📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית שורש

5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: חקירת שורש – 571

1. תחום הגדרה של פונקציית שורש

📐 הכלל

√▢ ← ▢ ≥ 0

שורש במכנה ← ▢ > 0 (בלי שווה)

כמה שורשים ← תנאי לכל אחד, ולוקחים את החלק המשותף

בתוך השורש ביטוי לינארי ← פותרים אי־שוויון רגיל.
בתוך השורש x² ← משווים ל־0, מציירים פרבולה ולוקחים את מה שמעל ציר x.

דוגמה 1 (שיעור 5): y = √(x² − 9) ← x² − 9 ≥ 0 ← פרבולה צוחקת ← x ≤ −3 או x ≥ 3

דוגמה 2 (שיעור 4): y = √(−x² − 5x) ← פרבולה בוכה ← −5 ≤ x ≤ 0

y = x² − 9 (כחול), החלקים שבהם היא מעל ציר x (ירוק חזק): x ≤ −3 או x ≥ 3 (סגול)

2. משוואות עם שורשים

📐 ארבעה שלבים

מבודדים את השורש ← מעלים בריבוע ← פותרים ← בדיקה

(√x)² = x

דוגמה (שיעור 8): √(2x + 7) = x − 4
2x + 7 = x² − 8x + 16 ← x² − 10x + 9 = 0 ← x = 1 או x = 9
בדיקה: x = 1: √9 = 3 ≠ −3 ✗ · x = 9: √25 = 5 ✓ ← x = 9

🔹 (x − 4)² = x² − 8x + 16, ולא x² − 16.
🔹 שורש בשני האגפים ← העלאה אחת בריבוע מבטלת את שניהם.
🔹 x וגם √x ← מבודדים את השורש, ומקבלים משוואה ריבועית.

3. חקירת פונקציית שורש

📐 נגזרות

(√x)' = 12√x

(√f(x))' = f'(x)2√f(x)

(f·g)' = f'·g + g'·f · (fg)' = f'·g − g'·fg²

תחום הגדרה.
גוזרים, משווים ל־0, מבודדים את השורש ומעלים בריבוע. בדיקה במשוואה שלפני הריבוע.
את ה־y מוצאים בפונקציה המקורית.
טבלה: מציבים בנגזרת רק מספרים מתוך תחום ההגדרה (נוח: 4, 16).
הקצוות של תחום ההגדרה הם גם נקודות קיצון (קיצון קצה).

דוגמה (שיעור 14): f(x) = −16x + √x, תחום x ≥ 0
f'(x) = −16 + 12√x = 0 ← √x = 3 ← x = 9
f(9) = −1.5 + 3 = 1.5

x	0	4	9	16
f′		+	0	−
f	קצה	↗	מקסימום	↘

f(x) = −16x + √x (כחול): מקסימום (9, 1.5) (סגול), קיצון קצה (0, 0) (ירוק חזק), חיתוך (36, 0) (תכלת)

🔹 משיק: השיפוע מהצבה בנגזרת, ה־y₁ מהצבה בפונקציה, ואז y − y₁ = m(x − x₁).
🔹 בבגרויות (פרקים 4–5): −2·f(x) ← ה־x של הקיצון נשאר, ה־y מוכפל, והסוג מתהפך.

4. הזזות (טרנספורמציות)

f(x) + c	למעלה ב־c (למטה כש־c < 0). רק ה־y זז, גם האסימפטוטה האופקית.
−f(x)	היפוך סביב ציר x: מינימום ← מקסימום.
2f(x)	כל y מוכפל ב־2. סוג הנקודה לא משתנה.
\|f(x)\|	מה שמתחת לציר x עולה למעלה. חיתוך עם ציר x הופך למינימום.
√f(x)	רק איפה ש־f(x) ≥ 0. החיתוכים עם ציר x הופכים לנקודות קצה. ב־y = 0 ו־y = 1 הגרפים נפגשים.
1f(x)	חיתוך עם ציר x ← אסימפטוטה אנכית. עלייה וירידה מתהפכות, (x, y) ← (x, 1y)
[f(x)]²	תמיד ≥ 0. המינימום השלילי הופך למקסימום.
f(x + k)	הזזה שמאלה ב־k (ימינה כש־k < 0). האסימפטוטה האופקית לא משתנה.

|f(x)| (ירוק חזק), f(x) = x² − 4 מקווקו (כחול)

√f(x) (ירוק חזק), f מקווקו (כחול), נקודות קצה (סגול)

5. תחום הגדרה ואסימפטוטות

📐 אנכית

קצה של תחום ההגדרה שאינו כלול (בלי שווה) ← אסימפטוטה אנכית

אם הוא מאפס גם את המונה ← חור

📐 אופקית (לפי החזקה הגבוהה)

חזקה גבוהה יותר במכנה ← y = 0

חזקות שוות ← יחס המקדמים · במונה גבוהה יותר ← אין

√x² = |x| ← לרוב אסימפטוטה אחת בימין ואחרת בשמאל

דוגמה (בגרות 2023, שיעור 48): f(x) = √(4x² + 1)x
x → ∞: 2xx = 2 · x → −∞: 2·(−x)x = −2
← y = 2 בימין, y = −2 בשמאל, ואנכית x = 0

f(x) = √(4x² + 1)x (כחול), אסימפטוטות y = 2 ו־y = −2 (תכלת), ו־x = 0 (ציר y)

🔹 f(x + 3) לא משנה אסימפטוטה אופקית; k·f(x) מכפיל אותה ב־k.

6. תרגול וסעיפי חשיבה

פונקציה זוגית	f(−x) = f(x): מציבים −x, ובחזקה זוגית המינוס נעלם
"האם הישר יכול להשיק?"	משווים f'(x) לשיפוע הישר. יש פתרון (שעובר בדיקה) ← כן
"מוגדרת לכל x" (פרבולה בשורש במכנה)	הפרבולה כולה מעל ציר x ← b² − 4ac < 0
סימן f(x)·f'(x) מהגרף	סימן f מהגובה, סימן f' מהעלייה והירידה. מכפלה שלילית ← סימנים שונים
מגרף הנגזרת	מעל ציר x ← f עולה · חיתוך עם ציר x ← קיצון של f · קיצון של f' ← נקודת פיתול של f
גרף משיק לאסימפטוטה אופקית	רק בנקודת קיצון: מזיזים את נקודת הקיצון אל האסימפטוטה
אינטגרל של f·f'	∫ f·f' dx = f²2

🔹 הצבת ביטוי עם פרמטר (למשל f(a + 2)): מציבים את כל הסוגריים במקום x, ובסוף בודקים מול התנאי על הפרמטר.

✔️ סדר חקירת פונקציית שורש (בגרות)

תחום הגדרה: תוכן השורש ≥ 0 (במכנה > 0), מכנה ≠ 0
חיתוך עם הצירים (ציר x: מעלים בריבוע ובודקים)
אסימפטוטות: אנכית בקצה לא כלול, אופקית בכל צד בנפרד
נקודות קיצון: פנימיות (נגזרת = 0, בדיקה) וגם קצוות התחום
תחומי עלייה וירידה, רק בתוך התחום
סקיצה, ואז הזזות וסעיפי חשיבה

מתמטריק · eldadh.co.il