בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – חורף 2023

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע – התפלגות נורמלית (שאלה 1), אשכול פיננסי כלכלי – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 2–3), אשכול התמצאות במישור ובמרחב – גופים במרחב וראייה מרחבית (שאלות 4–5). יש לענות על שלוש שאלות, 37 נקודות לכל שאלה; סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2023

שאלון 372 חורף 2023 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2023 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2023 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2023 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 חורף 2023 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: מטע תפוחים

📄 נוסח השאלה

במטע תפוחים גדול, כמות התפוחים שמניב כל אחד מן העצים מתפלגת נורמלית. כל עץ במטע מניב בממוצע 80 ק"ג תפוחים, וסטיית התקן היא 12.

א. מהו אחוז העצים במטע שכל אחד מהם מניב יותר מ־92 ק"ג תפוחים?

במטע התפוחים יש 48 עצים שכל אחד מהם מניב יותר מ־92 ק"ג תפוחים.

ב. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה עצים יש במטע?

לצורך מחקר בחרו באקראי שני עצים מן המטע. העץ הראשון שנבחר מניב 95 ק"ג תפוחים.

ג. מהו ציון התקן של כמות התפוחים שמניב העץ הראשון שנבחר?

ציון התקן של כמות התפוחים שמניב העץ השני שנבחר הוא 2.

ד. מהי כמות התפוחים שמניב העץ השני שנבחר?

לפניכם גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות. השתמשו בו בחישוביכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות עם האחוזים
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – יותר מ־92 ק"ג

נמצא כמה סטיות תקן 92 רחוק מן הממוצע:
92 − 80 = 12
זו בדיוק סטיית תקן אחת – שתי רצועות מימין לממוצע.
1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%809298104
נחבר את כל הרצועות מימין ל־92 (בסגול בגרף):
9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
✅ פתרון סופי: 16%

סעיף ב – כמה עצים במטע

48 העצים הם 16% מכל העצים. נסמן את מספר העצים ב־N:
16100 · N = 48📐 אחוז מכמותהחלק = האחוז100 · הכמות
0.16N = 48
N = 480.16
N = 300
✅ פתרון סופי: 300 עצים

סעיף ג – ציון התקן של העץ הראשון

95 − 8012 = 1512📐 ציון תקןציון התקן = ערך − ממוצעסטיית התקן
= 1.25
✅ פתרון סופי: 1.25

סעיף ד – העץ השני

ציון תקן 2 – שתי סטיות תקן מעל הממוצע:
80 + 2 · 12📐 ציון תקןערך = ממוצע + ציון התקן · סטיית התקן
= 80 + 24 = 104
✅ פתרון סופי: 104 ק"ג תפוחים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א16%
ב300 עצים
ג1.25
ד104 ק"ג
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3-תרגול מציאת ציונים בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – תכנון ליניארי: תפריט בשר וסלט

📄 נוסח השאלה

רונן מתאמן בחדר כושר. מאמן הכושר המליץ לו לאכול לפי תפריט מיוחד כדי להעלות את מסת השריר שלו. התפריט כולל רק מנות בשר ומנות סלט ירוק. בטבלה שלפניכם נתונים מספר הקלוריות וכמות החלבון במנת בשר ובמנת סלט ירוק.

מספר הקלוריותכמות החלבון (בגרם)
מנת בשר22445
מנת סלט ירוק5615

מאמן הכושר החליט שעל רונן לצרוך ביום אחד 1,792 קלוריות לכל היותר, ו־135 גרם חלבון לפחות. סמנו ב־x את מספר מנות הבשר וב־y את מספר מנות הסלט הירוק.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטטו את התחום האפשרי של הבעיה.

המחיר של מנת בשר אחת הוא 26 שקלים, והמחיר של מנת סלט ירוק אחת הוא 12 שקלים.

ג. כתבו את פונקציית המטרה.

רונן רוצה להעלות את מסת השריר שלו ולשלם בעבור המנות את המחיר הנמוך ביותר.

ד. מצאו כמה מנות בשר וכמה מנות סלט ירוק רונן צריך לאכול ביום אחד.

המחיר של מנת בשר עלה, וכעת מחירה הוא 37 שקלים. המחיר של מנת סלט ירוק נשאר ללא שינוי.

ה. האם חל שינוי בכמות מנות הבשר ובכמות מנות הסלט הירוק שרונן צריך לאכול ביום אחד כדי שיצליח להעלות את מסת השריר שלו ולשלם בעבור המנות את המחיר הנמוך ביותר? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מערכת האילוצים

קלוריות – לכל היותר 1,792:
224x + 56y ≤ 1,792
חלבון – לפחות 135 גרם:
45x + 15y ≥ 135
מספר מנות אינו שלילי:
x ≥ 0 , y ≥ 0
✅ פתרון סופי: 224x + 56y ≤ 1,792 , 45x + 15y ≥ 135 , x ≥ 0 , y ≥ 0

סעיף ב – התחום האפשרי

נמצא את נקודות החיתוך של כל ישר עם הצירים.
הישר 224x + 56y = 1,792: כש־x = 0:
56y = 1,792
y = 32
כש־y = 0:
224x = 1,792
x = 8
הישר 45x + 15y = 135: כש־x = 0:
15y = 135
y = 9
כש־y = 0:
45x = 135
x = 3
התחום (בתכלת) – מתחת לישר הקלוריות ומעל לישר החלבון, ברביע הראשון (הישרים לא נחתכים ברביע הראשון):
224x + 56y = 1,79245x + 15y = 135(0 , 9)(0 , 32)(3 , 0)(8 , 0)xy
✅ פתרון סופי: מרובע שקודקודיו (3 , 0), (8 , 0), (0 , 32), (0 , 9)

סעיף ג – פונקציית המטרה

26 שקלים למנת בשר ו־12 שקלים למנת סלט:
f(x , y) = 26x + 12y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 26x + 12y

סעיף ד – המחיר הנמוך ביותר

נציב את קודקודי התחום:
f(3 , 0) = 26 · 3 + 12 · 0 = 78📐 תכנון ליניאריהערך הקטן ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
f(8 , 0) = 26 · 8 + 12 · 0 = 208
f(0 , 9) = 26 · 0 + 12 · 9 = 108
f(0 , 32) = 26 · 0 + 12 · 32
= 384
הקטן ביותר – 78 שקלים בנקודה (3 , 0).
✅ פתרון סופי: 3 מנות בשר ו־0 מנות סלט ירוק

סעיף ה – אחרי עליית המחיר

פונקציית המטרה החדשה:
f(x , y) = 37x + 12y
f(3 , 0) = 37 · 3 + 12 · 0 = 111📐 תכנון ליניאריהערך הקטן ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
f(8 , 0) = 37 · 8 + 12 · 0 = 296
f(0 , 9) = 37 · 0 + 12 · 9 = 108
f(0 , 32) = 37 · 0 + 12 · 32
= 384
108 < 111
עכשיו המחיר הנמוך ביותר – 108 שקלים – מתקבל ב־(0 , 9): 0 מנות בשר ו־9 מנות סלט. זה שונה מסעיף ד.
✅ פתרון סופי: חל שינוי – עכשיו 0 מנות בשר ו־9 מנות סלט

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א224x + 56y ≤ 1,792, 45x + 15y ≥ 135, x ≥ 0, y ≥ 0
במרובע (3,0) (8,0) (0,32) (0,9)
ג26x + 12y
ד3 מנות בשר, 0 סלט
החל שינוי (0 בשר, 9 סלט)
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גאומטריה אנליטית: משולש ישר זווית ABD

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ישר זווית ABD (הזווית ABD היא 90 מעלות). קודקוד A נמצא על ציר ה־x, וקודקוד B נמצא על ציר ה־y. משוואת הצלע AB היא y = 14x + 2.

משולש ישר זווית ABD, הנקודה E על ציר ה־y והנקודה M על DB

א. מצאו את שיעורי הקודקודים A ו־B.

ב. מצאו את משוואת הצלע BD.

שיעור ה־x של קודקוד D הוא −2.

ג. (1) מצאו את שיעור ה־y של קודקוד D.
(2) הוכיחו כי משולש ABD הוא שווה שוקיים.

דרך קודקוד D העבירו ישר המקביל לצלע AB. הישר הזה חותך את ציר ה־y בנקודה E.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה E.

הנקודה M היא אמצע הקטע DB.

ה. מצאו את שטח המשולש BME.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הקודקודים A ו־B

A על ציר ה־x (y = 0):
0 = 14x + 2
14x = −2
x = −8
B על ציר ה־y (x = 0):
y = 14 · 0 + 2 = 2
✅ פתרון סופי: A(−8 , 0) , B(0 , 2)

סעיף ב – משוואת BD

הזווית B ישרה, ולכן BD מאונך ל־AB. שיפוע AB הוא 14:
14 · mBD = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mBD = −4
הישר עובר דרך B(0 , 2) – החיתוך עם ציר ה־y הוא 2:
y = −4x + 2📐 משוואת ישרy = mx + n
✅ פתרון סופי: y = −4x + 2

סעיף ג – הקודקוד D ומשולש שווה שוקיים

(1) D על BD ו־x = −2:
y = −4 · (−2) + 2 = 8 + 2 = 10
לכן D(−2 , 10).
(2) נחשב את אורכי שתי הצלעות שיוצאות מ־B:
AB = √((0 − (−8))2 + (2 − 0)2)📐 נוסחת המרחקd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √(64 + 4) = √68
BD = √((0 − (−2))2 + (2 − 10)2)📐 נוסחת המרחקd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √(4 + 64) = √68
AB = BD
שתי צלעות שוות, ולכן המשולש ABD שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: (1) 10 ; (2) AB = BD = √68 – שווה שוקיים

סעיף ד – הנקודה E

ישר מקביל ל־AB – אותו שיפוע 14, דרך D(−2 , 10):
y − 10 = 14(x − (−2))📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y − 10 = 14x + 12
y = 14x + 10.5
E על ציר ה־y (x = 0):
y = 10.5
✅ פתרון סופי: E(0 , 10.5)

סעיף ה – שטח המשולש BME

M אמצע DB, כאשר D(−2 , 10) ו־B(0 , 2):
xM = −2 + 02 = −1📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
yM = 10 + 22 = 6
כלומר M(−1 , 6). הצלע BE על ציר ה־y:
BE = 10.5 − 2 = 8.5
הגובה מ־M לציר ה־y – המרחק האופקי:
h = 0 − (−1) = 1
ABDEM
S = 8.5 · 12📐 שטח משולששטח משולש = צלע · הגובה לצלע2
S = 4.25
✅ פתרון סופי: 4.25 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

אA(−8 , 0), B(0 , 2)
בy = −4x + 2
ג (1)10
ג (2)הוכחה: AB = BD = √68
דE(0 , 10.5)
ה4.25
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27-מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גופים במרחב: גביעי גלידה בצורת חרוט

📄 נוסח השאלה

בגלידרייה משפחתית מייצרים גלידה. הגלידה מוגשת בגביע נייר בצורת חרוט. בגלידרייה יש גביעים בשני גדלים: גביע רגיל וגביע אקסטרים. הרדיוס של בסיס הגביע הרגיל הוא 4 ס"מ, וגובהו של הגביע הרגיל הוא 12 ס"מ (ראו סרטוט).

גביע רגיל וגביע אקסטרים בצורת חרוט

א. חשבו את נפח הגלידה הדרוש למילוי גביע רגיל אחד.

ב. חשבו את אורך הקו היוצר של גביע רגיל.

ג. מהו שטח הנייר שנדרש ליצירת גביע רגיל אחד של גלידה?

לצורך כיבוד במסיבת סיום הזמינה הנהלת בית הספר מן הגלידרייה 48 גלידות בגביעי אקסטרים בלבד. גובהו של גביע אקסטרים גדול פי 1.25 מגובהו של גביע רגיל. הרדיוס של גביע אקסטרים שווה לרדיוס של גביע רגיל.

ד. חשבו את נפח הגלידה הדרוש למילוי כל הגביעים שבהזמנה זו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נפח גביע רגיל

r = 4, h = 12:
V = π · 42 · 123📐 נפח חרוטנפח חרוט = π · r2 · h3
= π · 16 · 123 = 192π3
= 64π ≈ 201.1
✅ פתרון סופי: 64π ≈ 201.1 סמ"ק

סעיף ב – הקו היוצר

הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית; הקו היוצר הוא היתר:
l2 = 42 + 122📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
l2 = 16 + 144 = 160
l = √160 ≈ 12.65
✅ פתרון סופי: √160 ≈ 12.65 ס"מ

סעיף ג – שטח הנייר

הגביע פתוח למעלה – הנייר הוא רק המעטפת של החרוט (בלי הבסיס):
S = π · 4 · √160📐 שטח מעטפת חרוטS = π · r · l
≈ π · 4 · 12.65
≈ 50.6π ≈ 158.95
✅ פתרון סופי: ≈ 158.95 סמ"ר

סעיף ד – נפח הגלידה לכל ההזמנה

גובה גביע אקסטרים:
1.25 · 12 = 15
נפח גביע אקסטרים אחד (r = 4, h = 15):
V = π · 42 · 153📐 נפח חרוטנפח חרוט = π · r2 · h3
= 240π3 = 80π
ל־48 גביעים:
48 · 80π = 3,840π ≈ 12,063.7
✅ פתרון סופי: 3,840π ≈ 12,063.7 סמ"ק

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א64π ≈ 201.1 סמ"ק
ב12.65 ס"מ
ג158.95 סמ"ר
ד12,063.7 סמ"ק
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: שני מבנים מקוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוטים שלפניכם מתוארים מבנים מקוביות: מבנה 1 ומבנה 2. החץ בסרטוטים מייצג את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

שני מבנים מקוביות: מבנה 2 משמאל ומבנה 1 מימין

התרשים שלפניכם מייצג מבט אפשרי בעבור כל אחד מן המבנים 1 ו־2.

תרשים מבט: שורה תחתונה של שלוש משבצות ומעליה משבצת אמצעית

א. עבור כל אחד מן המבנים 1 ו־2, קבעו אם התרשים יכול לייצג מבט מלפנים או מבט מימין.

ענו על הסעיפים ב–ד עבור מבנה 2 בלבד.

ב. סרטטו תרשים מספרים של מבנה 2.

ג. סרטטו תרשים שמייצג מבט משמאל של מבנה 2.

נתון כי הנפח של כל הקוביות שבמבנה 2 הוא 216 סמ"ק סך הכול.

ד. (1) מהו הנפח של קובייה אחת במבנה 2?
(2) מהו אורך המקצוע של קובייה אחת במבנה 2?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – מבט מלפנים או מבט מימין

בתרשים: עמודה שמאלית בגובה 1, אמצעית בגובה 2, ימנית בגובה 1 – כלומר 1 , 2 , 1.
מבנה 2 (תרשים המספרים שלו בסעיף ב): מלפנים, בכל עמודה הגבוה ביותר – שמאלית 1, אמצעית 2, ימנית 1: 1 , 2 , 1 – מתאים. מימין רואים את השורה הקדמית משמאל ואת האחורית מימין: 1 , 1 , 2 – לא מתאים. לכן במבנה 2 התרשים הוא מבט מלפנים.
מבנה 1: שני המגדלים של 2 קוביות עומדים בשורה האמצעית – אחד בעמודה השמאלית ואחד בעמודה הימנית; בשורה הקדמית ובשורה האחורית יש רק קוביות בודדות. מלפנים רואים שתי עמודות בגובה 2 (שמאלית וימנית) – לא 1 , 2 , 1. מימין רואים בכל שורה את הגבוה ביותר: קדמית 1, אמצעית 2, אחורית 1: 1 , 2 , 1 – מתאים. לכן במבנה 1 התרשים הוא מבט מימין.
✅ פתרון סופי: מבנה 1 – מבט מימין ; מבנה 2 – מבט מלפנים

סעיף ב – תרשים המספרים של מבנה 2

בסיס המבנה – 3 שורות של 3 משבצות. משמאל לימין:
השורה האחורית: קובייה אחת, מגדל של 2, משבצת ריקה.
השורה האמצעית: קובייה אחת בכל משבצת.
השורה הקדמית: קובייה אחת, משבצת ריקה, קובייה אחת.
תרשים המספרים:📐 תרשים מספריםבכל משבצת של הבסיס – כמה קוביות עומדות בה
12
111
11
השורה העליונה בתרשים – מאחור, התחתונה – מלפנים.
✅ פתרון סופי: מאחור 1 , 2 , 0 ; באמצע 1 , 1 , 1 ; מלפנים 1 , 0 , 1 (משמאל לימין)

סעיף ג – מבט משמאל של מבנה 2

עומדים משמאל למבנה ומסתכלים ימינה: השורה האחורית נראית משמאל, והקדמית מימין. בכל שורה רואים את הגבוה ביותר:
אחורית: 1 , 2 , 0 – 2. אמצעית: 1 , 1 , 1 – 1. קדמית: 1 , 0 , 1 – 1.
✅ פתרון סופי: גבהים 2 , 1 , 1 משמאל לימין

סעיף ד – קובייה אחת

מספר הקוביות במבנה 2 – סכום המספרים בתרשים:
1 + 2 + 0 + 1 + 1
+ 1 + 1 + 0 + 1 = 8
(1) הנפח של קובייה אחת:
216 : 8 = 27
(2) אורך המקצוע – המספר שבחזקת שלוש נותן 27:
a3 = 27📐 נפח קובייהV = a3
a = 3
✅ פתרון סופי: (1) 27 סמ"ק ; (2) 3 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אמבנה 1 – מבט מימין, מבנה 2 – מבט מלפנים
ב120 / 111 / 101 (מאחור לפנים)
גגבהים 2 , 1 , 1
ד (1)27 סמ"ק
ד (2)3 ס"מ
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות