📋 סיכום ונוסחאותהסתברות

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: הסתברות – 471

1. הסתברות של מאורע בודד

📐 הנוסחה

P = רצויסך אפשרויות

ההסתברות היא תמיד מספר בין 0 ל־1: 0 לא יכול לקרות, 1 בטוח יקרה

📐 "וגם" ו"או"

ו / גם ← כפל · או ← חיבור

לכל היותר = מקסימום · לפחות = מינימום

📐 המשלים ("לא")

ההסתברות שלא יקרה = 1 − ההסתברות שיקרה או: סך הכל פחות הרצוי

סופרים את הרצוי (המונה).
סופרים את סך האפשרויות (המכנה).
"וגם" ← כפל, "או" ← חיבור, ובסוף מצמצמים.

הגרלה: 500 כרטיסים, 40 פרסים. זכייה בפרס: 40500 = 225 · לא לזכות: 460500 = 2325

שתי קוביות, סכום 7: 1,6 או 6,1 או 2,5 או 5,2 או 3,4 או 4,3
כל אחת "וגם": 16 · 16 = 136 ← יש 6 כאלה: 636 = 16

🔹 מרחב המדגם = כל האפשרויות: שתי קוביות ← 36 · שני מטבעות ← 4 · סביבון פעמיים ← 16 · דומינו ← 28 אבנים.
🔹 "בדיוק קובייה אחת תראה 6": מסמנים במרחב המדגם בלי 6,6 ← 1036 = 518
🔹 "לכל היותר קובייה אחת 6": הדבר היחיד שלא רוצים הוא 6,6 ← 3536

מרחב המדגם של שתי קוביות: 36 אפשרויות. סכום גדול מ־9 (ירוק חזק): 6 אפשרויות ← 636 = 16

2. הסתברות של 2 מאורעות

📐 הכלל ("וגם")

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

עם החזרה ← ההסתברות בפעם השנייה זהה לפעם הראשונה

📐 סך הכל וכמות

סך כל ההסתברויות = 1 (כמו 100%)

כמות = הסתברות · סך הכל

מאחוזים להסתברות: 90% = 0.9

📐 לפחות / לכל היותר / בדיוק

לפחות אחד = 1 − אף אחד

לכל היותר אחד = 1 − כולם

בדיוק אחד ← כל המסלולים שבהם רק אחד קורה, ומחברים

2019 ב: שחור 0.25, אדום 0.3
ירוק: 1 − 0.25 − 0.3 = 0.45 · אדום פעמיים (עם החזרה): 0.3 · 0.3 = 0.09
60 כדורים: שחור 0.25 · 60 = 15, אדום 0.3 · 60 = 18, ירוק 0.45 · 60 = 27

מתמטיקה 0.75, אנגלית 0.65:
בשניהם: 0.75 · 0.65 = 0.4875
רק באחד: 0.75 · 0.35 + 0.25 · 0.65 = 0.425
לפחות באחד: 1 − 0.25 · 0.35 = 0.9125

תרופה מרפאה 90%, שני חולים: שניהם: 0.9 · 0.9 = 0.81
לפחות אחד: 1 − 0.1 · 0.1 = 0.99 · לכל היותר אחד: 1 − 0.81 = 0.19

שני חולים, תרופה 90%: מחלים 0.9, לא מחלים 0.1. שלב ראשון (כחול), שלב שני (תכלת). לאורך כל מסלול כופלים. המסלול "לא ← לא" (סגול) הוא 0.01, ולכן לפחות אחד יחלים: 1 − 0.01 = 0.99

🔹 "ירוק ואחריו שחור" ← מסלול אחד. "אחד ירוק ואחד שחור" ← שני סדרים (ירוק־שחור או שחור־ירוק), ומחברים.
🔹 המשלים כמעט תמיד הדרך הקצרה ל"לפחות" ו"לכל היותר".

3. טבלה דו ממדית

מתי? כשיש נתונים מצטלבים של שני נושאים (נשים/גברים ויש רישיון/אין רישיון). לכל נושא מאורע והמשלים שלו: A ו־A̅, B ו־B̅.

	A	A̅	סה״כ
B	P(A∩B)	P(A̅∩B)	P(B)
B̅	P(A∩B̅)	P(A̅∩B̅)	P(B̅)
סה״כ	P(A)	P(A̅)	1

📐 חוקי הטבלה

עמודה + עמודה = סה״כ · שורה + שורה = סה״כ

המשבצת הפינתית = 1 (100%) · משלים: 1 − ▢

חיתוך ∩ = מפגש של עמודה ושורה (גם… וגם…)

מסמנים מאורעות: עמודות A, A̅ · שורות B, B̅.
הסה״כ הוא 1.
כל נתון למשבצת שלו ("נשים שאין להן רישיון" ← המפגש של A ו־B̅).
משלימים ובודקים שכל שורה ועמודה מסתכמות. בבגרות כותבים מתחת לטבלה איך מילאנו.

חורף 2020: 80% יצאו לטיול, 0.75 מן הבנים ו־56 מן הבנות. הבנים: x
0.75x + 56(1 − x) = 0.8 ← x = 0.4

	יצאו A	לא יצאו A̅	סה״כ
בנים B	0.3	0.1	x = 0.4
בנות B̅	0.5	0.1	1 − x = 0.6
סה״כ	0.8	0.2	1

🔹 "0.75 מן הבנים" ← כפל בסה״כ הבנים: P(A∩B) = 0.75 · x
🔹 שואלים "כמה סטודנטים": כמות = הסתברות · סך הכל.

4. הסתברות עם נעלמים

📐 מסמנים נעלם

צהובות x · אדומות 10 − x

הסתברות לצהובה: x10

את מה שלא ידוע מסמנים ב־x, את השאר: סך הכל פחות x.
הסתברות לכל שלב: כמות רצויה חלקי סך הכל.
"גם… וגם…" ← כפל, ומשווים להסתברות הנתונה.
פותרים: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה, צמצום, כפל בהצלבה.

מטפחות: בשקית א׳ 7 צהובות ו־5 אדומות; בשקית ב׳ 10, מהן x צהובות. שתיהן צהובות: 740
712 · x10 = 740 ← 7x120 = 740
40x = 120 ← x = 3 צהובות בשקית ב׳

🔹 נעלם יכול להיות גם בטבלה (סה״כ של שורה, כמו x הבנים בפרק 3) או בעץ: על ענף אחד P ועל השני 1 − P.

5. הסתברות מותנת ("ידוע")

📐 הנוסחה

P = רצויסה״כ האפשרויות

מכנה: מה שידוע · מונה: מה שרוצים מתוכו

מזהים את המילה ידוע ← הסתברות מותנת.
מכנה: כל האפשרויות של מה שידוע (עם "או" ← חיבור).
מונה: מתוך המכנה, רק מה ששואלים עליו. מחלקים.

כד: 8 צהובים, 7 שחורים, 5 ירוקים, שתי הוצאות עם החזרה.
אותו צבע: 0.4² + 0.35² + 0.25² = 0.345
שניהם צהובים, ידוע שבאותו צבע: 0.160.345 = 3269

מטבלה: בת, ידוע שיצא לטיול: P(A∩B̅)P(A) = 0.50.8 = 58

🔹 המונה הוא תמיד חלק מהמכנה: חלק מהמכנה "עולה" למונה.
🔹 בטבלה: המכנה הוא תא סה״כ (של השורה או העמודה של מה שידוע), המונה הוא תא חיתוך.

6. הסתברות עם דיאגרמת עץ

📐 הכלל

לאורך מסלול ← כפל · בין מסלולים ("או") ← חיבור

מכל צומת, סכום הענפים = 1

📐 בלי החזרה

בקומה הבאה הסה״כ קטן ב־1, ומהסוג שנבחר – אחד פחות

כל שלב בשאלה הוא קומה בעץ.
על כל ענף: מה שרוצים חלקי סך הכל.
מסמנים (בצבע) את המסלולים שמתאימים לשאלה.
בכל מסלול כופלים, ואז מחברים את המסלולים.

3 גברים ו־6 נשים, בוחרים שניים בלי החזרה. שלב ראשון (כחול), שלב שני (תכלת). מתחת לכל עלה המכפלה לאורך המסלול. "גבר ואישה" (ירוק חזק): 624 + 624 = 12

עם נעלם: x גברים ו־2x נשים, גבר ואישה = 12
13 · 2x3x − 1 + 23 · x3x − 1 = 12
4x9x − 3 = 12 ← 8x = 9x − 3 ← x = 3

מותנת מהעץ: הראשונה אישה, ידוע שהשנייה אישה:
מכנה: 1024 + 624 = 1624 · מונה: 1024 ← 1016 = 58

7. מאורעות תלויים ובלתי תלויים

📐 הבדיקה

P(A) · P(B) = P(A∩B) ← בלתי תלויים (בת״ל)

P(A) · P(B) ≠ P(A∩B) ← תלויים

אם הטבלה במספרים, מחלקים כל תא בסך הכל.
P(A) ו־P(B) מתאי הסה״כ, P(A∩B) מהתא שבו הם נפגשים.
רושמים את הנוסחה, מציבים ומחשבים.
שווה ← בלתי תלויים. שונה ← תלויים.

P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A∩B) = 0.3
0.6 · 0.5 = 0.3 ← שווה ← בלתי תלויים

P(A) = 0.6, P(B) = 0.6, P(A∩B) = 0.4
0.6 · 0.6 = 0.36 ≠ 0.4 ← תלויים

🔹 הנוסחה כללית: אפשר לבדוק כל זוג, גם A̅ ו־B̅. בבגרות זה מגיע בדרך כלל עם טבלה דו ממדית.

✔️ סדר פתרון שאלת הסתברות מבגרות

אחוזים ← הסתברות (80% = 0.8), ומשלים לכל נתון.
בוחרים כלי: נתונים מצטלבים ← טבלה דו ממדית · שלבים אחד אחרי השני ← דיאגרמת עץ.
עם החזרה או בלי החזרה? (בלי ← הסה״כ קטן ב־1)
מילות מפתח: גם ← כפל · או ← חיבור · לפחות / לכל היותר ← משלים · ידוע ← מותנת · "כמה" ← נעלם x או כמות = הסתברות · סך הכל.
בודקים: מכל צומת סכום הענפים 1, כל שורה ועמודה מסתכמות.
כותבים תשובה בכל סעיף (שבר או מספר עשרוני).

🔹 בפרק 4 של הקורס פותרים בגרויות: חורף 2015, 2019 א, חורף 2021, חורף 2021 מאוחר, 2021 מועד ב, 2021 נבצרים, 2021 קיץ א, חורף 2022, 2022 מועד א.

מתמטריק · eldadh.co.il