מה הפתרון של שאלה 1 (וקטורים בפירמידה ישרה SABC) בבגרות 472 חורף 2022 (ינואר)?

סעיף א: u·v = v·w = u·w = 9√3/2 ≈ 7.79; סעיף ב: AB = v − u , AC = w − u, האורכים |AB| = |AC| = √(18 − 9√3) ≈ 1.55, הזווית BAC = 60 מעלות; סעיף ג: SM·AB = 0 ו־SM·AC = 0, לכן SM מאונך למישור ABC; סעיף ד: V = ((6√3 − 9)/4)·m ≈ 0.348m

מה הפתרון של שאלה 2 (רגרסיה – קו רוחב ומקרי מלנומה) בבגרות 472 חורף 2022 (ינואר)?

סעיף א: sy ≈ 1.88 (הוכחה); סעיף ב: r = −0.857 (קשר שלילי, לא מושלם); סעיף ג: y = −0.399x + 20.56; סעיף ד: בערך 6.2 מקרים ל־100,000 תושבים

מה הפתרון של שאלה 3 (גדילה ודעיכה – נגיף וחיסון) בבגרות 472 חורף 2022 (ינואר)?

סעיף א: פי 1.14 בכל חודש (1.1397); סעיף ב: ירידה של 26.32% בחודש; סעיף ג(1): 12.54 חודשים; סעיף ג(2): בערך 536 חולים

מה הפתרון של שאלה 4 (חקירת פונקציית e ושטחים) בבגרות 472 חורף 2022 (ינואר)?

סעיף א: כל x; סעיף ב: c = −8.5; סעיף ג: (ln16 , 0) ≈ (2.77 , 0); סעיף ד: מינימום (ln4 , −4.5); סעיף ה: סקיצה; סעיף ו: S1 = S , S2 = 2S > S

מה הפתרון של שאלה 5 (חקירת פונקציית ln) בבגרות 472 חורף 2022 (ינואר)?

סעיף א: x > −1, אסימפטוטה אנכית x = −1; סעיף ב: (0 , 0); סעיף ג: מקסימום (e − 1 , 1/e) ≈ (1.72 , 0.37); סעיף ד: עלייה −1 e − 1; סעיף ה: סקיצה; סעיף ו: 0 < x < e − 1

בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2022 (ינואר)

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב וסטטיסטיקה (שאלות 1–2, עונים על אחת מהן), ופרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5, עונים על שתיים מהן). בסך הכול עונים על 3 שאלות, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעה ו־45 דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 (ינואר)

שאלון 472 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 5

שאלון 472 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 5

שאלון 472 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 5

שאלון 472 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 5

שאלון 472 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – גאומטרייה במרחב, סטטיסטיקה (עונים על שאלה אחת)
שאלה 1 – וקטורים בפירמידה ישרה SABC
שאלה 2 – רגרסיה (קו רוחב ומקרי מלנומה)
פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (עונים על שתי שאלות)
שאלה 3 – גדילה ודעיכה (נגיף וחיסון)
שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטחים
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מנה)

שאלה 1 – וקטורים בפירמידה ישרה SABC

📄 נוסח השאלה פירמידה ישרה SABC – שאלה 1

נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.

נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.

נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.

הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.

א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w.

ב. (1) הבע את הווקטורים AB ו־AC באמצעות u , v ו־w. (2) חשב את אורכי הווקטורים AB ו־AC. (3) מצא את גודל הזווית BAC.

ג. הראה כי SM מאונך למישור ABC.

נסמן: SM = m.

ד. הבע את נפח הפירמידה SABC באמצעות m.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המכפלות הסקלריות

הפירמידה לפי קנה מידה אמיתי (מקצוע צדדי 3, זווית ראש 30 מעלות). הווקטורים u, v, w יוצאים מ־S.

שלושת הווקטורים יוצאים מאותה נקודה S, אורך כל אחד 3, והזווית בין כל שניים היא 30 מעלות.

u · v = |u| · |v| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

v · w = |v| · |w| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

u · w = |u| · |w| · cos30 = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cosשל הזווית ביניהם

נשתמש גם בריבוע של כל וקטור (מכפלה של וקטור בעצמו):

u · u = |u|² = 3² = 9 v · v = 9 w · w = 9📐 נוסחה: ריבוע של וקטורa · a = |a|²

✅ פתרון סופי: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79

סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC

AB = AS + SB = −u + v📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

כאן AS = −SA = −u (אותו וקטור בכיוון הפוך).

AC = AS + SC = −u + w📐 נוסחה: חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY

✅ פתרון סופי: AB = v − u , AC = w − u

סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC

|AB|² = (v − u)² = v² − 2u·v + u²📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע|a|² = a · a(a − b)² = a² − 2a·b + b²

= 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = 9√32 , u² = v² = 9

|AB| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553

|AC|² = (w − u)² = w² − 2u·w + u²📐 נוסחה: אורך וקטור בריבוע|a|² = a · a(a − b)² = a² − 2a·b + b²

= 9 − 2 · 9√32 + 9 = 18 − 9√3📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·w = 9√32 , u² = w² = 9

|AC| = √18 − 9√3 ≈ √2.412 ≈ 1.553

✅ פתרון סופי: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55

סעיף ב(3) – הזווית BAC

בסיס הפירמידה ABC מודגש בתכלת. הזווית BAC היא הזווית בין הווקטורים AB ו־AC.

קודם נחשב את המכפלה הסקלרית AB · AC:

AB · AC = (v − u) · (w − u) = v·w − v·u − u·w + u·u📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a − b) · (c − b)= a·c − a·b − b·c + b·b

= 9√32 − 9√32 − 9√32 + 9 = 9 − 9√32 ≈ 1.206📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = 9

cos∢BAC = AB · AC|AB| · |AC| = 9 − 9√32√18 − 9√3 · √18 − 9√3📐 נוסחה: זווית בין וקטוריםcos של הזווית בין הווקטורים= a · b|a| · |b|

= 9 − 9√3218 − 9√3

שימו לב: 18 − 9√3 = 2 · (9 − 9√32), ולכן:

cos∢BAC = 9 − 9√322 · (9 − 9√32) = 12 = 0.5

∢BAC = 60

(בדיקה במספרים: 1.206 ÷ 2.412 = 0.5, כלומר הזווית 60 מעלות.)

✅ פתרון סופי: ∢BAC = 60 מעלות

סעיף ג – SM מאונך למישור ABC

הגובה SM (סגול, מקווקו כי הוא בתוך הפירמידה) יורד לנקודה M שבבסיס.

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. במישור ABC נבחר את AB ו־AC (נחתכים ב־A), ונראה שהמכפלה הסקלרית של SM עם כל אחד מהם היא 0.

SM · AB = 13(u + v + w) · (v − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AB = v − u

= 13(u·v − u·u + v·v − v·u + w·v − w·u)📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c

= 13(9√32 − 9 + 9 − 9√32 + 9√32 − 9√32) = 13 · 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9

SM · AB = 0 ⟸ SM ⊥ AB📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b

SM · AC = 13(u + v + w) · (w − u)📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)SM = 13(u + v + w)AC = w − u

= 13(u·w − u·u + v·w − v·u + w·w − w·u)📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית(a + b) · c = a·c + b·c

= 13(9√32 − 9 + 9√32 − 9√32 + 9 − 9√32) = 13 · 0 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)u·v = v·w = u·w = 9√32u·u = v·v = w·w = 9

SM · AC = 0 ⟸ SM ⊥ AC📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟺ a ⊥ b

SM ⊥ AB , SM ⊥ AC ⟸ SM ⊥ ABC📐 משפט: ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור

✅ פתרון סופי: SM ⊥ AB ו־SM ⊥ AC (שני ישרים נחתכים במישור), לכן SM מאונך למישור ABC.

סעיף ד – נפח הפירמידה

הבסיס ABC (תכלת) והגובה SM = m (סגול).

מסעיף ג, SM מאונך לבסיס, ולכן SM = m הוא גובה הפירמידה. נחשב את שטח הבסיס: במשולש ABC ידועות שתי צלעות AB = AC והזווית שביניהן ∢BAC = 60 מעלות.

S_ABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sinשל הזווית שבין הצלעות a ו־ b

= 12 · √18 − 9√3 · √18 − 9√3 · sin60

= 12 · (18 − 9√3) · √32📐 נוסחה: ערך הסינוסsin60 = √32

= (18 − 9√3) · √34 = 18√3 − 274 ≈ 1.044

V = 13 · S_ABC · h = 13 · 18√3 − 274 · m📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס , h – הגובה

= 18√3 − 2712 m = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m

✅ פתרון סופי: V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	9√32 ≈ 7.79 (לכל שלוש המכפלות)
סעיף ב	AB = v − u , AC = w − u \|AB\| = \|AC\| = √18 − 9√3 ≈ 1.55 ∢BAC = 60 מעלות
סעיף ג	הוכחה: SM·AB = 0 , SM·AC = 0
סעיף ד	V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה (קו רוחב ומקרי מלנומה)

📄 נוסח השאלה

חוקרים בדקו אם יש קשר בין קו הרוחב שבו נמצא אזור מסוים ובין שיעור מקרי סרטן העור (מלנומה) באוכלוסייה באותו אזור. המחקר נערך בתשעה אזורים שונים בארצות הברית, במשך שלוש שנים. בכל אחד מן האזורים נבדקו 100,000 תושבים. נתוני המחקר מוצגים בטבלה (x – קו רוחב, y – שיעור מקרי המלנומה, מקרים ל־100,000):

קו רוחב x	מקרי מלנומה y
32.8	9
33.9	5.9
34.1	6.6
37.9	5.8
40.0	5.5
40.8	3
41.7	3.4
42.2	3.1
45.0	3.8

ממוצע: x = 38.71 , y = 5.12. סטיית תקן: s_x = 4.04 , s_y – לא נתונה.

א. הראה כי סטיית התקן של שיעור מקרי המלנומה היא s_y = 1.88.

לפניך דיאגרמת הפיזור של y כתלות ב־x (ציר אופקי – קו רוחב, ציר אנכי – מקרים ל־100,000 איש):

דיאגרמת פיזור – קו רוחב ומקרי מלנומה – שאלה 2

ב. אחד מבין מקדמי המתאם (1)–(4) שלפניך מייצג את הקשר בין הנתונים. קבע איזה מהם מייצג את הקשר, ונמק את קביעתך.
(1) r = 1
(2) r = −0.857
(3) r = 0.651
(4) r = −1

ג. מצא את משוואת קו הרגרסיה לניבוי מקרי המלנומה y על פי קו הרוחב x.

ד. מהו הניבוי לשיעור מקרי המלנומה y בקו רוחב 36?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סטיית התקן של y

סטיית התקן מחושבת מסכום ריבועי הסטיות מהממוצע y = 5.12, מחולק במספר האזורים n = 9. נחשב כל סטייה ואת הריבוע שלה:

y_i − y📐 נוסחה: סטייה מהממוצעסטייה = ערך − ממוצע

	y	y − y	(y − y)²
1	9	9 − 5.12 = 3.88	15.0544
2	5.9	5.9 − 5.12 = 0.78	0.6084
3	6.6	6.6 − 5.12 = 1.48	2.1904
4	5.8	5.8 − 5.12 = 0.68	0.4624
5	5.5	5.5 − 5.12 = 0.38	0.1444
6	3	3 − 5.12 = −2.12	4.4944
7	3.4	3.4 − 5.12 = −1.72	2.9584
8	3.1	3.1 − 5.12 = −2.02	4.0804
9	3.8	3.8 − 5.12 = −1.32	1.7424
		סכום	31.7356

s_y² = 31.73569 ≈ 3.5262📐 נוסחה: סטיית תקןs_y² = An , s_y = √s_y²A = (y₁ − y)² + (y₂ − y)²+ … + (y_n − y)²

s_y = √3.5262 ≈ 1.8778 ≈ 1.88

✅ פתרון סופי: הראינו: s_y ≈ 1.88

סעיף ב – בחירת מקדם המתאם

נסתכל בדיאגרמת הפיזור:

• ככל שקו הרוחב x גדל, שיעור המלנומה y בדרך כלל קטן – הנקודות יורדות משמאל לימין. לכן הקשר שלילי, ו־r שלילי. זה פוסל את (1) r = 1 ואת (3) r = 0.651.

• הנקודות לא נמצאות כולן על קו ישר אחד, לכן הקשר אינו לינארי מושלם, ו־r ≠ −1. זה פוסל את (4).

−1 < r < 0 ⟸ r = −0.857📐 כלל: משמעות מקדם המתאםr = −1 – כל הנקודות על ישר יורד−1 < r < 0 – קשר שלילי, לא מושלם

✅ פתרון סופי: (2) r = −0.857 – קשר שלילי חזק אך לא מושלם.

סעיף ג – משוואת קו הרגרסיה

שיפוע = r · s_ys_x = −0.857 · 1.884.04 ≈ −0.3988📐 נוסחה: שיפוע קו הרגרסיהשיפוע = r · s_ys_x

y − 5.12 = −0.3988 · (x − 38.71)📐 נוסחה: משוואת קו הרגרסיהy − y = r · s_ys_x · (x − x)

y − 5.12 = −0.3988x + 15.44

y = −0.3988x + 15.44 + 5.12

y ≈ −0.399x + 20.56

(חישוב עזר: 0.3988 · 38.71 ≈ 15.44.)

✅ פתרון סופי: y = −0.399x + 20.56

סעיף ד – ניבוי בקו רוחב 36

מציבים x = 36 במשוואת קו הרגרסיה שמצאנו בסעיף ג:

y = −0.399 · 36 + 20.56📐 נוסחה: ניבוי לפי קו הרגרסיהŷ = שיפוע · x + חותך

= −14.36 + 20.56

≈ 6.2

✅ פתרון סופי: בערך 6.2 מקרי מלנומה ל־100,000 תושבים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	הוכחה: s_y ≈ 1.88
סעיף ב	(2) r = −0.857
סעיף ג	y = −0.399x + 20.56
סעיף ד	≈ 6.2 מקרים ל־100,000

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה (נגיף וחיסון)

📄 נוסח השאלה

בתחילת שנת 2020 התגלה נגיף ביישוב מסוים. מספר החולים ביישוב עלה בקצב מעריכי קבוע. כשהתגלה הנגיף היו ביישוב 104 חולים בנגיף, וכעבור חמישה חודשים היו ביישוב 200 חולים בנגיף.

ביום שבו אובחנו ביישוב 200 חולים בנגיף, חוסנה כל האוכלוסייה ביישוב נגד אותו הנגיף. מאותו יום, ירד מספר החולים בנגיף ביישוב בקצב מעריכי קבוע. אחרי 3 חודשים ממתן החיסון, היה מספר החולים בנגיף ביישוב 40% ממספרם לפני מתן החיסון.

א. מזמן גילוי הנגיף ועד למתן החיסון לאוכלוסיית היישוב, פי כמה עלה מספר החולים בנגיף בכל חודש?

ב. מצא את האחוז הקבוע שבו ירד מספר החולים בנגיף ביישוב בכל חודש מאז מתן החיסון.

ג. (1) כמה חודשים עברו מזמן גילוי הנגיף ועד היום שבו אובחנו 20 חולים בלבד בנגיף? (2) אם האוכלוסייה ביישוב לא הייתה מתחסנת, וקצב העלייה במספר החולים לא היה משתנה, מה היה בערך מספר החולים ביישוב באותה תקופת זמן שמצאת בתת־סעיף ג(1)?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פי כמה עלה מספר החולים בכל חודש

בתקופה הראשונה: M₀ = 104 (ביום הגילוי), ואחרי t = 5 חודשים M(5) = 200.

200 = 104 · q⁵📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

q⁵ = 200104 ≈ 1.9231

q = (1.9231)¹⁵ ≈ 1.1397📐 נוסחה: שורש מסדר 5qⁿ = a ⟸ q = a¹ⁿ

כלומר בכל חודש מספר החולים הוכפל פי q ≈ 1.14 (עלייה של כ־14% בחודש).

✅ פתרון סופי: בכל חודש מספר החולים עלה פי 1.14, ובדיוק רב יותר פי 1.1397.

סעיף ב – אחוז הירידה החודשי

בתקופה השנייה מתחילים ביום החיסון: M₀ = 200. אחרי 3 חודשים נשארו 40% מ־200:

M(3) = 0.4 · 200 = 80

80 = 200 · q³📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

q³ = 80200 = 0.4

q = (0.4)¹³ ≈ 0.7368📐 נוסחה: שורש מסדר 3qⁿ = a ⟸ q = a¹ⁿ

0.7368 = 1 − p100 p100 = 1 − 0.7368 = 0.2632 p ≈ 26.32📐 נוסחה: קצב דעיכה באחוזיםq = 1 − p100

✅ פתרון סופי: בכל חודש מספר החולים ירד ב־26.32% בערך.

סעיף ג(1) – הזמן עד 20 חולים

נמצא כמה זמן אחרי החיסון ירד מספר החולים מ־200 ל־20 (עם q ≈ 0.7368 מסעיף ב):

20 = 200 · 0.7368^t📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

0.7368^t = 20200 = 0.1

t = ln 0.1ln 0.7368 = −2.3026−0.3054 ≈ 7.54📐 נוסחה: מציאת המעריך בעזרת lnq^t = a ⟸ t = ln aln q

לזמן הזה מוסיפים את 5 החודשים שעברו מגילוי הנגיף ועד החיסון:

5 + 7.54 = 12.54

✅ פתרון סופי: עברו בערך 12.54 חודשים מגילוי הנגיף.

סעיף ג(2) – בלי חיסון

בלי חיסון, הגדילה מסעיף א (M₀ = 104 , q ≈ 1.1397) הייתה נמשכת כל t = 12.54 החודשים:

M(12.54) = 104 · 1.1397^12.54📐 נוסחה: גדילה ודעיכהM(t) = M₀ · q^t

≈ 104 · 5.154

≈ 536

✅ פתרון סופי: בערך 536 חולים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	פי 1.14 בכל חודש
סעיף ב	26.32%
סעיף ג	12.54 חודשים ≈ 536 חולים

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטחים

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 8e^x + e^x2 + c , c הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר דרך ראשית הצירים.

ב. מצא את c.

הצב בפונקציה f(x) את הערך של c שמצאת בסעיף ב, וענה על הסעיפים ג–ו.

ג. מצא את שיעורי נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x. נסמן ב־S₁ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה −f(x) ועל ידי ציר ה־x. נסמן ב־S₂ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה 2 · f(x) ועל ידי ציר ה־x.

ו. בעבור כל אחד מן השטחים S₁ ו־S₂ קבע אם הוא גדול מ־S, קטן ממנו או שווה לו. נמק את קביעותיך.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה

הביטוי היחיד שיכול להגביל הוא המכנה e^x בשבר 8e^x. המכנה אסור שיהיה 0.

e^x > 0 לכל x📐 נוסחה: תכונת הפונקציה המעריכיתe^x > 0 לכל x

המכנה אף פעם לא 0, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: כל x

סעיף ב – מציאת c

הגרף עובר דרך ראשית הצירים, כלומר f(0) = 0:

f(0) = 8e⁰ + e⁰2 + c = 0

81 + 12 + c = 0📐 נוסחה: חזקה עם מעריך 0e⁰ = 1

8.5 + c = 0

c = −8.5

✅ פתרון סופי: c = −8.5

סעיף ג – נקודת החיתוך הנוספת עם ציר x

מעכשיו: f(x) = 8e^x + e^x2 − 8.5. נשווה ל־0:

8e^x + e^x2 − 8.5 = 0

נכפול את כל המשוואה ב־2e^x (מותר, כי e^x > 0):

16 + e^2x − 17e^x = 0📐 נוסחה: כפל חזקות עם אותו בסיסe^a · e^b = e^a+b

נציב t = e^x (ולכן t² = e^2x):

t² − 17t + 16 = 0

t_1,2 = 17 ± √(289 − 64)2 = 17 ± 152📐 נוסחה: נוסחת השורשיםt_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t₁ = 16 , t₂ = 1

e^x = 1 ⟸ x = ln 1 = 0 e^x = 16 ⟸ x = ln 16 ≈ 2.77📐 נוסחה: מעבר מחזקה ל־lne^x = a ⟸ x = ln a

x = 0 היא ראשית הצירים (ידועה). נקודת החיתוך הנוספת: x = ln 16.

✅ פתרון סופי: (ln 16 , 0) ≈ (2.77 , 0)

סעיף ד – נקודת הקיצון

נכתוב את השבר כחזקה שלילית: 8e^x = 8e^−x, ולכן f(x) = 8e^−x + 12e^x − 8.5.

f′(x) = 8 · (−e^−x) + 12e^x − 0📐 נוסחה: נגזרת של e(e^x)′ = e^x(e^−x)′ = −e^−x

f′(x) = −8e^x + e^x2

נקודת קיצון: f′(x) = 0.

−8e^x + e^x2 = 0

e^x2 = 8e^x

e^2x = 16📐 נוסחה: כפל חזקות עם אותו בסיסe^a · e^b = e^a+b

e^x = 4

(מ־e^2x = 16 יוצא e^x = 4 או e^x = −4, אבל e^x > 0, לכן הפתרון השלילי נפסל.)

x = ln 4 ≈ 1.39📐 נוסחה: מעבר מחזקה ל־lne^x = a ⟸ x = ln a

f(ln 4) = 8e^{ln 4} + e^{ln 4}2 − 8.5 = 84 + 42 − 8.5📐 נוסחה: חזקה ו־ln מבטלים זה את זהe^{ln a} = a

= 2 + 2 − 8.5 = −4.5

סוג הנקודה – טבלת סימן של הנגזרת (מציבים נקודה מכל צד):

f′(0) = −81 + 12 = −7.5 < 0

f′(2) = −8e² + e²2 ≈ −1.08 + 3.69 = 2.61 > 0

x	x < ln 4	x = ln 4	x > ln 4
f′(x)	−	0	+
f(x)	יורדת ↘	מינימום	עולה ↗

✅ פתרון סופי: נקודת מינימום (ln 4 , −4.5) ≈ (1.39 , −4.5)

סעיף ה – סקיצה

מה שמצאנו: הפונקציה מוגדרת לכל x, עוברת ב־(0 , 0) וב־(ln 16 , 0), יורדת עד המינימום (ln 4 , −4.5) ואחריו עולה.

הגרף של f(x) משורטט לפי הפונקציה עצמה (קנה מידה אמיתי).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור שלמעלה.

סעיף ו – השוואת השטחים

S (תכלת) בין f לציר x. בסגול מקווקו: −f(x), בירוק: 2f(x).

השטח S נמצא בין נקודות החיתוך x = 0 ו־x = ln 16, ושם הגרף של f מתחת לציר ה־x.

S₁: הגרף של −f(x) הוא שיקוף של הגרף של f(x) בציר ה־x. השיקוף לא משנה מרחקים, אז אותן נקודות חיתוך ואותו "גובה" בכל נקודה – והשטח זהה.

S₁ = S📐 נוסחה: שיקוף בציר xהגרף של y = −f(x) הוא שיקוף של הגרף של y = f(x) בציר x

S₂: הגרף של 2 · f(x) חותך את ציר ה־x באותן נקודות (2f(x) = 0 ⟺ f(x) = 0), אבל כל ערך של הפונקציה מוכפל ב־2, כלומר המרחק מציר ה־x גדל פי 2 בכל נקודה.

S₂ = 2S > S📐 נוסחה: הוצאת קבוע מאינטגרל∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

(לבדיקה במספרים: S ≈ 8.57 , S₂ ≈ 17.13.)

✅ פתרון סופי: S₁ = S , S₂ > S (פי 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	c = −8.5
סעיף ג	(ln 16 , 0) ≈ (2.77 , 0)
סעיף ד	מינימום (ln 4 , −4.5)
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	S₁ = S , S₂ > S

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – מציאת נקודות קיצון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מנה)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ln(x + 1)x + 1.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.

ב. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. מצא את התחום שבעבורו מתקיים f(x) · f′(x) > 0.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א(1) – תחום הגדרה

x + 1 > 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(g(x)) מוגדר רק כאשר g(x) > 0

x > −1

גם המכנה x + 1 אינו 0 בתחום הזה (הוא חיובי), אז אין הגבלה נוספת.

✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: x > −1

סעיף א(2) – אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה המאונכת לציר ה־x היא ישר אנכי x = k. בודקים את קצה התחום x = −1: כש־x מתקרב ל־−1 מימין, x + 1 מתקרב ל־0 מהצד החיובי.

x → −1⁺ : ln(x + 1) → −∞ , x + 1 → 0⁺📐 נוסחה: התנהגות ln ליד 0a → 0⁺ ⟸ ln a → −∞

המונה שלילי וגדול מאוד בערכו המוחלט, והמכנה חיובי וקטן מאוד – לכן המנה שואפת למינוס אינסוף.

בדיקה במספרים: f(−0.9) = ln 0.10.1 ≈ −23.03 , f(−0.99) = ln 0.010.01 ≈ −460.5.

הפונקציה שואפת למינוס אינסוף, ולכן הישר x = −1 הוא אסימפטוטה אנכית.

✅ פתרון סופי: x = −1

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

על ציר ה־x: f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0:

ln(x + 1)x + 1 = 0 ⟸ ln(x + 1) = 0

x + 1 = 1📐 נוסחה: ln שווה 0ln a = 0 ⟺ a = 1

x = 0

x = 0 בתחום ההגדרה (0 > −1). זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה־y.

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ג – נקודת הקיצון

נגזור לפי כלל המנה, עם u = ln(x + 1) ו־v = x + 1:

u′ = 1x + 1 · 1 = 1x + 1📐 נוסחה: נגזרת של ln (עם פונקציה מורכבת)(ln g(x))′ = g′(x)g(x)

v′ = 1

לפי כלל המנה, נחשב קודם את המונה של הנגזרת:

u′ · v − u · v′ = 1x + 1 · (x + 1) − ln(x + 1) · 1 = 1 − ln(x + 1)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

f′(x) = 1 − ln(x + 1)(x + 1)²

נקודת קיצון: f′(x) = 0. המכנה חיובי, אז המונה שווה 0:

1 − ln(x + 1) = 0

ln(x + 1) = 1

x + 1 = e¹ = e📐 נוסחה: מעבר מ־ln לחזקהln a = b ⟺ a = e^b

x = e − 1 ≈ 1.72

f(e − 1) = ln ee = 1e ≈ 0.37📐 נוסחה: ln של eln e = 1

סוג הנקודה – מציבים בנגזרת נקודה מכל צד:

f′(0) = 1 − ln 11² = 1 − 01 = 1 > 0📐 נוסחה: ln של 1ln 1 = 0

f′(e² − 1) = 1 − ln e²(e²)² = 1 − 2e⁴ < 0📐 נוסחה: ln של חזקה של eln eⁿ = n

x	f′(x)	f(x)
−1 < x < e − 1	+	עולה ↗
x = e − 1	0	מקסימום
x > e − 1	−	יורדת ↘

✅ פתרון סופי: נקודת מקסימום (e − 1 , 1/e) ≈ (1.72 , 0.37)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

מטבלת הסימן של סעיף ג:

✅ פתרון סופי: עלייה: −1 < x < e − 1 ; ירידה: x > e − 1

סעיף ה – סקיצה

מה שמצאנו: תחום x > −1, אסימפטוטה אנכית x = −1 (הגרף יורד שם למינוס אינסוף), חיתוך ב־(0 , 0), עלייה עד המקסימום (e − 1 , 1/e) ואחריו ירידה. כש־x גדל מאוד הפונקציה חיובית וקטנה ומתקרבת ל־0.

הגרף של f(x) משורטט לפי הפונקציה עצמה (בציר y קנה מידה מוגדל).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור שלמעלה.

סעיף ו – מתי f · f′ > 0

מכפלה של שני מספרים חיובית כששניהם באותו סימן. נבדוק את הסימן של f(x) ושל f′(x):

f(x) > 0 ⟺ ln(x + 1) > 0 ⟺ x + 1 > 1 ⟺ x > 0📐 נוסחה: סימן של lnln a > 0 ⟺ a > 1

(המכנה x + 1 חיובי בכל התחום, לכן הסימן של f הוא הסימן של המונה.) כלומר f(x) < 0 כאשר −1 < x < 0.

מסעיף ד: f′(x) > 0 כאשר −1 < x < e − 1, ו־f′(x) < 0 כאשר x > e − 1.

טבלת סימנים:📐 כלל: סימן של מכפלהa · b > 0 רק כאשר a , b באותו סימן

x	f(x)	f′(x)	f · f′
−1 < x < 0	−	+	−
0 < x < e − 1	+	+	+
x > e − 1	+	−	−

✅ פתרון סופי: 0 < x < e − 1, כלומר בערך 0 < x < 1.72

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	תחום: x > −1 אסימפטוטה: x = −1
סעיף ב	(0 , 0)
סעיף ג	מקסימום (e − 1 , 1/e) ≈ (1.72 , 0.37)
סעיף ד	עלייה −1 < x < e − 1 ירידה x > e − 1
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	0 < x < e − 1

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.