בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2025 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שש שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – תכנון ליניארי וגאומטרייה אנליטית (שאלות 1–2); פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית וגופים במרחב (שאלות 3–6). עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק; 27 נקודות לכל שאלה (סך הכול לא יותר מ־100). משך הבחינה: שעתיים וחצי. מותר מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־3 יחידות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד ב'

שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 372 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – תכנון ליניארי: סלט גזר וסלט כרוב

📄 נוסח השאלה

במפעל שמייצר סלטים מכינים שני סוגי סלטים: סלט גזר וסלט כרוב. תהליך הייצור מורכב משני שלבים עיקריים: קיצוץ וערבוב, ולצורך כך משתמשים במפעל במכונת קיצוץ ובמכונת ערבוב.

בטבלה שלפניכם מוצג הזמן הנדרש להכנת 1 קילוגרם של כל אחד מן הסלטים.

סוג הסלטזמן הקיצוץ (ל־1 קילוגרם)זמן הערבוב (ל־1 קילוגרם)
סלט גזר6 דקות2 דקות
סלט כרוב3 דקות4 דקות

במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת הקיצוץ 42 דקות לכל היותר ואת מכונת הערבוב 35 דקות לכל היותר.

נסמן ב־x את מספר הקילוגרמים של סלט הגזר וב־y את מספר הקילוגרמים של סלט הכרוב שמכינים במפעל במחזור ייצור אחד.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים.

הרווח של המפעל ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הגזר הוא 26 שקלים, והרווח ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הכרוב הוא 30 שקלים.

ג. כתבו את פונקציית המטרה.

ד. כמה קילוגרמים מכל סוג של סלט צריך לייצר במפעל במחזור ייצור אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מערכת האילוצים

אילוץ 1 – הכמויות אינן שליליות:📐 כלל: אי־שליליותמספר סוכריות לא יכול להיות שלילי
x ≥ 0 , y ≥ 0
אילוץ 2 – מכונת הקיצוץ: קילוגרם סלט גזר צריך 6 דקות קיצוץ, ולכן x קילוגרמים צריכים 6x דקות; קילוגרם סלט כרוב צריך 3 דקות, ולכן y קילוגרמים צריכים 3y דקות. המכונה פועלת 42 דקות לכל היותר:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר
6x + 3y ≤ 42
אילוץ 3 – מכונת הערבוב: 2 דקות לקילוגרם סלט גזר ו־4 דקות לקילוגרם סלט כרוב, ולכל היותר 35 דקות:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר
2x + 4y ≤ 35
✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 , 6x + 3y ≤ 42 , 2x + 4y ≤ 35

סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי

כדי לסרטט כל ישר נמצא את נקודות החיתוך שלו עם הצירים.📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
הישר 6x + 3y = 42:
x = 0
⟹ 3y = 42
⟹ y = 14
y = 0
⟹ 6x = 42
⟹ x = 7
הישר 2x + 4y = 35:
x = 0
⟹ 4y = 35
⟹ y = 8.75
y = 0
⟹ 2x = 35
⟹ x = 17.5
התחום האפשרי נמצא מתחת לשני הישרים (סימן ≤) וברביע הראשון (x ≥ 0 , y ≥ 0).
נמצא גם את נקודת המפגש של שני הישרים (נצטרך אותה בסעיף ד):📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות
נחלק את המשוואה הראשונה ב־3:
2x + y = 14
⟹ y = 14 − 2x
נציב במשוואה השנייה:
2x + 4(14 − 2x) = 35
2x + 56 − 8x = 35
−6x = −21
x = 3.5
y = 14 − 2 · 3.5 = 7
xy17.514(0 , 8.75)(7 , 0)(3.5 , 7)O6x + 3y = 422x + 4y = 35
✅ פתרון סופי: התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0) , (0 , 8.75)
(3.5 , 7) , (7 , 0)

סעיף ג – פונקציית המטרה

רווח של 26 שקלים לקילוגרם סלט גזר ו־30 שקלים לקילוגרם סלט כרוב:📐 כלל: פונקציית מטרהf(x , y) = a · x + b · ya – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני
f(x , y) = 26x + 30y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 26x + 30y

סעיף ד – הרווח המקסימלי

נציב את קודקודי התחום האפשרי בפונקציית המטרה:📐 משפט: ערך מקסימלי בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי – מציבים כל קודקוד
בנקודה (0 , 0):
f = 0
בנקודה (0 , 8.75):
f = 30 · 8.75 = 262.5
בנקודה (7 , 0):
f = 26 · 7 = 182
בנקודה (3.5 , 7):
f = 26 · 3.5 + 30 · 7
= 91 + 210 = 301
הרווח הגדול ביותר, 301 שקלים, מתקבל בנקודה (3.5 , 7).
✅ פתרון סופי: 3.5 ק"ג סלט גזר ו־7 ק"ג סלט כרוב (רווח של 301 שקלים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

אx ≥ 0 , y ≥ 0
6x + 3y ≤ 42
2x + 4y ≤ 35
במרובע: (0 , 0) , (0 , 8.75)
(3.5 , 7) , (7 , 0)
גf(x , y) = 26x + 30y
ד3.5 ק"ג גזר , 7 ק"ג כרוב
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ABC

📄 נוסח השאלה

נתון משולש ישר זווית ABC (הזווית B ישרה). הקודקודים A ו־C נמצאים על ציר ה־y, כמתואר בסרטוט.

משוואת הצלע AB היא y = −45x + 24.

סרטוט המשולש ABC משאלה 2

א. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

נתון: C(0 , −17).

ב. (1) מצאו את משוואת הצלע BC.

(2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.

הנקודה E היא אמצע הצלע AB.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה E.

הנקודה K היא נקודת החיתוך של הצלע BC עם ציר ה־x.

ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה K.

(2) מצאו את שטח המשולש EBK.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שיעורי A

A על ציר ה־y, ולכן x = 0. נציב במשוואת AB:📐 כלל: נקודה על ציר ה־yx = 0
y = −45 · 0 + 24 = 24
A(0 , 24)
✅ פתרון סופי: A(0 , 24)

סעיף ב (1) – משוואת BC

שיפוע AB:📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישרy = mx + nהמקדם של x הוא השיפוע m
mAB = −45
הזווית B ישרה, ולכן BC מאונכת ל־AB ומכפלת השיפועים היא −1:📐 כלל: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
−45 · mBC = −1
mBC = 54
הישר BC עובר דרך C(0 , −17):📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y − (−17) = 54(x − 0)
y = 54x − 17
✅ פתרון סופי: y = 54x − 17

סעיף ב (2) – שיעורי B

B היא נקודת המפגש של AB ו־BC. נשווה:📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות
−45x + 24 = 54x − 17
נכפול את שני האגפים ב־20 כדי להיפטר מהשברים:
−16x + 480 = 25x − 340
480 + 340 = 25x + 16x
820 = 41x
x = 20
נציב במשוואת AB:
y = −45 · 20 + 24
= −16 + 24 = 8
B(20 , 8)
✅ פתרון סופי: B(20 , 8)

סעיף ג – שיעורי E

E אמצע AB, כאשר A(0 , 24) ו־B(20 , 8):📐 נוסחה: אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
xE = 0 + 202 = 10
yE = 24 + 82 = 16
E(10 , 16)
✅ פתרון סופי: E(10 , 16)

סעיף ד (1) – שיעורי K

K על ציר ה־x, ולכן y = 0. נציב במשוואת BC:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
0 = 54x − 17
54x = 17
x = 17 · 45 = 13.6
K(13.6 , 0)
✅ פתרון סופי: K(13.6 , 0)

סעיף ד (2) – שטח המשולש EBK

E על הצלע AB ו־K על הצלע BC, והזווית B ישרה. לכן המשולש EBK ישר זווית ב־B, והניצבים שלו הם EB ו־BK.📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
נחשב את אורכי הניצבים:📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
EB = √((20 − 10)2 + (8 − 16)2)
= √(100 + 64) = √164
BK = √((20 − 13.6)2 + (8 − 0)2)
= √(40.96 + 64) = √104.96
נציב בנוסחת השטח:
S = √164 · √104.962
= √17213.442 = 131.22 = 65.6
xy2024−17A(0 , 24)B(20 , 8)C(0 , −17)E(10 , 16)K(13.6 , 0)
✅ פתרון סופי: שטח המשולש 65.6 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אA(0 , 24)
ב (1)y = 54x − 17
ב (2)B(20 , 8)
גE(10 , 16)
ד (1)K(13.6 , 0)
ד (2)65.6
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – התפלגות נורמלית: תחרות קפיצה לגובה

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לגובה. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 0.2.

התוצאות שהשיגו 16% מן המשתתפים היו נמוכות מ־1.2 מטר.

א. (1) מצאו את התוצאה הממוצעת בתחרות.

(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את התוצאות בתחרות.

ב. מצאו את אחוז המשתתפים בתחרות שהתוצאה שלהם הייתה גבוהה מ־1.5 מטר.

התוצאות של 62 משתתפים היו גבוהות מ־1.5 מטר.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים סך הכול השתתפו בתחרות?

2% מן המשתתפים, אלה שהשיגו את התוצאות הגבוהות ביותר בתחרות, קיבלו מדליה. התוצאה של דני בתחרות הייתה 1.73 מטר.

ד. האם דני קיבל מדליה? נמקו את תשובתכם.

אריאל השתתף בתחרות, וציון התקן של התוצאה שלו היה 2.4.

ה. מי השיג תוצאה גבוהה יותר בתחרות, דני או אריאל? נמקו את תשובתכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית משאלה 3
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – התוצאה הממוצעת

16% מהמשתתפים קפצו פחות מ־1.2 מטר. נצבור אחוזים מהקצה השמאלי של הגרף:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%
כלומר 1.2 נמצא שני מלבנים משמאל לממוצע (המלבנים של 15% ושל 19%). כל מלבן הוא חצי סטיית תקן, ולכן 1.2 נמוך מהממוצע בסטיית תקן אחת שלמה, כלומר ב־0.2:
1.2 + 0.2 = 1.4
✅ פתרון סופי: התוצאה הממוצעת היא 1.4 מטר

סעיף א (2) – הערכים בגרף

כל מלבן הוא חצי סטיית תקן:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
0.22 = 0.1
באמצע הגרף הממוצע 1.4. כל קו ימינה מוסיף 0.1, וכל קו שמאלה מוריד 0.1:
1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 , 1.9
ושמאלה:
1.3 , 1.2 , 1.1 , 1 , 0.9
0.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.919%19%15%15%9%9%5%5%1.5%1.5%0.5%0.5%
✅ פתרון סופי: משמאל לימין:
0.9 , 1 , 1.1 , 1.2
1.3 , 1.4 , 1.5 , 1.6
1.7 , 1.8 , 1.9

סעיף ב – אחוז המשתתפים מעל 1.5

1.5 נמצא מלבן אחד מימין לממוצע. נחבר את כל המלבנים שמימין ל־1.5:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 31%
דרך נוספת: מימין לממוצע יש 50%, ומהם 19% בין 1.4 ל־1.5:
50% − 19% = 31%
0.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.919%19%15%15%9%9%5%5%1.5%1.5%0.5%0.5%
✅ פתרון סופי: 31%

סעיף ג – מספר המשתתפים

62 משתתפים הם 31% מכלל המשתתפים. נסמן ב־n את מספר המשתתפים:📐 כלל: חלק מתוך כמותחלק = אחוז · כמות כוללת
0.31 · n = 62
n = 620.31 = 200
✅ פתרון סופי: 200 משתתפים

סעיף ד – האם דני קיבל מדליה?

המדליה ניתנה ל־2% העליונים. נצבור אחוזים מהקצה הימני של הגרף:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
0.5% + 1.5% = 2%
כלומר מי שקפץ יותר מ־1.8 מטר קיבל מדליה. דני קפץ 1.73 מטר:
1.73 < 1.8
✅ פתרון סופי: לא, דני לא קיבל מדליה (1.73 נמוך מ־1.8)

סעיף ה – דני או אריאל?

נחשב את התוצאה של אריאל מציון התקן שלו. ציון תקן 2.4 פירושו 2.4 סטיות תקן מעל הממוצע:📐 נוסחה: ערך מתוך ציון תקןx = ממוצע + z · סטיית תקן
1.4 + 2.4 · 0.2
= 1.4 + 0.48 = 1.88
אריאל קפץ 1.88 מטר, ודני 1.73 מטר:
1.88 > 1.73
דרך נוספת: ציון התקן של דני הוא 1.73 − 1.40.2 = 1.65, וזה פחות מ־2.4.
✅ פתרון סופי: אריאל השיג תוצאה גבוהה יותר (1.88 מטר)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)1.4 מטר
א (2)0.9 , 1 , … , 1.9 (קפיצות של 0.1)
ב31%
ג200 משתתפים
דלא
האריאל
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תרגול מציאת ציונים בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה

📄 נוסח השאלה

מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.1x2 + 0.8x. הגשר מתחיל בנקודה O ומסתיים בנקודה B, כמתואר בסרטוט.

ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את הגובה (במטרים) מעל פני המים.

סרטוט הגשר משאלה 4

א. מצאו את שיעורי הנקודות O ו־B.

ב. מצאו את הגובה המקסימלי של הגשר.

יוסי הלך על הגשר. הוא התחיל בנקודה O וסיים בנקודה B.

ג. (1) מצאו בעבור אילו ערכים של x הלך יוסי על הגשר במגמת ירידה.

(2) כאשר יוסי הלך על הגשר במגמת ירידה, הוא עבר בנקודה שהגובה שלה מעל פני המים הוא 1.2 מטרים. מצאו את שיעור ה־x של נקודה זו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – שיעורי O ו־B

הנקודות O ו־B על ציר ה־x, ולכן y = 0:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
−0.1x2 + 0.8x = 0
נוציא גורם משותף x:📐 כלל: מכפלה ששווה לאפסמכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
x(−0.1x + 0.8) = 0
x = 0
או
−0.1x + 0.8 = 0
0.1x = 0.8
x = 8
O היא ראשית הצירים ו־B הנקודה השנייה:
✅ פתרון סופי: O(0 , 0)
B(8 , 0)

סעיף ב – הגובה המקסימלי

המקדם של x2 שלילי (a = −0.1), ולכן הפרבולה "עצובה" והקדקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר. נציב a = −0.1 , b = 0.8:📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולהx = −b2a
x = −0.82 · (−0.1) = −0.8−0.2 = 4
נציב x = 4 במשוואת הגשר:📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה
y = −0.1 · 42 + 0.8 · 4
= −1.6 + 3.2 = 1.6
✅ פתרון סופי: הגובה המקסימלי הוא 1.6 מטרים

סעיף ג (1) – מגמת ירידה

הפרבולה "עצובה", ולכן היא יורדת מימין לקדקוד, כלומר בעבור x גדול מ־4. הגשר מסתיים ב־B שבה x = 8:📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a שליליכש־a < 0 הפרבולה "עצובה": עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו
4 < x < 8
xy24681.21.6OB(4 , 1.6)y = 1.2
✅ פתרון סופי: 4 < x < 8

סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים

נציב y = 1.2 במשוואת הגשר:
−0.1x2 + 0.8x = 1.2
−0.1x2 + 0.8x − 1.2 = 0
נכפול את שני האגפים ב־(−10) כדי לקבל מקדמים שלמים:
x2 − 8x + 12 = 0
נזהה את המקדמים:📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
a = 1
b = −8
c = 12
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 12
= 64 − 48
= 16
√16 = 4
נציב בנוסחת השורשים:
x1,2 = −(−8) ± 42 · 1 = 8 ± 42
x1 = 8 + 42 = 6
x2 = 8 − 42 = 2
יוסי הלך במגמת ירידה, כלומר בתחום 4 < x < 8 (סעיף ג (1)). הפתרון x = 2 נמצא בחלק העולה של הגשר, ולכן הוא לא מתאים. הפתרון המתאים הוא x = 6.
בדיקה:
−0.1 · 36 + 0.8 · 6
= −3.6 + 4.8 = 1.2 ✓
✅ פתרון סופי: x = 6

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

אO(0 , 0)
B(8 , 0)
ב1.6 מטרים
ג (1)4 < x < 8
ג (2)x = 6
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס פרבולה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבטים והוספת קוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

המבנה משאלה 5

א. השלימו בתבנית שלפניכם את המבט מלפנים של המבנה.

ב. השלימו בתבנית שלפניכם את המבט מימין של המבנה.

הוסיפו למבנה את מספר הקוביות הגדול ביותר האפשרי כך שהמבט מימין לא השתנה.

ג. (1) כמה קוביות הוסיפו למבנה?

(2) סרטטו תרשים מספרים של המבנה לאחר הוספת הקוביות.

(3) איזה מבט (מלבד המבט מימין) לא השתנה לאחר הוספת הקוביות – המבט משמאל, המבט מלפנים או המבט מאחור?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – המבט מלפנים

כדי לראות את המבטים בקלות נכתוב קודם את תרשים המספרים של המבנה. במבנה 4 עמודות (משמאל לימין) ו־3 שורות (מלפנים לאחור). נספור בכל מקום כמה קוביות מונחות זו על זו:📐 כלל: תרשים מספריםבכל משבצת כותבים כמה קוביות מונחות זו על זו במקום הזה (משבצת ריקה – אין קוביות)
שורה קדמית (משמאל לימין): 2 , 1 , 1 , 2
שורה אמצעית: 1 , 1 , 1 , 1
שורה אחורית: 2 , 1 , 3 , 2
2132
1111
2112
⬆️ מלפנים
המבנה
במבט מלפנים רואים בכל עמודה את המגדל הגבוה ביותר בה:📐 כלל: מבט מלפניםלכל עמודה בתרשים (משמאל לימין) לוקחים את המספר הגדול ביותר בה
עמודה ראשונה: 2 , שנייה: 1 , שלישית: 3 , רביעית: 2
מבט מלפנים
✅ פתרון סופי: עמודות בגובה 2 , 1 , 3 , 2 (משמאל לימין)

סעיף ב – המבט מימין

במבט מימין רואים בכל שורה את המגדל הגבוה ביותר בה. השורה הקדמית נראית בצד שמאל:📐 כלל: מבט מימיןלכל שורה בתרשים לוקחים את המספר הגדול ביותר בה. מימין רואים את החלק הקדמי בצד שמאל
שורה קדמית: 2 , שורה אמצעית: 1 , שורה אחורית: 3
מבט מימין
✅ פתרון סופי: עמודות בגובה 2 , 1 , 3 (משמאל לימין)

סעיף ג (1) – כמה קוביות הוסיפו

המבט מימין לא משתנה כל עוד אף מגדל בשורה לא עובר את הגובה הגבוה ביותר של אותה שורה. כדי להוסיף כמה שיותר קוביות, נגביה כל מגדל בשורה עד הגובה הזה:📐 כלל: מבט מימיןלכל שורה בתרשים לוקחים את המספר הגדול ביותר בה. מימין רואים את החלק הקדמי בצד שמאל
שורה קדמית (הגובה המרבי 2):
2 , 1 , 1 , 2 → 2 , 2 , 2 , 2
0 + 1 + 1 + 0 = 2
שורה אמצעית (הגובה המרבי 1): 1 , 1 , 1 , 1 נשאר כמו שהוא
0
שורה אחורית (הגובה המרבי 3):
2 , 1 , 3 , 2 → 3 , 3 , 3 , 3
1 + 2 + 0 + 1 = 4
סך הכול:
2 + 0 + 4 = 6
✅ פתרון סופי: הוסיפו 6 קוביות

סעיף ג (2) – תרשים המספרים אחרי ההוספה

3333
1111
2222
⬆️ מלפנים
אחרי ההוספה (בירוק)
בדיקה – מבט מימין: 2 , 1 , 3 ✓ (לא השתנה)
✅ פתרון סופי: השורה העליונה היא השורה האחורית:
3333
1111
2222

סעיף ג (3) – איזה מבט לא השתנה

המבט משמאל מראה את אותם מגדלים כמו המבט מימין (הגבוה ביותר בכל שורה), רק בסדר הפוך – תמונת ראי. המבט מימין לא השתנה, ולכן גם המבט משמאל לא השתנה:📐 כלל: מבט משמאללכל שורה בתרשים לוקחים את המספר הגדול ביותר בה. משמאל רואים את החלק האחורי בצד שמאל ואת החלק הקדמי בצד ימין
מבט משמאל לפני ההוספה ואחריה: 3 , 1 , 2
המבט מלפנים השתנה:
2 , 1 , 3 , 2 → 3 , 3 , 3 , 3
המבט מאחור הוא תמונת הראי של המבט מלפנים, ולכן גם הוא השתנה.
✅ פתרון סופי: המבט משמאל

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א2 , 1 , 3 , 2
ב2 , 1 , 3
ג (1)6 קוביות
ג (2)
3333
1111
2222
ג (3)המבט משמאל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – גופים במרחב: מכונת כביסה בצורת תיבה ותוף בצורת גליל

📄 נוסח השאלה

חיים קנה מכונת כביסה בצורת תיבה. גובה מכונת הכביסה הוא 84 ס"מ, והאורכים של צלעות הבסיס הם 62 ס"מ ו־64 ס"מ (ראו סרטוט).

מכונת הכביסה והתוף משאלה 6

א. מצאו את שטח המעטפת של המכונה.

במכונת הכביסה יש חלק שנקרא "תוף" וצורתו גליל. בחלק זה מכניסים את הבגדים המיועדים לכביסה. גובה הגליל של תוף המכונה הוא 50 ס"מ, והרדיוס של בסיס הגליל הוא 28 ס"מ (ראו סרטוט).

ב. מצאו את נפח התוף.

בטבלה שלפניכם מתואר הקשר בין נפח התוף ובין משקל הבגדים המקסימלי (בקילוגרמים) שאפשר לכבס במכונה בהפעלה אחת.

נפח התוף (סמ"ק)משקל הבגדים המקסימלי שאפשר לכבס בהפעלה אחת (קילוגרמים)
עד 60,0005
מ־60,000 עד 100,0007
מ־100,000 עד 130,0009

ג. קבעו מהו משקל הבגדים המקסימלי שאפשר לכבס בהפעלה אחת במכונה שקנה חיים.

גם אייל קנה מכונת כביסה. גובה הגליל של תוף המכונה שקנה אייל קטן ב־12 ס"מ מגובה הגליל של תוף המכונה שקנה חיים. הרדיוס של בסיס התוף של שתי המכונות זהה.

ד. מהו משקל הבגדים המקסימלי שאפשר לכבס בהפעלה אחת במכונה שקנה אייל? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – שטח המעטפת

המעטפת היא ארבע הפאות הצדדיות. היקף הבסיס:📐 נוסחה: שטח מעטפת של תיבההיקף הבסיס כפול הגובהM = 2(a + b) · h
2 · (62 + 64) = 2 · 126 = 252
נכפול בגובה:
M = 252 · 84 = 21168
✅ פתרון סופי: 21,168 סמ"ר

סעיף ב – נפח התוף

רדיוס 28 ס"מ וגובה 50 ס"מ:📐 נוסחה: נפח גלילV = π · r2 · h
V = π · 282 · 50
= π · 784 · 50
= 39200π ≈ 123150.4
✅ פתרון סופי: 39200π ≈ 123,150.4 סמ"ק

סעיף ג – משקל הבגדים במכונה של חיים

נפח התוף בערך 123,150 סמ"ק. נמצא את השורה המתאימה בטבלה:
100000 < 123150 < 130000
זו השורה "מ־100,000 עד 130,000".
✅ פתרון סופי: 9 ק"ג

סעיף ד – משקל הבגדים במכונה של אייל

גובה התוף של אייל קטן ב־12 ס"מ:
50 − 12 = 38
הרדיוס זהה, 28 ס"מ:📐 נוסחה: נפח גלילV = π · r2 · h
V = π · 282 · 38
= 29792π ≈ 93594.3
נמצא את השורה המתאימה בטבלה:
60000 < 93594.3 < 100000
זו השורה "מ־60,000 עד 100,000".
✅ פתרון סופי: 7 ק"ג (נפח התוף בערך 93,594 סמ"ק)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א21,168 סמ"ר
ב≈ 123,150.4 סמ"ק
ג9 ק"ג
ד7 ק"ג
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חישוב נפח ושטח פנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות