סיכום ונוסחאות – דמיון משולשים

3 יחידות · שאלון 371

משולשים דומים

1מה זה משולשים דומים

לשני משולשים דומים אותה צורה, וגודל שונה: הזוויות שוות בהתאמה, והצלעות המתאימות באותו יחס.

△ABC ∼ △DEF

הסדר חשוב: A מתאים ל־D, B ל־E, C ל־F. צלעות מתאימות – צלעות שמול זוויות שוות.

2משפט הדמיון ז.ז.

שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

מספיק להראות שתי זוויות. הזווית השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות במשולש 180°.

בשני משולשים ישרי זווית – מספיקה עוד זווית חדה אחת שווה.

איך מוצאים זוויות שוות: זווית משותפת, זוויות קדקודיות, זוויות מתאימות או מתחלפות בין ישרים מקבילים, זווית ישרה בשני המשולשים.

3היחס בין הצלעות

DEAB = EFBC = DFAC = k

כל זוג צלעות מתאימות – באותו יחס. כך מוצאים צלע חסרה: כותבים שבר שווה לשבר ופותרים.

4יחס דמיון, היקפים ושטחים

k = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

P₁P₂ = k

S₁S₂ = k²

ההיקפים – לפי k. השטחים – לפי k בריבוע (אם הצלעות פי 2, השטח פי 4).

✏️ דוגמה

△ABC ∼ △DEF. AB = 6, DE = 9, ושטח △ABC הוא 24 סמ"ר. מצאו את יחס הדמיון ואת שטח △DEF.

k = DEAB

נציב DE = 9 , AB = 6:

k = 96 = 1.5

S_DEF = k² · S_ABC

נציב k = 1.5 , S_ABC = 24:

S_DEF = 1.5² · 24 = 2.25 · 24 = 54

✅ תשובה: יחס הדמיון 1.5, שטח △DEF הוא 54 סמ"ר

5קטע מקביל לצלע

DE ∥ BC

⇒ △ADE ∼ △ABC

ADAB = AEAC = DEBC

זווית A משותפת, והזוויות ליד הקטע המקביל מתאימות. שימו לב: משווים ל־AB כולה, לא ל־DB.

6צל ושמש

קרני השמש מקבילות, והמקל והעץ מאונכים לקרקע. לכן המשולשים (גובה, צל, קרן) דומים:

גובה העץגובה המקל = צל העץצל המקל

✏️ דוגמה

מקל בגובה 1.5 מ' מטיל צל של 2 מ'. באותה שעה עץ מטיל צל של 8 מ'. מה גובה העץ?

k = צל העץצל המקל

נציב צל העץ = 8 , צל המקל = 2:

k = 82 = 4

גובה העץ = k · גובה המקל:

4 · 1.5 = 6

✅ תשובה: גובה העץ 6 מ'