מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותהנדסה אנליטית: הקו הישר, המעגל, הפרבולה, האליפסה ומקום גאומטרי

5 יחידות · שאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: הנדסה אנליטית – 572

1. נקודות, אורכי קטעים ושטחים

📐 נקודה
(x , y) ← השמאלי x, הימני y
📐 קטע מקביל לציר
על ציר x או מקביל לו: מחסירים את ה־x · על ציר y: מחסירים את ה־y
שטח מלבן = אורך · רוחב
📐 שטח משולש
S = בסיס · גובה2  ·  ישר זווית: S = ניצב · ניצב2
  1. בוחרים בסיס שמונח על ציר.
  2. אורך הבסיס: הפרש השיעורים.
  3. גובה: מהקודקוד שמול הבסיס, בזווית של 90 מעלות. הגובה = המרחק של הקודקוד מהציר.
דוגמה: A(0, 5), B(0, −1), C(3, 3)
בסיס AB = 5 − (−1) = 6 · גובה 3 ← S = 6 · 32 = 9
xyA(0, 5)B(0, −1)C(3, 3)
משולש ABC (כחול): הבסיס AB על ציר y, הגובה מ־C (ירוק חזק) שווה 3 (המרחק של C מציר y).

2. משוואת קו ישר

📐 משוואת ישר
y = mx + b
m – השיפוע (המספר שלפני x) · b – החיתוך עם ציר y (המספר החופשי, יש שכותבים n)
📐 ישרים מקבילים לצירים
y = k ← מקביל לציר x, שיפוע 0
x = k ← מקביל לציר y, שיפוע לא מוגדר
📐 חיתוך עם הצירים
ציר y: מציבים x = 0 · ציר x: מציבים y = 0
🔹 m > 0 ← הישר עולה · m < 0 ← יורד. ככל ש־m רחוק יותר מ־0, הישר תלול יותר.
🔹 נקודה על הישר ← מקיימת את המשוואה: (2, 2) על y = 2x − 2 כי 2 · 2 − 2 = 2
🔹 משוואה לא מסודרת: מבודדים את y. 2y = 2x + 8 ← y = x + 4 · 5x + 12y = 120 ← y = −512x + 10
xy(0, −2)(1, 0)
y = 2x − 2 (כחול) עולה, חותך את הצירים ב־(0, −2) ו־(1, 0) · y = −x + 3 (תכלת) יורד · y = 4 (ירוק חזק) מקביל לציר x · x = −2 (סגול) מקביל לציר y

3. שיפוע ומציאת משוואת ישר

📐 שיפוע לפי שתי נקודות
m = y2 − y1x2 − x1
📐 ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
📐 חיתוך בין שני ישרים
משווים את ה־y של שני הישרים, מוצאים x, ומציבים כדי למצוא y
דוגמה: דרך (4, 2) ו־(0, 10)
m = 10 − 20 − 4 = −2 ← y − 2 = −2(x − 4) ← y = −2x + 10
הוכחת מקבילית: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ← שיפועים שווים: mAB = mDC וגם mAD = mBC
🔹 נקודה על ציר x ← y = 0 · נקודה על ציר y ← x = 0. כך מוצאים קודקודים על הצירים.

4. נוסחת המרחק ונקודת אמצע קטע

📐 נוסחת המרחק (דיסטנס)
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
באה ממשפט פיתגורס. נקודות על אותו ציר: מספיק לחסר
📐 נקודת אמצע קטע
xM = x1 + x22  ·  yM = y1 + y22
A(0, 5), B(6, 0): d = √62 + (−5)2 = √61
אמצע הקטע בין (4, 6) ו־(1, 2): (4 + 12, 6 + 22) = (2.5, 4)
הקצה השני: אמצע M(2, 6), קצה A(4, 14)
2 = 4 + x2 ← x = 0 · 6 = 14 + y2 ← y = −2 ← B(0, −2)
🔹 מינוס בריבוע יוצא חיובי. שורש שלא יוצא שלם – אפשר להשאיר כשורש.

5. ישרים מקבילים ומאונכים

📐 מקבילים
m1 = m2
📐 מאונכים (ביניהם 90 מעלות)
m1 · m2 = −1 ← שיפוע הופכי ונגדי
  1. כותבים את השיפוע כשבר: 2 = 21
  2. הופכים: 12
  3. משנים סימן: −12
  4. בודקים: 2 · (−12) = −1
מקביל ל־2y − 8x = 6: מסדרים y = 4x + 3 ← m = 4
מאונך ל־y = 14x + 8 ← m = −4
xy(2, 4)(0, 5)
y = 2x (כחול) ו־y = −12x + 5 (ירוק חזק) מאונכים: 2 · (−12) = −1. נפגשים ב־(2, 4) (סגול)

6. מרובעים במערכת צירים (בגרויות 382)

מקביליתצלעות נגדיות מקבילות (שיפועים שווים). האלכסונים חוצים זה את זה ← נקודת המפגש היא אמצע של כל אלכסון
מלבןכמו מקבילית, וצלעות סמוכות מאונכות: m1 · m2 = −1
ריבועכמו מלבן, והאלכסונים מאונכים זה לזה ונפגשים באמצע
טרפזזוג צלעות מקבילות · S = (בסיס + בסיס) · גובה2
xyA(0, 0)B(1, 3)C(5, 4)D(4, 1)M(2.5, 2)
מקבילית ABCD (כחול): mAB = mDC = 3, mAD = mBC = 14. האלכסונים (תכלת) נפגשים ב־M(2.5, 2) (סגול), אמצע של AC וגם של BD
🔹 קודקוד חסר במקבילית: מוצאים את M כאמצע של אלכסון אחד, ואז את הקודקוד כקצה השני של האלכסון השני.

7. משוואת מעגל

📐 משוואת מעגל
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
מרכז (a , b) · רדיוס R · מעגל קנוני (מרכז בראשית): x2 + y2 = R2
מרכז (9, −5), רדיוס 6 ← (x − 9)2 + (y + 5)2 = 36
(x + 5)2 + (y + 4)2 = 9 ← מרכז (−5, −4), R = 3
🔹 מהמשוואה למרכז: הסימן מתהפך (פלוס ← מינוס, מינוס ← פלוס). R הוא השורש של המספר באגף ימין.
📐 חיתוך עם הצירים
ציר y: מציבים x = 0 · ציר x: מציבים y = 0
x2 + (y − 3)2 = 4
ציר y: (y − 3)2 = 4 ← y − 3 = ±2 ← (0, 5), (0, 1)
ציר x: x2 + 9 = 4 ← x2 = −5 ← אין חיתוך
xy(0, 3)(0, 5)(0, 1)
המעגל x2 + (y − 3)2 = 4 (כחול): מרכז (0, 3) (סגול), רדיוס 2 (תכלת), חותך את ציר y ב־(0, 5) ו־(0, 1) (ירוק חזק) ולא חותך את ציר x

8. משיק, מעגל משיק לצירים, מעגל חוסם, השלמה לריבוע

📐 משיק למעגל
בין רדיוס למשיק יש 90 מעלות ← שיפוע המשיק הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס
  1. נקודת ההשקה (מציבים את השיעור הידוע במשוואת המעגל).
  2. שיפוע הרדיוס: מהמרכז לנקודת ההשקה.
  3. שיפוע המשיק: הופכי ונגדי.
  4. y − y1 = m(x − x1)
x2 + y2 = 100, A(−8, 6)
mOA = 6−8 = −34 ← m = 43 ← y − 6 = 43(x + 8)
xyA(−8, 6)(0, 0)
המעגל x2 + y2 = 100 (כחול), הרדיוס OA (תכלת) והמשיק y = 43x + 503 (ירוק חזק) בנקודה A(−8, 6) (סגול)
📐 מעגל משיק לצירים
משיק לציר y ← R = |a| · משיק לציר x ← R = |b|
משיק לשני הצירים ← R = |a| = |b|
📐 מרכז המעגל החוסם
משולש ישר זווית ← אמצע היתר (היתר הוא קוטר)
מלבן או ריבוע ← מפגש האלכסונים
משולש כלשהו ← מפגש האנכים האמצעיים
📐 השלמה לריבוע
x2 − 8x = (x − 4)2 − 16
חצי מהמקדם של x בסוגריים בריבוע, ומורידים את מה שנוסף
x2 + y2 − 8x + 6y = 11
(x − 4)2 − 16 + (y + 3)2 − 9 = 11 ← (x − 4)2 + (y + 3)2 = 36
📐 מיקום נקודה ביחס למעגל
מציבים באגף שמאל: = R2 על המעגל · > R2 בחוץ · < R2 בפנים
🔹 אנך אמצעי יוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, לא מהקודקוד.
📐 קטע מרכזים (שני מעגלים)
MN = R + r משיקים מבחוץ
MN = R − r משיקים מבפנים
קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה · את MN מחשבים בנוסחת המרחק

9. תרגול בגרויות 481: סדר פתרון

  1. משרטטים סקיצה ומסמנים את כל הנתונים.
  2. נקודה על ציר ← x = 0 או y = 0. נקודה על ישר ← מציבים במשוואה.
  3. מקביל ← אותו שיפוע · מאונך ← הופכי ונגדי.
  4. ישר: שיפוע ונקודה ← y − y1 = m(x − x1). חיתוך ישרים ← משווים.
  5. אורך ← נוסחת המרחק · אמצע ← נוסחת האמצע · שטח ← בסיס על ציר.
  6. מעגל: מרכז ורדיוס. חוסם משולש ישר זווית ← המרכז באמצע היתר.
🔹 בקורס פותרים בגרויות 382 (2013 א, 2016 חורף, 2017 ב, 2021 א) ובגרויות 481 (חורף 2013, 2016 ב, 2018 א, חורף 2019, 2021 א, 2022 ב).

10. הקו הישר ל־5 יחידות: חלוקה, מרכז כובד, מרחק מישר

📐 חלוקת קטע ביחס ACBC = kℓ
C = (ℓx1 + kx2k + ℓ , ℓy1 + ky2k + ℓ)
כל נקודה כפול היחס שמרוחק ממנה, חלקי סכום היחסים
A(1, 2) , B(7, 11) , ACBC = 12 ← C = (2 · 1 + 1 · 73 , 2 · 2 + 1 · 113) = (3, 5)
📐 מרכז כובד (מפגש התיכונים)
M = (x1 + x2 + x33 , y1 + y2 + y33)
לא בדף הנוסחאות
📐 מרחק בין ישרים מקבילים
ax + by + c1 = 0 , ax + by + c2 = 0
d = |c1 − c2|√a2 + b2
📐 מרחק נקודה מישר
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
הישר בצורה Ax + By + C = 0
3x + 4y + 2 = 0 ו־3x + 4y − 8 = 0 ← d = |2 − (−8)|5 = 2
הנקודה (1, 2) והישר 3x + 4y − 1 = 0 ← d = |3 + 8 − 1|5 = 2
🔹 מרחק נתון והנקודה לא ידועה ← הערך המוחלט נותן שתי משוואות.
🔹 בישרים מקבילים a ו־b חייבים להיות שווים – רק c משתנה.

11. פרבולה

📐 הגדרה
כל הנקודות שהמרחק שלהן מהמוקד שווה למרחק שלהן מהמדריך
📐 פרבולה קנונית
y2 = 2px
מוקד (p2 , 0)  ·  מדריך x = −p2  ·  המרחק בין המוקד למדריך: p
📐 משיק לפרבולה בנקודה (x0 , y0)
y · y0 = p(x + x0)
בדף הנוסחאות
y2 = 12x ← 2p = 12 ← p = 6 ← מוקד (3, 0) , מדריך x = −3
משיק ב־(3, 6): 6y = 6(x + 3) ← y = x + 3
מעגל שמרכזו במוקד ומשיק למדריך: R = 6 ← (x − 3)2 + y2 = 36
xy(3, 0)(3, 6)(0, 0)(−3, 0)
הפרבולה y2 = 12x (כחול), המוקד (3, 0) והמדריך x = −3 (ירוק חזק), המשיק y = x + 3 בנקודה (3, 6) (סגול), והמעגל (x − 3)2 + y2 = 36 (תכלת) שמשיק למדריך ב־(−3, 0)
🔹 מרחק נקודה על הפרבולה מהמוקד = מרחקה מהמדריך: x + p2
🔹 מיתר: חיתוך ישר עם הפרבולה ← מציבים את הישר במשוואת הפרבולה.

12. אליפסה

📐 הגדרה
סכום המרחקים משני המוקדים קבוע: PF1 + PF2 = 2a
📐 אליפסה קנונית
x2a2 + y2b2 = 1
b2x2 + a2y2 = a2b2
📐 מוקדים וצירים
c2 = a2 − b2 (לזכור בעל פה)
מוקדים (±c , 0) · חיתוך (±a , 0) , (0 , ±b)
📐 רדיוסי וקטור
r1 + r2 = 2a
r1 = a − cxa (למוקד הימני)  ·  r2 = a + cxa (לשמאלי)
16x2 + 25y2 = 400 ← x225 + y216 = 1
a = 5 , b = 4 ← c2 = 25 − 16 = 9 ← c = 3
P(3, 3.2): r1 = 5 − 3 · 35 = 3.2 , r2 = 5 + 95 = 6.8 , סכום 10 = 2a
xyF₁(−3, 0)F₂(3, 0)P(3, 3.2)(5, 0)(−5, 0)(0, 4)(0, −4)
האליפסה 16x2 + 25y2 = 400 (כחול), הציר הגדול 2a = 10 (ירוק חזק), המוקדים F1(−3, 0) ו־F2(3, 0), והנקודה P(3, 3.2) עם r1 (סגול) ו־r2 (תכלת)
🔹 קודם מביאים לצורה עם השברים – ממנה רואים מיד את a ו־b.
🔹 מיתר – קטע בין שתי נקודות על האליפסה; קוטר – מיתר שעובר במרכז.

13. מקום גאומטרי

📐 מקום גאומטרי
אוסף כל הנקודות שמקיימות תכונה · התשובה היא משוואה בין x ל־y
  1. מסמנים נקודה כללית S(x , y).
  2. כותבים את התכונה כשוויון (נוסחת המרחק, מרחק נקודה מישר, שיפועים).
  3. מעלים בריבוע ומסדרים – המשוואה היא המקום הגאומטרי.
  4. מזהים: ישר, מעגל, פרבולה או אליפסה.
שווה מרחק מ־A(3, −2) ומ־B(1, −2): x = 2
מרכזי מעגלים דרך (3, 0) ומשיקים ל־x = −3:
√(x − 3)2 + y2 = x + 3 ← y2 = 12x (פרבולה)
במרחק 3 מישר: |Ax + By + C| = 3√A2 + B2 ← שני ישרים

✔️ סדר פתרון: פרבולה, אליפסה ומקום גאומטרי

  1. פרבולה: מוצאים p ← מוקד ומדריך. משיק ← y · y0 = p(x + x0).
  2. אליפסה: צורה עם שברים ← a, b ← c2 = a2 − b2 ← מוקדים.
  3. מרחקים למוקדים ← r1 + r2 = 2a ונוסחאות הרדיוסים.
  4. מקום גאומטרי: S(x , y), תכונה כמשוואה, מסדרים.
  5. מעגלים משיקים ← קטע מרכזים R + r או R − r.
🔹 בקורס: אליפסה מבגרויות חורף 2023, 2014 ג, חורף 2013, חורף 2012; מקום גאומטרי מבגרויות 2014 א ו־2017 ב.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות