בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2025 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב (וקטורים) וגדילה ודעיכה; פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד א'

שאלון 472 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין־סופית

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A, ובה 57 איברים: a1 , a2 , a3 , … נתון: a2 + a4 = a6. האיבר האחרון בסדרה A הוא 171.

א. מצאו את הפרש הסדרה ואת a1.

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית B שאיבריה הם: b1 , b2 , b3 , … נתון: b1 = a6 , 3 · b3 = a8.

ב. מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת.

ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ההפרש ו־a1

נכתוב כל איבר בעזרת האיבר הראשון וההפרש:
a2 = a1 + d , a4 = a1 + 3d , a6 = a1 + 5d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים בנתון a2 + a4 = a6:
(a1 + d) + (a1 + 3d) = a1 + 5d
2a1 + 4d = a1 + 5d
2a1 − a1 = 5d − 4d
a1 = d
האיבר האחרון הוא האיבר ה־57:
a57 = a1 + 56d = 171📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים a1 = d:
d + 56d = 171
57d = 171
d = 17157 = 3
a1 = d = 3
בדיקה: a2 + a4 = 6 + 12 = 18 , a6 = 3 + 5 · 3 = 18 ✓ ; a57 = 3 + 56 · 3 = 171 ✓
✅ פתרון סופי: d = 3 , a1 = 3

סעיף ב – המנה של B

b1 = a6 = a1 + 5d = 3 + 15 = 18📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a8 = a1 + 7d = 3 + 21 = 24📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
נתון 3 · b3 = a8:
3 · b3 = 24
b3 = 243 = 8
b3 = b1 · q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
18q2 = 8
q2 = 818 = 49
q = ±√49 = ±23
בדיקה: 18 · (23)2 = 18 · 49 = 8 ✓
✅ פתרון סופי: q = 23 או q = −23

סעיף ג – סכום האיברים במקומות הזוגיים

כש־q = 23 (חיובית) הסדרה יורדת. כש־q = −23 הסימנים מתחלפים (פלוס, מינוס, פלוס…), והסדרה לא עולה ולא יורדת. לכן q = −23.
האיברים במקומות הזוגיים: b2 , b4 , b6 , …. כל אחד מתקבל מהקודם לו בכפל ב־q2 (מדלגים איבר אחד), ולכן גם הם סדרה הנדסית:
b2 = b1 · q = 18 · (−23) = −12📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
המנה של הסדרה החדשה: q2 = (−23)2 = 49📐 ריבוע של מספר שלילי(−k)2 = k2
49 < 1, ולכן לסדרה האין־סופית יש סכום:
S = −121 − 49📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = b11 − q , |q| < 1
1 − 49 = 99 − 49 = 59
S = −1259 = −12 · 95 = −1085 = −21.6
✅ פתרון סופי: S = −21.6

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אd = 3 , a1 = 3
סעיף בq = ±23
סעיף ג−21.6
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים בפירמידה ABCE

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCE. הנקודה D היא אמצע המקצוע BC. הנקודה M נמצאת על ED כך ש־EM = 23ED. המקצוע AE הוא גובה בפירמידה. נתון: הזווית BAC היא 90 מעלות.

נסמן: AB = u , AC = v , AE = w.

סרטוט לשאלה 2 – פירמידה ABCE

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים BC , ED ו־AM.

נתון: |u| = |v| = |w| = 12.

ב. (1) הוכיחו כי AM מאונך ל־ED. (2) הוכיחו כי AM מאונך למישור BEC.

נתון: A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.

ג. (1) מה הם שיעורי הנקודות B , C ו־E? (2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־M.

ד. חשבו את שטח המשולש AMD.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת הווקטורים

הווקטור BC: מ־B חוזרים ל־A ומשם הולכים ל־C:
BC = BA + AC = −u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BA = −AB = −u📐 וקטור נגדיYX = −XY
הווקטור ED: מ־E יורדים ל־A, ומשם הולכים ל־D:
ED = EA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
EA = −w📐 וקטור נגדיYX = −XY
D אמצע BC, ולכן AD הוא חצי מסכום הווקטורים לקצוות:
AD = 12(u + v) = 12u + 12v📐 אמצע קטע (וקטורים)AD = 12(AB + AC)
ED = 12u + 12v − w
הווקטור AM: מ־A עולים ל־E ומשם 23 מהדרך אל D:
AM = AE + EM = w + 23ED📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
= w + 23(12u + 12v − w)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
= w + 13u + 13v − 23w
מכנסים את האיברים עם w: w − 23w = 13w
AM = 13u + 13v + 13w
uvwABCEDM
הפירמידה בקנה מידה: u , v , w בסגול, ED בכחול ו־AM מקווקו בירוק
✅ פתרון סופי: BC = −u + v , ED = 12u + 12v − w , AM = 13u + 13v + 13w

סעיף ב (1) – AM מאונך ל־ED

AE גובה, ולכן w מאונך לבסיס – גם ל־u וגם ל־v. הזווית BAC ישרה, ולכן u מאונך ל־v:
u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u2 = v2 = w2 = 122 = 144📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
AM · ED = 13(u + v + w) · (12u + 12v − w)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
פותחים סוגריים. כל מכפלה של שני וקטורים שונים היא 0, ולכן נשארים רק הריבועים:
= 13(12u2 + 12v2 − w2)📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e + f)= ad + ae + af + bd + …
= 13(12 · 144 + 12 · 144 − 144)
= 13(72 + 72 − 144) = 13 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית 0, ולכן AM ⊥ ED

סעיף ב (2) – AM מאונך למישור BEC

מספיק להראות ש־AM מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BEC. הישר ED כבר נבדק בסעיף ב (1). נבדוק גם את BC:
AM · BC = 13(u + v + w) · (−u + v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= 13(−u2 + v2)📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e)= ad + ae + bd + be + cd + ce
= 13(−144 + 144) = 0
ED ו־BC נמצאים במישור BEC ונחתכים בנקודה D. AM מאונך לשניהם.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
ABCEDM
המישור BEC בתכלת, ו־AM בירוק – מאונך אליו ב־M
✅ פתרון סופי: AM מאונך למישור BEC

סעיף ג – שיעורי הנקודות

A בראשית, והמקצועות AB , AC , AE באורך 12 על החלקים החיוביים של הצירים:
B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12)
D אמצע BC:
D(12 + 02 , 0 + 122 , 0 + 02) = D(6 , 6 , 0)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
את M מקבלים מ־AM – כל וקטור בכיוון ציר באורך 12:
u = (12 , 0 , 0) , v = (0 , 12 , 0) , w = (0 , 0 , 12)
AM = 13(12 , 12 , 12) = (4 , 4 , 4)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
M = A + AM = (0 + 4 , 0 + 4 , 0 + 4) = (4 , 4 , 4)
בדיקה: גם בדרך שנייה: EM = 23ED ← M = E + 23(D − E) = (0 , 0 , 12) + 23(6 , 6 , −12) = (4 , 4 , 4) ✓
✅ פתרון סופי: B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12) ; D(6 , 6 , 0) , M(4 , 4 , 4)

סעיף ד – שטח המשולש AMD

M נמצאת על ED, ו־AM מאונך ל־ED (סעיף ב (1)). לכן הזווית AMD ישרה, והמשולש AMD ישר זווית ב־M.
AM = |(4 , 4 , 4)| = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3 ≈ 6.93📐 אורך וקטור במרחב|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
MD = D − M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 − 4) = (2 , 2 , −4)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
MD = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6 ≈ 4.90📐 אורך וקטור במרחב|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
S = AM · MD2 = 4√3 · 2√62📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
√3 · √6 = √18 = 3√2📐 כפל שורשים√a · √b = √(a · b)
S = 8 · 3√22 = 12√2 ≈ 16.97
בדיקה: ב־AMD: AM2 + MD2 = 48 + 24 = 72 , AD2 = 62 + 62 = 72 ✓📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
ABCEDM
המשולש AMD בתכלת – זווית ישרה ב־M
✅ פתרון סופי: S = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אBC = −u + v
ED = 12u + 12v − w
AM = 13(u + v + w)
סעיף בהוכחה (מכפלה סקלרית 0)
סעיף גB(12,0,0) , C(0,12,0) , E(0,0,12)
D(6,6,0) , M(4,4,4)
סעיף ד12√2 ≈ 16.97
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה: שתי משתלות

📄 נוסח השאלה

בשתי משתלות – משתלה א' ומשתלה ב' – החלו לשתול צמחים באותו היום. ביום זה שתלו במשתלה א' 600 צמחים, ובמשתלה ב' שתלו a צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב־5% בכל שבוע, ומספר הצמחים במשתלה ב' גדל ב־10% בכל שבוע. כעבור זמן מסוים מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה א' שווה למספר הצמחים במשתלה ב'.

א. לפניכם שתי טענות, I–II. קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם. I. a < 600   II. a > 600

כעבור 17 שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב' גדול פי 2 ממספר הצמחים במשתלה א'.

ב. מצאו את הערך של a.

כעבור 17 שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב' בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור 5 שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב' 53% ממספר הצמחים בתחילת המכירה.

ג. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים במשתלה ב' בכל שבוע.

מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה א' בכל שבוע ב־8%.

ד. מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה א' שווה למספר הצמחים במשתלה ב'.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו טענה נכונה?

qא = 1 + 5100 = 1.05 , qב = 1 + 10100 = 1.1📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
Mא(t) = 600 · 1.05t , Mב(t) = a · 1.1t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
בזמן t > 0 כלשהו המספרים שווים:
a · 1.1t = 600 · 1.05t
a = 600 · 1.05t1.1t = 600 · (1.051.1)t
1.051.1 < 1, ולכן כל חזקה חיובית שלו קטנה מ־1, ו־a קטן מ־600.
במילים: משתלה ב' גדלה מהר יותר. אם היא הייתה מתחילה עם 600 או יותר, היא הייתה תמיד מעל משתלה א' והן לא היו משתוות.
✅ פתרון סופי: טענה I נכונה: a < 600

סעיף ב – הערך של a

כעבור t = 17 שבועות משתלה ב' גדולה פי 2 ממשתלה א':
a · 1.117 = 2 · 600 · 1.0517📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.117 ≈ 5.05447 , 1.0517 ≈ 2.29202
a · 5.05447 ≈ 1,200 · 2.29202 ≈ 2,750.42
a ≈ 2,750.425.05447 ≈ 544.16
מספר צמחים הוא מספר שלם:
בדיקה: 544 · 1.117 ≈ 2,749.6 , 2 · 600 · 1.0517 ≈ 2,750.4 ✓
✅ פתרון סופי: a ≈ 544 צמחים

סעיף ג – אחוז הירידה במשתלה ב'

נסמן ב־M0 את מספר הצמחים במשתלה ב' בתחילת המכירה. כעבור 5 שבועות נשארו 53%, כלומר 0.53 · M0:
M0 · q5 = 0.53 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
q5 = 0.53
q = 0.5315 ≈ 0.8808📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
0.8808 = 1 − p100📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.8808 = 0.1192
p ≈ 11.92
בדיקה: 0.88085 ≈ 0.530 ✓
✅ פתרון סופי: בערך 11.92% בכל שבוע (כ־12%)

סעיף ד – מתי המשתלות שוות שוב?

בתחילת המכירה (אחרי 17 שבועות):
Mא = 600 · 1.0517 ≈ 1,375.2📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
משתלה ב' גדולה פי 2: Mב = 2 · 1,375.2 ≈ 2,750.4
qא = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
t שבועות אחרי תחילת המכירה המספרים שווים:
1,375.2 · 0.92t = 2,750.4 · 0.8808t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־1,375.2 וב־0.8808t:
0.92t0.8808t = 2
(0.920.8808)t = 2📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךanbn = (ab)n
0.920.8808 ≈ 1.04456
t = ln 2ln 1.04456 ≈ 0.693150.04359 ≈ 15.9📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
בדיקה: 1,375.2 · 0.9215.9 ≈ 365 , 2,750.4 · 0.880815.9 ≈ 365 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 15.9 שבועות בערך (כ־16 שבועות)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אטענה I: a < 600
סעיף בa ≈ 544
סעיף ג≈ 11.92% (כ־12%)
סעיף ד≈ 15.9 שבועות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – מציאת כמות התחלתית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה עם פרמטר)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e2xx2 − 4x + a, a הוא פרמטר. לפונקצייה f(x) יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא x = 2.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ד.

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה h(x) = −f(x) + e8 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ד. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקצייה h(x) עם ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הערך של a

אסימפטוטה אנכית ב־x = 2: המכנה מתאפס ב־x = 2 (והמונה e4 ≠ 0).
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
22 − 4 · 2 + a = 0
4 − 8 + a = 0 −4 + a = 0 a = 4
בדיקה: עם a = 4 המכנה הוא x2 − 4x + 4 = (x − 2)2, הוא מתאפס רק ב־x = 2, והמונה שם e2 · 2 = e4 ≠ 0 ✓
📐 נוסחת הכפל המקוצר(x − b)2 = x2 − 2bx + b2
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

f(x) = e2x(x − 2)2
e2x מוגדרת לכל x. המכנה לא יכול להיות 0:
(x − 2)2 ≠ 0 x ≠ 2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף ב (2) – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):
f(0) = e0(0 − 2)2 = 14 = 0.25📐 חזקה עם מעריך 0a0 = 1
ציר x (f(x) = 0): שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל e2x > 0 לכל x:
e2x = 0 ← אין פתרון📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0.25) בלבד; עם ציר x אין נקודות חיתוך

סעיף ב (3) – נקודת הקיצון

מנה: u = e2x , v = (x − 2)2.
המונה של f′(x): (e2x)′ · (x − 2)2 − e2x · ((x − 2)2)′
📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
המכנה של f′(x): ((x − 2)2)2 = (x − 2)4
(e2x)′ = 2e2x📐 נגזרת e בחזקת kx(ekx)′ = k · ekx
((x − 2)2)′ = 2(x − 2) · 1 = 2(x − 2)📐 נגזרת של פונקצייה מורכבת((g(x))n)′ = n · (g(x))n − 1 · g′(x)
f′(x) = 2e2x(x − 2)2 − e2x · 2(x − 2)(x − 2)4
מוציאים גורם משותף 2e2x(x − 2) מהמונה:
= 2e2x(x − 2)[(x − 2) − 1](x − 2)4 = 2e2x(x − 3)(x − 2)3
(צמצמנו (x − 2) אחד מהמונה עם המכנה – מותר כי x ≠ 2.)
2e2x(x − 3) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
e2x > 0, ולכן x − 3 = 0 x = 3
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
סימן הנגזרת לפי x − 3(x − 2)3:
x = 0 : −3(−2)3 = −3−8 > 0 ← עולה
x = 2.5 : −0.50.53 = −4 < 0 ← יורדת
x = 4 : 123 = 18 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
x < 2+↗ עולה
2לא מוגדרתאסימפטוטה
2 < x < 3−↘ יורדת
30מינימום
x > 3+↗ עולה
ב־x = 3 הפונקצייה יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(3) = e2 · 3(3 − 2)2 = e61 = e6 ≈ 403.43
✅ פתרון סופי: מינימום (3 , e6) ≈ (3 , 403.43)

סעיף ג – סקיצה

משמאל לאסימפטוטה (x < 2): הפונקצייה עולה. כש־x שלילי וגדול, e2x קטן מאוד והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(−5) = e−1049 ≈ 0.000001). היא חותכת את ציר y ב־(0 , 0.25) ועולה לאינסוף ליד x = 2.
מימין לאסימפטוטה: יורדת מאינסוף עד המינימום (3 , 403.43), ואז עולה מאוד.
כל הגרף מעל ציר ה־x (המונה והמכנה חיוביים).
xy−2−1123455001000(3 , 403.4)(0 , 0.25)בציר y יחידה קטנה מאוד
הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ד – כמה נקודות חיתוך יש ל־h(x) עם ציר ה־x?

h(x) = 0 −f(x) + e8 = 0 f(x) = e8
כלומר סופרים כמה פעמים הגרף של f פוגש את הישר y = e8 ≈ 2,981.
משמאל ל־x = 2: f עולה כל הזמן, מערכים קרובים ל־0 עד אינסוף – עוברת את e8 פעם אחת.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
בין x = 2 ל־x = 3: f יורדת מאינסוף עד e6 ≈ 403. מכיוון ש־e6 < e8, היא עוברת את e8 פעם אחת.
מימין ל־x = 3: f עולה מ־e6 עד אינסוף – עוברת את e8 פעם אחת.
בסך הכול 3 נקודות.
xy−2123451000e⁸(3 , 403.4)y = e⁸
הישר y = e8 חותך את הגרף של f שלוש פעמים
✅ פתרון סופי: 3 נקודות חיתוך

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אa = 4
סעיף ב (1)x ≠ 2
סעיף ב (2)(0 , 0.25); אין חיתוך עם ציר x
סעיף ב (3)מינימום (3 , e6) ≈ (3 , 403.43)
סעיף גסקיצה
סעיף ד3 נקודות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – פתרון בגרות 2025 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מכפלה) ושטח

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות בתחום x > 0. לפונקצייה f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד ונקודת מקסימום אחת בלבד. נתון כי נקודת המינימום נמצאת מימין לנקודת המקסימום.

א. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתון כי f(x) = 3x · (ln x)2.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–IV לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – איזה גרף מתאר את f′(x)?

ל־f יש קודם מקסימום ואחר כך מינימום (המינימום מימין). לכן f עולה, אחר כך יורדת, ואחר כך עולה שוב.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
בהתאם, f′ חיובית, אחר כך שלילית, ואחר כך חיובית: הגרף של f′ מעל ציר ה־x, יורד וחוצה אותו (במקסימום של f), נמצא מתחתיו, ושוב חוצה אותו כלפי מעלה (במינימום) – בדיוק שתי חציות.
גרף I: מתחת, מעל ושוב מתחת – זה מינימום ואחריו מקסימום, הפוך מהנתון. גרף III: מחליף סימן שלוש פעמים – שלוש נקודות קיצון. גרף IV: לא יורד מתחת לציר ה־x, רק נוגע בו – אין החלפת סימן ואין קיצון. גרף II: מעל, מתחת ושוב מעל – מתאים.
✅ פתרון סופי: גרף II מתאר את f′(x)

סעיף ב (1) – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y: צריך x = 0, אבל התחום הוא x > 0 – אין חיתוך עם ציר y.
📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
ציר x: f(x) = 0:
3x · (ln x)2 = 0
3x ≠ 0 (כי x > 0), ולכן:
(ln x)2 = 0 ln x = 0
x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1 , 0) בלבד

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון

מכפלה: u = 3x , v = (ln x)2.
f′(x) = (3x)′ · (ln x)2 + 3x · ((ln x)2)′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(3x)′ = 3📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x📐 נגזרת של חזקה של ln((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
f′(x) = 3(ln x)2 + 3x · 2 ln x · 1x
= 3(ln x)2 + 6 ln x = 3 ln x (ln x + 2)
3 ln x (ln x + 2) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1 או ln x = −2 ⟸ x = e−2 ≈ 0.135📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת – בודקים נקודה בכל תחום:
x = e−3 : 3 · (−3) · (−1) = 9 > 0 ← עולה
x = e−1 : 3 · (−1) · 1 = −3 < 0 ← יורדת
x = e : 3 · 1 · 3 = 9 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
0 < x < e−2+↗ עולה
e−20מקסימום
e−2 < x < 1−↘ יורדת
10מינימום
x > 1+↗ עולה
עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = e⁻²; יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 1.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(e−2) = 3e−2 · (ln e−2)2 = 3e−2 · (−2)2 = 12e−2 = 12e2 ≈ 1.62📐 ln של חזקת eln(ek) = k
f(1) = 3 · 1 · (ln 1)2 = 3 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (e−2 , 12e2) ≈ (0.135 , 1.62) , מינימום (1 , 0)

סעיף ג – איזה גרף מתאר את f(x)?

f(x) = 3x(ln x)2 ≥ 0 לכל x > 0 (מכפלה של מספר חיובי בריבוע), ונוגעת בציר ה־x רק ב־(1 , 0), שהיא נקודת מינימום. לפניה יש מקסימום ב־(0.135 , 1.62), וכש־x מתקרב ל־0 גם f מתקרבת ל־0 (למשל f(0.001) ≈ 0.14).
גרף IV הוא היחיד שכולו מעל ציר ה־x, יוצא מהראשית, עולה למקסימום, יורד ונוגע בציר ה־x, ואחר כך עולה.
xy0.511.522.51234(0.14 , 1.62)(1 , 0)
הגרף של f(x) = 3x(ln x)2 – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ד – השטח בין f′(x) לציר ה־x

f′ חותכת את ציר ה־x ב־x = e−2 וב־x = 1, וביניהן היא שלילית (מתחת לציר). משמאל ל־e−2 ומימין ל־1 הגרף עולה לאינסוף ולא סוגר שטח. לכן השטח הסגור הוא בין e−2 ל־1, מתחת לציר:
S = −∫e−21 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ab h(x) dx , h ≤ 0
= −[f(1) − f(e−2)] = f(e−2) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
= 12e2 − 0 = 12e2 ≈ 1.62
xy0.51.52−33e⁻²1S
הגרף של f′(x) והשטח S בין x = e−2 ל־x = 1
✅ פתרון סופי: S = 12e2 ≈ 1.62 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אגרף II
סעיף ב (1)(1 , 0); אין חיתוך עם ציר y
סעיף ב (2)מקסימום (e−2 , 12/e2) ≈ (0.135 , 1.62)
מינימום (1 , 0)
סעיף גגרף IV
סעיף ד12/e2 ≈ 1.62
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות