מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית ln

5 יחידות · שאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. תחום הגדרה והגרף של ln x

📐 תחום הגדרה
ln(□) מוגדר רק כש־□ > 0
מה שבתוך ה־ln חייב להיות גדול מ־0 · יש מכנה? גם מכנה ≠ 0
12345678−2−112xy(1, 0)(5, 0)(e, 1)x = 4
y = ln x (כחול): מוגדרת ל־x > 0, אסימפטוטה x = 0. y = ln(x − 4) (ירוק חזק): x > 4, אסימפטוטה x = 4 (תכלת)
ln(x − 4): x − 4 > 0 ← x > 4
ln(x² − x): x² − x > 0, חיתוכים x = 0 , x = 1, פרבולה מחייכת ← x < 0 או x > 1
🔹 ln x תמיד עולה ומוגדרת רק ל־x > 0. ln 1 = 0 , ln e = 1.
🔹 שני תנאים (ln ומכנה) ← לוקחים את התחום המשותף.

2. פתרון משוואות עם ln

📐 משוואה בסיסית
ln x = a ⇒ x = ea
קודם משאירים את ה־ln לבד
📐 חוקי הלאנים
ln b + ln c = ln(b · c)
ln b − ln c = lnbc
ln am = m · ln a
ln e = 1
4ln x − 2 = 0 ← ln x = 12 ← x = e1/2 = √e
ln x + ln 3 = ln x² ← 3x = x² ← x = 0 (נפסל) או x = 3
📐 הצבה
ln x = t כשיש (ln x)² וגם ln x
פותרים משוואה ריבועית ב־t, וחוזרים: x = et
🔹 (ln x)² ≠ ln x². ln³x זה (ln x)³.
🔹 בסוף בודקים שהפתרון בתחום ההגדרה.

3. חוקי לוגריתמים (log)

📐 הגדרה
loga b = c ⟺ ac = b
a > 0 , a ≠ 1 , b > 0
loga 1 = 0  ·  loga a = 1  ·  aloga b = b
📐 החוקים
loga(b · c) = loga b + loga c
logabc = loga b − loga c
loga bn = n · loga b
📐 מעבר בסיס
loga b = ln bln a
ו־ln x = loge x – אותם חוקים בדיוק
משוואה: log2 x + log2(x − 2) = 3
log2(x(x − 2)) = 3 ← x(x − 2) = 23 = 8
x2 − 2x − 8 = 0 ← x = 4 או x = −2 (נפסל, מחוץ לתחום)
חזקה בנעלם: 3x = 7 ← x = log3 7 = ln 7ln 3 ≈ 1.771
🔹 תחום: כל מה שבתוך log גדול מ־0 – בודקים כל פתרון בסוף.
🔹 loga(b + c) ≠ loga b + loga c

4. נגזרות של ln

📐 נגזרת ln
(ln x)' = 1x
(ln f(x))' = f'(x)f(x)
מה שבתוך ה־ln – במכנה, והנגזרת שלו – במונה
📐 מכפלה ומנה
(f · g)' = f'·g + g'·f
(fg)' = f'·g − g'·fg²
📐 פונקציה מורכבת
((ln x)n)' = n(ln x)n−1 · 1x
(3ln x)' = 3 · 1x · (ln(2x + 4))' = 22x + 4
ln(x³) = 3ln x ← f'(x) = 3x
(2x · ln x)' = 2 · ln x + 1x · 2x = 2ln x + 2

5. אסימפטוטות וגבולות

אנכית ב־y = ln f(x)f(x) = 0 – בקצה תחום ההגדרה
ln במכנהגם המקום שבו המכנה מתאפס (ln x = 0 ← x = 1)
אסימפטוטה או חור?מציבים מספר קרוב מאוד לקצה התחום: y → ±∞ אסימפטוטה, y → מספר ← חור
אופקית ב־y = ln f(x)אין (הפונקציה שואפת לאינסוף, לאט)
אופקית בתבנית אחרתמשאיפים רק x → ∞: ln ∞ = ∞, מספר חלקי ∞ שואף ל־0
🔹 ln מוגדר רק בצד החיובי, לכן לא מציבים מינוס אינסוף.
🔹 בהצבות מספרים – מספרים גדולים מאוד מאוד, כי ln עולה לאט.
📐 גבולות חשובים (5 יחידות)
x → ∞ : ln xx → 0 (x גדל מהר יותר מ־ln x)
x → 0+ : ln x → −∞  ·  x · ln x → 0
מספרים: ln 10001000 ≈ 0.007 · 0.001 · ln 0.001 ≈ −0.007
דוגמה: f(x) = ln xx , x > 0
אנכית x = 0 (−∞0+ → −∞) · אופקית y = 0 ב־x → ∞
f'(x) = 1 − ln xx2 = 0 ← x = e ← מקסימום (e , 1e)
12345678−1−0.50.5xy(e, 0.37)(1, 0)
f(x) = ln xx (כחול): מקסימום (e , 0.37) (סגול), חיתוך (1 , 0) (ירוק חזק), אסימפטוטות x = 0 ו־y = 0

6. נקודות קיצון, עלייה וירידה, פרמטר

  1. תחום הגדרה.
  2. גוזרים ומשווים ל־0 (גורם משותף או הצבה ln x = t).
  3. פוסלים נקודות מחוץ לתחום.
  4. טבלה: מציבים בנגזרת נקודה לפני ואחרי – רק מתוך התחום.
  5. y של הקיצון: מציבים בפונקציה המקורית.
דוגמה: f(x) = x² · ln x, x > 0
f'(x) = 2x · ln x + 1x · x² = x(2ln x + 1) = 0
x = 0 לא בתחום · ln x = −12 ← x = e−1/2 ≈ 0.607 ← מינימום
0.511.5−0.40.40.81.2xy(0.607, -0.184)(1, 0)
f(x) = x² · ln x (כחול), x > 0. מינימום (0.607, -0.184) (סגול), חיתוך עם ציר x (1, 0) (ירוק חזק)
🔹 אין נקודות קיצון ← הפונקציה תמיד עולה או תמיד יורדת: בודקים סימן של f' בנקודה אחת מהתחום.
🔹 נתונה נקודת קיצון עם פרמטר ← f'(x) = 0 ומציבים את ה־x הנתון.

7. שרטוט ln f(x) , ln(−f(x)) , ef(x) לפי הגרף של f

y = ln f(x)• מוגדרת רק איפה ש־f > 0
• אותם תחומי עלייה וירידה, ואותו x של הקיצון
• f = 1 ← y = 0
• f → 0+ ← אסימפטוטה אנכית (y → −∞)
• f → k > 0 ← y → ln k
y = ln(−f(x))• מוגדרת רק איפה ש־f < 0
• העלייה והירידה מתהפכות: מקסימום של f ← מינימום
• f = −1 ← y = 0
• f → 0− ← אסימפטוטה אנכית
y = ef(x)• מוגדרת איפה ש־f מוגדרת, ותמיד y > 0
• אותם תחומי עלייה וירידה, ואותו x של הקיצון
• f = 0 ← y = 1
• f → −∞ ← y → 0
• f → k ← y → ek
📐 למה זה עובד
(ln f)' = f'f
(ef)' = f' · ef
ל־f > 0 ול־ef – אותו סימן כמו f'
1234−1123xy(2, 0.5)(2, −0.69)(1, 0)(3, 0)
f(x) = 0.5(x − 2)2 + 0.5 (כחול) ו־ln f(x) (ירוק חזק): מינימום באותו x = 2 (סגול); f = 1 ב־x = 1 , 3 (תכלת) ← חיתוכי ln f עם ציר x
🔹 ערך y של הקיצון: אם ל־f יש קיצון (a , k) ← ל־ln f קיצון (a , ln k) ול־ef קיצון (a , ek).

8. אינטגרל שנותן ln ושטח

📐 אינטגרל של שבר עם מכנה בחזקת 1
∫1xdx = ln|x| + c
∫1mx + bdx = ln|mx + b|m + c
📐 זיהוי נגזרת פנימית
∫f'(x)f(x)dx = ln|f(x)| + c
∫f'(x) · ef(x)dx = ef(x) + c
דוגמאות: ∫2xx2 + 1dx = ln(x2 + 1) + c
∫ln xxdx = (ln x)22 + c (כי (ln x)' = 1x)
∫42x + 1dx = 4 · ln|2x + 1|2 + c = 2ln|2x + 1| + c
12341234xy(0.5, 2)(1.5, 0)S₁S₂
דוגמה: f(x) = 42x + 1 (כחול), המשיק y = −2x + 3 (ירוק חזק), הישר x = 3.5 (סגול). S = S₁ + S₂ = 4 ln 2 − 1 ≈ 1.773
דוגמה: S1 = ∫1.50.5(42x + 1 + 2x − 3)dx = 2ln 2 − 1 ≈ 0.386
S2 = ∫3.51.542x + 1dx = 2ln 8 − 2ln 4 = 2ln 2 ≈ 1.386
🔹 ln יוצא רק כשהמכנה בחזקת 1. 1x² – הופכים לחזקה שלילית.
🔹 משיק בנקודת קיצון הוא ישר אופקי: y = ערך הקיצון.

✔️ סדר חקירת פונקציית ln

  1. תחום הגדרה: בתוך ה־ln > 0, מכנה ≠ 0.
  2. חיתוך עם הצירים: y = 0 ← משוואה עם ln (ln x = a ⇒ x = ea); ציר y רק אם 0 בתחום.
  3. אסימפטוטות אנכיות (קצה התחום, מכנה) ואופקיות – רק בצד שבתחום (בדרך כלל x → ∞). זכרו: ln xx → 0.
  4. נגזרת, קיצון וטבלה – רק בתחום.
  5. תחומי עלייה וירידה.
  6. סקיצה. נתון גרף של f? שרטוט ln f או ef לפי הטבלה בכרטיס 7.
  7. שטח: אינטגרל שנותן ln (גם f'f), גבוה פחות נמוך.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות