בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2024

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 4 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 25 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2024

שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2024 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

משקלי התינוקות שנולדים בעיר מסוימת מתפלגים נורמלית. נתון כי המשקל הממוצע של התינוקות שנולדים בעיר זו הוא 3.4 ק"ג. 96.41% מן התינוקות בעיר זו נולדים במשקל נמוך מ־5.02 ק"ג.

א. מצאו את סטיית התקן של משקל התינוקות שנולדים בעיר זו.

אורי נולד בעיר זו במשקל נמוך ממשקלם של 9% מן התינוקות שנולדים בה.

ב. מצאו את המשקל שבו נולד אורי.

משקל הנמוך מ־1.5 ק"ג נחשב למשקל נמוך מאוד לתינוק שנולד.

ג. (1) מהו אחוז התינוקות שנולדים במשקל נמוך מאוד בעיר זו? (2) בשנה מסוימת נולדו בעיר זו 20,000 תינוקות. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה מן התינוקות האלה נולדו במשקל נמוך מאוד?

שחר נולד בעיר אחרת, באותו המשקל שבו נולד אורי. משקל התינוקות בעיר שבה נולד שחר מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן של 0.8. משקל הלידה של שחר ומשקל הלידה של אורי הם בעלי אותו ציון תקן.

ד. מצאו את המשקל הממוצע של התינוקות בעיר שבה נולד שחר.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

96.41% מתחת ל־5.02. נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.964: הוא נמצא בשורה 1.8 ובעמודה 0.00, כלומר ציון התקן של 5.02 הוא 1.8.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.00
1.8 = (5.02 − 3.4) : S = 1.62 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 1.62 : 1.8 = 0.9
✅ פתרון סופי: S = 0.9 ק"ג

סעיף ב – המשקל של אורי

9% מהתינוקות כבדים מאורי, לכן קלים ממנו: עושים 1 פחות – 1 − 0.09 = 0.91.
נחפש בתוך הטבלה את 0.910: הוא נמצא בשורה 1.3 ובעמודה 0.04, כלומר z = 1.34.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.3 עמודה 0.04
1.34 = (x − 3.4) : 0.9📐 ציון תקןz = x − x̄S
1.206 = x − 3.4 ⟸ x = 4.606
✅ פתרון סופי: ≈ 4.61 ק"ג

סעיף ג – משקל נמוך מאוד

(1) נחשב את ציון התקן של 1.5:
z = (1.5 − 3.4) : 0.9 = −1.9 : 0.9 ≈ −2.11📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 2.11: בשורה 2.1 ובעמודה 0.01 רשום 0.983.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.1 עמודה 0.01
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−2.11 יש מה שמעל 2.11 – עושים 1 פחות:
1 − 0.983 = 0.017
(2)
0.017 · 20000 = 340📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: (1) 1.7%   (2) 340 תינוקות

סעיף ד – הממוצע בעיר של שחר

שחר שוקל כמו אורי (4.606 ק"ג) ובעל אותו ציון תקן z = 1.34. נסמן את הממוצע ב־x̄:
1.34 = (4.606 − x̄) : 0.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־0.8:
1.072 = 4.606 − x̄
x̄ = 4.606 − 1.072 = 3.534
✅ פתרון סופי: x̄ ≈ 3.53 ק"ג

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 0.9 ק"ג
סעיף ב≈ 4.61 ק"ג
סעיף ג1.7% ; 340
סעיף ד≈ 3.53 ק"ג
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה

📄 נוסח השאלה

דן ערך מחקר. הוא בדק את הקשר בין אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה ב־12 מדינות (משתנה x) ובין אחוז הילדים בני 0–14 באותן המדינות (משתנה y).

דן רצה למצוא ישר רגרסיה לניבוי y לפי x. הוא חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של אחוז הגידול השנתי של האוכלוסיות, וכן את מקדם המתאם בין שני המשתנים, וקיבל: x̄ = 0.465 , Sx = 0.683 , r = 0.871.

דן מצא כי משוואת ישר הרגרסיה היא y = 11.3x + 16.3.

א. (1) מצאו את הממוצע של אחוז הילדים באותן המדינות (הממוצע של המשתנה y). (2) מצאו את סטיית התקן של אחוז הילדים באותן המדינות.

במדינה מסוימת נתון כי גודל האוכלוסייה נשאר קבוע (אין גידול שנתי באוכלוסייה שלה).

ב. על פי ישר הרגרסיה, מהו אחוז הילדים במדינה זו?

נתונה מדינה נוספת, שאחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה שלה הוא 2.

ג. האם אפשר להסיק כי אחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן של y

(1) ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, לכן מציבים x̄:
ȳ = 11.3 · 0.465 + 16.3📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
ȳ = 5.2545 + 16.3 = 21.5545
(2)
11.3 = 0.871 · Sy0.683📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
כופלים ב־0.683 ומחלקים ב־0.871:
Sy = 11.3 · 0.6830.871 = 7.71790.871 ≈ 8.86
✅ פתרון סופי: (1) ȳ ≈ 21.55%   (2) Sy ≈ 8.86

סעיף ב – אין גידול באוכלוסייה

אין גידול ← x = 0:
y = 11.3 · 0 + 16.3 = 16.3
✅ פתרון סופי: 16.3%

סעיף ג – בדיוק 38.9?

y = 11.3 · 2 + 16.3 = 22.6 + 16.3 = 38.9
38.9 הוא ניבוי בלבד. הנקודות אינן נמצאות כולן על הישר (r = 0.871 ≠ 1), ולכן הערך האמיתי יכול להיות שונה.
תזכורת:📐 מקדם המתאםרק כש־r = ±1 הניבוי מדויק
✅ פתרון סופי: לא – זה רק ניבוי, כי r ≠ 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אȳ ≈ 21.55 ; Sy ≈ 8.86
סעיף ב16.3%
סעיף גלא (רק ניבוי)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות מותנית

📄 נוסח השאלה

חנן משחק במשחק קליעה למטרה. במשחק זה יש שתי תוצאות אפשריות בלבד: קליעה או החטאה. ההסתברות שחנן יקלע בניסיון הראשון היא 35. ההסתברות שחנן יקלע בניסיון השני תלויה בתוצאה של הניסיון הראשון: אם חנן קולע בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 23. אם חנן מחטיא בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 716. לחנן יש שני ניסיונות קליעה למטרה.

א. מהי ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בניסיון השני?

ב. (1) מהי ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות? (2) ידוע שחנן קלע פעם אחת לפחות. מהי ההסתברות שהוא קלע פעם אחת בדיוק?

גם לדני יש שני ניסיונות קליעה למטרה. ההסתברות שדני יקלע בכל אחד מן הניסיונות היא p. נתון כי ההסתברות שדני יקלע פעם אחת בדיוק שווה להסתברות שחנן יקלע פעם אחת בדיוק.

ג. מצאו את p (את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – החטאה ואז קליעה

החטאה בראשון: 1 − 35 = 25. אחריה קליעה בהסתברות 716:
25 · 716 = 1480 = 740📐 כלל הכפל (מותנה)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 740 = 0.175

סעיף ב – לפחות פעם אחת, ובדיוק פעם אחת

(1) המשלים: שתי החטאות. אחרי החטאה, החטאה שנייה בהסתברות 1 − 716 = 916:
שתי החטאות: 25 · 916 = 1880 = 940
לפחות פעם: 1 − 940 = 3140📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
(2) קליעה אחת בדיוק = קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה:
קליעה ואז החטאה: 35 · (1 − 23) = 35 · 13 = 15
יחד: 15 + 740 = 840 + 740 = 1540 = 38
לפחות פעם אחת כבר ידוע, וכל קליעה אחת בדיוק נכללת בו:
P = 383140 = 38 · 4031 = 1531📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: (1) 3140 = 0.775   (2) 1531 ≈ 0.484

סעיף ג – ההסתברות p של דני

דני קולע פעם אחת בדיוק: קליעה והחטאה בשני סדרים:
2 · p(1 − p) = 38📐 בדיוק הצלחה אחת מתוך שתיים2 · p · (1 − p)
2p − 2p² = 38
כופלים ב־8 ומעבירים אגפים:
16p² − 16p + 3 = 0
p = 16 ± √256 − 19232 = 16 ± 832📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
p = 2432 = 34  או  p = 832 = 14
✅ פתרון סופי: p = 14 או p = 34

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א740
סעיף ב3140 ; 1531
סעיף ג14 או 34
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: טרפז ישר זווית

📄 נוסח השאלה

נתון טרפז ישר זווית ABCD (AD ⊥ AB , AB ∥ DC). הקודקודים A ו־B נמצאים על ציר ה־x, כמתואר בסרטוט. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה M, שנמצאת על ציר ה־y. נתון: האלכסון AC מאונך לאלכסון BD. משוואת הישר AC היא y = −2x + 8.

א. מצאו את משוואת הישר BD.

ב. מצאו את שיעורי הקודקודים A , B , C ו־D.

ג. (1) חשבו את גודל הזווית ABD. (2) חשבו את גודל הזווית BCD.

ד. מצאו את שטח המשולש BCD.

הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CD כך ששטח המשולש BFC גדול פי 2 משטח המשולש BCD.

ה. מצאו את שיעורי הנקודה F (מצאו את אחת משתי האפשרויות).

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הישר BD

M על ציר ה־y ועל AC. מציבים x = 0: y = 8 ← M(0 , 8).
−2 · mBD = −1 ⟸ mBD = 12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
הישר עובר ב־M(0 , 8):
y = 12x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
✅ פתרון סופי: y = 12x + 8

סעיף ב – הקודקודים

A – חיתוך AC עם ציר ה־x (y = 0):
−2x + 8 = 0  ⟸  x = 4 ← A(4 , 0)
B – חיתוך BD עם ציר ה־x:
12x + 8 = 0  ⟸  x = −16 ← B(−16 , 0)
AD ⊥ AB ו־AB על ציר ה־x, לכן AD אנכי: x = 4. מציבים בישר BD:
y = 12 · 4 + 8 = 10 ← D(4 , 10)
DC ∥ AB, לכן DC אופקי: y = 10. מציבים בישר AC:
−2x + 8 = 10  ⟸  x = −1 ← C(−1 , 10)
✅ פתרון סופי: A(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10)

סעיף ג – הזוויות

(1) AB על ציר ה־x, לכן ∢ABD היא הזווית של BD עם ציר ה־x:
tan∢ABD = 12 ⟸ ∢ABD ≈ 26.57📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
(2) קודם הזווית ∢ABC:
mBC = 10 − 0−1 − (−16) = 1015 = 23📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ABC = 23 ⟸ ∢ABC ≈ 33.69
∢BCD = 180 − 33.69 = 146.31📐 זוויות חד־צדדיות בין מקבילים∢ABC + ∢BCD = 180
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 26.57 מעלות   (2) ≈ 146.31 מעלות

סעיף ד – שטח המשולש BCD

הבסיס CD אופקי: CD = 4 − (−1) = 5. הגובה מ־B (על ציר ה־x) אל הישר y = 10 הוא 10.
S = 5 · 102 = 25📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
✅ פתרון סופי: 25

סעיף ה – הנקודה F

F על הישר y = 10, כך שהגובה מ־B של המשולש BFC הוא גם 10:
CF · 102 = 2 · 25 = 50
CF = 10
מ־C(−1 , 10) זזים 10 לאורך הישר האופקי:
x = −1 + 10 = 9 ← F(9 , 10) (מעבר ל־D)
או x = −1 − 10 = −11 ← F(−11 , 10) (מעבר ל־C)
✅ פתרון סופי: F(9 , 10) (או F(−11 , 10))

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אy = 12x + 8
סעיף בA(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10)
סעיף ג26.57 ; 146.31
סעיף ד25
סעיף הF(9 , 10)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל ומשיק: דלתון

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y. הנקודה O היא ראשית הצירים. המעגל משיק לציר ה־x וחותך את ציר ה־y בנקודה C, כמתואר בסרטוט. דרך הנקודה D שעל המעגל העבירו משיק למעגל. המשיק חותך את ציר ה־x בנקודה B ואת ציר ה־y בנקודה A. נתון כי משוואת המשיק היא 4x + 3y = 40.

א. מצאו את אורך הקטע AB.

ב. הוכיחו כי המרובע OMDB הוא דלתון.

ג. (1) הוכיחו: △ADM ∼ △AOB. (2) מצאו את רדיוס המעגל.

ד. מצאו את משוואת המעגל.

ה. האם הדלתון OMDB בר חסימה במעגל? אם כן – מצאו את השיעורים של מרכז המעגל החוסם את הדלתון. אם לא – הסבירו מדוע.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – אורך AB

A על ציר ה־y (x = 0): 3y = 40  ⟸  y = 403 ← A(0 , 403)
B על ציר ה־x (y = 0): 4x = 40  ⟸  x = 10 ← B(10 , 0)
AB = √10² + (403)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
= √100 + 16009 = √25009 = 503
✅ פתרון סופי: AB = 503 ≈ 16.67

סעיף ב – OMDB דלתון

1. MO = MD📐 רדיוסיםכל הרדיוסים במעגל שווים
2. המרכז M על ציר ה־y והמעגל משיק לציר ה־x – נקודת ההשקה היא O. לכן BO ו־BD שני משיקים מהנקודה B:
BO = BD📐 משיקים מנקודהשני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים
שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ← דלתון.
✅ פתרון סופי: OMDB דלתון

סעיף ג – דמיון ורדיוס

(1)
1. ∢A משותפת.
2. ∢ADM = 90📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
3. ∢AOB = 90 (בין הצירים).
4. △ADM ∼ △AOB📐 משפט דמיוןז.ז
(2) נסמן את הרדיוס R. אז M(0 , R), MD = R , AM = 403 − R. מהדמיון:
AMAB = MDOB📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה
403 − R503 = R10
כופלים בהצלבה:
10(403 − R) = 503R
4003 − 10R = 503R
כופלים ב־3:
400 − 30R = 50R
80R = 400  ⟸  R = 5
✅ פתרון סופי: (1) דמיון ז.ז   (2) R = 5

סעיף ד – משוואת המעגל

המרכז M(0 , 5) והרדיוס 5:
(x − 0)² + (y − 5)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: x² + (y − 5)² = 25

סעיף ה – מעגל חוסם לדלתון

בדלתון ∢MOB = 90 (בין הצירים) ו־∢MDB = 90 (רדיוס ומשיק). אלו זוויות נגדיות:
∢O + ∢D = 90 + 90 = 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
לכן הדלתון בר חסימה. הזווית ∢MOB = 90 נשענת על MB, ולכן MB קוטר והמרכז באמצעו:
(0 + 102 , 5 + 02) = (5 , 2.5)📐 זווית היקפית של 90נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: כן , המרכז (5 , 2.5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אAB = 503
סעיף בדלתון
סעיף גדמיון ז.ז ; R = 5
סעיף דx² + (y − 5)² = 25
סעיף הכן , (5 , 2.5)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירה לפי גרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≠ ±4. בסרטוט מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x), המוגדרת באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת חותך את ציר ה־x רק בנקודה (0 , 0).

א. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = 2. אחד מן הביטויים I–III שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x):
I. x²x² + 16 + 1
II. x²x² − 16 + 2
III. x²x² − 16 + 1

ג. קבעו איזה מן הביטויים I–III מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

ד. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 2.

גרף הנגזרת לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – נקודת הקיצון

מהגרף: משמאל ל־0 הגרף של f′ מעל ציר ה־x (f′ > 0), ומימין ל־0 מתחתיו (f′ < 0).
ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מ־+ ל־−.📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום
✅ פתרון סופי: x = 0 – מקסימום

סעיף ב – עלייה וירידה

לפי הסימן של f′ בגרף:📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת
xx < −4−4−4 < x < 000 < x < 44x > 4
f′+✕+0−✕−
f↗✕↗מקס׳↘✕↘
✅ פתרון סופי: עולה: x < −4 , −4 < x < 0 ; יורדת: 0 < x < 4 , x > 4

סעיף ג – איזה ביטוי

I: המכנה x² + 16 אף פעם לא 0, כלומר מוגדרת לכל x – אבל נתון x ≠ ±4. לא מתאים.
II: השבר שואף ל־1 (מקדמי x²), ולכן הפונקציה ל־1 + 2 = 3 – אסימפטוטה y = 3. לא מתאים.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
III: x² − 16 = 0  ⟸  x = ±4 לא בתחום ✓, ואסימפטוטה y = 1 + 1 = 2 ✓.
בדיקה: f′(x) = 2x(x² − 16) − x² · 2x(x² − 16)² = −32x(x² − 16)² – מתאפסת רק ב־0, חיובית משמאל ושלילית מימין ✓.
✅ פתרון סופי: ביטוי III : f(x) = x²x² − 16 + 1

סעיף ד – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0−16 + 1 = 1 ← (0 , 1).
ציר ה־x:
x²x² − 16 = −1
כופלים במכנה:
x² = −x² + 16
2x² = 16  ⟸  x² = 8
x = ±√8 = ±2√2 ≈ ±2.83
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (2√2 , 0) , (−2√2 , 0)

סעיף ה – סקיצה

אסימפטוטות x = ±4 , y = 2. מקסימום (0 , 1). בצדדים החיצוניים הגרף מעל y = 2 (עולה לפני −4, יורד אחרי 4).
xyx=-4x=4y=2(0 , 1)(-2.83 , 0)(2.83 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־2 הגרף של f′ מתחת לציר ה־x, לכן השטח הוא מינוס האינטגרל:
S = −∫02 f′(x) dx = −[f(2) − f(0)] = f(0) − f(2)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(2) = 44 − 16 + 1 = −13 + 1 = 23
S = 1 − 23 = 13
✅ פתרון סופי: S = 13

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx = 0 מקסימום
סעיף בעולה x < 0 (x ≠ −4) , יורדת x > 0 (x ≠ 4)
סעיף גIII
סעיף ד(0 , 1) , (±2√2 , 0)
סעיף ו13
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √−2x + 10.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − c, c הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום. גרף הפונקציה g(x) משיק לישר y = 20.

ה. מצאו את הערך של c.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

−2x + 10 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
10 ≥ 2x  ⟸  x ≤ 5
✅ פתרון סופי: x ≤ 5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0).
ציר ה־x: x² = 0  ⟸  x = 0 או √−2x + 10 = 0  ⟸  x = 5.
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (5 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = −2x + 10, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = −2:
(√u)′ = u′2√u = −22√u = −1√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2x · √u − x²√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף √u:
f′(x) = 2x · u − x²√u
מציבים u = −2x + 10 במונה:
2x(−2x + 10) − x² = −4x² + 20x − x² = −5x² + 20x = 5x(4 − x)
f′(x) = 5x(4 − x)√−2x + 10
5x(4 − x) = 0 ⟸ x = 0  או  x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(4) = 16 · √−8 + 10 = 16√2 ≈ 22.63
הצבות: f′(−1) < 0 , f′(1) > 0 , f′(4.5) < 0.
xx < 000 < x < 444 < x < 55
f′−0+0−✕
f↘מינ׳↗מקס׳↘מינ׳ קצה
קצה התחום x = 5: f(5) = 0, ולפניו הפונקציה יורדת – מינימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (4 , 16√2) , מינימום קצה (5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

יורדת מ־+∞ עד (0 , 0), עולה עד (4 , 22.63) ויורדת עד נקודת הקצה (5 , 0).
xy(0 , 0)(4 , 22.63)(5 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפרמטר c

g(x) = f(x) − c הוא הזזה של f למטה ב־c. ישר אופקי משיק לגרף בנקודת קיצון פנימית, כלומר ב־x = 0 או ב־x = 4:
ב־x = 0: g(0) = −c = 20 ⟸ c = −20 – לא חיובי, נפסל.
ב־x = 4: g(4) = 16√2 − c = 20
c = 16√2 − 20 ≈ 2.63 – חיובי ✓
✅ פתרון סופי: c = 16√2 − 20 ≈ 2.63

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≤ 5
סעיף ב(0 , 0) , (5 , 0)
סעיף גמינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (4 , 16√2) , מינ׳ קצה (5 , 0)
סעיף הc = 16√2 − 20
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: מלבן בין אסימפטוטות

📄 נוסח השאלה

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = 91 − x + 2, המוגדרת לכל x ≠ 1.

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

מנקודה A, הנמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע השני, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה f(x) כך שהאסימפטוטות והאנכים יוצרים מלבן.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

ג. חשבו את שטח המלבן בעבור שיעורי הנקודה A שמצאתם בסעיף ב.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות

אנכית: 1 − x = 0  ⟸  x = 1 (המונה 9 ≠ 0).
אופקית: כש־x גדל מאוד, 91 − x → 0, ולכן f(x) → 2.📐 אסימפטוטה אופקיתהשבר שואף ל־0 ← נשאר הקבוע
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 2

סעיף ב – היקף מינימלי

נסמן A(x , 91 − x + 2) עם x < 0 (רביע שני). ל־x < 1 המכנה חיובי, ולכן A מעל y = 2.
צלעות המלבן – המרחקים מ־A לאסימפטוטות:
רוחב (עד x = 1): 1 − x
גובה (עד y = 2): 91 − x + 2 − 2 = 91 − x
נסמן s = 1 − x (כאשר s > 1):
P(s) = 2s + 2 · 9s = 2s + 18s📐 היקף מלבןP = 2a + 2b
P′(s) = 2 − 18s²📐 נגזרת של חזקה(1s)′ = −1s²
2 − 18s² = 0 ⟸ s² = 9 ⟸ s = 3📐 נקודת קיצוןP′(s) = 0
הצבות: P′(2) = 2 − 4.5 < 0 , P′(4) = 2 − 1.125 > 0 ← מינימום.
s1 < s < 33s > 3
P′−0+
P↘מינ׳↗
1 − x = 3  ⟸  x = −2
f(−2) = 93 + 2 = 5
✅ פתרון סופי: A(−2 , 5)

סעיף ג – שטח המלבן

רוחב s = 3 , גובה 93 = 3:
S = 3 · 3 = 9📐 שטח מלבןS = a · b
✅ פתרון סופי: 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 1 , y = 2
סעיף בA(−2 , 5)
סעיף ג9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות