מה הפתרון של שאלה 1 (התפלגות נורמלית) בבגרות 372 חורף 2022 נבצרים?

סעיף א: סטיית תקן 12 דקות; סעיף ב: 53%; סעיף ג: 58 דקות; סעיף ד: 636 נבדקים; סעיף ה: 55 דקות

מה הפתרון של שאלה 2 (הנדסה אנליטית) בבגרות 372 חורף 2022 נבצרים?

סעיף א: M(4, 2); סעיף ב: D(4, −4), A(−2, 8), B(4, 8), C(10, −4); סעיף ג: שטח 36; סעיף ד: המשולש BMC אינו שווה שוקיים

מה הפתרון של שאלה 3 (תכנון ליניארי) בבגרות 372 חורף 2022 נבצרים?

סעיף א: x+2y≥16, 5x+2y≤40, x≥0, y≥0; סעיף ב: משולש עם הקודקודים (0,8), (0,20), (6,5); סעיף ג: f=45x+30y; סעיף ד: 0 זרים גדולים ו־20 קטנים; סעיף ה: לא – אין מספיק חרציות

מה הפתרון של שאלה 4 (נפח קובייה ופירמידה) בבגרות 372 חורף 2022 נבצרים?

סעיף א: 64 סמ"ק; סעיף ב: 48 סמ"ק; סעיף ג: 5 מארזים ו־30 סמ"ק שעווה; סעיף ד: 5 ס"מ

מה הפתרון של שאלה 5 (מבטים ותרשים מספרי) בבגרות 372 חורף 2022 נבצרים?

סעיף א: מבט מלפנים 3, 1, 2; מבט מימין 1, 1, 3; סעיף ב: תרשים מספרי של 10 קוביות; סעיף ג: מוסיפים קובייה בשורה האחורית (ימין או אמצע)

בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – חורף 2022 נבצרים

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות, ועונים על שלוש מהן (33⅓ נקודות לכל שאלה; אם עונים על יותר משלוש, נבדקות רק שלוש התשובות הראשונות). השאלות מחולקות לאשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלה 1 – התפלגות נורמלית), אשכול פיננסי כלכלי (שאלה 2 – הנדסה אנליטית, שאלה 3 – תכנון ליניארי) ואשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלה 4 – נפח קובייה ופירמידה, שאלה 5 – מבטים ותרשים מספרי). זהו מועד הנבצרים של חורף 2022 (תוכנית ניסוי). משך הבחינה: שעתיים. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 נבצרים

שאלון 372 חורף 2022 נבצרים – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 3

שאלון 372 חורף 2022 נבצרים – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 3

שאלון 372 חורף 2022 נבצרים – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 3

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

אשכול חברה ומדע
שאלה 1 – התפלגות נורמלית: תור לבדיקת קורונה
אשכול פיננסי כלכלי
שאלה 2 – הנדסה אנליטית: מקבילית
שאלה 3 – תכנון ליניארי: זרי פרחים
אשכול התמצאות במישור ובמרחב
שאלה 4 – נרות: נפח קובייה ופירמידה
שאלה 5 – מבטים ותרשים מספרי

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: תור לבדיקת קורונה

📄 נוסח השאלה

זמן ההמתנה בתור לבדיקת קורונה מתפלג נורמלית עם ממוצע של 40 דקות. ידוע כי 16% מן הנבדקים המגיעים למתחם בדיקות הקורונה ממתינים בתור פחות מ־28 דקות.

א. מצא את סטיית התקן של זמן ההמתנה.

ב. מהו אחוז הנבדקים הממתינים בתור בין 28 לבין 46 דקות?

ג. מהו זמן ההמתנה שרק 7% מהנבדקים ממתינים יותר ממנו?

ידוע שביום מסוים הגיעו למתחם בדיקות הקורונה 1,200 נבדקים.

ד. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה נבדקים המתינו לביצוע הבדיקה בין 28 לבין 46 דקות?

נדב נבדק באותו היום במתחם הקורונה, וציון התקן המתאים לזמן ההמתנה שלו בתור לבדיקה הוא 1.25.

ה. חשב את זמן ההמתנה של נדב בתור לבדיקת קורונה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

בגרף, משמאל לסטיית תקן אחת מתחת לממוצע יש:

9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.

לכן 28 דקות נמצא בדיוק סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

40 − 28 = 12

✅ פתרון סופי: סטיית התקן היא 12 דקות

סעיף ב – בין 28 ל־46 דקות

28 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (שתי רצועות שמאלה). כמה סטיות תקן 46 רחוק מהממוצע:

46 − 40 = 6

6 : 12 = 0.5

זו חצי סטיית תקן מעל הממוצע (רצועה אחת ימינה).

15 + 19 + 19 = 53📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.

✅ פתרון סופי: 53%

סעיף ג – הזמן ש־7% ממתינים יותר ממנו

נאסוף רצועות מהקצה הימני עד שנגיע ל־7%:

5 + 1.5 + 0.5 = 7📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.

אלה שלוש הרצועות שמעל סטיית תקן וחצי מעל הממוצע:

1.5 · 12 = 18

40 + 18 = 58

✅ פתרון סופי: 58 דקות

סעיף ד – כמה נבדקים המתינו בין 28 ל־46 דקות

בסעיף ב מצאנו ש־53% מהנבדקים המתינו בין 28 ל־46 דקות:

53100 · 1,200 = 636📐 אחוז מכמותp100 · הכמות

✅ פתרון סופי: 636 נבדקים

סעיף ה – זמן ההמתנה של נדב

ציון התקן אומר כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע:

1.25 = x − 4012📐 ציון תקןz = x − ממוצעסטיית תקן

x − 40 = 1.25 · 12 = 15

x = 55

✅ פתרון סופי: 55 דקות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	12 דקות
סעיף ב	53%
סעיף ג	58 דקות
סעיף ד	636
סעיף ה	55 דקות

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – תרגול ממוצע וסטיית תקן בגרף פעמון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הנדסה אנליטית: מקבילית

📄 נוסח השאלה

לפניך מקבילית ABCD. האלכסון AC מונח על הישר y = −x + 6 והאלכסון BD מונח על הישר x = 4. נקודה M היא נקודת המפגש של האלכסונים.

סרטוט המקבילית ABCD ונקודת המפגש M משאלה 2

א. מצא את שיעורי הנקודה M.

נתון שהצלע CD מונחת על הישר y = −4.

ב. (1) מהם שיעורי הקודקוד D?

(2) מצא את שיעורי הקודקודים A, B ו־C.

ג. חשב את שטח המשולש ADC.

ד. האם המשולש BMC הוא שווה שוקיים? נמק.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הנקודה M

M נמצאת על שני האלכסונים. על הישר x = 4, ולכן נציב בישר השני:

y = −4 + 6 = 2

✅ פתרון סופי: M(4, 2)

סעיף ב – הקודקודים

(1) D נמצא גם על האלכסון BD וגם על הצלע CD, כלומר על שני הישרים:

x = 4 , y = −4

D(4, −4)

(2) C נמצא על האלכסון AC וגם על הצלע CD. נציב y = −4 במשוואת האלכסון:

−4 = −x + 6

x = 10

C(10, −4)

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן M היא אמצע BD ואמצע AC.📐 אמצע קטעx_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

B (אמצע BD הוא M):

4 = x_B + 42 → x_B = 4

2 = y_B − 42 → y_B = 8

A (אמצע AC הוא M):

4 = x_A + 102 → x_A = −2

2 = y_A − 42 → y_A = 8

✅ פתרון סופי: (1) D(4, −4); (2) A(−2, 8)
B(4, 8)
C(10, −4)

סעיף ג – שטח המשולש ADC

הבסיס DC אופקי (שני הקודקודים בגובה מינוס 4):

DC = 10 − 4 = 6

הגובה הוא המרחק האנכי של A מהבסיס:

8 − (−4) = 12

S = 6 · 122 = 36📐 שטח משולשS = a · h2

✅ פתרון סופי: 36 יחידות שטח

סעיף ד – האם BMC שווה שוקיים

BM = 8 − 2 = 6📐 מרחק בין נקודותd = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)

MC = √((10 − 4)² + (−4 − 2)²)

MC = √72 ≈ 8.49

BC = √((10 − 4)² + (−4 − 8)²)

BC = √180 ≈ 13.42

אין שתי צלעות שוות.

✅ פתרון סופי: לא – המשולש אינו שווה שוקיים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	M(4, 2)
ב (1)	D(4, −4)
ב (2)	A(−2, 8) B(4, 8) C(10, −4)
סעיף ג	36
סעיף ד	לא

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 29 – תרגול מפגש אלכסונים במקבילית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – תכנון ליניארי: זרי פרחים

📄 נוסח השאלה

בחנות הפרחים של יוסי מוכרים זרים משני סוגים: זר גדול וזר קטן. הרכבי הזרים מתוארים בטבלה הבאה:

	ורדים	חרציות
זר גדול	3	10
זר קטן	6	4

לצורך הכנת הזרים יוסי קונה פרחים ממשתלה. לפי הסיכום עם המשתלה, הוא חייב לרכוש לפחות 48 ורדים ולכל היותר 80 חרציות. סמן ב־x את מספר הזרים הגדולים וב־y את מספר הזרים הקטנים.

א. רשום את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב. סרטט את התחום האפשרי של הבעיה.

יוסי מוכר כל זר גדול במחיר של 45 שקלים וכל זר קטן במחיר של 30 שקלים.

ג. רשום את פונקציית המטרה.

ד. כמה זרים מכל סוג על יוסי למכור כדי שההכנסה שלו ממכירת הזרים תהיה מקסימלית?

אורי צריך 8 זרים גדולים ו־6 זרים קטנים.

ה. האם יוסי יוכל לספק הזמנה זו? אם כן, מה תהיה ההכנסה של החנות מהזמנה זו? אם לא, הסבר מדוע.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מערכת האילוצים

ורדים (לפחות 48): בזר גדול 3 ורדים ובזר קטן 6:

3x + 6y ≥ 48

נחלק ב־3:

x + 2y ≥ 16

חרציות (לכל היותר 80): בזר גדול 10 ובזר קטן 4:

10x + 4y ≤ 80

נחלק ב־2:

5x + 2y ≤ 40

מספר הזרים לא שלילי:

x ≥ 0 , y ≥ 0

✅ פתרון סופי: x + 2y ≥ 16
5x + 2y ≤ 40
x ≥ 0 , y ≥ 0

סעיף ב – התחום האפשרי

נסרטט את שני הישרים לפי נקודות החיתוך עם הצירים:

הישר הראשון (התחום מעליו):

x + 2y = 16 : (0, 8) , (16, 0)

הישר השני (התחום מתחתיו):

5x + 2y = 40 : (0, 20) , (8, 0)

נקודת המפגש של שני הישרים (נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה):

4x = 24 → x = 6

6 + 2y = 16 → y = 5

התחום האפשרי הוא המשולש הירוק שקודקודיו:

(0, 8) , (0, 20) , (6, 5)

✅ פתרון סופי: משולש עם הקודקודים (0, 8) , (0, 20) , (6, 5)

סעיף ג – פונקציית המטרה

ההכנסה: 45 שקלים לכל זר גדול ו־30 שקלים לכל זר קטן:

f = 45x + 30y

✅ פתרון סופי: f = 45x + 30y

סעיף ד – ההכנסה המקסימלית

נציב את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:

(0, 8): 45 · 0 + 30 · 8 = 240

(0, 20): 45 · 0 + 30 · 20 = 600

(6, 5): 45 · 6 + 30 · 5 = 420

הערך הגדול ביותר מתקבל בקודקוד (0, 20).

✅ פתרון סופי: 0 זרים גדולים ו־20 זרים קטנים (הכנסה של 600 שקלים)

סעיף ה – ההזמנה של אורי

נבדוק את הנקודה (8, 6) באילוצים:

ורדים:

8 + 2 · 6 = 20 ≥ 16

חרציות:

5 · 8 + 2 · 6 = 52 > 40

אילוץ החרציות לא מתקיים: ההזמנה דורשת 104 חרציות, ויוסי יכול לקנות לכל היותר 80.

10 · 8 + 4 · 6 = 104 > 80

✅ פתרון סופי: לא – אין מספיק חרציות (צריך 104, מותר לכל היותר 80)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	x + 2y ≥ 16 5x + 2y ≤ 40 x, y ≥ 0
סעיף ב	משולש (0, 8) , (0, 20) , (6, 5)
סעיף ג	f = 45x + 30y
סעיף ד	0 גדולים, 20 קטנים
סעיף ה	לא

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – נרות: נפח קובייה ופירמידה

📄 נוסח השאלה

לנויה יש שני סוגים של תבניות להכנת נרות ריחניים: תבנית לנר מסוג א' בצורת קובייה – גובה הנר 4 ס"מ, ותבנית לנר מסוג ב' בצורת פירמידה שבסיסה ריבוע – אורך מקצוע הבסיס 6 ס"מ וגובה הנר 4 ס"מ (ראה ציור). נויה שופכת שעווה חמה נוזלית לתוך התבניות עד שהן מתמלאות.

ציור הנר בצורת קובייה והנר בצורת פירמידה משאלה 4

א. חשב את נפח השעווה הדרוש להכנת נר מסוג א'.

ב. חשב את נפח השעווה הדרוש להכנת נר מסוג ב'.

לכבוד יום המשפחה נויה מכינה מארזים. בכל מארז היא שמה נר אחד מסוג א' ונר אחד מסוג ב'. לנויה יש 590 סמ"ק שעווה חמה.

ג. (1) כמה מארזים יכולה נויה להכין?

(2) מהי כמות השעווה שנשארה לנויה לאחר הכנת המארזים?

ד. בשארית השעווה שנשארה הכינה נויה לעצמה נר קטן בתבנית פירמידה קטנה שמצאה. בסיס הפירמידה הוא ריבוע. גובה הנר 3.6 ס"מ. מהו האורך של צלע הבסיס של הנר הקטן?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נפח הקובייה

V = 4³ = 64📐 נפח קובייהV = a³

✅ פתרון סופי: 64 סמ"ק

סעיף ב – נפח הפירמידה

שטח הבסיס (ריבוע שצלעו 6):

6² = 36

V = 36 · 43 = 48📐 נפח פירמידהV = שטח הבסיס · גובה3

✅ פתרון סופי: 48 סמ"ק

סעיף ג – כמה מארזים

(1) מארז אחד דורש:

64 + 48 = 112

590112 ≈ 5.27

אפשר להכין רק מארזים שלמים, ולכן 5 מארזים.

(2) השעווה שנשארה:

590 − 5 · 112 = 590 − 560 = 30

✅ פתרון סופי: (1) 5 מארזים; (2) 30 סמ"ק

סעיף ד – צלע הבסיס של הנר הקטן

נסמן ב־a את צלע הבסיס. נפח הנר הוא 30 סמ"ק:

30 = a² · 3.63📐 נפח פירמידהV = שטח הבסיס · גובה3

90 = 3.6a²

a² = 25

a = 5

✅ פתרון סופי: 5 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	64 סמ"ק
סעיף ב	48 סמ"ק
ג (1)	5 מארזים
ג (2)	30 סמ"ק
סעיף ד	5 ס"מ

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – תרגיל פרמידה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מבטים ותרשים מספרי

📄 נוסח השאלה

נתון מבנה מקוביות (ראה ציור). החץ שבציור נותן מבט מלפנים של המבנה.

א. סרטט 3 תרשימי מבטים של המבנה: (1) מבט מלפנים (2) מבט מימין (3) מבט מלמעלה.

ב. סרטט תרשים מספרי של המבנה הנתון.

למבנה הנתון נוספה קובייה אחת כך שהמבט מלמעלה והמבט מימין לא השתנו.

ג. סרטט תרשים מספרי של המבנה החדש (אחת משתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 5

קריאת הציור

המבנה עומד על לוח של 3 על 3 משבצות. נסמן את השורות מלפנים (הצד של החץ) לאחור, ואת הטורים משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים.

בשורה הקדמית: שתי קוביות בודדות משמאל ובאמצע, והמשבצת הימנית ריקה.

בשורה האמצעית: המשבצת השמאלית ריקה, ובאמצע ומימין קובייה אחת.

בשורה האחורית: משמאל מגדל של 3 קוביות, באמצע קובייה אחת ומימין 2 קוביות.

סך הכול 10 קוביות.

✅ פתרון סופי: סך הכול 10 קוביות

סעיף א – שלושת המבטים

מבט מלפנים: בכל טור רואים את העמודה הגבוהה ביותר בו – משמאל 3, באמצע 1, מימין 2.

מבט מימין: עומדים מימין למבנה, והשורה הקדמית נראית בצד שמאל. בכל שורה רואים את העמודה הגבוהה ביותר – מלפנים 1, באמצע 1, מאחור 3.

מבט מלמעלה: רואים את כל המשבצות שיש עליהן קובייה (החזית למטה).

(1) מבט מלפנים

(2) מבט מימין

(3) מבט מלמעלה

✅ פתרון סופי: שלושת המבטים בסרטוט

סעיף ב – תרשים מספרי

מבט מלמעלה, ובכל משבצת – כמה קוביות עומדות עליה:

תרשים מספרי

✅ פתרון סופי: התרשים המספרי בסרטוט

סעיף ג – הוספת קובייה

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, מניחים את הקובייה על משבצת שכבר יש בה קובייה.

כדי שהמבט מימין לא ישתנה, אסור שאף שורה תעבור את הגובה שרואים מימין: בשורה הקדמית ובשורה האמצעית הגובה הוא 1, ולכן אי אפשר להוסיף שם. בשורה האחורית הגובה הוא 3, ואפשר להוסיף על משבצת שגובהה פחות מ־3.

יש שתי אפשרויות: על העמודה הימנית מאחור (2 נהיה 3) או על הקובייה האמצעית מאחור (1 נהיה 2).

אפשרות 1

אפשרות 2

✅ פתרון סופי: למשל: העמודה הימנית מאחור גדלה ל־3

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	מלפנים 3, 1, 2; מימין 1, 1, 3
סעיף ב	בסרטוט (10 קוביות)
סעיף ג	קובייה נוספת מאחור (ימין או אמצע)

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.