בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2024 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 4 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 25 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד א'

שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

במפעל מסוים אורזים מלפפונים על פי אורכם. האורכים של המלפפונים מתפלגים נורמלית. כל המלפפונים שאורכם קטן מ־12 ס"מ נארזים בקופסאות שימורים רגילות. שאר המלפפונים נארזים בקופסאות שימורים גדולות. ידוע כי האורך הממוצע של מלפפונים הוא 10.56 ס"מ, וסטיית התקן היא 3 ס"מ.

א. מצאו את אחוז המלפפונים שנארזים בקופסאות שימורים רגילות.

התברר שיש ביקוש למלפפונים קצרים במיוחד, לכן הוחלט כי המלפפונים יעברו מיון מחדש. נמצא כי רבע מן המלפפונים שאורכם קטן מ־12 ס"מ נחשבים מלפפונים קצרים במיוחד.

ב. (1) מצאו את אחוז המלפפונים הקצרים במיוחד. (2) מצאו את אורכו של המלפפון הארוך ביותר מבין המלפפונים הקצרים במיוחד.

לאחר זמן מה הגיע למפעל משלוח חדש של מלפפונים. גם במשלוח זה האורכים של המלפפונים מתפלגים נורמלית. 50% מן המלפפונים במשלוח זה היו קצרים מ־11.5 ס"מ. 12.5% מן המלפפונים במשלוח זה היו ארוכים מ־14.26 ס"מ.

ג. מצאו את סטיית התקן של אורכי המלפפונים במשלוח החדש.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אחוז בקופסאות רגילות

z = 12 − 10.563 = 1.443 = 0.48📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.4 ובעמודה 0.08 רשום 0.684. כלומר 68.4% מהמלפפונים קצרים מ־12 ס"מ.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.08
✅ פתרון סופי: 68.4%

סעיף ב (1) – אחוז הקצרים במיוחד

רבע מהמלפפונים הקצרים מ־12 ס"מ:
14 · 0.684 = 0.171
✅ פתרון סופי: 17.1%

סעיף ב (2) – האורך המקסימלי של קצר במיוחד

הקצרים במיוחד הם 17.1% הקצרים ביותר. מחפשים את האורך x ש־17.1% מהמלפפונים קצרים ממנו.
17.1% זה פחות מחצי, ולכן x מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.171 = 0.829.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.829: הוא נמצא בשורה 0.9 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.95. לכן ציון התקן של x הוא z = −0.95.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.05
−0.95 = x − 10.563📐 ציון תקןz = x − x̄S
x − 10.56 = −2.85 → x = 7.71
✅ פתרון סופי: x = 7.71 ס"מ

סעיף ג – סטיית התקן במשלוח החדש

50% קצרים מ־11.5 ← 11.5 הוא בדיוק הממוצע: x̄ = 11.5.📐 ממוצע בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
12.5% ארוכים מ־14.26, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.125 = 0.875 קצרים מ־14.26.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.875: הוא נמצא בשורה 1.1 ובעמודה 0.05, כלומר z = 1.15. זה ציון התקן של 14.26.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.1 עמודה 0.05
1.15 = 14.26 − 11.5S = 2.76S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 2.761.15 = 2.4
✅ פתרון סופי: S = 2.4 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א68.4%
סעיף ב (1)17.1%
סעיף ב (2)7.71 ס"מ
סעיף גS = 2.4 ס"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

סטטיסטיקאית ערכה מחקר בקרב זוגות. היא החליטה לבדוק את הקשר בין מספר הילדים שיש לזוג (המשתנה x) ובין ההוצאה החודשית על דלק של הזוג (המשתנה y). לצורך כך היא דגמה 4 זוגות ממאגר הנתונים שלה:

– זוג ללא ילדים שההוצאה החודשית שלו על דלק היא 1,500 שקלים.
– זוג שיש לו ילד אחד, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 1,800 שקלים.
– זוג שיש לו שלושה ילדים, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 2,900 שקלים.
– זוג שיש לו ארבעה ילדים, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 3,800 שקלים.

א. סרטטו את דיאגרמת הפיזור המתאימה לארבעת הזוגות שבמדגם. רשמו את ערכי הנקודות על הצירים.

הסטטיסטיקאית חישבה את סטיית התקן של המשתנה y וקיבלה כי Sy = √835,000.

ב. (1) מצאו את הממוצע של מספר הילדים שיש לזוג במדגם ואת ההוצאה החודשית הממוצעת על דלק של זוג במדגם. (2) חשבו את מקדם המתאם בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההוצאה החודשית על דלק לפי מספר הילדים.

בעקבות עליית מחירי הדלק, עלתה ב־6% ההוצאה החודשית של כל אחד מן הזוגות על דלק.

ד. בעבור כל אחד מן המדדים שלפניכם קבעו אם ערכו גדל, קטן או לא השתנה. (1) סטיית התקן של המשתנה y. (2) מקדם המתאם r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – דיאגרמת פיזור

כל זוג הוא נקודה (x , y): (0 , 1500) , (1 , 1800) , (3 , 2900) , (4 , 3800).
xy012341,5001,8002,9003,800
✅ פתרון סופי: הדיאגרמה למעלה

סעיף ב (1) – הממוצעים

x̄ = 0 + 1 + 3 + 44 = 84 = 2📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
ȳ = 1,500 + 1,800 + 2,900 + 3,8004 = 10,0004 = 2,500
✅ פתרון סופי: x̄ = 2 ילדים , ȳ = 2,500 ₪

סעיף ב (2) – מקדם המתאם

סטיית התקן של x:
המרחקים מהממוצע 2: −2 , −1 , 1 , 2. הריבועים שלהם: 4 , 1 , 1 , 4.
Sx2 = 4 + 1 + 1 + 44 = 104 = 2.5📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
Sx = √2.5 ≈ 1.581 , Sy = √835,000 ≈ 913.78
מכפלות המרחקים מהממוצעים (2 , 2500):
(0 − 2)(1,500 − 2,500) = (−2)(−1,000) = 2,000
(1 − 2)(1,800 − 2,500) = (−1)(−700) = 700
(3 − 2)(2,900 − 2,500) = 1 · 400 = 400
(4 − 2)(3,800 − 2,500) = 2 · 1,300 = 2,600
סכום המכפלות: A = 2,000 + 700 + 400 + 2,600 = 5,700
r = 5,7004 · 1.581 · 913.78 = 5,7005,779.2 ≈ 0.986📐 מקדם המתאםr = An · Sx · Sy
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.986

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = An · Sx2 = 5,7004 · 2.5 = 570📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
y − 2,500 = 570(x − 2)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = 570x − 1,140 + 2,500
y = 570x + 1,360
✅ פתרון סופי: y = 570x + 1,360

סעיף ד – אחרי עלייה של 6%

y′ = 1.06 · y📐 כפל כל הנתונים במספרS′ = k · S , r לא משתנה (כש־k > 0)
(1) כל הוצאה גדלה פי 1.06, ולכן גם המרחקים מהממוצע גדלים פי 1.06: Sy′ = 1.06 · 913.78 ≈ 968.6.
(2) כפל בקבוע חיובי רק "מותח" את הנקודות לגובה – הקשר נשאר אותו קשר, ו־r לא משתנה.
✅ פתרון סופי: (1) גדלה
✅ פתרון סופי: (2) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אדיאגרמת פיזור
סעיף ב (1)x̄ = 2 , ȳ = 2,500
סעיף ב (2)r ≈ 0.986
סעיף גy = 570x + 1,360
סעיף ד(1) גדלה ; (2) לא השתנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

במתחם דירות יש שני סוגי דירות – דירות הפונות לכיוון הפארק ודירות הפונות לכיוון הכביש. ההסתברות שדירה במתחם פונה לכיוון הפארק היא 34. חלק מן הדירות במתחם משופצות, והשאר אינן משופצות. מספר הדירות המשופצות גדול פי 4 ממספר הדירות שאינן משופצות. 28% מן הדירות הפונות לכיוון הכביש הן דירות משופצות.

א. בוחרים באקראי דירה מבין כל הדירות במתחם. (1) מהי ההסתברות לבחור דירה משופצת? (2) מהי ההסתברות לבחור דירה שגם פונה לכיוון הכביש וגם משופצת?

ב. בוחרים באקראי דירה מבין הדירות שאינן משופצות. מהי ההסתברות שדירה זו פונה לכיוון הכביש?

35 דירות במתחם גם פונות לכיוון הכביש וגם משופצות.

ג. מצאו כמה דירות במתחם גם פונות לכיוון הפארק וגם משופצות.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – דירה משופצת

נסמן: R – משופצת, K – פונה לכביש, K – פונה לפארק. נסמן P(R) = p.
משופצות פי 4 מלא משופצות:
p = 4(1 − p) → p = 4 − 4p → 5p = 4 → p = 0.8📐 מאורע משליםP(R) = 1 − P(R)
✅ פתרון סופי: 0.8

סעיף א (2) – כביש וגם משופצת

P(K) = 1 − 34 = 0.25, ו־28% מדירות הכביש משופצות: P(R | K) = 0.28.
P(K ∩ R) = P(K) · P(R | K) = 0.25 · 0.28 = 0.07📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 0.07

סעיף ב – לא משופצת, פונה לכביש

P(K ∩ R) = P(K) − P(K ∩ R) = 0.25 − 0.07 = 0.18
P(R) = 1 − 0.8 = 0.2
כביש Kפארק Kסה"כ
משופצת R0.070.730.8
לא משופצת R0.180.020.2
סה"כ0.250.751
P(K | R) = P(K ∩ R)P(R) = 0.180.2 = 0.9📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 0.9

סעיף ג – פארק וגם משופצת

35 דירות הן 7% מכל הדירות. נסמן את מספר הדירות ב־N:
0.07 · N = 35 → N = 350.07 = 500📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
P(K ∩ R) = 0.8 − 0.07 = 0.73
0.73 · 500 = 365
✅ פתרון סופי: 365 דירות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)0.8
סעיף א (2)0.07
סעיף ב0.9
סעיף ג365 דירות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – טרפז ישר זווית במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD (AB ∥ DC , ∢D = 90 מעלות). הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והקודקוד C נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הבסיס CD חותך את ציר ה־y בנקודה H.

נתון: הנקודה E(2 , 7) נמצאת על הבסיס AB. משוואת שוק הטרפז AD היא y = −2x + 16.

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

נתון כי אורך השוק BC של הטרפז הוא √72.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ג. מצאו את גודל הזווית CBO (O היא ראשית הצירים).

ד. (1) מצאו את משוואת הישר CD. (2) מצאו את גודל הזווית CHB.

ה. חשבו את שטח המשולש CBE.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – שיעורי B

∢D = 90 ו־AB ∥ DC, ולכן גם ∢A = 90: AB ⊥ AD.📐 טרפז ישר זוויתשתי הזוויות שליד השוק הניצבת ישרות
mAB · (−2) = −1 → mAB = 12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 7 = 12(x − 2) → y = 0.5x + 6📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
B על ציר ה־y, כלומר x = 0:
y = 0.5 · 0 + 6 = 6
✅ פתרון סופי: B(0 , 6)

סעיף ב – שיעורי C

C(c , 0) עם c < 0:
(c − 0)2 + (0 − 6)2 = (√72)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
c2 + 36 = 72 → c2 = 36 → c = ±6
C בחלק השלילי של ציר ה־x, ולכן c = −6.
✅ פתרון סופי: C(−6 , 0)

סעיף ג – הזווית CBO

המשולש CBO ישר זווית ב־O: CO = 6 , BO = 6.
tan(∢CBO) = COBO = 66 = 1📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CBO = 45
✅ פתרון סופי: ∢CBO = 45 מעלות

סעיף ד (1) – משוואת CD

CD ∥ AB, ולכן mCD = 12.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
y − 0 = 12(x + 6) → y = 0.5x + 3📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
✅ פתרון סופי: y = 0.5x + 3

סעיף ד (2) – הזווית CHB

H – חיתוך CD עם ציר ה־y: H(0 , 3).
במשולש CHO ישר הזווית ב־O: CO = 6 , HO = 3.
tan(∢CHO) = COHO = 63 = 2📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CHO ≈ 63.43
O , H , B על ציר ה־y, ולכן ∢CHB ו־∢CHO צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות = 180 מעלות
∢CHB = 180 − 63.43 = 116.57
✅ פתרון סופי: ∢CHB ≈ 116.57 מעלות

סעיף ה – שטח המשולש CBE

הבסיס BE על הישר AB. הגובה מ־C אל AB שווה לגובה הטרפז AD (כי CD ∥ AB ו־AD ⊥ AB).
A – חיתוך AB ו־AD: 0.5x + 6 = −2x + 16 → 2.5x = 10 → x = 4 , A(4 , 8).
D – חיתוך AD ו־CD: −2x + 16 = 0.5x + 3 → 2.5x = 13 → x = 5.2 , D(5.2 , 5.6).
AD = √(5.2 − 4)2 + (5.6 − 8)2 = √1.44 + 5.76 = √7.2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BE = √(2 − 0)2 + (7 − 6)2 = √5
S = √5 · √7.22 = √362 = 62 = 3📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
✅ פתרון סופי: S = 3 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אB(0 , 6)
סעיף בC(−6 , 0)
סעיף ג45 מעלות
סעיף ד (1)y = 0.5x + 3
סעיף ד (2)116.57 מעלות
סעיף הS = 3
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון

📄 נוסח השאלה

הקטע AB הוא קוטר במעגל שמרכזו M. הקטע CD משיק למעגל בנקודה A. הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בסרטוט. AM הוא חוצה זווית CMD.

א. הוכיחו כי משולש CMD הוא שווה שוקיים.

נתון כי משוואת המעגל היא (x + 3)2 + (y − 8)2 = 45 וכי שיעור ה־y של הנקודה B גדול מ־8.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־A.

נתון כי הקטע CM מקביל לציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה C.

הנקודה E היא אמצע הקטע CM, והנקודה F היא אמצע הקטע DM.

ד. (1) הוכיחו כי △CMD ∼ △EMF. (2) חשבו את היחס בין שטח המשולש CMD ובין שטח המשולש EMF.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – CMD שווה שוקיים

MA ⊥ CD, כלומר ∢MAC = ∢MAD = 90.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢CMA = ∢DMA – AM חוצה זווית (נתון).
MA – צלע משותפת.
לכן △CMA ≅ △DMA.📐 משפט חפיפה ז.צ.ז.שתי זוויות והצלע שביניהן
מכאן MC = MD – והמשולש CMD שווה שוקיים.📐 צלעות מתאימותבמשולשים חופפים הצלעות המתאימות שוות
✅ פתרון סופי: MC = MD ✓

סעיף ב – שיעורי B ו־A

מרכז המעגל M(−3 , 8), R2 = 45.📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
B על ציר ה־y, מציבים x = 0:
(0 + 3)2 + (y − 8)2 = 45 → (y − 8)2 = 36 → y − 8 = ±6
y = 14 או y = 2. נתון y > 8, ולכן B(0 , 14).
AB קוטר, ולכן M אמצע AB:📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
−3 = xA + 02 → xA = −6 ; 8 = yA + 142 → yA = 2
✅ פתרון סופי: B(0 , 14) , A(−6 , 2)

סעיף ג – שיעורי C

mMA = 2 − 8−6 + 3 = −6−3 = 2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
המשיק CD מאונך לרדיוס MA: mCD · 2 = −1 → mCD = −12.📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 2 = −12(x + 6) → y = −0.5x − 1📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
CM מקביל לציר ה־x, ולכן ל־C אותו y כמו ל־M: y = 8.
8 = −0.5x − 1 → 0.5x = −9 → x = −18
✅ פתרון סופי: C(−18 , 8)

סעיף ד (1) – הוכחת הדמיון

ME = 12 MC ו־MF = 12 MD – E ו־F אמצעי הקטעים.
MEMC = MFMD = 12.
∢EMF = ∢CMD – זווית משותפת.
לכן △CMD ∼ △EMF.📐 משפט דמיון צ.ז.צ.שתי צלעות פרופורציונליות והזווית שביניהן שווה
✅ פתרון סופי: △CMD ∼ △EMF ✓

סעיף ד (2) – יחס השטחים

יחס הדמיון: k = MCME = 2.
SCMDSEMF = k2 = 22 = 4📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
✅ פתרון סופי: 4 : 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוכחה
סעיף בB(0 , 14) , A(−6 , 2)
סעיף גC(−18 , 8)
סעיף ד (1)הוכחה
סעיף ד (2)4 : 1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2x2x2 − 9 + 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את תשובתכם.

ו. קבעו בעבור כל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. (1) בכל נקודה בתחום x > 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא חיובי. (2) בכל נקודה בתחום x < −3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא חיובי.

הגרפים I–IV לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x2 − 9 ≠ 0 → x2 ≠ 9 → x ≠ ±3📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 3 , x ≠ −3

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±3, והמונה שם 2 · 9 = 18 ≠ 0:
x = 3 , x = −3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: בשבר החזקות במונה ובמכנה שוות (2), ולכן השבר שואף ליחס המקדמים 21 = 2. מוסיפים את ה־4:
y = 2 + 4 = 6📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה
✅ פתרון סופי: x = ±3 , y = 6

סעיף ב – נקודת קיצון

נגזרת של מנה: u = 2x2 , u′ = 4x ; v = x2 − 9 , v′ = 2x. הנגזרת של 4 היא 0.
f′(x) = 4x(x2 − 9) − 2x2 · 2x(x2 − 9)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 4x3 − 36x − 4x3(x2 − 9)2 = −36x(x2 − 9)2
−36x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(0) = 0−9 + 4 = 4
המכנה ריבוע – תמיד חיובי. לכן הסימן של f′ הפוך לסימן של x:
f′(−1) = 3664 > 0 ← עולה
f′(1) = −3664 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < −3+↗ עולה
−3 < x < 0+↗ עולה
00מקסימום
0 < x < 3−↘ יורדת
x > 3−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 4)

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 4 (מסעיף ב).
ציר ה־x:
2x2x2 − 9 + 4 = 0
כופלים ב־x2 − 9:
2x2 + 4(x2 − 9) = 0 → 6x2 − 36 = 0 → x2 = 6
x = ±√6 ≈ ±2.449
✅ פתרון סופי: (0 , 4) , (√6 , 0) , (−√6 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = ±3 ו־y = 6, מקסימום (0 , 4), חיתוכים (±√6 , 0). בין −3 ל־3 הגרף כמו "כיפה" עם השיא ב־4, ויורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטות. משני הצדדים הענפים מעל y = 6: משמאל עולה לפלוס אינסוף ליד −3, ומימין יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל־6.
xyx = −3x = 3y = 6(0, 4)(−√6, 0)(√6, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

מהטבלה: f′ > 0 לכל x < 0 (בלי −3), f′ < 0 לכל x > 0 (בלי 3), ו־f′(0) = 0.
לכן גרף הנגזרת: מעל ציר ה־x משמאל לראשית, עובר דרך הראשית, ומתחת לציר מימין לה.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ > 0 ← עולה ; f′ < 0 ← יורדת
גרף I: הענף השמאלי מתחת לציר – נפסל. גרף II: בין האסימפטוטות הנגזרת עולה ושלילית משמאל לראשית – נפסל. גרף III: הענף האמצעי חותך את ציר ה־y מעל הראשית, כלומר f′(0) ≠ 0 – נפסל.
גרף IV: חיובי משמאל, עובר דרך הראשית, ושלילי מימין – מתאים.
✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ו – נכון או לא נכון

(1) בתחום x > 3: −36x < 0 והמכנה חיובי, ולכן f′(x) < 0 – השיפוע שלילי.📐 שיפוע המשיקm = f′(x)
(2) בתחום x < −3: −36x > 0 והמכנה חיובי, ולכן f′(x) > 0 – השיפוע חיובי.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכון
✅ פתרון סופי: (2) נכון

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ ±3
סעיף א (2)x = ±3 , y = 6
סעיף במקסימום (0 , 4)
סעיף ג(0 , 4) , (±√6 , 0)
סעיף הגרף IV
סעיף ו(1) לא נכון ; (2) נכון
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציית שורש עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = √5 − 2x + bx, b > 0 הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה (−10 , 0).

א. מצאו את הערך של b.

הציבו b = 12 בפונקצייה f(x) וענו על סעיפים ב–ו.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־y.

ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה פונקצייה g(x), המקיימת g′(x) = −f(x). הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ו. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערך של b

הנקודה (−10 , 0) על הגרף, ולכן מציבים:📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה
√5 − 2 · (−10) + b · (−10) = 0 √25 − 10b = 0 → 5 = 10b → b = 12
✅ פתרון סופי: b = 12

סעיף ב – תחום הגדרה

5 − 2x ≥ 0 → 2x ≤ 5 → x ≤ 2.5📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≤ 2.5

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־y

f(0) = √5 + 0 = √5 ≈ 2.236
✅ פתרון סופי: (0 , √5)

סעיף ד – נקודות קיצון

f(x) = √5 − 2x + 12x
f′(x) = −22√5 − 2x + 12 = −1√5 − 2x + 12📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
1√5 − 2x = 12📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
√5 − 2x = 2 → 5 − 2x = 4 → x = 12
f(0.5) = √4 + 0.25 = 2.25
סימן הנגזרת:
f′(−2) = −13 + 12 > 0 ← עולה
f′(2) = −11 + 12 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 0.5+↗ עולה
0.50מקסימום
0.5 < x < 2.5−↘ יורדת
2.5קצה התחוםמינימום קצה
f(2.5) = √0 + 1.25 = 1.25 – הפונקצייה יורדת עד קצה התחום, ולכן מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0.5 , 2.25)
✅ פתרון סופי: מינימום קצה (2.5 , 1.25)

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: חיתוך (−10 , 0), (0 , √5), מקסימום (0.5 , 2.25) ומינימום קצה (2.5 , 1.25). הגרף עולה מלמטה משמאל, חוצה את ציר ה־x ב־−10, מגיע לשיא ב־0.5 ויורד מעט עד קצה התחום.
xy(0.5, 2.25)(2.5, 1.25)(−10, 0)(0, √5)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – נקודת הקיצון של g(x)

ל־g יש קיצון פנימי כש־g′(x) = −f(x) = 0 והסימן מתחלף, כלומר בנקודת האפס של f.📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן
מהסקיצה: f מתאפסת רק ב־x = −10 (אחרי 0 הגרף מעל הציר).
משמאל ל־−10: f < 0 ← g′ = −f > 0 ← g עולה.
מימין ל־−10: f > 0 ← g′ < 0 ← g יורדת.
✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = −10

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אb = 12
סעיף בx ≤ 2.5
סעיף ג(0 , √5)
סעיף דמקס׳ (0.5 , 2.25) , מינ׳ קצה (2.5 , 1.25)
סעיף ומקסימום ב־x = −10
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: משולש עם קודקודים על גרף

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 48x2 + 1. נתונה הנקודה A, ששיעוריה הם (0 , −2). הנקודות B ו־C נמצאות על גרף הפונקצייה f(x), כמתואר בסרטוט. הישר BC מקביל לציר ה־x. נסמן את שיעור ה־x של הנקודה B ב־t, t > 0.

א. הביעו באמצעות t את שיעורי הנקודות B ו־C.

ב. מצאו את ערכו של t שבעבורו שטח המשולש ABC הוא מינימלי.

ג. בעבור הערך של t שמצאתם בסעיף ב, מצאו את היקף המשולש ABC.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שיעורי B ו־C

B(t , f(t)) = (t , 48t2 + 1)
f(−t) = f(t) (ריבוע), ולכן הנקודה הסימטרית על הגרף באותו גובה היא C:📐 פונקצייה זוגיתהגרף סימטרי לציר ה־y
✅ פתרון סופי: B(t , 48t2 + 1)
✅ פתרון סופי: C(−t , 48t2 + 1)

סעיף ב – שטח מינימלי

BC = t − (−t) = 2t
הגובה מ־A אל BC הוא ההפרש בשיעורי ה־y:
h = 48t2 + 1 − (−2) = 48t2 + 3
S = 12 · 2t · (48t2 + 3) = 48t + 3t📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
S′(t) = −48t2 + 3📐 נגזרת של ax(ax)′ = −ax2
48t2 = 3 → t2 = 16 → t = 4📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0
(t = −4 נפסל, כי t > 0)
S′(2) = −12 + 3 < 0 ← יורדת ; S′(8) = −34 + 3 > 0 ← עולה
S(4) = 12 + 12 = 24 – מינימום.
✅ פתרון סופי: t = 4 (השטח המינימלי 24)

סעיף ג – היקף המשולש

B(4 , 4816 + 1) = (4 , 4) , C(−4 , 4) , A(0 , −2)
BC = 2 · 4 = 8
AB = √(4 − 0)2 + (4 + 2)2 = √16 + 36 = √52 ≈ 7.211📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AC = AB – סימטריה לציר ה־y.
P = 8 + 2 · 7.211 ≈ 22.42
✅ פתרון סופי: P ≈ 22.42 (בדיוק 8 + 4√13)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אB(t , 48t2 + 1) , C(−t , 48t2 + 1)
סעיף בt = 4 (S = 24)
סעיף גP ≈ 22.42
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות