בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2026 מועד ב'
פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב (וקטורים) וגדילה ודעיכה; פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה שעתיים ועשרים דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה א'
📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד ב'
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
- שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: איסוף בקבוקים
- שאלה 2 – וקטורים בתיבה שבסיסה ריבוע
- שאלה 3 – גדילה ודעיכה: פינגווינים
- פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר וערך מוחלט
- שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מנה) ושטח
שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: איסוף בקבוקים
📄 נוסח השאלה
תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור תמורת כסף.
תלמידי כיתה י"ב1 אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. מספר הבקבוקים שהם אספו בכל שבוע גדול פי q ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע שלפניו. מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הרביעי גדול פי 3.375 ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע הראשון.
א. מצאו את הערך של q.
מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה 2,425.
ב. מצאו את מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון.
תלמידי כיתה י"ב2 אספו בקבוקים במשך 18 שבועות. בכל שבוע הם אספו d בקבוקים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע השני תלמידי כיתה י"ב2 אספו 230 בקבוקים. תלמידי כיתה י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים סך הכול.
ג. מצאו את הערך של d.
בעבור כל בקבוק שהעבירו התלמידים למחזור, הם קיבלו 0.3 שקלים. העלות של מסיבת הסיום היא 3,400 שקלים.
ד. האם הסכום הכולל שקיבלו תלמידי שתי הכיתות ממחזור כל הבקבוקים יספיק למימון עלות המסיבה? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – המנה q
בכל שבוע מספר הבקבוקים גדל פי q מהשבוע הקודם, ולכן המספרים של כיתה י"ב1 הם סדרה הנדסית עם מנה q. נסמן ב־a1 את מספר הבקבוקים בשבוע הראשון.
מבטאים את השבוע הרביעי בעזרת הנוסחה (n = 4):
a4 = a1 · q4 − 1 = a1 · q3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
נתון: בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון, כלומר a4 = 3.375 · a1. מציבים:
a1 · q3 = 3.375 · a1
מחלקים את שני האגפים ב־a1 (מותר, כי a1 ≠ 0):
q3 = 3.375
q = 3.37513 = 1.5📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
בדיקה: 1.5 · 1.5 = 2.25 2.25 · 1.5 = 3.375 ✓
✅ פתרון סופי: q = 1.5
סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון
השבוע האחרון של י"ב1 הוא השבוע החמישי. נתון: a1 + a5 = 2,425.
a5 = a1 · q5 − 1 = a1 · q4📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחשבים את q4 עם q = 1.5:
1.54 = 1.52 · 1.52 = 2.25 · 2.25 = 5.0625
a5 = 5.0625a1
מציבים במשוואה של הסכום:
a1 + 5.0625a1 = 2,425
6.0625a1 = 2,425
a1 = 2,4256.0625 = 400
בדיקה: a5 = 400 · 5.0625 = 2,025 400 + 2,025 = 2,425 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = 400 בקבוקים
סעיף ג – ההפרש d
בכל שבוע י"ב2 אספו d בקבוקים יותר מהשבוע הקודם, ולכן זו סדרה חשבונית עם הפרש d ו־18 איברים. כדי לא להתבלבל עם י"ב1, נסמן את האיבר הראשון שלה ב־b1.
השבוע השני (n = 2):
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
b1 + d = 230
b1 = 230 − d
סך הכול ב־18 שבועות (n = 18):
S18 = 182 · (2b1 + (18 − 1)d)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
9 · (2b1 + 17d) = 6,300
מחלקים את שני האגפים ב־9:
2b1 + 17d = 6,3009 = 700
מציבים b1 = 230 − d:
2(230 − d) + 17d = 700
460 − 2d + 17d = 700
460 + 15d = 700
15d = 700 − 460 = 240
d = 24015 = 16
b1 = 230 − 16 = 214
בדיקה: S18 = 9 · (2 · 214 + 17 · 16) = 9 · (428 + 272) = 9 · 700 = 6,300 ✓
✅ פתרון סופי: d = 16
סעיף ד – האם הכסף יספיק?
קודם מחשבים כמה בקבוקים אספה י"ב1 בכל 5 השבועות – סכום של סדרה הנדסית:
S5 = 400 · (1.55 − 1)1.5 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
1.55 = 1.54 · 1.5 = 5.0625 · 1.5 = 7.59375
S5 = 400 · (7.59375 − 1)0.5 = 400 · 6.593750.5 = 2,637.50.5 = 5,275
בדיקה: לפי השבועות: 400 , 600 , 900 , 1,350 , 2,025 ← 400 + 600 + 900 + 1,350 + 2,025 = 5,275 ✓
י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים (נתון). סך הבקבוקים של שתי הכיתות:
5,275 + 6,300 = 11,575
על כל בקבוק מקבלים 0.3 שקלים:
11,575 · 0.3 = 3,472.5 שקלים
משווים לעלות המסיבה:
3,472.5 > 3,400 (נשארים 3,472.5 − 3,400 = 72.5 שקלים)
✅ פתרון סופי: כן – הסכום הוא 3,472.5 שקלים, יותר מ־3,400 שקלים.
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | q = 1.5 |
|---|---|
| סעיף ב | 400 בקבוקים |
| סעיף ג | d = 16 |
| סעיף ד | כן – 3,472.5 > 3,400 שקלים |
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – וקטורים בתיבה שבסיסה ריבוע
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה F היא אמצע המקצוע BC. הנקודה E נמצאת על האלכסון A′C′, כך שמתקיים A′E = 34 A′C′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים A′E ו־FE.
נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא 4.
ב. חשבו את האורך של הווקטור A′E.
נתון: |A′E| = |FE|.
ג. הראו כי התיבה היא קובייה.
ד. (1) הראו כי FE מאונך ל־A′C′. (2) חשבו את שטח המשולש A′FC′.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה, מקצועות מקבילים ושווים הם וקטורים שווים: A′B′ = AB = u , B′C′ = BC = v , CC′ = AA′ = w.
הווקטור A′E: קודם האלכסון A′C′ – הולכים מ־A′ ל־B′ ואז ל־C′:
A′C′ = A′B′ + B′C′ = u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
הנקודה E נמצאת על האלכסון, ו־A′E = 34A′C′:
A′E = 34(u + v) = 34u + 34v📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
הווקטור FE: הולכים מ־F ל־C, עולים ל־C′, ומשם הולכים על האלכסון אחורה עד E:
FE = FC + CC′ + C′E📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
F אמצע BC, ולכן FC = 12BC = 12v. וגם CC′ = w.
A′E הוא 34 מהאלכסון, ולכן מה שנשאר, EC′, הוא 14 מהאלכסון. הכיוון מ־C′ ל־E הפוך:
C′E = −EC′ = −14(u + v) = −14u − 14v📐 וקטור נגדיYX = −XY
מציבים את שלושת החלקים:
FE = 12v + w − 14u − 14v
מכנסים את האיברים עם v:
12v − 14v = 24v − 14v = 14v
FE = −14u + 14v + w
✅ פתרון סופי: A′E = 34u + 34v , FE = −14u + 14v + w
סעיף ב – האורך של הווקטור A′E
הבסיס ABCD הוא ריבוע עם צלע 4, ולכן |u| = |v| = 4, וגם u מאונך ל־v:
u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u2 = |u|2 = 42 = 16 , v2 = 16📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
מחשבים את ריבוע האורך של A′E:
|A′E|2 = (34u + 34v)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
= (34)2u2 + 2 · 34 · 34 u·v + (34)2v2📐 ריבוע של סכום(a + b)2= a2 + 2a·b + b2
= 916 · 16 + 2 · 916 · 0 + 916 · 16
= 9 + 0 + 9 = 18
|A′E| = √18 = √(9 · 2) = 3√2 ≈ 4.24📐 כפל שורשים√(a · b) = √a · √b
בדיקה בדרך אחרת: במשולש A′B′C′ הזווית ב־B′ ישרה (פינה של ריבוע):
A′C′2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
A′C′ = √32 = 4√2 ← A′E = 34 · 4√2 = 3√2 ✓
✅ פתרון סופי: |A′E| = 3√2 ≈ 4.24
סעיף ג – התיבה היא קובייה
נסמן את גובה התיבה |w| = h. המקצוע AA′ מאונך לבסיס, ולכן w מאונך גם ל־u וגם ל־v:
u · w = 0 , v · w = 0 , u · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
מחשבים את ריבוע האורך של FE:
|FE|2 = (−14u + 14v + w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
פותחים ריבוע של סכום של שלושה וקטורים – שלושה ריבועים ועוד פעמיים כל מכפלה של שניים:
= 116u2 + 116v2 + w2 − 216u·v − 24u·w + 24v·w📐 ריבוע של סכום שלושה(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2+ 2ab + 2ac + 2bc
כל המכפלות הסקלריות שוות 0 (הווקטורים מאונכים זה לזה):
= 116 · 16 + 116 · 16 + h2 = 1 + 1 + h2 = 2 + h2
נתון |A′E| = |FE|, ולכן גם הריבועים שווים. מסעיף ב: |A′E|2 = 18.
2 + h2 = 18
h2 = 18 − 2 = 16
h = √16 = 4 (אורך חיובי)
בדיקה בשרטוט: נוריד אנך מ־E לבסיס, לנקודה G. מ־F ל־G הולכים 1 אחורה בכיוון u ו־1 קדימה בכיוון v:
FG2 = 12 + 12 = 2 , FE2 = FG2 + EG2 = 2 + h2 ✓📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
אז כל המקצועות שווים: AB = BC = 4 (ריבוע) וגם AA′ = 4. בתיבה כל 12 המקצועות שווים ל־4, ולכן היא קובייה.
✅ פתרון סופי: h = 4 = AB = BC ← התיבה היא קובייה
סעיף ד (1) – FE מאונך ל־A′C′
שני וקטורים מאונכים אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. מסעיף א: A′C′ = u + v.
FE · A′C′ = (−14u + 14v + w) · (u + v)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
פותחים סוגריים – כל איבר מהסוגריים הראשונים כפול כל איבר מהשניים:
= −14u2 − 14u·v + 14v·u + 14v2 + w·u + w·v📐 פתיחת סוגריים(a + b + c)(d + e)= ad + ae + bd + be + cd + ce
מציבים u2 = v2 = 16 (הקובייה מסעיף ג) וכל מכפלה של שני וקטורים מאונכים היא 0:
= −14 · 16 − 0 + 0 + 14 · 16 + 0 + 0
= −4 + 4 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן FE ⊥ A′C′
סעיף ד (2) – שטח המשולש A′FC′
הנקודה E נמצאת על הצלע A′C′, ו־FE מאונך לה (סעיף ד (1)). לכן FE הוא הגובה מהקודקוד F לצלע A′C′.
אורך הצלע: A′C′ = |u + v| = 4√2 (סעיף ב).
אורך הגובה: FE = A′E = 3√2 (נתון בסעיף ג, ו־A′E חושב בסעיף ב).
S = A′C′ · FE2 = 4√2 · 3√22📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
√2 · √2 = 2, ולכן 4√2 · 3√2 = 12 · 2 = 24:
📐 כפל שורשים√a · √a = aS = 242 = 12
✅ פתרון סופי: S = 12 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | A′E = 34u + 34v FE = −14u + 14v + w |
|---|---|
| סעיף ב | 3√2 ≈ 4.24 |
| סעיף ג | גובה 4 = מקצוע הבסיס ← קובייה |
| סעיף ד (1) | המכפלה הסקלרית 0 ← מאונכים |
| סעיף ד (2) | S = 12 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – גדילה ודעיכה: פינגווינים
📄 נוסח השאלה
באזור A חיים פינגווינים. מתחילת שנת 2000 מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע.
א. האם ההפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת 2000 ובין מספרם בתחילת שנת 2001 שווה להפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת 2001 ובין מספרם בתחילת שנת 2002? נמקו את תשובתכם.
בתחילת שנת 2000 היו 253,000 פינגווינים באזור A. מספר הפינגווינים באזור זה קטן ב־5% בכל שנה. גם באזור B חיים פינגווינים. מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת 2000 היו 313,000 פינגווינים באזור B. בתחילת שנת 2010 מספר הפינגווינים באזור A היה שווה למספר הפינגווינים באזור B.
ב. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הפינגווינים באזור B בכל שנה.
ג. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2000 מספר הפינגווינים באזור B היה 98,000.
מתחילת שנת 2018, בעקבות שיקום אזור A, גדל מספר הפינגווינים באזור זה ב־2% בכל שנה.
ד. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2018 גדל מספר הפינגווינים באזור A ב־17% ממספרם בתחילת שנת 2018.
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – האם ההפרשים שווים?
המספר קטן כל שנה באחוז קבוע, ולכן כל שנה הוא מוכפל באותה מנה q, כאשר 0 < q < 1. נסמן ב־M0 את המספר בתחילת 2000 (t = 0).
M(1) = M0 · q , M(2) = M0 · q2📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
ההפרש בשנה הראשונה (2000 עד 2001):
M0 − M0q = M0(1 − q)
ההפרש בשנה השנייה (2001 עד 2002):
M0q − M0q2 = M0q(1 − q)
ההפרש השני שווה להפרש הראשון כפול q. מכיוון ש־q < 1, ההפרש השני קטן מהראשון – כל שנה יורדים פחות פינגווינים, כי מורידים אחוז ממספר קטן יותר.
דוגמה עם הנתונים של סעיף ב (q = 0.95): 253,000 → 240,350 → 228,332.5; ההפרשים: 12,650 לעומת 12,017.5.
✅ פתרון סופי: לא – ההפרש השני קטן פי q מהראשון.
סעיף ב – אחוז הירידה באזור B
באזור A הירידה היא 5% בשנה:
qA = 1 − 5100 = 0.95📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
מתחילת 2000 עד תחילת 2010 עברו t = 10 שנים.
MA(10) = 253,000 · 0.9510📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
MB(10) = 313,000 · q10📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
בתחילת 2010 המספרים שווים:
313,000 · q10 = 253,000 · 0.9510
0.9510 ≈ 0.59874
313,000 · q10 ≈ 253,000 · 0.59874 ≈ 151,480.4
q10 ≈ 151,480.4313,000 ≈ 0.48396
q ≈ 0.48396110 ≈ 0.93📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
מוצאים את אחוז הירידה:
0.93 = 1 − p100📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.93 = 0.07
p = 0.07 · 100 = 7
בדיקה: 313,000 · 0.9310 ≈ 313,000 · 0.48398 ≈ 151,487 – כמעט בדיוק 151,480 (ההבדל רק מהעיגול) ✓
✅ פתרון סופי: 7% בכל שנה
סעיף ג – מתי היו באזור B 98,000 פינגווינים?
313,000 · 0.93t = 98,000📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־313,000:
0.93t = 98,000313,000 ≈ 0.31310
t = ln 0.31310ln 0.93📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
t ≈ −1.16123−0.07257 ≈ 16.0
בדיקה: 313,000 · 0.9316 ≈ 313,000 · 0.3131 ≈ 98,000 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 16 שנים (בתחילת שנת 2016)
סעיף ד – גידול של 17% באזור A
מתחילת 2018 המספר גדל ב־2% בשנה:
q = 1 + 2100 = 1.02📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
נסמן ב־M0 את המספר בתחילת 2018. גידול של 17% פירושו שהמספר הגיע ל־117% · M0 = 1.17 · M0:
M0 · 1.02t = 1.17 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
1.02t = 1.17
t = ln 1.17ln 1.02📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
t ≈ 0.157000.01980 ≈ 7.93
בדיקה: 1.027.93 ≈ 1.170 ✓
✅ פתרון סופי: כעבור 7.93 שנים בערך
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | לא – ההפרש השני קטן יותר |
|---|---|
| סעיף ב | 7% בשנה |
| סעיף ג | 16 שנים |
| סעיף ד | 7.93 שנים |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 9 – מציאת q
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר וערך מוחלט
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = (3x2 − a) · ex, המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר. נתון כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 1.
א. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 9 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ה.
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל x.
ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – מציאת הפרמטר a
הפונקצייה היא מכפלה של u = 3x2 − a ושל v = ex. גוזרים לפי נגזרת מכפלה:
f′(x) = (3x2 − a)′ · ex + (3x2 − a) · (ex)′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(3x2 − a)′ = 3 · 2x2 − 1 − 0 = 6x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
(ex)′ = ex📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
f′(x) = 6x · ex + (3x2 − a) · ex
מוציאים ex גורם משותף:
f′(x) = ex(3x2 + 6x − a)
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן f′(1) = 0:
e1(3 · 12 + 6 · 1 − a) = 0 e(9 − a) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
e ≠ 0, ולכן הסוגריים שווים 0:
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 09 − a = 0
a = 9
(בסעיף ב נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב־x = 1, כלומר זו באמת נקודת קיצון.)
✅ פתרון סופי: a = 9
סעיף ב – נקודות הקיצון
מציבים a = 9:
f(x) = (3x2 − 9) · ex , f′(x) = ex(3x2 + 6x − 9)
ex(3x2 + 6x − 9) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ex > 0 תמיד, ולכן רק הסוגריים יכולים להתאפס:
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 03x2 + 6x − 9 = 0
מחלקים את שני האגפים ב־3:
x2 + 2x − 3 = 0
a = 1 , b = 2 , c = −3 (כאן a הוא המקדם במשוואה, לא הפרמטר)
📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2ab2 − 4ac = 22 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 , √16 = 4
x1,2 = −2 ± 42 · 1📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 = −2 + 42 = 22 = 1 , x2 = −2 − 42 = −62 = −3
סימן הנגזרת נקבע רק לפי 3x2 + 6x − 9 (כי ex > 0). בודקים נקודה בכל תחום:
x = −4 : 3 · 16 − 24 − 9 = 15 > 0 ← עולה
x = 0 : 0 + 0 − 9 = −9 < 0 ← יורדת
x = 2 : 12 + 12 − 9 = 15 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| x < −3 | + | ↗ עולה |
| −3 | 0 | מקסימום |
| −3 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 | 0 | מינימום |
| x > 1 | + | ↗ עולה |
עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = −3. יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 1.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםמחשבים את שיעורי ה־y (מציבים בפונקצייה המקורית):
f(−3) = (3 · (−3)2 − 9) · e−3 = (27 − 9) · e−3 = 18e−3 = 18e3 ≈ 0.90📐 מעריך שליליa−n = 1an
f(1) = (3 · 12 − 9) · e1 = (3 − 9) · e = −6e ≈ −16.31
✅ פתרון סופי: מקסימום (−3 , 18e3) ≈ (−3 , 0.90) , מינימום (1 , −6e) ≈ (1 , −16.31)
סעיף ג – נקודות החיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y – מציבים x = 0:
f(0) = (3 · 0 − 9) · e0 = −9 · 1 = −9📐 חזקה עם מעריך 0a0 = 1
חיתוך עם ציר x – משווים f(x) = 0:
(3x2 − 9) · ex = 0
ex > 0, ולכן:
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 03x2 − 9 = 0
3x2 = 9
x2 = 93 = 3
x = ±√3 ≈ ±1.73
✅ פתרון סופי: (0 , −9) , (√3 , 0) , (−√3 , 0)
סעיף ד – סקיצה של הגרף
מרכזים את מה שמצאנו: מקסימום (−3 , 0.90), מינימום (1 , −16.31), חיתוך עם ציר y ב־(0 , −9), חיתוכים עם ציר x ב־(±1.73 , 0).
מה קורה בקצוות: כש־x שלילי וגדול, ex קטן מאוד והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה – למשל f(−10) = 291 · e−10 ≈ 0.013. כש־x גדל, שני הגורמים גדלים והגרף עולה מאוד – למשל f(3) = 18e3 ≈ 361.5.
הגרף משורטט לפי הפונקצייה עצמה:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה
סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את g(x)?
g(x) = |f(x)|: איפה ש־f חיובית, g שווה ל־f; איפה ש־f שלילית (בין −√3 ל־√3), הגרף של f "מתהפך" למעלה.
📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0לכן לגרף של g יש התכונות האלה:
• הוא אף פעם לא מתחת לציר ה־x, ונוגע בו ב־x = ±√3.
• המינימום (1 , −16.31) של f הופך לשיא גבוה (1 , 16.31) – מימין לציר ה־y. וגם g(0) = |−9| = 9.
• משמאל הוא מתקרב לציר ה־x (כמו f), ומימין הוא עולה מאוד.
בודקים את הגרפים: בגרף I הגרף מתקרב משמאל לקו גבוה ולא לציר ה־x; בגרף II השיא הגבוה משמאל לציר ה־y והגרף מתקרב לציר ה־x מימין; בגרף III הגרף מתקרב מימין לקו קבוע במקום לעלות. רק גרף IV מתאים לכל התכונות.
✅ פתרון סופי: גרף IV מתאר את g(x)
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x)
משמאל ל־−√3, f > 0 ולכן g = f: המקסימום של f נשאר מקסימום של g.
g(−3) = |f(−3)| = 18e3 ≈ 0.90📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0
בין −√3 ל־√3, f < 0 ולכן g = −f: המינימום של f הופך למקסימום של g.
g(1) = |−6e| = 6e ≈ 16.31📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0
בנקודות x = ±√3 מתקיים g = 0, וזה הערך הכי קטן ש־g יכולה לקבל (ערך מוחלט אינו שלילי). הגרף יורד ל־0 ועולה שוב – אלה נקודות מינימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (−3 , 18e3) , מקסימום (1 , 6e) , מינימום (−√3 , 0) , מינימום (√3 , 0)
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | a = 9 |
|---|---|
| סעיף ב | מקסימום (−3 , 18/e3) ≈ (−3 , 0.90) ; מינימום (1 , −6e) ≈ (1 , −16.31) |
| סעיף ג | (0 , −9) , (±√3 , 0) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | גרף IV |
| סעיף ה (2) | מקסימום (−3 , 18/e3) , מקסימום (1 , 6e) ≈ (1 , 16.31) , מינימום (±√3 , 0) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מנה) ושטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = x2−6 + 4ln x.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).
ב. האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.
ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).
תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ד. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה f(x), ואיזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעותיכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = e3.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
שני תנאים: ה־ln צריך להיות מוגדר, והמכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
המכנה שונה מ־0:
−6 + 4ln x ≠ 0
בודקים מתי המכנה שווה 0:
4ln x = 6
ln x = 64 = 1.5
x = e1.5 ≈ 4.48📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e1.5 (כלומר 0 < x < e1.5 או x > e1.5)
סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית
ב־x = e1.5 המכנה מתאפס. בודקים את המונה שם:
(e1.5)2 = e1.5 · 2 = e3 ≈ 20.09 ≠ 0📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
המכנה 0 והמונה לא 0, ולכן יש אסימפטוטה אנכית ב־x = e1.5.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0ב־x = 0 (קצה התחום) אין אסימפטוטה: כשמתקרבים ל־0 המונה מתקרב ל־0 והמכנה שלילי וגדול, כך ש־f מתקרבת ל־0. למשל f(0.01) = 0.0001−6 + 4 · (−4.605) ≈ −0.000004.
✅ פתרון סופי: x = e1.5 (בערך x ≈ 4.48)
סעיף ב – האם הגרף חותך את ציר ה־x?
שבר שווה 0 רק כשהמונה שווה 0:
x2 = 0
x = 0
אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (צריך x > 0).
📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0✅ פתרון סופי: לא – הנקודה היחידה שמאפסת את המונה, x = 0, לא בתחום ההגדרה.
סעיף ג (1) – נקודת הקיצון
הפונקצייה היא מנה: u = x2 , v = −6 + 4ln x.
המונה של f′(x): (x2)′ · (−6 + 4ln x) − x2 · (−6 + 4ln x)′
📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2המכנה של f′(x): (−6 + 4ln x)2
(x2)′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
(−6 + 4ln x)′ = 0 + 4 · 1x = 4x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
המונה של הנגזרת:
2x(−6 + 4ln x) − x2 · 4x
= −12x + 8x ln x − 4x
= 8x ln x − 16x = 8x(ln x − 2)
f′(x) = 8x(ln x − 2)(−6 + 4ln x)2
8x(ln x − 2) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
בתחום x > 0, ולכן 8x ≠ 0. נשאר:
ln x − 2 = 0
ln x = 2
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סוג הקיצון: המכנה בריבוע חיובי, ו־8x > 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן של ln x − 2. בודקים משני הצדדים של e2:
x = e1.8 : ln x − 2 = 1.8 − 2 = −0.2 < 0 ← יורדת
x = e3 : ln x − 2 = 3 − 2 = 1 > 0 ← עולה
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםשיעור ה־y:
f(e2) = (e2)2−6 + 4ln(e2)📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
ln(e2) = 2 ← f(e2) = e4−6 + 4 · 2 = e42 ≈ 27.30📐 ln של חזקת eln(ek) = k
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , e42) ≈ (7.39 , 27.30)
סעיף ג (2) – תחומי עלייה וירידה
הנגזרת שלילית כש־ln x < 2 (כלומר x < e2) וחיובית כש־x > e2. צריך לזכור שהאסימפטוטה x = e1.5 חוצה את תחום הירידה לשני חלקים (הפונקצייה לא מוגדרת שם).
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < e1.5 | − | ↘ יורדת |
| e1.5 | לא מוגדרת | אסימפטוטה |
| e1.5 < x < e2 | − | ↘ יורדת |
| e2 | 0 | מינימום |
| x > e2 | + | ↗ עולה |
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < e1.5 , e1.5 < x < e2 ; עלייה: x > e2
סעיף ד (1) – זיהוי הגרפים
הגרף של f(x): משמאל לאסימפטוטה (0 < x < e1.5) מתקיים ln x < 1.5, ולכן המכנה −6 + 4ln x < 0, בעוד שהמונה x2 > 0. לכן שם f(x) < 0 – הגרף מתחת לציר ה־x, יורד לכיוון האסימפטוטה. מימין לאסימפטוטה הגרף יורד עד המינימום (7.39 , 27.30) ואז עולה.
רק בגרף III הענף השמאלי מתחת לציר ה־x (בגרף IV הוא מעל הציר), ולכן f(x) הוא גרף III.
הגרף של f′(x): מסעיף ג: f′ < 0 בשני החלקים שמשמאל ל־e2, f′ = 0 ב־x = e2, ו־f′ > 0 מימינה. כלומר הגרף מתחת לציר ה־x משני צידי האסימפטוטה, חותך את ציר ה־x פעם אחת מימין לאסימפטוטה, ואחר כך מעל הציר.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדתגרף II מתאים לזה. בגרף I הענף השמאלי מעל ציר ה־x, ושם הנגזרת שלילית – לא מתאים.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף III ; f′(x) – גרף II
סעיף ד (2) – השטח
הגרף של f′ חותך את ציר ה־x ב־x = e2 (סעיף ג). משמאל ל־e2 הנגזרת שלילית ויורדת למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה – שם אין שטח סגור. לכן השטח המוגבל על ידי f′, ציר ה־x והישר x = e3 הוא בין x = e2 ל־x = e3, ושם f′ ≥ 0.
S = ∫e2e3 f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ab h(x) dx , h ≥ 0
הפונקצייה הקדומה של f′ היא f עצמה:
S = f(e3) − f(e2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(e3) = (e3)2−6 + 4ln(e3) = e6−6 + 4 · 3 = e66📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
ln(e3) = 3📐 ln של חזקת eln(ek) = k
f(e2) = e42 (מסעיף ג)
S = e66 − e42
≈ 67.238 − 27.299 ≈ 39.94
✅ פתרון סופי: S = e66 − e42 ≈ 39.94 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ e1.5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = e1.5 |
| סעיף ב | לא |
| סעיף ג (1) | מינימום (e2 , e4/2) ≈ (7.39 , 27.30) |
| סעיף ג (2) | ירידה: 0 < x < e1.5 , e1.5 < x < e2 עלייה: x > e2 |
| סעיף ד (1) | f – גרף III f′ – גרף II |
| סעיף ד (2) | e6/6 − e4/2 ≈ 39.94 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il