- כמות לא ידועה ← x ומשוואה.
- תלויים או בלתי תלויים? מחשבים בנפרד שני מספרים ומשווים ביניהם:📐 מאורעות בלתי תלויים אם ורק אםP(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- מחשבים את P(A ∩ B) (מהטבלה או מהעץ).
- מחשבים את המכפלה P(A)·P(B).
- משווים בין שני המספרים.
- מסקנה: שווים ← בלתי תלויים · שונים ← תלויים.
דוגמה 1 (הטבלה בסעיף 3):
P(A ∩ B) = 0.3
P(A)·P(B) = 0.6·0.5 = 0.3
0.3 = 0.3 ← שווים ← המאורעות A ו־B בלתי תלוייםדוגמה 2: P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.4
P(A ∩ B) = 0.4
P(A)·P(B) = 0.6·0.6 = 0.36
0.4 ≠ 0.36 ← שונים ← המאורעות A ו־B תלויים - בודקים שהתשובה בין 0 ל־1.
מתמטריק · eldadh.co.il