סיכום ונוסחאות – מודל ריבועי

3 יחידות · שאלון 372

בעמוד הזההפונקציה הריבועית הקדקוד חיתוך עם ציר ה־x מודל בסיפור

הפונקציה הריבועית

1הצורה והכיוון

y = ax² + bx + c

a > 0 – פרבולה "מחייכת": בקדקוד ערך מזערי (נקודת מינימום).

a < 0 – פרבולה "בוכה": בקדקוד ערך מרבי (נקודת מקסימום).

c – נקודת החיתוך עם ציר ה־y: (0, c). בסיפור – הערך ההתחלתי.

2ערך הפונקציה בנקודה

כדי למצוא את y עבור x נתון – מציבים את x בפונקציה.

בסיפור: "מה הגובה אחרי 2 שניות?" ← מציבים x = 2.

הקדקוד

3שיעורי הקדקוד

x = −b2a

מוצאים את x בנוסחה, ומציבים אותו בפונקציה כדי לקבל את y של הקדקוד.

y של הקדקוד הוא הגובה המרבי (או הערך המזערי). x של הקדקוד – מתי (או איפה) הוא מתקבל.

חיתוך עם ציר ה־x

4נוסחת השורשים

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

על ציר ה־x הערך y = 0. בסיפור: פגיעה בקרקע, רווח אפס.

b² − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוך. = 0 – נקודה אחת (הקדקוד). < 0 – אין חיתוך.

5סימטריה

x_קדקוד = x₁ + x₂2

הפרבולה סימטרית סביב הקדקוד: x של הקדקוד באמצע בין שתי נקודות החיתוך עם ציר ה־x.

מודל בסיפור

6איך עובדים

1. מזהים מה x (זמן, מרחק אופקי, מחיר) ומה y (גובה, רווח).

2. גובה מרבי – בקדקוד. גובה התחלתי – x = 0.

3. מתי מגיעים לגובה מסוים – משווים את y לגובה ופותרים בנוסחת השורשים.

4. בודקים משמעות: זמן או מרחק שלילי נפסל.

7דוגמה – זריקת כדור

גובה כדור (במטרים) אחרי x שניות: y = −x² + 6x + 7. מצאו את הגובה המרבי ומתי הכדור פוגע בקרקע.

✏️ דוגמה

נזהה: a = −1 , b = 6 , c = 7

x = −b2a

נציב a = −1 , b = 6:

x = −62 · (−1) = −6−2 = 3

נציב x = 3 בפונקציה:

y = −3² + 6 · 3 + 7 = −9 + 18 + 7 = 16

פגיעה בקרקע – y = 0. קודם מה שבתוך השורש:

נציב a = −1 , b = 6 , c = 7:

b² − 4ac = 6² − 4 · (−1) · 7 = 36 + 28 = 64

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

נציב b = 6 , √64 = 8 , a = −1:

x_1,2 = −6 ± 82 · (−1)

x₁ = −6 + 8−2 = −1

x₂ = −6 − 8−2 = 7

זמן לא יכול להיות שלילי, לכן x = −1 נפסל.

✅ תשובה: גובה מרבי 16 מ' אחרי 3 שניות; פוגע בקרקע אחרי 7 שניות

חזרה לקורס 372