בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גאומטרייה;, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות מתוך 8 (בלי חובה מכל פרק), 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

נועם התאמן לקראת תחרות שחייה. בכל אימון, החל מן האימון השני, שחה נועם 50 מטר יותר מבאימון שקדם לו. ידוע כי המרחק ששחה נועם באימון השמיני גדול פי 2 מן המרחק ששחה באימון הראשון.

א. מצאו כמה מטרים שחה נועם באימון הראשון.

ב. (1) האם ייתכן שבאחד האימונים שחה נועם 830 מטר בדיוק? נמקו. (2) מצאו באיזה אימון שחה נועם 1,000 מטר בדיוק.

אחרי האימון שבו שחה נועם 1,000 מטר בפעם הראשונה, החליט נועם לשנות את שיטת האימון שלו ולשחות בכל אחד מן האימונים שבאו אחריו 1,000 מטר בדיוק. ידוע כי עד לתחרות שחה נועם בכל האימונים 25,450 מטר סך הכול.

ג. כמה אימונים סך הכול התאמן נועם לקראת התחרות?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המרחק באימון הראשון

המרחקים הם סדרה חשבונית עם הפרש d = 50.
a8 = a1 + 7 · 50 = a1 + 350📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a1 + 350 = 2a1 → a1 = 350
✅ פתרון סופי: 350 מטר

סעיף ב (1) – 830 מטר?

350 + 50(n − 1) = 830 → 50(n − 1) = 480 → n − 1 = 9.6📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
n = 10.6 – לא מספר שלם, ולכן אין אימון כזה.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

סעיף ב (2) – באיזה אימון 1,000 מטר

350 + 50(n − 1) = 1,000 → 50(n − 1) = 650 → n − 1 = 13 → n = 14
✅ פתרון סופי: באימון ה־14

סעיף ג – מספר האימונים

S14 = 142(350 + 1,000) = 7 · 1,350 = 9,450📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
25,450 − 9,450 = 16,000 מטר נשארו לאימונים של 1,000 מטר.
16,0001,000 = 16 אימונים נוספים.
14 + 16 = 30
✅ פתרון סופי: 30 אימונים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א350 מטר
סעיף ב (1)לא
סעיף ב (2)האימון ה־14
סעיף ג30
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה: טבלת שכיחויות

📄 נוסח השאלה

ביישוב א' בדקו כמה מכוניות יש לכל משפחה. התברר שביישוב א' יש משפחות שאין ברשותן מכוניות כלל ומשפחות שיש ברשותן מכונית אחת, 2 מכוניות או 3 מכוניות בלבד. הטבלה שלפניכם מתארת את התפלגות מספר המכוניות למשפחה ביישוב א'.

מספר המכוניות למשפחה0123
מספר המשפחות30yx6

ידוע כי ביישוב א' יש בממוצע מכונית אחת למשפחה.

א. מצאו את x (מספר המשפחות ביישוב א' שיש ברשותן 2 מכוניות).

נתון כי סטיית התקן של מספר המכוניות למשפחה ביישוב א' היא 67.

ב. (1) מצאו כמה משפחות יש ביישוב א'. (2) מצאו את השכיח ואת החציון של מספר המכוניות למשפחה ביישוב א'.

גם ביישוב ב' יש משפחות שאין ברשותן מכוניות כלל ומשפחות שיש ברשותן מכונית אחת, 2 מכוניות או 3 מכוניות בלבד. מספר המשפחות ביישוב ב' שווה למספר המשפחות ביישוב א'. החציון של מספר המכוניות למשפחה ביישוב ב' הוא 0.5.

ג. לכמה משפחות ביישוב ב' אין מכוניות כלל?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הערך של x

N = 30 + y + x + 6 = 36 + x + y
0 · 30 + 1 · y + 2x + 3 · 636 + x + y = 1📐 ממוצע בטבלת שכיחויותx̄ = סכום של ערך · שכיחותN
y + 2x + 18 = 36 + x + y → x = 18
✅ פתרון סופי: x = 18

סעיף ב (1) – מספר המשפחות

הממוצע 1. סכום ריבועי המרחקים מ־1, כפול השכיחויות (y משפחות עם מכונית אחת תורמות 0):
30 · (0 − 1)2 + 18 · (2 − 1)2 + 6 · (3 − 1)2 = 30 + 18 + 24 = 72
72N = (67)2 = 3649📐 שונותS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
N = 72 · 4936 = 98
y = 98 − 30 − 18 − 6 = 44
✅ פתרון סופי: 98 משפחות

סעיף ב (2) – שכיח וחציון

מספר המכוניות0123
מספר המשפחות3044186
השכיח: הערך עם השכיחות הגדולה ביותר – 1 (44 משפחות).📐 שכיחהערך שמופיע הכי הרבה פעמים
98 ערכים ← החציון הוא ממוצע הערכים במקום ה־49 וה־50. 30 הראשונים הם 0, ובמקומות 31 עד 74 הערך 1.📐 חציוןמסדרים את הערכים; במספר זוגי – ממוצע שני האמצעיים
1 + 12 = 1
✅ פתרון סופי: שכיח 1 , חציון 1

סעיף ג – יישוב ב'

גם ביישוב ב' 98 משפחות. החציון 0.5 הוא ממוצע הערכים במקום ה־49 וה־50, והערכים שלמים. לכן במקום ה־49 הערך 0 ובמקום ה־50 הערך 1:
0 + 12 = 0.5 ✓
לכן בדיוק 49 משפחות בלי מכונית.
✅ פתרון סופי: 49 משפחות

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx = 18
סעיף ב (1)98
סעיף ב (2)שכיח 1 , חציון 1
סעיף ג49
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 8 – סטיית תקן
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

לשירה יש סל ובו x כדורים סך הכול. 12 מן הכדורים שבסל הם ירוקים והשאר אדומים. נתון: ההסתברות להוציא 2 כדורים ירוקים בזה אחר זה עם החזרה היא 0.36.

א. מצאו את x.

שירה מוציאה באקראי כדור מן הסל. אם הכדור אדום, היא מחזירה אותו לסל ושוב מוציאה באקראי כדור מן הסל. אם הכדור ירוק, היא משאירה אותו בחוץ ושוב מוציאה באקראי כדור מן הסל.

ב. מהי ההסתברות ששירה תוציא לפחות כדור ירוק אחד?

ג. אם ידוע ששירה הוציאה לפחות כדור ירוק אחד, מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים בצבעים השונים זה מזה?

לשירה יש סל נוסף, ובו x כדורים (ה־x שמצאתם בסעיף א). גם בסל הזה 12 מן הכדורים הם ירוקים והשאר אדומים. שירה מוציאה באקראי מן הסל הזה שני כדורים עם החזרה.

ד. מהי ההסתברות שכל ארבעת הכדורים שהוציאה שירה משני הסלים היו באותו הצבע?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של x

(12x)2 = 0.36📐 עם החזרהההסתברות זהה בכל הוצאה – כופלים
12x = 0.6 → x = 20
✅ פתרון סופי: x = 20

סעיף ב – לפחות ירוק אחד

12 ירוקים ו־8 אדומים. המשלים: שני אדומים – והאדום חוזר:
P = 1 − 820 · 820 = 1 − 0.16 = 0.84📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
✅ פתרון סופי: 0.84

סעיף ג – צבעים שונים, בידיעה שלפחות ירוק אחד

P(י, א) = 1220 · 819 = 96380 = 2495 (הירוק לא חוזר)
P(א, י) = 820 · 1220 = 0.24 = 625
P(שונים) = 2495 + 625 = 234475 ≈ 0.4926
P = 0.49260.84 = 78133 ≈ 0.586📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 78133 ≈ 0.586

סעיף ד – ארבעה כדורים באותו צבע

סל ראשון (ירוק לא חוזר, אדום חוזר):
P(י, י) = 1220 · 1119 = 3395 ; P(א, א) = 0.16
סל שני (עם החזרה):
P(י, י) = 0.62 = 0.36 ; P(א, א) = 0.42 = 0.16
P = 3395 · 0.36 + 0.16 · 0.16 ≈ 0.1251 + 0.0256 ≈ 0.1507📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
✅ פתרון סופי: ≈ 0.1507 (בדיוק 1,78911,875)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx = 20
סעיף ב0.84
סעיף ג78133
סעיף ד≈ 0.1507
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מעגל במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מעגל, העובר דרך הנקודות C , A ו־O. O היא ראשית הצירים. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה A. הנקודה B נמצאת מחוץ למעגל, על החלק החיובי של ציר ה־x. הקטע CB חותך את המעגל בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∢EOB = ∢EBO.

א. הוכיחו: AC = AB.

נתון: A(4 , 0) , C(0 , 3).

ב. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ג. (1) הוכיחו כי AC הוא קוטר במעגל. (2) מצאו את משוואת המעגל.

נתון כי שיעור ה־x של הנקודה E הוא 4.5.

ד. פי כמה גדול שטח המשולש COB משטח המשולש EOB?

ה. חשבו את גודל הזווית EOB.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה ש־AC = AB

∢ACE = ∢AOE – זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת AE.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת – שוות
∢AOE = ∢EOB – אותה זווית (A על OB).
∢EOB = ∢EBO – נתון. לכן ∢ACB = ∢ABC.
במשולש ACB שתי זוויות שוות ← הצלעות שמולן שוות: AB = AC.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
✅ פתרון סופי: AC = AB ✓

סעיף ב – שיעורי B

AC = √(4 − 0)2 + (0 − 3)2 = √25 = 5📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AB = AC = 5, ו־B מימין ל־A על ציר ה־x: xB = 4 + 5 = 9.
✅ פתרון סופי: B(9 , 0)

סעיף ג (1) – AC קוטר

∢COA = 90 (בין הצירים), והיא זווית היקפית במעגל ← נשענת על קוטר: AC קוטר.📐 זווית ישרה במעגלזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: AC קוטר ✓

סעיף ג (2) – משוואת המעגל

M = (4 + 02 , 0 + 32) = (2 , 1.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
R = 52 = 2.5 , R2 = 6.25
(x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25

סעיף ד – יחס השטחים

mCB = 0 − 39 − 0 = −13 ← y = −13x + 3📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
yE = −4.53 + 3 = 1.5 , E(4.5 , 1.5)
לשני המשולשים אותו בסיס OB = 9. הגבהים: ל־COB – 3, ל־EOB – 1.5:
SCOBSEOB = ½ · 9 · 3½ · 9 · 1.5 = 31.5 = 2📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
✅ פתרון סופי: פי 2

סעיף ה – הזווית EOB

מורידים אנך מ־E לציר ה־x (לנקודה (4.5 , 0)). במשולש ישר הזווית:
tan(∢EOB) = 1.54.5 = 13📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢EOB ≈ 18.43
✅ פתרון סופי: ∢EOB ≈ 18.43 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף בB(9 , 0)
סעיף ג (2)(x − 2)2 + (y − 1.5)2 = 6.25
סעיף דפי 2
סעיף ה18.43 מעלות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 35 – מציאת משוואת מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – משולש ודמיון במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC הקודקוד A מונח על ציר ה־x. הצלע AC חותכת את ציר ה־y בנקודה D. הצלע CB מקבילה לציר ה־x, וחותכת את ציר ה־y בנקודה E, כמתואר בסרטוט שלפניכם. O היא ראשית הצירים.

א. הוכיחו: △AOD ∼ △CED.

נתון כי משוואת הישר AC היא y = −43x + 4, וכי DODE = 23.

ב. (1) מצאו את אורך הקטע DE. (2) מצאו את משוואת הישר CB.

נתון: הצלע AB מאונכת לצלע AC.

ג. מצאו את משוואת הישר AB.

ד. חשבו את גודל הזווית CDE.

ה. חשבו את שטח המרובע ADEB.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – דמיון המשולשים

∢AOD = ∢CED = 90 – OA על ציר ה־x, ו־CE מקביל לציר ה־x; שניהם מאונכים לציר ה־y.
∢ADO = ∢CDE.📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות
לכן △AOD ∼ △CED.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △AOD ∼ △CED ✓

סעיף ב (1) – אורך DE

D – חיתוך AC עם ציר ה־y: D(0 , 4), ולכן DO = 4.
4DE = 23 → DE = 6
✅ פתרון סופי: DE = 6

סעיף ב (2) – משוואת CB

E מעל D על ציר ה־y: E(0 , 4 + 6) = (0 , 10). CB מקביל לציר ה־x, ולכן:
✅ פתרון סופי: y = 10

סעיף ג – משוואת AB

A – חיתוך AC עם ציר ה־x: 0 = −43x + 4 → x = 3, A(3 , 0).
m · (−43) = −1 → m = 34📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 0 = 34(x − 3) → y = 0.75x − 2.25📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
✅ פתרון סופי: y = 0.75x − 2.25

סעיף ד – הזווית CDE

C – חיתוך AC עם y = 10: 10 = −43x + 4 → x = −4.5, C(−4.5 , 10).
במשולש CED, ישר הזווית ב־E: CE = 4.5 , DE = 6.
tan(∢CDE) = 4.56 = 0.75📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CDE ≈ 36.87
✅ פתרון סופי: ∢CDE ≈ 36.87 מעלות

סעיף ה – שטח המרובע ADEB

B – חיתוך AB עם y = 10: 10 = 0.75x − 2.25 → x = 493, B(493 , 10).
השטח = שטח המשולש ABC פחות שטח המשולש CED.
CB = 493 + 4.5 = 1256 ; הגובה מ־A אל CB: 10
SABC = 12 · 1256 · 10 = 6256📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
SCED = 4.5 · 62 = 13.5
S = 6256 − 13.5 = 625 − 816 = 2723 ≈ 90.67
✅ פתרון סופי: S ≈ 90.67 (בדיוק 2723)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)DE = 6
סעיף ב (2)y = 10
סעיף גy = 0.75x − 2.25
סעיף ד36.87 מעלות
סעיף ה2723 ≈ 90.67
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – מציאת משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − bx − 4 + 1, b הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

נתון כי גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־y בנקודה (0 , 2.5).

ב. מצאו את b.

הציבו את הערך של b שמצאתם בסעיף ב בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ז.

ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ה. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ז. (1) אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

הגרפים I–IV לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 4

סעיף ב – הערך של b

f(0) = 0 − b0 − 4 + 1 = b4 + 1📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה
b4 + 1 = 2.5 → b4 = 1.5 → b = 6
✅ פתרון סופי: b = 6

סעיף ג – אסימפטוטות

f(x) = 2x − 6x − 4 + 1.
אנכית: x = 4 – המונה שם 8 − 6 = 2 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: חזקות שוות – השבר שואף ל־21 = 2, ועוד 1: y = 3.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה
✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 3

סעיף ד – חיתוך עם ציר ה־x

2x − 6x − 4 + 1 = 0
כופלים ב־x − 4:
2x − 6 + x − 4 = 0 → 3x = 10 → x = 103
✅ פתרון סופי: (103 , 0)

סעיף ה – עלייה וירידה

f′(x) = 2(x − 4) − (2x − 6) · 1(x − 4)2 = 2x − 8 − 2x + 6(x − 4)2 = −2(x − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
המונה שלילי והמכנה ריבוע חיובי ← f′(x) < 0 בכל התחום. אין נקודות קיצון.
xf′(x)f(x)
x < 4−↘ יורדת
x > 4−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: יורדת: x < 4 , x > 4
✅ פתרון סופי: עלייה: אין

סעיף ו – סקיצה

שני ענפים יורדים. משמאל ל־4: מתחיל קרוב ל־y = 3, עובר ב־(0 , 2.5) וב־(103 , 0) ויורד למינוס אינסוף. מימין ל־4: יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל־y = 3.
xyx = 4y = 3(0, 2.5)(10/3, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ז (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

f′(x) = −2(x − 4)2: שלילית בכל התחום (כל הגרף מתחת לציר ה־x), שואפת למינוס אינסוף משני צידי x = 4, ושואפת ל־0 בקצוות.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ < 0 ← הפונקצייה יורדת
רק בגרף II שני הענפים מתחת לציר ויורדים למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ז (2) – השטח

בין x = 0 ל־x = 1 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:
S = −∫10 f′(x) dx = f(0) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(1) = −4−3 + 1 = 73
S = 2.5 − 73 = 15 − 146 = 16
✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ 4
סעיף בb = 6
סעיף גx = 4 , y = 3
סעיף ד(103 , 0)
סעיף היורדת בכל התחום
סעיף ז (1)גרף II
סעיף ז (2)16
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציית שורש ושיקוף

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (x − 3) · √2x.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) במערכת הצירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x) ועל ידי ציר ה־x.

ו. הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x). נמקו.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

2x ≥ 0 → x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ 0

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

(x − 3) · √2x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
x = 3 או x = 0. ב־x = 0 גם f(0) = 0 – זו הנקודה על ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

(√2x)′ = 22√2x = 1√2x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 1 · √2x + (x − 3) · 1√2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף √2x:
f′(x) = 2x + x − 3√2x = 3x − 3√2x
3x − 3 = 0 → x = 1📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(1) = −2 · √2 ≈ −2.828
f′(0.5) = −1.51 < 0 ← יורדת ; f′(2) = 32 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
0קצה התחוםמקסימום קצה
0 < x < 1−↘ יורדת
10מינימום
x > 1+↗ עולה
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , −2√2)
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 0)

סעיף ד + ה – סקיצה של f ושל g

f: יוצא מ־(0 , 0), יורד למינימום (1 , −2.83), עולה וחוצה את ציר ה־x ב־(3 , 0).
g = −f: השיקוף של f ביחס לציר ה־x – מקסימום ב־(1 , 2.83), ואותן נקודות חיתוך.📐 שיקוף−f(x) ← שיקוף ביחס לציר ה־x
xyf: (1, −2.83)g: (1, 2.83)(3, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה (שני הגרפים)

סעיף ו – השטח בין f ל־g

הגרפים נפגשים כש־f = −f, כלומר f = 0: ב־x = 0 וב־x = 3.
בין 0 ל־3 f מתחת לציר ו־g מעליו, במרחק שווה מהציר. לכן השטח שבין הגרפים בנוי משני חלקים שווים, כל אחד בשטח S: אחד מתחת לציר ואחד מעליו.📐 שיקוףשיקוף שומר על שטחים
✅ פתרון סופי: 2S

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ 0
סעיף ב(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף גמינ׳ (1 , −2√2) , מקס׳ קצה (0 , 0)
סעיף ו2S
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פולינום וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x). פונקציית הנגזרת f′(x) חותכת את ציר ה־x בנקודות שבהן x = −1 , x = 0 , x = a בלבד (a > 0 הוא פרמטר).

גרף הנגזרת לשאלה 8

א. מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), ומהו סוגן? אם יש צורך, הביעו באמצעות a.

נתון כי הפונקצייה היא f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 12.

ב. (1) מצאו את a. (2) מצאו את שיעורי ה־y של נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x).

גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות שונות.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = a ועל ידי הישר x = −1.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודות הקיצון מגרף הנגזרת

קיצון יש היכן ש־f′ חותכת את הציר ומחליפה סימן. מהגרף:📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ מ־− ל־+ ← מינימום ; מ־+ ל־− ← מקסימום
ב־x = −1: f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום.
ב־x = 0: מפלוס למינוס ← מקסימום.
ב־x = a: ממינוס לפלוס ← מינימום.
✅ פתרון סופי: מינ׳ ב־x = −1 , מקס׳ ב־x = 0 , מינ׳ ב־x = a

סעיף ב (1) – הערך של a

f′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x📐 נגזרת של פולינום(xn)′ = n · xn − 1
= 12x(x2 − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1)
האפסים: x = 0 , x = −1 , x = 2.
✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ב (2) – שיעורי ה־y של נקודות הקיצון

f(−1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7
f(0) = 12
f(2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20
✅ פתרון סופי: מינ׳ (−1 , 7) , מקס׳ (0 , 12) , מינ׳ (2 , −20)

סעיף ג – סקיצה

הגרף יורד מלמעלה עד המינימום (−1 , 7) (מעל הציר), עולה למקסימום (0 , 12), יורד, חוצה את ציר ה־x, מגיע למינימום (2 , −20), ועולה וחוצה שוב. כך יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x.
xy(−1, 7)(0, 12)(2, −20)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – השטח

המשיק ב־x = 2: f′(2) = 0, ולכן משיק אופקי y = −20.📐 משוואת משיקy − f(a) = f′(a)(x − a)
בין x = −1 ל־x = 2 הגרף מעל הישר y = −20 (המינימום הנמוך ביותר הוא −20):
S = ∫2−1 [f(x) − (−20)] dx = ∫2−1 (3x4 − 4x3 − 12x2 + 32) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליונה − תחתונה) dx
= [0.6x5 − x4 − 4x3 + 32x]📐 אינטגרל של חזקה∫ xn dx = xn + 1n + 1
x = 2 : 19.2 − 16 − 32 + 64 = 35.2
x = −1 : −0.6 − 1 + 4 − 32 = −29.6
S = 35.2 − (−29.6) = 64.8
✅ פתרון סופי: S = 64.8 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אמינ׳ −1 , מקס׳ 0 , מינ׳ a
סעיף ב (1)a = 2
סעיף ב (2)7 , 12 , −20
סעיף דS = 64.8
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות