בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2022 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות חזקה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע (הבחינה נערכה במאי 2022). כאן פתורות כל 5 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 טופס✅ פתרון סופי

📄 טופס הבחינה

📥 הורדה🖨️ הדפסה

🔍 אפשר להגדיל באצבעות, או להקיש על עמוד כדי לפתוח אותו בגודל מלא.

טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
טופס הבחינה – שאלון 35572 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: מעגלים משיקים ומשיקים משותפים

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ.

מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא (x − a)2 + y2 = r2 , a הוא פרמטר חיובי.

מרכזו של המעגל האחר הוא בנקודה N ומשוואתו היא (x − 13)2 + y2 = R2 .

אורכו של הקטע המחבר את מרכזי המעגלים הוא 9, והיחס בין אורכי הרדיוסים של המעגלים הוא 1:2 , r < R .

א. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו N ואת שתי האפשרויות למשוואת המעגל שמרכזו M.

נתון כי a < 13 .

ב. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים לשני המעגלים.

ג. מצאו את משוואת המשיק העובר בנקודה המשותפת לשני המעגלים.

ד. הישר mx − y + n = 0 הוא משיק משותף לשני המעגלים. מצאו את m ואת n (שתי אפשרויות).

נתונים שני מעגלים אחרים המשיקים זה לזה מבחוץ.

משוואות המעגלים הן: (x − k)2 + y2 = R2 ; (x − t)2 + y2 = r2 , t ו־k הם פרמטרים.

ערכי הרדיוסים r ו־R זהים לאלה שמצאתם בסעיף א.

ה. האם ייתכן כי שני הישרים שאת משוואותיהם מצאתם בסעיף ד משיקים גם למעגלים האלה? אם כן – מצאו את t ואת k. אם לא – נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואות המעגלים

המעגלים משיקים מבחוץ, לכן המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:📐 משפט: מעגלים המשיקים מבחוץd = R + rd – המרחק בין המרכזים
r + R = 9
היחס בין הרדיוסים 1:2 , לכן:
R = 2r
r + 2r = 9
3r = 9
r = 3 , R = 6
מעגל N: מרכז (13 , 0) ורדיוס 6:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
(x − 13)2 + y2 = 36
מעגל M: מרכזו (a , 0) על ציר ה־x, במרחק 9 מ־N(13 , 0):
|a − 13| = 9
a − 13 = 9 או a − 13 = −9
a = 22 או a = 4
שני הערכים חיוביים, ולכן שתי האפשרויות מתאימות:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
(x − 22)2 + y2 = 9
או
(x − 4)2 + y2 = 9
✅ פתרון סופי: (x − 13)2 + y2 = 36 ; (x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9

סעיף ב – סקיצה

מעגל M: (x − 4)2 + y2 = 9 (כי a < 13), מעגל N: (x − 13)2 + y2 = 36.
לשני מעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים: משיק אחד בנקודת ההשקה, ושני משיקים "חיצוניים".
▬ מעגל M (כחול) · ▬ מעגל N (סגול) · ▬ המשיק בנקודת ההשקה (תכלת) · ▬ שני המשיקים האחרים (ירוק חזק)
xy−54713196−6MNTx = 7
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה – שני המעגלים ושלושה משיקים משותפים

סעיף ג – המשיק בנקודה המשותפת

נקודת ההשקה T נמצאת על הקטע MN, במרחק r = 3 מ־M:
M(4 , 0) , N(13 , 0)
xT = 4 + 3 = 7
T(7 , 0)
המשיק מאונך לרדיוס MT. הרדיוס מונח על ציר ה־x, לכן המשיק מאונך לציר ה־x:📐 משפט: משיק למעגל המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
x = 7
✅ פתרון סופי: x = 7

סעיף ד – המשיקים המשותפים האחרים

הישר: mx − y + n = 0 , כלומר A = m , B = −1 , C = n.
המרחק של המשיק ממרכז המעגל שווה לרדיוס. ממרכז M(4 , 0):📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|4m + n|√m2 + 1 = 3
ממרכז N(13 , 0):📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|13m + n|√m2 + 1 = 6
נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:
|13m + n| = 2|4m + n|
אפשרות 1:
13m + n = 2(4m + n)
13m + n = 8m + 2n
n = 5m
אפשרות 2:
13m + n = −2(4m + n)
21m = −3n
n = −7m
נציב באפשרות 2 במשוואה הראשונה:
|4m − 7m| = 3√m2 + 1
9m2 = 9m2 + 9
0 = 9
אין פתרון (זה המשיק x = 7, שאי אפשר לכתוב בצורה y = mx + n). לכן n = 5m:
|4m + 5m| = 3√m2 + 1
|9m| = 3√m2 + 1
81m2 = 9(m2 + 1)
72m2 = 9
m2 = 18
m = ±√24 ≈ ±0.354
n = 5m = ±5√24 ≈ ±1.768
✅ פתרון סופי: m = √24 , n = 5√24 או m = −√24 , n = −5√24

סעיף ה – מעגלים אחרים

משוואות המשיקים מסעיף ד (נכפיל ב־4):
√2x − 4y + 5√2 = 0
√2x + 4y + 5√2 = 0
מעגל שמרכזו (k , 0) ורדיוסו R = 6 משיק לישר הראשון אם המרחק מהמרכז לישר שווה ל־6:📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|√2k + 5√2|√2 + 16 = 6
√2|k + 5|3√2 = 6
|k + 5| = 18
k = 13 או k = −23
עבור הישר השני מתקבלת אותה משוואה בדיוק (רק הסימן שבתוך הערך המוחלט משתנה), ולכן אותם ערכים.
באותו אופן, מעגל שמרכזו (t , 0) ורדיוסו r = 3:📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
√2|t + 5|3√2 = 3
|t + 5| = 9
t = 4 או t = −14
המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, לכן המרחק בין המרכזים שווה ל־R + r = 9:📐 משפט: מעגלים המשיקים מבחוץd = R + rd – המרחק בין המרכזים
|k − t| = 9
נבדוק את הזוגות:
k = 13 , t = 4 :
|13 − 4| = 9
זה הזוג המקורי מסעיף א – אבל המעגלים צריכים להיות אחרים.
k = 13 , t = −14 :
|13 + 14| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = 4 :
|−23 − 4| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = −14 :
|−23 + 14| = 9
הזוג האחרון מתאים. כן, ייתכן.
▬ מעגלים ברדיוס 3 (כחול) · ▬ מעגלים ברדיוס 6 (סגול) · ▬ שני המשיקים מסעיף ד (ירוק חזק)
המעגלים המקוריים בקו מקווקו, המעגלים החדשים בקו מלא:
xy−23−14−5413
✅ פתרון סופי: כן , k = −23 , t = −14

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 13)2 + y2 = 36 ; (x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9
סעיף בסקיצה – שלושה משיקים משותפים
סעיף גx = 7
סעיף דm = ±√24 , n = ±5√24 (אותו סימן)
סעיף הכן , k = −23 , t = −14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 46.1 – קטע מרכזים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: מישור, ריבוע, פירמידה וזווית בין מישורים

📄 נוסח השאלה

נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: A(4 , p , −1) , B(7 , 5 , 5) , C(1 , −1 , 2) , D(−2 , 5 , −4) , p הוא פרמטר.

א. מצאו את משוואת המישור ABCD.

ב. חשבו את ערך הפרמטר p.

ג. הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD.

המקצוע SC מונח על הישר x = (0 , −4 , 1) + t(1 , 3 , 1) .

נתון כי נפח הפירמידה הוא 81 .

ד. מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

נתון מישור נוסף, המאונך למקצוע SC. (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו P.)

ה. מצאו את הזווית שבין המישור ABCD ובין המישור P.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – משוואת המישור

נמצא שני וקטורים במישור:📐 נוסחה: וקטור בין שתי נקודותAB = B − A
BC = C − B
= (1 − 7 , −1 − 5 , 2 − 5)
= (−6 , −6 , −3)
CD = D − C
= (−2 − 1 , 5 + 1 , −4 − 2)
= (−3 , 6 , −6)
נסמן וקטור נורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הווקטורים:📐 משפט: וקטורים מאונכיםu · v = 0
n · BC = −6a − 6b − 3c = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
2a + 2b + c = 0
n · CD = −3a + 6b − 6c = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
a − 2b + 2c = 0
נבחר c = −2:
2a + 2b = 2 ⟹ a + b = 1
a − 2b = 4
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
3b = −3 ⟹ b = −1
a = 1 − (−1) = 2
n = (2 , −1 , −2)
משוואת המישור, ונציב את B(7 , 5 , 5):📐 נוסחה: משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A , B , C) – וקטור נורמל למישור
2x − y − 2z + D = 0
2 · 7 − 5 − 2 · 5 + D = 0
−1 + D = 0 ⟹ D = 1
2x − y − 2z + 1 = 0
בדיקה עם D(−2 , 5 , −4):
2 · (−2) − 5 − 2 · (−4) + 1
= −4 − 5 + 8 + 1 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 2x − y − 2z + 1 = 0

סעיף ב – הפרמטר p

הנקודה A(4 , p , −1) נמצאת במישור, נציב:📐 נוסחה: משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A , B , C) – וקטור נורמל למישור
2 · 4 − p − 2 · (−1) + 1 = 0
8 − p + 2 + 1 = 0
11 − p = 0
p = 11
A(4 , 11 , −1)
✅ פתרון סופי: p = 11

סעיף ג – ABCD ריבוע

נבדוק קודם שזו מקבילית:📐 נוסחה: וקטור בין שתי נקודותAB = B − A
AB = B − A
= (7 − 4 , 5 − 11 , 5 + 1)
= (3 , −6 , 6)
DC = C − D
= (1 + 2 , −1 − 5 , 2 + 4)
= (3 , −6 , 6)
AB = DC , לכן ABCD מקבילית.📐 משפט: מקביליתאם AB = DC אז ABCD מקבילית
AD = D − A
= (−2 − 4 , 5 − 11 , −4 + 1)
= (−6 , −6 , −3)
נשווה אורכי צלעות סמוכות:📐 נוסחה: אורך וקטור|u| = √u12 + u22 + u32
|AB| = √9 + 36 + 36 = √81 = 9
|AD| = √36 + 36 + 9 = √81 = 9
מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. נבדוק זווית:📐 נוסחה: מכפלה סקלריתu · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
AB · AD =
3 · (−6) + (−6) · (−6)
+ 6 · (−3)
= −18 + 36 − 18 = 0
AB ⊥ AD, כלומר זווית A ישרה.📐 משפט: וקטורים מאונכיםu · v = 0
מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע.
✅ פתרון סופי: הוכח: ABCD ריבוע שצלעו 9

סעיף ד – הנקודה S

שטח הבסיס – ריבוע שצלעו 9:
SABCD = 92 = 81
נפח הפירמידה:📐 נוסחה: נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
81 = 81 · h3
h = 3
הגובה הוא המרחק של S מהמישור ABCD. הנקודה S על הישר, לכן:
S(t , −4 + 3t , 1 + t)
נשתמש במרחק נקודה ממישור:📐 נוסחה: מרחק נקודה ממישורd = |Ax1 + By1 + Cz1 + D|√A2 + B2 + C2
|2t − (−4 + 3t) − 2(1 + t) + 1|√4 + 1 + 4 = 3
|2t + 4 − 3t − 2 − 2t + 1|3 = 3
|−3t + 3| = 9
−3t + 3 = 9 ⟹ t = −2
−3t + 3 = −9 ⟹ t = 4
t = 4 : S(4 , 8 , 5)
t = −2 : S(−2 , −10 , −1)
(שתי האפשרויות נמצאות משני צדי המישור. בדיקה: עבור t = 1 מתקבלת הנקודה C(1 , −1 , 2) – אכן על הישר.)
▬ הבסיס ABCD (כחול) · ▬ פירמידה עם S(−2 , −10 , −1) (סגול) · ▬ פירמידה עם S(4 , 8 , 5) – בצד השני (ירוק חזק)
בציור: S = (−2 , −10 , −1) , S′ = (4 , 8 , 5). הציור מסובב כך שהבסיס "שוכב".
ABCDSS'
✅ פתרון סופי: S(4 , 8 , 5) או S(−2 , −10 , −1)

סעיף ה – הזווית בין המישורים

המישור P מאונך ל־SC, לכן וקטור הכיוון של הישר הוא וקטור נורמל של P:
n2 = (1 , 3 , 1)
n1 = (2 , −1 , −2)
נציב בנוסחה:📐 נוסחה: זווית בין מישוריםcos x = |n1 · n2||n1| · |n2|x – הזווית בין המישורים
n1 · n2 =
2 · 1 + (−1) · 3 + (−2) · 1 = −3
|n1| = √4 + 1 + 4 = 3
|n2| = √1 + 9 + 1 = √11
cos x = |−3|3√11 = 1√11 ≈ 0.3015
x ≈ 72.45
✅ פתרון סופי: 72.45 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א2x − y − 2z + 1 = 0
סעיף בp = 11
סעיף גהוכחה
סעיף דS(4 , 8 , 5) או S(−2 , −10 , −1)
סעיף ה72.45 מעלות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: משוואה עם צמוד, ריבוע חסום ומקבילית

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה z2 + zz = z + 2z + 9 + 7i , z הוא מספר מרוכב.

z1 הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

א. מצאו את משוואת המעגל.

חוסמים במעגל ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי המספר z1 .

ב. חשבו את שטח הריבוע.

ג. מצאו את השיעורים של שאר קודקודי הריבוע.

מכפילים ב־r1 · (cos x + i sin x) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב־r2 · (cos(x + 30) + i sin(x + 30)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים השני והרביעי. (הזוויות במעלות; בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית, כאן נקרא לה x.)

הנקודות במישור גאוס המייצגות את התוצאות שהתקבלו לאחר ההכפלה יוצרות מרובע קמור חדש במישור גאוס.

נתון: r1 ו־r2 חיוביים, r1 ≠ r2 .

ד. מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את תשובתכם.

נתון כי שטח המרובע שהתקבל גדול פי √3 משטח הריבוע שחישבתם בסעיף ב.

ה. חשבו את r1 · r2 .

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון המשוואה ומשוואת המעגל

נציב z = a + bi (a , b ממשיים):📐 נוסחה: מספר צמודz = a + bi ⟹ z = a − biz · z = a2 + b2
z2 = a2 − b2 + 2abi
zz = a2 + b2
z = a − bi
אגף שמאל:
a2 − b2 + 2abi + a2 + b2
= 2a2 + 2abi
אגף ימין:
a + bi + 2(a − bi) + 9 + 7i
= (3a + 9) + (7 − b)i
נשווה חלק ממשי וחלק מדומה:📐 משפט: שוויון מספרים מרוכביםa + bi = c + di⟺ a = c , b = d
2a2 = 3a + 9
2ab = 7 − b
מהמשוואה הראשונה:
2a2 − 3a − 9 = 0
a = 3 ± √9 + 724 = 3 ± 94📐 נוסחה: פתרון משוואה ריבועיתx = −b ± √b2 − 4ac2a
a = 3 או a = −1.5
מהמשוואה השנייה:
b(2a + 1) = 7
a = 3 : 7b = 7 ⟹ b = 1
a = −1.5 : −2b = 7 ⟹ b = −3.5
הפתרונות: 3 + i ו־−1.5 − 3.5i. ברביע הראשון:
z1 = 3 + i
רדיוס המעגל הוא |z1|:📐 נוסחה: גודל מספר מרוכב|z| = √a2 + b2מעגל שמרכזו בראשית: x2 + y2 = |z|2
|z1| = √9 + 1 = √10
x2 + y2 = 10
✅ פתרון סופי: x2 + y2 = 10

סעיף ב – שטח הריבוע

אלכסון ריבוע החסום במעגל הוא קוטר המעגל:
d = 2√10
שטח הריבוע:📐 נוסחה: שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d22
S = (2√10)22 = 402 = 20
✅ פתרון סופי: 20

סעיף ג – שאר הקודקודים

אלכסוני הריבוע מאונכים ונחצים בראשית. לכן כל קודקוד מתקבל מהקודם בסיבוב של 90 מעלות סביב הראשית – כפל ב־i:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr1cis a · r2cis b= r1r2cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות
z2 = (3 + i) · i
= 3i + i2 = −1 + 3i
z3 = (−1 + 3i) · i
= −i + 3i2 = −3 − i
z4 = (−3 − i) · i
= −3i − i2 = 1 − 3i
▬ המעגל (סגול) · ▬ הריבוע (כחול) · ▬ האלכסונים (תכלת)
ReIm−3−11331−1−3z1z2z3z4
✅ פתרון סופי: (−1 , 3) , (−3 , −1) , (1 , −3)

סעיף ד – סוג המרובע

הקודקודים ברביע הראשון והשלישי הם z1 ו־z3 = −z1. אחרי ההכפלה באותו מספר:
w1 = z1 · r1cis x
w3 = −z1 · r1cis x = −w1
באותו אופן z4 = −z2:
w2 = z2 · r2cis(x + 30)
w4 = −w2
כל אלכסון מחבר נקודה ונקודה נגדית לה, לכן אמצע כל אלכסון הוא הראשית – האלכסונים חוצים זה את זה:📐 משפט: מקבילית מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית
המרובע הוא מקבילית.
נבדוק אם זו מקבילית מיוחדת. אורכי האלכסונים:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr1cis a · r2cis b= r1r2cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות
|w1| = √10 · r1 ⟹ w1w3 = 2√10r1
|w2| = √10 · r2 ⟹ w2w4 = 2√10r2
r1 ≠ r2, לכן האלכסונים לא שווים – זה לא מלבן.
הזווית בין האלכסונים: בריבוע הזווית בין z1 ל־z2 היא 90 מעלות. z1 סובב ב־x ו־z2 סובב ב־x + 30, לכן:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr1cis a · r2cis b= r1r2cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות
90 + 30 = 120
האלכסונים לא מאונכים – זה לא מעוין.
דוגמה (r1 = 1.6 , r2 = 1.25 , x = 20 מעלות):
▬ הריבוע המקורי (כחול) · ▬ המרובע החדש (ירוק חזק) · ▬ אלכסוני המרובע החדש (סגול)
ReIm120
✅ פתרון סופי: מקבילית (לא מלבן ולא מעוין)

סעיף ה – המכפלה r1 · r2

האלכסונים מחלקים את המקבילית לארבעה משולשים. בכל משולש שתי צלעות הן חצאי אלכסונים, והזווית ביניהן 120 או 60 מעלות:📐 נוסחה: שטח משולשS = a · b · sin C2
Sמשולש = √10r1 · √10r2 · sin 1202
(ל־60 ול־120 מעלות אותו סינוס: sin 60 = sin 120 = √32.)
Sמשולש = 10r1r22 · √32 = 5√32r1r2
Sמקבילית = 4 · 5√32r1r2 = 10√3r1r2
שטח המקבילית גדול פי √3 משטח הריבוע (20):
10√3r1r2 = 20√3
r1r2 = 2
✅ פתרון סופי: r1 · r2 = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx2 + y2 = 10 (z1 = 3 + i)
סעיף ב20
סעיף ג(−1 , 3) , (−3 , −1) , (1 , −3)
סעיף דמקבילית
סעיף הr1 · r2 = 2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – הזזה: מציאת קודקודי ריבוע
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציית e: חקירה, נגזרת של מנה ושטח

📄 נוסח השאלה

א. נתונה הפונקציה f(x) = xex − 2ex + 1.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־y, אם יש כאלה.

(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.

(3) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ב. נתונה הפונקציה g(x) = 1 − exex − x , המוגדרת לכל x.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x) המאונכות לציר ה־y.

(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

(3) הראו כי g′(x) = f(x)(ex − x)2 .

ג. היעזרו בגרף הפונקציה f(x) שסרטטתם בתת־סעיף א(4), וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x). קבעו את סוגן, ונמקו את קביעתכם.

אין צורך למצוא את השיעורים של נקודות הקיצון.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = −1 .

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א(1) – אסימפטוטות אופקיות של f

כאשר x → −∞:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
xex → 0 , 2ex → 0
f(x) → 0 − 0 + 1 = 1
בדיקה בהצבה:
f(−10) ≈ 0.9995
f(−20) ≈ 0.99999995
כאשר x → ∞: f(x) = (x − 2)ex + 1 → ∞ (לדוגמה f(10) ≈ 176213), אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = 1 (כאשר x → −∞)

סעיף א(2) – חיתוך עם ציר y

x = 0
f(0) = 0 · e0 − 2e0 + 1
= 0 − 2 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: (0 , −1)

סעיף א(3) – תחומי עלייה וירידה

נגזור (מכפלה):📐 נוסחה: נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′(ex)′ = ex
f′(x) = 1 · ex + x · ex − 2ex
f′(x) = xex − ex = ex(x − 1)
ex > 0 תמיד, לכן הסימן של f′(x) הוא הסימן של x − 1:
f′(x) = 0 ⟹ x = 1
x < 1 : f′(x) < 0 (ירידה)
x > 1 : f′(x) > 0 (עלייה)
f(1) = e − 2e + 1
= 1 − e ≈ −1.72
נקודת מינימום: (1 , 1 − e).
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 1 , ירידה: x < 1

סעיף א(4) – סקיצה של f

הגרף יורד מהאסימפטוטה y = 1 עד המינימום (1 , 1 − e) ואז עולה. f(0) = −1 ו־f(2) = 1, לכן הוא חותך את ציר ה־x פעם אחת משמאל ל־x = 0 ופעם אחת בין x = 1 ל־x = 2.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה y = 1 (תכלת)
xy−5−3−1121−1−2(1 , 1 − e)(0 , −1)y = 1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב(1) – אסימפטוטות אופקיות של g

המכנה ex − x חיובי לכל x, ולכן g מוגדרת לכל x.
כאשר x → ∞ נחלק מונה ומכנה ב־ex:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
g(x) = e−x − 11 − x · e−x → 0 − 11 − 0 = −1
כאשר x → −∞: ex → 0, המונה שואף ל־1 והמכנה −x שואף ל־∞:📐 נוסחה: גבולות של ex → −∞ : ex → 0x → −∞ : x · ex → 0x → ∞ : ex → ∞
g(x) → 0
בדיקה בהצבה:
g(10) ≈ −1.0004
g(20) ≈ −1.00000004
g(−10) ≈ 0.09999
g(−100) ≈ 0.01
✅ פתרון סופי: y = −1 (כאשר x → ∞) , y = 0 (כאשר x → −∞)

סעיף ב(2) – חיתוך עם ציר x

g(x) = 0 ⟹ 1 − ex = 0
ex = 1
x = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ב(3) – הנגזרת של g

נגזרת מנה:📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
u = 1 − ex , u′ = −ex
v = ex − x , v′ = ex − 1
g′(x) = u′v − uv′(ex − x)2
נחשב את המונה בחלקים:
u′v = −ex(ex − x)
= −e2x + xex
uv′ = (1 − ex)(ex − 1)
= −(ex − 1)2
= −e2x + 2ex − 1
u′v − uv′ = −e2x + xex
+ e2x − 2ex + 1
= xex − 2ex + 1
g′(x) = xex − 2ex + 1(ex − x)2 = f(x)(ex − x)2
✅ פתרון סופי: הוכח : g′(x) = f(x)(ex − x)2

סעיף ג – נקודות הקיצון של g

המכנה (ex − x)2 חיובי, לכן הסימן של g′(x) הוא הסימן של f(x).
מהגרף של f: הוא חותך את ציר ה־x בדיוק פעמיים – בנקודה x1 < 0 ובנקודה 1 < x2 < 2 – משמאל ל־x = 1 הוא יורד מ־1 ל־1 − e, ומימין הוא עולה מ־1 − e עד אין סוף.
x < x1 : f > 0 ⟹ g′ > 0 – g עולה
x1 < x < x2 : f < 0 ⟹ g′ < 0 – g יורדת
x > x2 : f > 0 ⟹ g′ > 0 – g עולה
ב־x1 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה – מקסימום. ב־x2 מירידה לעלייה – מינימום.
✅ פתרון סופי: שתי נקודות קיצון: מקסימום אחד ב־x1 < 0 , מינימום אחד ב־1 < x2 < 2

סעיף ד – סקיצה של g

משמאל הגרף מתקרב ל־y = 0 מלמעלה (g > 0 כאשר x < 0), עולה למקסימום, יורד דרך (0 , 0) למינימום (שנמצא מתחת ל־y = −1, כי אחריו הגרף עולה אל y = −1), ואז עולה ומתקרב ל־y = −1 מלמטה.
(לשם הדיוק בציור: המקסימום בערך ב־x ≈ −1.15, המינימום בערך ב־x ≈ 1.84.)
▬ g(x) (סגול) · ▬ האסימפטוטה y = −1 (תכלת) · ▬ השטח של סעיף ה (ירוק חלש)
xy−5−1125−10.5מקסימוםמינימוםy = −1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – השטח

בתחום −1 ≤ x ≤ 0 מתקיים g(x) ≥ 0 (הגרף מעל ציר ה־x), לכן:📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)כאשר f(x) ≥ 0 בתחום
S = ∫−10 1 − exex − x dx
נגזרת המכנה: (ex − x)′ = ex − 1 – זה בדיוק מינוס המונה:
1 − exex − x = −ex − 1ex − x📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת חלקי פונקציה∫ h′(x)h(x) dx = ln|h(x)| + c
∫ 1 − exex − x dx = −ln(ex − x) + c
(המכנה חיובי, לכן אין צורך בערך מוחלט.)
S = [−ln(ex − x)]−10📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)כאשר f(x) ≥ 0 בתחום
S = −ln(e0 − 0) + ln(e−1 + 1)
S = −ln 1 + ln(1 + 1e)
S = ln(1 + 1e) ≈ 0.313
✅ פתרון סופי: ln(1 + 1e) ≈ 0.313

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א(1)y = 1
סעיף א(2)(0 , −1)
סעיף א(3)עלייה x > 1 , ירידה x < 1
סעיף ב(1)y = −1 , y = 0
סעיף ב(2)(0 , 0)
סעיף גמקסימום אחד ומינימום אחד
סעיף הln(1 + 1e) ≈ 0.313
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציית ln, פונקציית הנגזרת, e בחזקת f ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + ln(x2 − 8) .

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

f′(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x).

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המאונכות לצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של פונקציית הנגזרת f′(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) אם ידוע כי אין לה נקודות קיצון.

נתונה הפונקציה g(x) = ef(x) המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x).

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.

(2) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה y = f′(x) · g(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = −4 ו־x = −5 .

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א(1) – תחום הגדרה

הביטוי שבתוך ln חייב להיות חיובי:📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(h(x)) מוגדר כאשר h(x) > 0
x2 − 8 > 0
x2 > 8
x > 2√2 או x < −2√2
(2√2 ≈ 2.83)
✅ פתרון סופי: x > 2√2 או x < −2√2

סעיף א(2) – אסימפטוטות המאונכות לצירים

אנכיות: כאשר x → ±2√2 (מתוך התחום), x2 − 8 → 0+:📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכית של lnh(x) → 0+ ⟹ ln(h(x)) → −∞
ln(x2 − 8) → −∞ ⟹ f(x) → −∞
x = 2√2 , x = −2√2
אופקיות: כאשר x → ∞ שני המחוברים שואפים ל־∞, ולכן f → ∞.
כאשר x → −∞: x שואף ל־−∞ מהר הרבה יותר מש־ln(x2 − 8) גדל. בהצבה: f(−100) ≈ −90.8 , f(−1000) ≈ −986.2 – שואף ל־−∞.
אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 2√2 , x = −2√2 (אין אופקית)

סעיף א(3) – נקודת הקיצון

נגזור:📐 נוסחה: נגזרת של ln(ln h(x))′ = h′(x)h(x)
f′(x) = 1 + 2xx2 − 8
f′(x) = x2 − 8 + 2xx2 − 8 = x2 + 2x − 8x2 − 8
f′(x) = 0 ⟹ x2 + 2x − 8 = 0
(x + 4)(x − 2) = 0
x = −4 או x = 2
x = 2 לא בתחום ההגדרה (2 < 2√2). נשאר x = −4.
בדיקת הסימן של הנגזרת (המכנה x2 − 8 חיובי בכל התחום):
f′(−5) = 25 − 10 − 817 = 717 > 0
עלייה כאשר x < −4
f′(−3) = 9 − 6 − 81 = −5 < 0
ירידה כאשר −4 < x < −2√2
f′(3) = 9 + 6 − 81 = 7 > 0
עלייה כאשר x > 2√2
ב־x = −4 עלייה ואחריה ירידה – מקסימום:
f(−4) = −4 + ln(16 − 8)
= −4 + ln 8 ≈ −1.92
✅ פתרון סופי: (−4 , −4 + ln 8) ≈ (−4 , −1.92) – מקסימום

סעיף א(4) – סקיצה של f

ענף שמאלי: עולה מ־−∞ עד המקסימום (−4 , −1.92), ויורד ל־−∞ ליד x = −2√2. ענף ימני: עולה מ־−∞ (ליד x = 2√2) ל־∞.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטות האנכיות (תכלת)
xy65−5−2√22√2(−4 , −1.92)−4
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב(1) – תחום ההגדרה של f′

f′(x) = 1 + 2xx2 − 8
מוגדרת כאשר x2 ≠ 8, אבל הנגזרת קיימת רק היכן ש־f מוגדרת:
x > 2√2 או x < −2√2
✅ פתרון סופי: x > 2√2 או x < −2√2

סעיף ב(2) – אסימפטוטות של f′

אנכיות: כאשר x → ±2√2 המכנה x2 − 8 → 0 והמונה 2x ≠ 0:
x = 2√2 , x = −2√2
אופקית: כאשר x → ±∞, דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2):📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית של מנהאם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה: 2xx2 − 8 → 0
2xx2 − 8 → 0 ⟹ f′(x) → 1
y = 1
✅ פתרון סופי: x = 2√2 , x = −2√2 , y = 1

סעיף ב(3) – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין נקודת חיתוך.
עם ציר ה־x: f′(x) = 0 – מצאנו בסעיף א(3):
x = −4
✅ פתרון סופי: (−4 , 0) (אין חיתוך עם ציר y)

סעיף ב(4) – סקיצה של f′

הסימנים של f′ ידועים מבדיקת הסימן בסעיף א(3): חיובית כאשר x < −4, שלילית כאשר −4 < x < −2√2, חיובית כאשר x > 2√2.
אין לה נקודות קיצון, לכן בכל ענף היא רק יורדת או רק עולה:
ענף שמאלי: מתחת ל־y = 1 (כי 2xx2 − 8 < 0 שם), יורדת מ־1 דרך (−4 , 0) אל −∞.
ענף ימני: מעל y = 1, יורדת מ־∞ ומתקרבת ל־y = 1.
▬ f′(x) (ירוק חזק) · ▬ האסימפטוטות (תכלת)
xy815−5−2√22√2(−4 , 0)y = 1
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג(1) – נקודת הקיצון של g

לא גוזרים את g – קוראים אותה מתוך הגרף של f (סעיף א(4)).
g(x) = ef(x)📐 משפט: הגרף של e בחזקת fet פונקציה עולה, ולכן:
f עולה ⇐ ef עולה
f יורדת ⇐ ef יורדת
לקיצון של f מתאים קיצון מאותו סוג של ef
כש־f → −∞ ⇐ ef → 0
ל־f יש מקסימום ב־x = −4, ולכן גם ל־g יש מקסימום ב־x = −4.
g(−4) = e−4 + ln 8📐 נוסחה: חוקי חזקות ו־lnea + b = ea · ebeln h = h
g(−4) = e−4 · eln 8 = 8e−4 ≈ 0.147
ליד −2√2 וליד 2√2 הפונקציה f שואפת ל־−∞, ולכן g שואפת ל־0 (עיגול ריק – הנקודות לא בתחום).
כש־x → −∞ גם f → −∞, ולכן g → 0 – הגרף מתקרב לציר ה־x.
מימין ל־2√2 הפונקציה f עולה ל־∞, ולכן גם g – היא עולה מהר מאוד ויוצאת מגבולות הסרטוט.
▬ g(x) (סגול) · ○ נקודות שלא בתחום
xy−4−2√22√20.1(−4 , 0.147)
✅ פתרון סופי: (−4 , 8e4) ≈ (−4 , 0.147) – מקסימום

סעיף ג(2) – תחומי עלייה וירידה של g

קוראים מהגרף של f: איפה ש־f עולה – גם g עולה, ואיפה ש־f יורדת – גם g יורדת.
ב־x < −4 הפונקציה f עולה, ולכן g עולה.
ב־−4 < x < −2√2 הפונקציה f יורדת, ולכן g יורדת.
ב־x > 2√2 הפונקציה f עולה, ולכן g עולה.
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −4 , x > 2√2 ; ירידה: −4 < x < −2√2

סעיף ד – השטח

נגזור את g: g′(x) = f′(x) · ef(x) = f′(x) · g(x). כלומר הפונקציה שהשטח מתחתיה היא בדיוק g′(x).📐 נוסחה: נגזרת של e בחזקת פונקציה(eh(x))′ = h′(x) · eh(x)
בתחום −5 ≤ x ≤ −4: f′(x) ≥ 0 (תחום עלייה) ו־g(x) > 0, לכן הגרף מעל ציר ה־x:📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫ab g′(x) dx = g(b) − g(a)
S = ∫−5−4 f′(x) · g(x) dx
= ∫−5−4 g′(x) dx
S = g(−4) − g(−5)
g(−4) = 8e−4 ≈ 0.1465
g(−5) = e−5 + ln 17 = 17e−5 ≈ 0.1145📐 נוסחה: חוקי חזקות ו־lnea + b = ea · ebeln h = h
S = 8e−4 − 17e−5
≈ 0.1465 − 0.1145 = 0.032
▬ y = f′(x) · g(x) (סגול) · ▬ השטח (ירוק חלש)
xy−7−6−5−40.1−0.2
✅ פתרון סופי: 8e−4 − 17e−5 ≈ 0.032

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(1)x > 2√2 או x < −2√2
סעיף א(2)x = ±2√2
סעיף א(3)(−4 , −4 + ln 8) מקסימום
סעיף ב(1)x > 2√2 או x < −2√2
סעיף ב(2)x = ±2√2 , y = 1
סעיף ב(3)(−4 , 0)
סעיף ג(1)(−4 , 8e−4) מקסימום
סעיף ג(2)עלייה x < −4 , x > 2√2 ; ירידה −4 < x < −2√2
סעיף ד≈ 0.032
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – בהינתן f(x), שרטוט e בחזקת f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות