בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 371 (35371) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 – חורף 2022 נבצרים

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

זה מועד הנבצרים של חורף 2022 (פברואר). בשאלון שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלה 1 – גדילה ודעיכה, שאלה 2 – הסתברות), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלה 3 – משולשים דומים, שאלה 4 – טריגונומטריה במקבילית) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלה 5 – משוואות ואחוזים, שאלה 6 – ממוצע, סטיית תקן וחציון). תשובה מלאה על שאלה מזכה ב־20 נקודות. מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 נבצרים

שאלון 371 חורף 2022 נבצרים – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 371 חורף 2022 נבצרים – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 371 חורף 2022 נבצרים – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 371 חורף 2022 נבצרים – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 371 חורף 2022 נבצרים – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גדילה ודעיכה: ארנבים בשתי שמורות

📄 נוסח השאלה

בשמורת טבע א' היו בתחילת השנה 512 ארנבים. בכל חודש גדלה אוכלוסיית הארנבים בשמורה זו ב־25%.

בשמורת טבע ב' היו בתחילת השנה 1,953 ארנבים. בגלל מחלה שפגעה בארנבים, התמעטה אוכלוסיית הארנבים בשמורה זו מדי חודש בצורה מעריכית.

היעזר בגרפים שלפניך וענה על הסעיפים הבאים.

גרף 1 יורד וגרף 2 עולה, והם נחתכים בזמן 3 חודשים

א. איזה מבין הגרפים 1 או 2 מתאים לשמורת טבע א' ואיזה לשמורת טבע ב'? נמק.

ב. (1) כעבור כמה חודשים מיום המדידה הראשון היו בשתי שמורות הטבע אותו מספר ארנבים?
(2) כמה ארנבים היו בכל אחת משמורות הטבע בחודש זה?

ג. בכמה אחוזים קטנה כמות אוכלוסיית הארנבים בשמורת טבע ב' מדי חודש?

כדי לאפשר לאוכלוסיית הארנבים בשמורת טבע ב' להתאושש הוחלט להעביר ארנבים משמורת טבע א' לשמורת טבע ב'. ההעברה התחילה לאחר שבשמורת טבע א' היו יותר מ־1,500 ארנבים.

ד. (1) כעבור כמה חודשים מיום המדידה הראשון החלו בהעברת הארנבים?
(2) כמה ארנבים בערך היו בחודש זה בשמורת טבע ב' לפני ההעברה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – איזה גרף לאיזו שמורה

בשמורה א' האוכלוסייה גדלה – הגרף שלה עולה. בשמורה ב' האוכלוסייה קטנה – הגרף שלה יורד.
גרף 2 עולה ומתחיל נמוך (512), וגרף 1 יורד ומתחיל גבוה (1,953).
✅ פתרון סופי: גרף 2 – שמורה א' ; גרף 1 – שמורה ב'

סעיף ב – מתי מספר הארנבים שווה

(1) הגרפים נחתכים בנקודה שהקו המקווקו מוריד ממנה לציר הזמן – בזמן 3 חודשים.
(2) נחשב בשמורה א': גדילה של 25%:
q = 1 + 25100 = 1.25📐 גורם הגדילהגדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100
m(3) = 512 · 1.253📐 גדילה ודעיכהm(t) = m(0) · qt
= 512 · 1.953125 = 1,000
בנקודת החיתוך שתי האוכלוסיות שוות, ולכן גם בשמורה ב' היו 1,000 ארנבים.
✅ פתרון סופי: (1) כעבור 3 חודשים ; (2) 1,000 ארנבים בכל שמורה

סעיף ג – אחוז הירידה בשמורה ב'

בשמורה ב': m(0) = 1,953, ואחרי 3 חודשים 1,000:
1,953 · q3 = 1,000📐 גדילה ודעיכהm(t) = m(0) · qt
q3 = 1,0001,953 ≈ 0.512
q = ∛0.512 = 0.8
1 − p100 = 0.8📐 גורם הדעיכהגדילה: q = 1 + p100
דעיכה: q = 1 − p100
p100 = 0.2
p = 20
✅ פתרון סופי: קטנה ב־20% מדי חודש

סעיף ד – העברת הארנבים

(1) נחשב את מספר הארנבים בשמורה א' חודש אחרי חודש:
m(4) = 512 · 1.254 = 1,250
m(5) = 512 · 1.255 = 1,562.5
אחרי 4 חודשים עדיין פחות מ־1,500, ואחרי 5 חודשים כבר יותר.
(2) בשמורה ב' אחרי 5 חודשים:
m(5) = 1,953 · 0.85📐 גדילה ודעיכהm(t) = m(0) · qt
= 1,953 · 0.32768 ≈ 640
✅ פתרון סופי: (1) כעבור 5 חודשים ; (2) בערך 640 ארנבים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

אגרף 2 – שמורה א', גרף 1 – שמורה ב'
ב (1)3 חודשים
ב (2)1,000 ארנבים
ג20%
ד (1)5 חודשים
ד (2)בערך 640 ארנבים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12-גדילה ודעיכה עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: שני רמזורים

📄 נוסח השאלה

תומר הולך כל יום מביתו לבית הספר. בדרכו הוא צריך לחצות שני כבישים בהם יש רמזור להולכי רגל. ההסתברות שברמזור הראשון יהיה אור ירוק היא 0.6. ההסתברות שברמזור השני יהיה אור ירוק היא 0.3.

א. תומר הגיע לרמזור הראשון. מהי ההסתברות שברמזור אור אדום?

ב. מהי ההסתברות שתומר יחצה את שני הכבישים ללא עצירה?

ג. מהי ההסתברות שתומר יעצור ברמזור הראשון ולא יעצור ברמזור השני?

ד. מהי ההסתברות שתומר יעצור ברמזור אחד לפחות?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – אור אדום ברמזור הראשון

1 − 0.6 = 0.4📐 אירוע משליםP(לא קורה) = 1 − P(קורה)
✅ פתרון סופי: 0.4

סעיף ב – שני הכבישים בלי עצירה

בלי עצירה – ירוק בשני הרמזורים. הרמזורים לא תלויים זה בזה:
0.6 · 0.3 = 0.18📐 מכפלת הסתברויותאירועים בלתי תלויים: P(גם וגם) = מכפלת ההסתברויות
✅ פתרון סופי: 0.18

סעיף ג – עוצר בראשון, לא עוצר בשני

עוצר בראשון – אדום (0.4). לא עוצר בשני – ירוק (0.3):
0.4 · 0.3 = 0.12📐 מכפלת הסתברויותאירועים בלתי תלויים: P(גם וגם) = מכפלת ההסתברויות
✅ פתרון סופי: 0.12

סעיף ד – עוצר ברמזור אחד לפחות

"עוצר ברמזור אחד לפחות" הוא המשלים של "לא עוצר אף פעם" – וזה בדיוק סעיף ב:
1 − 0.18 = 0.82📐 אירוע משליםP(לא קורה) = 1 − P(קורה)
✅ פתרון סופי: 0.82

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א0.4
ב0.18
ג0.12
ד0.82
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2-הסתברות להצלחה במבחן, המושג לפחות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – משולשים דומים: גופי תאורה

📄 נוסח השאלה

בפרויקט דיור חדש גופי התאורה מורכבים מפסי תאורה היוצרים שני משולשים שווי שוקיים שדומים זה לזה. הגוף הגדול הוא משולש ABC שאורך השוק שלו AB = 85 ס"מ ואורך הבסיס שלו BC = 70 ס"מ. הגוף הקטן הוא משולש DEF.

גופי התאורה: משולש גדול ABC ומשולש קטן DEF, שניהם שווי שוקיים

נתון: זוויות הראש של שני המשולשים שוות (הזווית D שווה לזווית A). אורך השוק DE קטן מאורך השוק AB ב־20%.

א. (1) מצא את אורך השוק DE.
(2) מצא את אורך הבסיס EF.

ב. מצא את האורך הכולל של כל פסי התאורה הדרושים לבנייה של שני גופי התאורה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – השוק DE והבסיס EF

(1) קטן ב־20% – נשאר 80% מן האורך:
DE = 0.8 · 85 = 68📐 הקטנה באחוזיםאחרי הקטנה ב־p אחוזים: 100 − p100 · הכמות
(2) המשולשים דומים (שווי שוקיים עם זוויות ראש שוות), ויחס הדמיון הוא 0.8:
EF = 0.8 · 70 = 56📐 משולשים דומיםבמשולשים דומים כל הצלעות מוכפלות באותו יחס הדמיון
✅ פתרון סופי: (1) 68 ס"מ ; (2) 56 ס"מ

סעיף ב – האורך הכולל של הפסים

כל גוף תאורה הוא היקף של משולש שווה שוקיים – שתי שוקיים ובסיס:
85 + 85 + 70 = 240📐 היקף משולשהיקף = סכום הצלעות
68 + 68 + 56 = 192
240 + 192 = 432
✅ פתרון סופי: 432 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)68 ס"מ
א (2)56 ס"מ
ב432 ס"מ
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – טריגונומטריה: קיר בצורת מקבילית

📄 נוסח השאלה

הקיר של הבניין שבתמונה בנוי בצורת מקבילית (ABCD). אורכי הצלעות של המקבילית ABCD הם: AB = 35 מטר, AD = 60 מטר. הזווית BAD היא 28 מעלות.

תמונת הבניין והמקבילית ABCD עם הגובה BE

א. מצא את גובה הבניין (BE).

ב. מצא את שטח הקיר (המקבילית ABCD).

בין הנקודות B ו־D עובר פס דקורטיבי ישר.

ג. (1) חשב את אורך AE.
(2) חשב את אורך הפס (BD).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הגובה BE

במשולש הישר זווית ABE: היתר AB = 35, ו־BE הוא הניצב שמול הזווית של 28 מעלות:
sin 28 = BE35📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin הזווית = הניצב שמול הזוויתהיתר
BE = 35 · sin 28
BE ≈ 35 · 0.4695 ≈ 16.43
✅ פתרון סופי: ≈ 16.43 מטר

סעיף ב – שטח הקיר

הגובה BE יורד לצלע AD = 60:
S = 60 · 16.43📐 שטח מקביליתשטח מקבילית = צלע · הגובה לצלע
S = 985.8
✅ פתרון סופי: ≈ 985.8 מ"ר

סעיף ג – AE ואורך הפס BD

(1) AE הוא הניצב שליד הזווית:
cos 28 = AE35📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos הזווית = הניצב שליד הזוויתהיתר
AE = 35 · cos 28
AE ≈ 35 · 0.8829 ≈ 30.90
(2) נמצא את ED:
ED = 60 − 30.90 = 29.10
במשולש הישר זווית BED היתר הוא BD:
BD2 = 16.432 + 29.102📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
BD2 ≈ 269.94 + 846.81 = 1,116.75
BD ≈ 33.42
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 30.90 מטר ; (2) ≈ 33.42 מטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א16.43 מטר
ב985.8 מ"ר
ג (1)30.90 מטר
ג (2)33.42 מטר
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1-sin במשולש ישר זוית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – משוואות ואחוזים: הצעות של מכון כושר

📄 נוסח השאלה

במכון כושר יצאו בפרסום עם שתי הצעות.
הצעה ראשונה: תשלום של 28 שקלים לכל אימון.
הצעה שנייה: תשלום חודשי קבוע של 120 שקלים ותשלום של 13 שקלים לכל אימון.

א. מצא מהו התשלום בעבור 5 אימונים לפי כל אחת מן ההצעות.

ב. מצא בעבור כמה אימונים התשלום בשתי ההצעות שווה.

לכבוד שנה לפתיחת מכון הכושר יצאו מנהלי המכון במבצע לחודש מאי: "20% הנחה לכל אימון בשתי ההצעות". נעמי מתכננת 10 אימונים בחודש מאי.

ג. בחר את המשפט הנכון, ונמק:
I. התשלום בעבור 10 אימונים נמוך יותר בהצעה הראשונה.
II. התשלום בעבור 10 אימונים נמוך יותר בהצעה השנייה.
III. בשתי ההצעות התשלום בעבור 10 אימונים שווה.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – 5 אימונים

הצעה ראשונה:
28 · 5 = 140
הצעה שנייה:
120 + 13 · 5 = 120 + 65 = 185
✅ פתרון סופי: הצעה ראשונה 140 שקלים ; הצעה שנייה 185 שקלים

סעיף ב – מתי התשלום שווה

נסמן ב־x את מספר האימונים ונשווה:
28x = 120 + 13x
15x = 120
x = 8
בדיקה: 28 · 8 = 224 וגם 120 + 13 · 8 = 224.
✅ פתרון סופי: 8 אימונים

סעיף ג – המבצע של מאי

ההנחה היא רק על האימונים (לא על התשלום החודשי הקבוע). אחרי 20% הנחה נשאר 80% מהמחיר:
28 · 0.8 = 22.4
13 · 0.8 = 10.4
הצעה ראשונה, 10 אימונים:
22.4 · 10 = 224
הצעה שנייה, 10 אימונים:
120 + 10.4 · 10
= 120 + 104 = 224
התשלום שווה בשתי ההצעות.
✅ פתרון סופי: המשפט הנכון: III – בשתי ההצעות 224 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א140 ו־185 שקלים
ב8 אימונים
גמשפט III (224 שקלים בשתיהן)
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – סטטיסטיקה: משכורות בחברה קטנה

📄 נוסח השאלה

בחברה קטנה שבה 4 עובדים המשכורות החודשיות (בשקלים) הן: 9,200 , 8,800 , 9,000 , 8,600.

א. חשב את המשכורת הממוצעת.

ב. חשב את סטיית התקן של המשכורות.

ג. מהו החציון של המשכורות? נמק את תשובתך.

לחברה התקבל עובד נוסף שמשכורתו 8,700 שקלים לחודש.

ד. האם המשכורת הממוצעת של כל חמשת העובדים תגדל / תקטן / לא תשתנה? נמק את תשובתך.

ה. מצא את חציון המשכורות של כל חמשת העובדים. נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הממוצע

9,200 + 8,800 + 9,000 + 8,6004📐 ממוצעממוצע = סכום הנתוניםמספר הנתונים
= 35,6004 = 8,900
✅ פתרון סופי: 8,900 שקלים

סעיף ב – סטיית התקן

ההפרש של כל משכורת מן הממוצע 8,900:
9,200 − 8,900 = 300
8,800 − 8,900 = −100
9,000 − 8,900 = 100
8,600 − 8,900 = −300
נעלה כל הפרש בריבוע:
3002 = 90,000
(−100)2 = 10,000
1002 = 10,000
(−300)2 = 90,000
סכום הריבועים:
90,000 + 10,000 + 10,000
+ 90,000 = 200,000
√(200,0004) = √50,000📐 סטיית תקןסטיית התקן = √(סכום ריבועי ההפרשים מן הממוצעמספר הנתונים)
≈ 223.61
✅ פתרון סופי: ≈ 223.61 שקלים

סעיף ג – החציון

נסדר מהקטן לגדול:
8,600 , 8,800 , 9,000 , 9,200
ארבעה נתונים – החציון הוא הממוצע של שני האמצעיים:
8,800 + 9,0002 = 8,900📐 חציוןחציון – הנתון האמצעי אחרי סידור מהקטן לגדול (במספר זוגי של נתונים – ממוצע שני האמצעיים)
✅ פתרון סופי: 8,900 שקלים

סעיף ד – הממוצע אחרי העובד החדש

המשכורת החדשה 8,700 קטנה מן הממוצע 8,900, ולכן היא "מושכת" את הממוצע למטה. בדיקה:
35,600 + 8,7005 = 44,3005 = 8,860
8,860 < 8,900
✅ פתרון סופי: הממוצע יקטן (ל־8,860)

סעיף ה – החציון של חמשת העובדים

נסדר מהקטן לגדול:
8,600 , 8,700 , 8,800 , 9,000 , 9,200
חמישה נתונים – החציון הוא הנתון השלישי:
8,800📐 חציוןחציון – הנתון האמצעי אחרי סידור מהקטן לגדול (במספר זוגי של נתונים – ממוצע שני האמצעיים)
✅ פתרון סופי: 8,800 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א8,900 שקלים
ב223.61 שקלים
ג8,900 שקלים
דיקטן (8,860)
ה8,800 שקלים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור12 – 2022 חורף נבצרים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות