מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציות – פולינום ומנה, זוגיות, הזזות, הנגזרת והנגזרת השנייה

5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: חקירת פונקציות – 571

1. שיפוע ומשוואת משיק

📐 כללי גזירה
הנגזרת של מספר היא 0  ·  (x)' = 1
(xn)' = n·xn−1
(a·xn)' = a·n·xn−1
בסכום גוזרים כל איבר בנפרד
דוגמה: f(x) = 2x3 − 5x + 1 ← f'(x) = 6x2 − 5
📐 שיפוע המשיק ומשוואת המשיק
שיפוע: m = f'(x0)
y − y0 = m(x − x0)
  1. מוצאים את נקודת ההשקה: y0 = f(x0)
  2. גוזרים ומציבים: m = f'(x0)
  3. מציבים במשוואת הישר ומסדרים.
🔹 משיק מקביל לישר נתון: אותו שיפוע, כלומר f'(x) שווה לשיפוע הישר.
🔹 משיק מקביל לציר x: f'(x) = 0
🔹 משיק עם פרמטר: נקודת ההשקה נמצאת גם על הגרף וגם על המשיק.
xyנקודת השקה(1, 1)מינימום(0, 0)
f(x) = x2 (כחול) והמשיק y = 2x − 1 בנקודה (1, 1) (ירוק חזק)

2. נקודות קיצון וחקירת פולינום

📐 נקודות קיצון
f'(x) = 0 ← מועמדים לקיצון, בודקים בטבלה
הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ← מקסימום
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית ← מינימום
📐 עלייה וירידה
f'(x) > 0 ← עולה  ·  f'(x) < 0 ← יורדת
📐 נקודת פיתול
f"(x) = 0 והסימן של f" מתחלף
דוגמה: f(x) = −x3 + 3x2
f'(x) = −3x2 + 6x = −3x(x − 2) = 0
← x = 0 או x = 2
xx < 000 < x < 22x > 2
f′−0+0−
f↘מינימום↗מקסימום↘
xyמינימום(0, 0)מקסימום(2, 4)פיתול(1, 2)
f(x) = −x3 + 3x2 (כחול): מינימום (0, 0), מקסימום (2, 4), נקודת פיתול (1, 2) (סגול)

3. פונקציה זוגית ואי־זוגית

📐 זוגית
f(−x) = f(x) ← סימטרית לציר y
📐 אי־זוגית
f(−x) = −f(x) ← סימטרית לראשית הצירים
🔹 איך בודקים: מציבים −x במקום x ומשווים. אם אף אחד מהשוויונים לא מתקיים, הפונקציה לא זוגית ולא אי־זוגית.
xyמינימום(−1, −1)מינימום(1, −1)מקסימום(0, 0)
זוגית: f(x) = x4 − 2x2 (כחול)
xyמקסימום(−1, 2)מינימום(1, −2)
אי־זוגית: g(x) = x3 − 3x (ירוק חזק)

4. הזזות ושינויים בפונקציה

f(x) + cהזזה למעלה ב־c (למטה כש־c < 0). ה־x של הקיצון לא משתנה.
c·f(x)כל ערך y מוכפל ב־c. נקודות החיתוך עם ציר x לא זזות.
−f(x)שיקוף לפי ציר x: כל y מחליף סימן, מקסימום הופך למינימום.
f(x + a)הזזה שמאלה ב־a (ימינה כש־a < 0). ה־y לא משתנה.
|f(x)|מה שמתחת לציר x משתקף למעלה. חיתוך עם ציר x הופך למינימום.
√f(x)מוגדרת רק כש־f(x) ≥ 0. הקיצון נשאר באותו x, וה־y נהיה √y
1f(x)איפה ש־f(x) = 0 יש אסימפטוטה אנכית. מקסימום של f הופך למינימום (ולהפך), וה־y נהיה 1y
[f(x)]2תמיד ≥ 0. חיתוך עם ציר x הופך למינימום. הקיצון נשאר באותו x, וה־y נהיה y2
xyמינימום(0, −1)מינימום(0, 1)מינימום(2, −1)
f(x) = x2 − 1 (כחול), f(x) + 2 (תכלת), f(x − 2) (ירוק חזק)
xyמקסימום(0, 1)מינימום(−1, 0)מינימום(1, 0)
|f(x)| (ירוק חזק), f מקווקו (כחול)
xyמקסימום(0, −1)
1f(x) (ירוק חזק), f מקווקו (כחול), אסימפטוטות x = ±1 (תכלת)

5. הקשר בין הפונקציה לגרף הנגזרת

f' מעל ציר xf עולה
f' מתחת לציר xf יורדת
f' חותכת את ציר xקיצון של f: מחיובית לשלילית ← מקסימום, משלילית לחיובית ← מינימום
קיצון של f'נקודת פיתול של f
xyמקסימום(−1, 2)מינימום(1, −2)פיתול(0, 0)xy(−1, 0)(1, 0)מינימום של הנגזרת(0, −3)
למעלה f(x) = x3 − 3x (כחול), למטה הנגזרת f'(x) = 3x2 − 3 (תכלת). הקווים המקווקווים (סגול) מראים: איפה שהנגזרת מתאפסת, ל־f יש קיצון.

6. פונקציית מנה

📐 תחום הגדרה
המכנה ≠ 0
📐 אסימפטוטה אנכית או חור
x שמאפס את המכנה ולא את המונה ← אסימפטוטה אנכית
מאפס גם את המונה ← מצמצמים; אם נעלם מהמכנה ← חור (נקודת אי־רציפות)
📐 אסימפטוטה אופקית (לפי החזקה הגבוהה)
חזקה גבוהה יותר במכנה ← y = 0
חזקות שוות ← y = המקדם במונההמקדם במכנה
חזקה גבוהה יותר במונה ← אין אסימפטוטה אופקית
📐 נגזרת מנה
(uv)' = u'·v − u·v'v2
דוגמה: f(x) = x + 1x − 1
תחום: x ≠ 1 · אסימפטוטות: x = 1, y = 1
f'(x) = 1·(x − 1) − (x + 1)·1(x − 1)2 = −2(x − 1)2 < 0
← יורדת בכל התחום, אין קיצון.
xy(−1, 0)(0, −1)x = 1y = 1
f(x) = (x + 1) / (x − 1) (כחול), אסימפטוטות (תכלת), חיתוך עם הצירים (−1, 0), (0, −1) (ירוק חזק)

7. מציאת פרמטר – סעיפי א בבגרות

הנקודה (x0, y0) על הגרףf(x0) = y0
נקודת קיצון ב־x0f'(x0) = 0
חיתוך עם ציר x ב־x0f(x0) = 0
אסימפטוטה אנכית x = aהמכנה מתאפס ב־x = a
אסימפטוטה אופקית y = bיחס המקדמים של החזקה הגבוהה שווה ל־b
שיפוע המשיק ב־x0 הוא mf'(x0) = m
🔹 שני פרמטרים ← צריך שתי משוואות משני נתונים.

8. פונקציית מנה עם פרמטר

  1. מוצאים את הפרמטר מהנתון (טבלת סעיף 7) ומציבים אותו – מכאן זו חקירה רגילה.
  2. נקודה חשודה שמחוץ לתחום ההגדרה – נפסלת.
  3. f'(x) > 0 – איפה הפונקציה עולה; f'(x) < 0 – איפה יורדת.
🔹 ליד אסימפטוטה אנכית הגרף תמיד נצמד אליה; את האסימפטוטה האופקית מותר לחתוך.
🔹 נתון גרף הנגזרת: מעל ציר x ← עולה, מתחת ← יורדת, חיתוך עם ציר x ← חשודה לקיצון.

9. נגזרת של פונקציה מורכבת

📐 חזקה של פונקציה
[(f(x))n]' = n·(f(x))n−1·f'(x)
גוזרים את החזקה, ומכפילים בנגזרת של מה שבפנים
דוגמה: [(x2 + 1)5]' = 5(x2 + 1)4·2x
= 10x(x2 + 1)4

10. נקודות פיתול, תחומי קעירות והקשר בין f , f' , f"

📐 קעירות
f"(x) > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f"(x) < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
f"(x) = 0 ← חשודה לפיתול; פיתול רק אם הקעירות מתחלפת
fנקודת פיתול · קעורה ∪ · קעורה ∩
f'נקודת קיצון · עולה · יורדת
f"חותכת את ציר x · מעל ציר x · מתחת לציר x
שיעור 70: y = x³ + 3x² − 9x
y' = 3x² + 6x − 9 , y" = 6x + 6 = 0 ← x = −1
x < −1: y" < 0 ∩ · x > −1: y" > 0 ∪ ← פיתול (−1, 11)
−4−3−2−112−5102030xy(−1, 11)(−3, 27)(1, −5)∩∪−4−3−2−112−1010xy(−1, −12)
למעלה f(x) = x³ + 3x² − 9x (כחול), קיצון (−3, 27) ו־(1, −5) (ירוק חזק), נקודת פיתול (−1, 11) (סגול). למטה f'(x) = 3x² + 6x − 9 (תכלת): בפיתול של f יש לנגזרת מינימום (−1, −12)
🔹 f' הוא קצב ההשתנות של f.
🔹 נתון גרף f': נקודות הקיצון שלו = נקודות הפיתול של f; f' עולה ← ∪, יורדת ← ∩.
🔹 נתון גרף f": מעל ציר x ← ∪, מתחת ← ∩.
🔹 גורם בריבוע (כמו (x + 4)²) לא משנה סימן – שם אין פיתול. גם x⁴: f"(0) = 0 אבל אין פיתול.

11. סדר חקירת פונקציה (גם בשאלות בגרות עם פרמטר)

  1. תחום הגדרה (בפונקציית מנה: המכנה ≠ 0)
  2. נקודות חיתוך עם הצירים:
    ציר y: מציבים x = 0 · ציר x: מציבים y = 0
  3. אסימפטוטות אנכיות ואופקיות (בפונקציית מנה)
  4. נקודות קיצון וסוגן (גוזרים, f'(x) = 0, טבלה)
  5. תחומי עלייה וירידה
  6. נקודות פיתול ותחומי קעירות (כשנשאל)
  7. סקיצה של הגרף

✔️ סעיפי חשיבה – שאלות קצרות

משיקים מקביליםשיפועים שווים: f'(x1) = f'(x2) (לא משווים ל־0)
f(x) זוגית עם פרמטרf(−x) = f(x) ← לא נשארות חזקות אי־זוגיות, המקדם שלהן 0
xn, n זוגיתמיד חיובי (חוץ מ־x = 0)
xn, n אי־זוגיהסימן כמו של x
1f(x)ה־x נשאר, y הופך ל־1y; מקסימום ↔ מינימום; נקודות עם f(x) = ±1 משותפות
הזזה עם ערך מוחלטמה שמתחת לציר x עולה למעלה; חיתוך עם ציר x הופך לקיצון
🔹 n כללי: מציבים מקרה פרטי (n = 2, n = 3) רק כדי להבין, והתשובה נכתבת עם n.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות