מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותסטטיסטיקה – ממוצע, שכיח, חציון וסטיית תקן

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: סטטיסטיקה – 471

1. ממוצע

📐 ממוצע
x̄ = סכום כל הנתוניםמספר הנתונים
מסמנים x̄ (x עם גג)
📐 ממוצע מטבלת שכיחויות
x̄ = x1f1 + x2f2 + … + xnfnN
ערך × שכיחות לכל שורה, מחברים, ומחלקים בסכום השכיחויות N
דוגמה (שיעור 4): ילדים 1, 2, 3, 4, 5, משפחות 4, 8, 12, 6, 2
N = 4 + 8 + 12 + 6 + 2 = 32
x̄ = 4·1 + 8·2 + 12·3 + 6·4 + 2·532 = 9032 ≈ 2.81
📐 ציון משוקלל
60%·85 + 40%·90 = 0.6·85 + 0.4·90 = 87
כל חלק כפול האחוז שלו, ומחברים (שיעור 6)
נוסף נתון גדול מהממוצעהממוצע גדל
נוסף נתון קטן מהממוצעהממוצע קטן
נוסף נתון שווה לממוצעהממוצע לא משתנה
נתון אחד השתנה (למשל ציון עלה ב־20)משנים רק את המונה, המכנה נשאר
נוספו כמה נתוניםמשנים גם את המונה וגם את המכנה

2. שכיחות, שכיחות יחסית והסתברות

שכיחות = כמה פעמים נתון מסוים מופיע.

📐 שכיחות יחסית
השכיחות של הנתון הרצויסכום השכיחויות
📐 הסתברות
p = רצויסה״כ אפשרויות
דוגמה (שיעור 4): משפחות עם 2 או 3 ילדים: 8 + 12 = 20 מתוך 32
p = 2032 = 58 = 0.625
שכיחות יחסית של יותר מ־3 ילדים: 6 + 232 = 14
🔹 המכנה (סכום השכיחויות) זהה לכל השאלות על אותה טבלה, רק המונה משתנה.
🔹 "גבוה מהממוצע": קודם מחשבים את הממוצע, ואז סופרים את הנתונים שמעליו.

3. שכיח, חציון וטווח

שכיחהנתון שמופיע הכי הרבה פעמים. התשובה היא הערך, לא מספר ההופעות.
חציוןהנתון שנמצא בדיוק באמצע, כשהנתונים מסודרים לפי הגודל.
טווחהגדול ביותר פחות הקטן ביותר (מדד פיזור).
📐 מקום החציון
מספר הנתונים n אי־זוגי: המקום n + 12
זוגי: ממוצע של המקומות n2 ו־n2 + 1
📐 טווח
הגדול ביותר − הקטן ביותר
חציון מטבלה (שיעור 4): n = 32 זוגי ← המקומות 16 ו־17
מצטברים: 4 (ילד אחד), 4 + 8 = 12 (2 ילדים), 12 + 12 = 24 (3 ילדים)
המקומות 16 ו־17 שניהם 3 ← חציון = 3
🔹 חציון מטבלה: מצטברים לפי הסדר בטבלה עד שמגיעים למקום האמצעי.
🔹 החציון מחלק את הנתונים לשני חצאים: חצי מתחתיו וחצי מעליו.

4. דיאגרמת מקלות, עמודות ועיגול

  • דיאגרמת מקלות: ציר אופקי – הערכים, ציר אנכי – השכיחות. לכל ערך מקל בגובה השכיחות שלו.
  • המקל הגבוה ביותר = השכיח. סכום כל הגבהים = סכום השכיחויות (מספר הנתונים).
  • דיאגרמת עמודות או עיגול: קודם בונים ממנה טבלת שכיחויות, ומשם מחשבים הכול.
12345024681012ילדיםמשפחות481262x̄ ≈ 2.81
שיעור 4: מספר הילדים במשפחה. מקל לכל ערך בגובה השכיחות (כחול), המקל הגבוה = השכיח 3 (ירוק חזק), הממוצע x̄ = 9032 ≈ 2.81 (סגול)
123624168
שיעור 10: 96 תלמידים לפי שעות התנדבות. 1 שעה (תכלת), 2 שעות (כחול), 3 שעות (ירוק חלש), 4 שעות (ירוק חזק), 5 שעות (סגול). החלק החסר: 96 − 88 = 8
ממוצע מהעיגול (שיעור 10): x̄ = 12·1 + 36·2 + 24·3 + 16·4 + 8·596 = 26096 ≈ 2.71

5. סטיית תקן

שתי קבוצות יכולות לקבל אותו ממוצע ועדיין להיות שונות. סטיית התקן S מודדת את הפיזור: כמה הנתונים רחוקים מהממוצע.

📐 סטיית תקן
S = √(x1−x̄)² + (x2−x̄)² + … + (xn−x̄)²n
📐 סטיית תקן מטבלת שכיחויות
S = √(x1−x̄)²·f1 + … + (xn−x̄)²·fnN
  1. ממוצע x̄.
  2. לכל נתון הסטייה x − x̄.
  3. מעלים בריבוע ומחברים (בטבלה: כפול השכיחות).
  4. מחלקים במספר הנתונים ומוציאים שורש.
דוגמה (שיעור 8): 70, 80, 80, 90 , x̄ = 80
S = √(70−80)² + (80−80)² + (80−80)² + (90−80)²4
= √2004 = √50 ≈ 7.07
708090708090S = 0S ≈ 7.07אב
שיעור 8: אותו ממוצע x̄ = 80 (סגול). כיתה א: 80, 80, 80, 80 (כחול), כיתה ב: 70, 80, 80, 90 (ירוק חזק)
נעלם בטבלה (שיעור 15): נעלם אחד ← משוואה מהממוצע. נעלם שני ← משוואה מסטיית התקן: מציבים בנוסחה ומעלים בריבוע את שני האגפים (כדי להיפטר מהשורש).
🔹 כל הנתונים שווים לממוצע ← S = 0.
🔹 יותר נתונים קרובים לממוצע ← סטיית תקן קטנה יותר.
🔹 ממוצעים שווים: סטיית תקן גדולה יותר = פיזור גדול יותר (הבדלים גדולים יותר).

6. סוגי משתנים

כמותינמדד במספרים: שכר, מספר ילדים, ממוצע ציונים
כמותי בדידאי אפשר ערכים בין לבין (מספר ילדים)
כמותי רציףאפשר ערכים בין לבין (שכר, גובה תרומה, ממוצע ציונים)
איכותיתכונה, לא מספר (צבע עיניים, סוג דם)
🔹 מסתכלים על מה שמודדים: מספרים ← כמותי (ואז: בין לבין? רציף : בדיד), תכונה ← איכותי.

7. הוספה או הכפלה של k לכל הנתונים

המדדמוסיפים kכופלים פי k
ממוצע, חציון, שכיחזזים ב־kפי k
טווחלא משתנהפי k
סטיית תקןלא משתנהפי k
דוגמה (שיעור 13): 6, 6, 8, 10, 12: טווח 6, ממוצע 8.4, שכיח 6, חציון 8, S = √5.44 ≈ 2.33
פי 3: טווח 18, ממוצע 25.2, שכיח 18, חציון 24, S ≈ 7
ועוד 2: טווח 6, ממוצע 10.4, שכיח 8, חציון 10, S ≈ 2.33
8.410.425.20510152025303540
שיעור 13: 6, 6, 8, 10, 12 (כחול), אחרי הוספת 2 (ירוק חזק), אחרי כפל פי 3 (סגול). המשולש = הממוצע: 8.4, 10.4, 25.2
🔹 בבגרות לא מחשבים מחדש: מפעילים את הכלל על המדד הקודם.
🔹 בהוספה הסטיות מהממוצע נשארות אותו דבר, לכן הפיזור לא משתנה. הכלל של הכפל הוא כש־k חיובי.

✔️ סדר פתרון שאלת סטטיסטיקה מבגרות

  1. דיאגרמה? בונים טבלת שכיחויות. מחשבים N = סכום השכיחויות.
  2. חסר נתון? מהסכום הכולל, או משוואה מהממוצע (ואם צריך – מסטיית התקן).
  3. ממוצע: x1f1 + x2f2 + … + xnfnN.
  4. שכיח: הערך הכי שכיח. חציון: מקום אמצעי ומצטברים.
  5. טווח וסטיית תקן.
  6. הסתברות ושכיחות יחסית: רצוי חלקי סה״כ.
  7. שינוי בנתונים: נתון שנוסף מול הממוצע, או טבלת הוספה וכפל ב־k.
  8. השוואת קבוצות: ממוצע שווה ← משווים סטיות תקן.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות