מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציה טריגונומטרית – זהויות, נגזרות, משוואות, מחזור וקיצון

5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. רדיאנים, ערכים מיוחדים וסימנים ברביעים

📐 מעלות ורדיאנים
π = 180 (מעלות)
2π = 360  ·  π2 = 90
מעלות ← רדיאנים: כופלים ב־π180
x0π6π4π3π2π3π22π
sin x012√22√3210−10
cos x1√32√22120−101
tan x0√331√3—0—0
xy(cos x , sin x)xרביע 1sin +cos +tan +רביע 2sin +cos −tan −רביע 3sin −cos −tan +רביע 4sin −cos +tan −
על מעגל היחידה לכל זווית x יש נקודה (cos x , sin x). ברביע 1 הכל חיובי, ברביע 2 רק sin, ברביע 3 רק tan, ברביע 4 רק cos
🔹 מציבים x ברדיאנים. במחשבון – מצב רדיאנים (האות R על המסך).
🔹 tan x לא מוגדר כש־cos x = 0: ב־π2 וב־3π2.

2. זהויות

📐 הזהות היסודית וטנגנס
sin2x + cos2x = 1
tan x = sin xcos x
1 + tan2x = 1cos2x
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
tan(−x) = −tan x
📐 זוויות שסכומן π
sin(π − x) = sin x
cos(π − x) = −cos x
📐 זוויות שסכומן π2
sin(π2 − x) = cos x
cos(π2 − x) = sin x
📐 זווית כפולה
sin(2x) = 2sin x · cos x
cos(2x) = cos2x − sin2x
cos(2x) = 2cos2x − 1
cos(2x) = 1 − 2sin2x
מופיע sin2x + cos2xמחליפים ב־1
מופיע 2sin x · cos xמחליפים ב־sin(2x)
מופיע cos(2x) עם cos x בלבד2cos2x − 1 ← משוואה ריבועית ב־cos x
מופיע cos(2x) עם sin x בלבד1 − 2sin2x ← משוואה ריבועית ב־sin x

3. נגזרות

📐 נגזרות של sin, cos, tan
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x
(tan x)′ = 1cos2x
📐 נגזרת של פונקציה מורכבת
[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
📐 מכפלה, מנה, חזקה ושורש
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
[un]′ = n · un−1 · u′
(√u)′ = u′2√u
דוגמאות:
(3sin x − 2cos x)′ = 3cos x + 2sin x
[sin(2x)]′ = 2cos(2x)
(cos2x)′ = 2cos x · (−sin x)
(cos2x)′ = −sin(2x)
🔹 הטעות הנפוצה: לשכוח את המינוס בנגזרת של cos x.
🔹 sin2x זה (sin x)2 – גוזרים כחזקה, וכופלים בנגזרת הפנימית.

4. משוואות טריגונומטריות בתחום

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
📐 פתרון המשוואה tan x = tan a
x = a + πk (משפחה אחת)
  1. מוצאים זווית אחת שמקיימת את המשוואה – לרוב ערך מיוחד.
  2. רושמים את כל הפתרונות לפי הנוסחה (k שלם).
  3. מציבים k = 0, 1, −1, … ושומרים רק את הפתרונות שבתחום.
מכפלה שווה 0אחד הגורמים שווה 0: מוציאים גורם משותף ופותרים כל גורם בנפרד
משוואה ריבועיתמסמנים t = sin x (או cos x) ופותרים בנוסחת השורשים
sin x, cos x בין −1 ל־1פתרון t שגדול מ־1 או קטן מ־−1 – אין לו זווית
🔹 כש־sin x או cos x שווה 1 או −1 – שתי המשפחות נותנות אותם פתרונות. כותבים כל פתרון פעם אחת (כדאי לבדוק על מעגל היחידה).

5. מחזור של פונקציה

📐 מחזור של פונקציה טריגונומטרית
sin(ax) , cos(ax) :  T = 2πa
tan(ax) :  T = πa
xyπ/2π3π/22π1−1sin xcos x
sin x (כחול) ו־cos x (סגול, מקווקו) – חוזרות כל 2π; הערכים בין −1 ל־1
  • המחזור T: המרחק הקטן ביותר שאחריו הגרף חוזר, f(x + T) = f(x).
  • סכום של פונקציות: אם לכל האיברים אותו מחזור – זה המחזור של הסכום. אחרת – המספר הקטן ביותר שהוא כפולה של כל המחזורים.
  • מה שקורה במחזור אחד חוזר בכל מחזור, ולכן מספיק לחקור מחזור אחד.

6. תחום הגדרה ואסימפטוטות

📐 תחום הגדרה
יש שבר: המכנה שונה מ־0
מוצאים איפה המכנה מתאפס, ומוציאים את הנקודות האלה מהתחום
xy−π/2π/23π/2πtan x
tan x (כחול) מוגדרת כש־cos x ≠ 0. האסימפטוטות האנכיות x = π2 + πk (סגול, מקווקו); המחזור π
  • אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק במקום שבו המכנה מתאפס.
  • אם שם גם המונה מתאפס – מפשטים (בעזרת זהויות, גורם משותף) ומצמצמים. אם אחרי הצמצום הביטוי מוגדר שם – אין אסימפטוטה.
  • ליד אסימפטוטה בודקים את הסימן: הפונקציה שואפת ל־+∞ או ל־−∞.

7. נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
  1. גוזרים ומשווים f′(x) = 0. פותרים את המשוואה הטריגונומטרית בתחום.
  2. מסמנים על ציר את הנקודות ואת קצות התחום (ואת הנקודות שמחוץ לתחום ההגדרה).
  3. מציבים בנגזרת מספר מכל קטע, ורושמים את הסימן.
  4. קובעים סוג: מ־+ ל־− מקסימום, מ־− ל־+ מינימום. בקצה התחום – מקסימום קצה או מינימום קצה.
  5. שיעור ה־y: מציבים את ה־x בפונקציה עצמה (לא בנגזרת).
🔹 כשמציבים בנגזרת מספר בתוך קטע, נוח לבחור ערך מיוחד (π2, π) שנמצא בקטע.

8. פונקציה זוגית ואי־זוגית

📐 פונקציה זוגית ואי־זוגית
זוגית: f(−x) = f(x) (סימטרית לציר y)
אי־זוגית: f(−x) = −f(x) (סימטרית לראשית)
  • בודקים רק כשהתחום סימטרי סביב 0.
  • מציבים −x במקום x ומשתמשים בזהויות של הזווית הנגדית.
  • cos x זוגית, sin x ו־tan x אי־זוגיות.
🔹 בפונקציה זוגית מספיק לחקור את הצד החיובי – הצד השני הוא שיקוף בציר y.

9. סדר חקירת פונקציה טריגונומטרית

  1. תחום הגדרה (מכנה ≠ 0), בתוך התחום הנתון.
  2. אם מבקשים "הראו כי f(x) = …" – מפשטים בעזרת זהויות.
  3. נקודות חיתוך עם הצירים: ציר y – מציבים x = 0; ציר x – פותרים f(x) = 0 בתחום.
  4. אסימפטוטות אנכיות (אם יש מכנה).
  5. זוגיות / אי־זוגיות (כשנשאל).
  6. נגזרת, נקודות קיצון וסוגן, כולל קצות התחום.
  7. תחומי עלייה וירידה.
  8. סקיצה: מסמנים את כל הנקודות ומחברים לפי העלייה והירידה.

✔️ סעיפי חשיבה – שאלות קצרות

ערכים שהפונקציה מקבלתמשתמשים בכך ש־sin x ו־cos x בין −1 ל־1, או קוראים מהקיצון ומהקצוות
ישר y = k חותך את הגרףסופרים בסקיצה כמה פעמים הישר האופקי חותך את הגרף
1f(x)ה־x נשאר; מקסימום ↔ מינימום; היכן ש־f(x) = 0 – אסימפטוטה אנכית
משיקשיפוע m = f′(x1), ו־y − y1 = m(x − x1)
פרמטרמציבים את הנתון (נקודה, קיצון, חיתוך) ופותרים את הפרמטר, ואז ממשיכים לחקור
שטח עם פונקציה זוגיתהשטח משני צידי ציר y שווה
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות