בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2026 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שני פרקים ובהם 6 שאלות: פרק ראשון – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 1–2); פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית וגופים במרחב (שאלות 3–6). עונים על 4 שאלות, לפחות אחת מכל פרק; 27 נקודות לכל שאלה (סך הכול 100 לכל היותר). משך הבחינה: שעתיים ורבע. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד א'

שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – תכנון ליניארי: תחום אפשרי ורווח מקסימלי במסעדה

📄 נוסח השאלה

במסעדה מסוימת מכינים בכל יום מנות משני סוגים – מנה צמחונית ומנה בשרית.

נסמן ב־x את מספר המנות הצמחוניות וב־y את מספר המנות הבשריות שמכינים במסעדה ביום אחד.

לפניכם מערכת האילוצים של הכנת המנות במסעדה זו ביום אחד:

x ≥ 0
y ≥ 0
x + 5y ≤ 100
x + 2y ≤ 58

א. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים הנתונה.

הרווח של המסעדה ממכירה של מנה צמחונית אחת הוא 25 שקלים, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת הוא 55 שקלים.

ב. (1) כתבו את פונקציית המטרה של רווח המסעדה ממכירת המנות.

(2) כמה מנות מכל סוג צריך למכור במסעדה ביום אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?

מנהל המסעדה החליט לשנות את מחירי המנות. בעקבות זאת הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת קטן ב־10%, והרווח ממכירה של מנה בשרית אחת גדל ב־20%.

ג. (1) מצאו את הרווח ממכירה של מנה צמחונית אחת ואת הרווח ממכירה של מנה בשרית אחת לאחר השינוי במחירים.

(2) מצאו בכמה גדל הרווח המקסימלי של המסעדה ביום אחד לאחר השינוי במחירים.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – התחום האפשרי

x ≥ 0 ו־y ≥ 0: התחום ברביע הראשון.
נסרטט כל ישר לפי שתי נקודות חיתוך עם הצירים:
x + 5y = 100: כש־x = 0 מקבלים y = 20; כש־y = 0 מקבלים x = 100.
x + 2y = 58: כש־x = 0 מקבלים y = 29; כש־y = 0 מקבלים x = 58.
הסימן ≤ – התחום מתחת לכל אחד מהישרים (הנקודה (0 , 0) מקיימת את שני האי־שוויונים: 0 ≤ 100, 0 ≤ 58).
נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואות:
x + 5y = 100
x + 2y = 58
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
3y = 42
y = 14
נציב במשוואה השנייה:
x + 2 · 14 = 58
x = 58 − 28 = 30
01020304050600102030x + 5y = 100x + 2y = 58(30 , 14)(0 , 20)(58 , 0)xy
התחום האפשרי (בירוק) הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20).
✅ פתרון סופי: מרובע עם הקודקודים (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20) (בסרטוט)

סעיף ב (1) – פונקציית המטרה

הרווח: 25 שקלים לכל אחת מ־x המנות הצמחוניות, ו־55 שקלים לכל אחת מ־y המנות הבשריות:
f(x , y) = 25x + 55y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 25x + 55y

סעיף ב (2) – הרווח המקסימלי

נציב את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:📐 מקסימום בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי
f(0 , 0) = 25 · 0 + 55 · 0
= 0
f(58 , 0) = 25 · 58 + 55 · 0
= 1,450
f(30 , 14) = 25 · 30 + 55 · 14
= 1,520
f(0 , 20) = 25 · 0 + 55 · 20
= 1,100
הערך הגדול ביותר – 1,520 שקלים, בקודקוד (30 , 14).
✅ פתרון סופי: 30 מנות צמחוניות ו־14 מנות בשריות (רווח 1,520 שקלים)

סעיף ג (1) – הרווחים החדשים

מנה צמחונית – הרווח קטן ב־10%:
25 · 100 − 10100 = 25 · 0.9📐 שינוי באחוזיםערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100
= 22.5
מנה בשרית – הרווח גדל ב־20%:
55 · 100 + 20100 = 55 · 1.2📐 שינוי באחוזיםערך חדש = ערך · 100 ± האחוז100
= 66
✅ פתרון סופי: צמחונית 22.5 שקלים, בשרית 66 שקלים

סעיף ג (2) – בכמה גדל הרווח המקסימלי

פונקציית המטרה החדשה:
f(x , y) = 22.5x + 66y
התחום האפשרי לא השתנה (האילוצים אותם אילוצים). נציב שוב את הקודקודים:
נבדוק את ערך הפונקציה בכל קודקוד:📐 מקסימום בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי
f(0 , 0) = 22.5 · 0 + 66 · 0
= 0
f(58 , 0) = 22.5 · 58 + 66 · 0
= 1,305
f(30 , 14) = 22.5 · 30 + 66 · 14
= 1,599
f(0 , 20) = 22.5 · 0 + 66 · 20
= 1,320
הרווח המקסימלי החדש 1,599 שקלים (שוב בקודקוד (30 , 14)).
ההפרש:
1,599 − 1,520 = 79
✅ פתרון סופי: גדל ב־79 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

אמרובע: (0 , 0), (58 , 0), (30 , 14), (0 , 20)
ב (1)f = 25x + 55y
ב (2)30 צמחוניות, 14 בשריות
ג (1)22.5 ו־66 שקלים
ג (2)ב־79 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – גאומטריה אנליטית: טרפז ישר זווית

📄 נוסח השאלה

ABCD הוא טרפז ישר זווית (AD ∥ BC , ∢ABC = 90 מעלות).

הנקודה E היא אמצע הצלע AB (ראו סרטוט).

סרטוט הטרפז ABCD במערכת צירים

נתון: A(0 , 6) , E(3 , 0).

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ב. (1) מצאו את שיפוע הצלע AB.

(2) מצאו את משוואת הצלע BC.

הקודקוד C נמצא על ציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

לפניכם ארבע משוואות I–IV.

I. y = 0.5x + 3II. y = 0.5x + 6
III. y = 2x − 36IV. y = 2x − 30

אחת מן המשוואות מתאימה לישר AD, ואחת מן המשוואות מתאימה לישר CD.

ד. קבעו איזו משוואה מתאימה לישר AD, ואיזו משוואה מתאימה לישר CD. נמקו את קביעותיכם.

ה. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D.

(2) מצאו את שטח המשולש ECD.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שיעורי B

E אמצע AB. נסמן B(x , y):
3 = 0 + x2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
6 = x
x = 6
0 = 6 + y2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
0 = 6 + y
y = −6
✅ פתרון סופי: B(6 , −6)

סעיף ב (1) – שיפוע AB

mAB = −6 − 66 − 0📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
mAB = −126
mAB = −2
✅ פתרון סופי: mAB = −2

סעיף ב (2) – משוואת BC

∢ABC = 90 מעלות, ולכן BC ⊥ AB. שיפועים של ישרים מאונכים:
−2 · mBC = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mBC = 12
הישר עובר דרך B(6 , −6):
y − (−6) = 12(x − 6)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y + 6 = 12x − 3
y = 12x − 9
✅ פתרון סופי: y = 12x − 9

סעיף ג – שיעורי C

C על ציר ה־x, ולכן y = 0. נציב במשוואת BC:
0 = 12x − 9
12x = 9
x = 18
✅ פתרון סופי: C(18 , 0)

סעיף ד – המשוואות של AD ושל CD

הישר AD: AD ∥ BC, ולכן השיפוע של AD שווה לשיפוע של BC: 12 = 0.5.📐 ישרים מקביליםלישרים מקבילים שיפועים שווים: m1 = m2
שיפוע 0.5 יש למשוואות I ו־II. הישר עובר דרך A(0 , 6) – נציב x = 0:
משוואה I: y = 0.5 · 0 + 3 = 3 – לא 6 ✗
משוואה II: y = 0.5 · 0 + 6 = 6 ✓
הישר CD: נשארו III ו־IV. הישר עובר דרך C(18 , 0) – נציב x = 18:
משוואה III: y = 2 · 18 − 36 = 0 ✓
משוואה IV: y = 2 · 18 − 30 = 6 – לא 0 ✗
✅ פתרון סופי: AD – II , CD – III

סעיף ה (1) – שיעורי D

D הוא נקודת החיתוך של AD ו־CD. נשווה:
0.5x + 6 = 2x − 36
6 + 36 = 2x − 0.5x
42 = 1.5x
x = 421.5 = 28
נציב במשוואה II:
y = 0.5 · 28 + 6 = 14 + 6 = 20
✅ פתרון סופי: D(28 , 20)

סעיף ה (2) – שטח המשולש ECD

הצלע EC נמצאת על ציר ה־x – נבחר אותה לבסיס:
EC = 18 − 3 = 15
הגובה לבסיס הזה הוא המרחק של D מציר ה־x – שיעור ה־y שלו: 20.
S = 15 · 202📐 שטח משולששטח משולש = צלע · הגובה לצלע2
S = 150
xy20ABCDE
✅ פתרון סופי: 150

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אB(6 , −6)
ב (1)−2
ב (2)y = 12x − 9
גC(18 , 0)
דAD – II , CD – III
ה (1)D(28 , 20)
ה (2)150
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – התפלגות נורמלית: חשבונות חשמל

📄 נוסח השאלה

חשבונות החשמל של דירות באחת השכונות בחודש מסוים מתפלגים נורמלית, וסטיית התקן היא 160 שקלים.

חשבון החשמל של 16% מן הדירות בשכונה היה נמוך מ־400 שקלים בחודש זה.

א. מצאו את הממוצע של חשבונות החשמל.

ב. בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את הערכים המתאימים של חשבונות החשמל של הדירות בשכונה.

חשבון החשמל של 1,232 מן הדירות בשכונה היה גבוה מ־400 שקלים ונמוך מ־800 שקלים.

ג. (1) מצאו את אחוז הדירות בשכונה שחשבון החשמל שלהן גבוה מ־400 שקלים ונמוך מ־800 שקלים.

(2) על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה דירות יש בשכונה?

דירות שחשבון החשמל שלהן גבוה מ־900 שקלים בחודש, מקבלות התראה מחברת החשמל.

ציון התקן של חשבון החשמל של אחת מן הדירות בשכונה בחודש זה היה 2.3.

ד. האם קיבלה דירה זו התראה מחברת החשמל? נמקו את תשובתכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית עם האחוזים 0.5%, 1.5%, 5%, 9%, 15%, 19% בכל צד ומלבנים ריקים מתחתיו
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הממוצע

בגרף ההתפלגות הנורמלית כל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. נחבר את האחוזים מהקצה השמאלי עד שנגיע ל־16%:
0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%
אלה ארבע רצועות של חצי סטיית תקן, כלומר הערך 400 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע – ציון התקן שלו −1.
נסמן ב־a את הממוצע:
400 − a160 = −1📐 ציון תקןציון תקן = ערך − ממוצעסטיית תקן
נכפול ב־160:
400 − a = −160
400 + 160 = a
a = 560
✅ פתרון סופי: הממוצע 560 שקלים

סעיף ב – הערכים במלבנים

הממוצע 560 באמצע הגרף. כל קו מפריד מתרחק בחצי סטיית תקן:
1602 = 80
לכן מימין מוסיפים 80 בכל פעם, ומשמאל מחסירים 80 בכל פעם:
משמאל לממוצע (מהממוצע והלאה): 480, 400, 320, 240, 160
מימין לממוצע: 640, 720, 800, 880, 960
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%160240320400480560640720800880960
✅ פתרון סופי: משמאל לימין: 160 , 240 , 320 , 400 , 480 , 560 , 640 , 720 , 800 , 880 , 960

סעיף ג (1) – האחוז בין 400 ל־800

בגרף: 400 הוא הקו הרביעי משמאל, ו־800 הוא הקו השלישי מימין לממוצע. נחבר את האחוזים של הרצועות שביניהם (בירוק):
15% + 19% + 19% + 15% + 9%
= 77%
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%160240320400480560640720800880960
✅ פתרון סופי: 77%

סעיף ג (2) – מספר הדירות בשכונה

1,232 דירות הן 77% מכל הדירות. נסמן ב־n את מספר הדירות בשכונה:
0.77n = 1,232📐 אחוז מכמותהחלק = האחוז100 · הכמות
n = 1,2320.77
n = 1,600
✅ פתרון סופי: 1,600 דירות

סעיף ד – האם הדירה קיבלה התראה

נמצא את חשבון החשמל של הדירה מציון התקן 2.3:
2.3 = x − 560160📐 ציון תקןציון תקן = ערך − ממוצעסטיית תקן
נכפול ב־160:
368 = x − 560
x = 560 + 368
x = 928
נשווה לסף ההתראה:
928 > 900
✅ פתרון סופי: כן – החשבון היה 928 שקלים, יותר מ־900

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א560 שקלים
ב160 , 240 , … , 960 (קפיצות של 80)
ג (1)77%
ג (2)1,600 דירות
דכן (928 שקלים)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תרגול מציאת ציונים בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פרבולה: מסלול של כדור

📄 נוסח השאלה

תומר ויואב שיחקו במסירות בכדור קטן. הם שיחקו במגרש שהקרקע שלו מישורית.

באחת המסירות זרק תומר את הכדור ליואב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.4x2 + 2x + 1.1, כמתואר בסרטוט.

ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה.

ציר ה־y מייצג את גובה הכדור (במטרים) מעל פני הקרקע.

סרטוט מסלול הכדור – פרבולה מתומר אל יואב

א. מצאו את הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור.

ב. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה הכדור במגמת עלייה.

יואב תפס את הכדור בנקודה שבה שיעור ה־x הוא 5.2 מטרים.

ג. מצאו באיזה גובה מעל פני הקרקע היה הכדור כאשר תפס אותו יואב.

ד. אילו יואב לא היה תופס את הכדור ולא נוגע בו, מה היה שיעור ה־x של הנקודה שבה היה הכדור פוגע בקרקע?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הגובה המקסימלי

המקדם של x2 שלילי (a = −0.4), ולכן הפרבולה "בוכה" והקודקוד שלה הוא נקודת מקסימום.
a = −0.4 , b = 2 , c = 1.1
x = −22 · (−0.4)📐 שיעור ה־x של הקודקודx = −b2a
x = −2−0.8
x = 2.5
נציב במשוואת הפרבולה:
y = −0.4 · 2.52 + 2 · 2.5 + 1.1
y = −0.4 · 6.25 + 5 + 1.1
y = −2.5 + 5 + 1.1
y = 3.6
01234501234(2.5 , 3.6)(5.2 , 0.684)5.51.1
✅ פתרון סופי: 3.6 מטרים

סעיף ב – מתי הכדור במגמת עלייה

בפרבולה "בוכה" הגרף עולה משמאל לקודקוד ויורד מימינו. הקודקוד ב־x = 2.5.
הכדור יוצא מנקודת הזריקה, x = 0. לכן הוא עולה מנקודת הזריקה ועד הקודקוד:
0 < x < 2.5
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2.5

סעיף ג – הגובה כשיואב תפס

נציב x = 5.2:
y = −0.4 · 5.22 + 2 · 5.2 + 1.1
y = −0.4 · 27.04 + 10.4 + 1.1
y = −10.816 + 11.5
y = 0.684
✅ פתרון סופי: 0.684 מטרים

סעיף ד – איפה הכדור היה פוגע בקרקע

על הקרקע הגובה y = 0:
−0.4x2 + 2x + 1.1 = 0
x1,2 = −2 ± √22 − 4 · (−0.4) · 1.12 · (−0.4)📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x1,2 = −2 ± √4 + 1.76−0.8
x1,2 = −2 ± √5.76−0.8
x1,2 = −2 ± 2.4−0.8
x1 = −2 + 2.4−0.8 = 0.4−0.8 = −0.5
x2 = −2 − 2.4−0.8 = −4.4−0.8 = 5.5
הכדור נע קדימה מנקודת הזריקה (x > 0), ולכן x = −0.5 נפסל.
✅ פתרון סופי: x = 5.5 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א3.6 מטרים
ב0 < x < 2.5
ג0.684 מטרים
דx = 5.5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס פרבולה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבנה קוביות ותרשים מספרים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים.

כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

מבנה של קוביות על משטח משבצות 4 על 4, עם חץ שמסמן את המבט מלפנים

א. השלימו בתבניות את המבט מימין ואת המבט מלפנים של המבנה.

ב. סרטטו תרשים מספרים של המבנה.

ג. הוסיפו למבנה קובייה אחת כך שהמבט מלפנים יהיה זהה למבט מאחור. סרטטו תרשים מספרים של המבנה לאחר הוספת הקובייה.

הורידו מן המבנה את הקובייה שהוסיפו. לאחר מכן הורידו מן המבנה כמה קוביות נוספות. לפניכם תרשים המספרים החדש של המבנה לאחר הורדת כל הקוביות.

2332
1211
112
11
⬆️ מלפנים
תרשים המספרים החדש

ד. (1) כמה קוביות נוספות הורידו מן המבנה?

(2) איזה מבט השתנה לאחר הורדת הקוביות – המבט מימין, המבט מלפנים, המבט משמאל או המבט מלמעלה?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – המבט מלפנים והמבט מימין

נבנה קודם תרשים מספרים (זה גם סעיף ב): זה המבט מלמעלה, ובכל משבצת כותבים כמה קוביות יש בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).
נעבור על המבנה שורה אחר שורה, מלפנים לאחור (בכל שורה – משמאל לימין, כמו שרואים מלפנים):
• שורה קדמית: בפינה השמאלית קובייה אחת, שתי משבצות ריקות, ובפינה הימנית קובייה אחת – 1 , 0 , 0 , 1.
• שורה שנייה: 1 , 0 , 1 , 2.
• שורה שלישית: 1 , 2 , 2 , 2.
• שורה אחורית: 2 , 3 , 3 , 3.
2333
1222
112
11
⬆️ מלפנים
תרשים מספרים
המבט מלפנים: בכל עמודה (משמאל לימין) – המספר הגדול ביותר בעמודה של התרשים:📐 מבטבכל עמודה של המבט רואים את המגדל הגבוה ביותר בשורה שמאחוריה
עמודה 1: 2 , 1 , 1 , 1 ← 2 ; עמודה 2: 3 , 2 , 0 , 0 ← 3 ; עמודה 3: 3 , 2 , 1 , 0 ← 3 ; עמודה 4: 3 , 2 , 2 , 1 ← 3.
המבט מימין: עומדים מימין למבנה. משמאל לימין רואים את השורות מהשורה הקדמית לשורה האחורית, ובכל שורה – המספר הגדול ביותר בה:📐 מבטבכל עמודה של המבט רואים את המגדל הגבוה ביותר בשורה שמאחוריה
שורה קדמית: 1 ; שנייה: 2 ; שלישית: 2 ; אחורית: 3.
מבט מלפנים
מבט מימין
✅ פתרון סופי: מבט מלפנים – גבהים 2 , 3 , 3 , 3 ; מבט מימין – גבהים 1 , 2 , 2 , 3 (משמאל לימין)

סעיף ב – תרשים המספרים

את התרשים בנינו בסעיף א, משבצת אחר משבצת:
2333
1222
112
11
⬆️ מלפנים
תרשים מספרים
מספר הקוביות במבנה:
11 + 7 + 4 + 2 = 24
✅ פתרון סופי: התרשים שלמעלה (מאחור לפנים): 2 3 3 3 / 1 2 2 2 / 1 0 1 2 / 1 0 0 1

סעיף ג – קובייה שמשווה את המבט מלפנים למבט מאחור

המבט מאחור הוא המבט מלפנים הפוך (ימין ושמאל מתחלפים): המבט מלפנים 2 , 3 , 3 , 3, ולכן המבט מאחור 3 , 3 , 3 , 2.
כדי שיהיו זהים צריך שהעמודה השמאלית תהיה בגובה 3 – כמו כל השאר: 3 , 3 , 3 , 3.
בעמודה השמאלית המגדל הגבוה ביותר הוא 2 (בשורה האחורית). נוסיף עליו קובייה אחת – והוא יהיה 3. (בשאר המשבצות של העמודה יש קובייה אחת, וקובייה נוספת תגיע רק ל־2.)
3333
1222
112
11
⬆️ מלפנים
אחרי הוספת הקובייה
✅ פתרון סופי: במשבצת האחורית השמאלית 3 במקום 2 (בתרשים בסגול)

סעיף ד (1) – כמה קוביות נוספות הורידו

נשווה את התרשים החדש לתרשים המקורי (אחרי שהורידו את הקובייה שהוסיפו), משבצת אחר משבצת:
2333
1222
112
11
⬆️ מלפנים
לפני
2332
1211
112
11
⬆️ מלפנים
אחרי
• שורה אחורית, עמודה 4: 3 → 2 – הורידו 1.
• שורה שלישית, עמודה 3: 2 → 1 – הורידו 1.
• שורה שלישית, עמודה 4: 2 → 1 – הורידו 1.
בדיקה במספר הקוביות: לפני 24, אחרי 10 + 5 + 4 + 2 = 21.
24 − 21 = 3
✅ פתרון סופי: 3 קוביות

סעיף ד (2) – איזה מבט השתנה

מלפנים (הגדול בכל עמודה): עמודה 4 – 2 , 1 , 2 , 1 ← 2 (לפני 3). המבט מלפנים: 2 , 3 , 3 , 2 – השתנה.
מימין (הגדול בכל שורה): 1 , 2 , 2 , 3 – כמו קודם, לא השתנה. גם המבט משמאל (אותן שורות) לא השתנה.
מלמעלה: רואים אילו משבצות תפוסות. בכל המשבצות שמהן הורידו נשארה לפחות קובייה אחת – המבט מלמעלה לא השתנה.
✅ פתרון סופי: המבט מלפנים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אמלפנים 2,3,3,3 ; מימין 1,2,2,3
ב2 3 3 3 / 1 2 2 2 / 1 0 1 2 / 1 0 0 1
גמשבצת אחורית שמאלית: 3
ד (1)3 קוביות
ד (2)המבט מלפנים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – גופים במרחב: חרוט וגליל

📄 נוסח השאלה

בעקבות עבודות בכביש חסמה העירייה את אחד הנתיבים. כדי לשמור על הבטיחות הציבו הפועלים תמרור אזהרה ושלושה קונוסים זהים בצורת חרוט (ראו סרטוט).

תמרור אזהרה על עמוד גלילי ושלושה קונוסים בצורת חרוט

נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של כל אחד מן הקונוסים הוא 21 ס"מ, והגובה של כל אחד מהם הוא 72 ס"מ.

א. מצאו את האורך של הקו היוצר של כל אחד מן הקונוסים.

ב. מצאו את שטח המעטפת של שלושת הקונוסים סך הכול.

העמוד של תמרור האזהרה הוא בצורת גליל. נתון כי גובה העמוד גדול פי 3 מגובה הקונוס, וכי הנפח שלו הוא 3,456π סמ"ק.

ג. מצאו את האורך של רדיוס הבסיס של העמוד.

ד. האם שטח המעטפת של העמוד גדול או קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים סך הכול? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הקו היוצר

הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית: הניצבים – הגובה והרדיוס, היתר – הקו היוצר.
l2 = 212 + 722📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
l2 = 441 + 5,184
l2 = 5,625
l = √5,625 = 75
r = 21h = 72l = 75
✅ פתרון סופי: 75 ס"מ

סעיף ב – שטח המעטפת של שלושת הקונוסים

שטח המעטפת של קונוס אחד:
M = π · 21 · 75📐 שטח מעטפת חרוטM = πrl
M = 1,575π
שלושה קונוסים:
3 · 1,575π = 4,725π
≈ 14,844.03
✅ פתרון סופי: 4,725π ≈ 14,844 סמ"ר

סעיף ג – רדיוס הבסיס של העמוד

גובה העמוד:
h = 3 · 72 = 216
נסמן ב־R את רדיוס הבסיס של העמוד:
π · R2 · 216 = 3,456π📐 נפח גלילV = πR2h
נחלק את שני האגפים ב־216π:
R2 = 3,456216
R2 = 16
אורך חיובי:
R = 4
✅ פתרון סופי: 4 ס"מ

סעיף ד – העמוד או הקונוסים

שטח המעטפת של העמוד (הגליל):
M = 2π · 4 · 216📐 שטח מעטפת גלילM = 2πRh
M = 1,728π
≈ 5,428.67
נשווה לשטח המעטפת של שלושת הקונוסים (סעיף ב):
1,728π < 4,725π
✅ פתרון סופי: שטח המעטפת של העמוד קטן (1,728π לעומת 4,725π)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א75 ס"מ
ב4,725π ≈ 14,844 סמ"ר
ג4 ס"מ
דקטן
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות