בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2025 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, ובה עונים על שניים מארבעת הסעיפים א–ד); פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות אחת מהפרק הראשון או השני, ולפחות אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי; 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד א'

שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקצייה, טרפז, גרפים של f, f′, f″ ושטח

📄 נוסח השאלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד.

א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

22 + 42 + 62 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3

(2) חשבו את הערך של הסכום: 42 + 62 + 82 + … + 1002.

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ CD). הנקודה O היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: ∢BAO = ∢CDO.

סרטוט הטרפז ABCD משאלה 1ב

(1) הוכיחו כי הטרפז ABCD הוא שווה שוקיים.

הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך שהקטע OF מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, BO = 3, DO = 4.

(2) מצאו את אורך הקטע OF.

ג. הפונקצייה f(x), פונקציית הנגזרת שלה f'(x) ופונקציית הנגזרת השנייה f"(x) מוגדרות לכל x. לפניכם שלושה גרפים I–III: אחד מתאר את f(x), אחד את f'(x) ואחד את f"(x). בכל גרף מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־x, ועל כל גרף כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה־y.

שלושת הגרפים I–III משאלה 1ג

(1) התאימו לכל אחת מהפונקציות f(x) , f'(x) , f"(x) את הגרף המתאר אותה. נמקו.

(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה f(x)? נמקו.

שיעורי נקודת המקסימום של f(x) הם (a , 5).

(3) מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף f'(x), גרף f"(x), הישר x = a וציר ה־y.

ד. נתונה הפונקצייה f(x) = 2(x + 1)(x2 + 2x)2, המוגדרת בתחום x ≠ −2 , x ≠ 0.

(1) מצאו את תחומי החיוביות של f(x).

(2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את f(x). נמקו.

ארבעת הגרפים I–IV משאלה 1ד

(3) חשבו את השטח הכלוא על ידי גרף f(x), ציר ה־x והישרים x = 1 ו־x = 4.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה

שלב 1 – בדיקה בעבור n = 1:📐 אינדוקצייה מתמטית1. בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. הוכחה: נכון בעבור n = k + 1
22 = 4
2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓
שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה בעבור n = k:
22 + 42 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
שלב 3 – נוכיח בעבור n = k + 1. צריך להראות:
22 + … + (2k + 2)2
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3
נפריד את האיבר האחרון ונשתמש בהנחה:
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + 4(k
+ 1)2
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:
= 2(k + 1)3 · [k(2k + 1)
+ 6(k + 1)]
= 2(k + 1)3 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק לגורמים: 2k2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3):
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓
לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף א (2) – חישוב הסכום

האיבר האחרון 1002 = (2 · 50)2, ולכן זה הסכום בעבור n = 50 – בלי האיבר הראשון 22:
22 + … + 1002📐 הנוסחה מסעיף א (1)22 + 42 + 62 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3
= 2 · 50 · 51 · 1013
= 5151003 = 171700
42 + … + 1002
= 171700 − 22
= 171700 − 4 = 171696
✅ פתרון סופי: 171696

סעיף ב (1) – הטרפז שווה שוקיים

נתון AB ∥ CD, ולכן זוויות מתחלפות שוות:📐 זוויות מתחלפות בין ישרים מקביליםשוות זו לזו
∢BAO = ∢OCD
∢ABO = ∢ODC
נתון ∢BAO = ∢CDO. לכן ארבע הזוויות שוות:
∢OCD = ∢ODC
∢OAB = ∢OBA
במשולש OCD ובמשולש OAB:📐 במשולש מול זוויות שוותמונחות צלעות שוות
OC = OD
OA = OB
AC = AO + OC = BO + OD
= BD
נשווה את המשולשים ACD ו־BDC:📐 חפיפת משולשים (צ.ז.צ)שתי צלעות והזווית שביניהן
AC = BD ,   CD = DC
∢ACD = ∢BDC
△ACD ≅ △BDC
לכן AD = BC (צלעות מתאימות) – הטרפז שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב (2) – אורך OF

לפי סעיף ב (1): AO = BO = 3, CO = DO = 4.
האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש DOC ישר־זווית:
DC2 = 42 + 42 = 32📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
DC = √32 = 4√2
BD = BO + OD = 3 + 4 = 7
במשולש BDC: OF ∥ DC, ולכן △BOF ∼ △BDC:📐 משולשים דומיםOFDC = BOBD
OF4√2 = 37
OF = 12√27 ≈ 2.42
✅ פתרון סופי: OF = 12√27 ≈ 2.42

סעיף ג (1) – התאמת הגרפים

נשתמש בקשר: במקום שבו לפונקצייה יש קיצון – הנגזרת שלה מתאפסת (ומחליפה סימן).
• בגרף II יש מקסימום ב־x > 0, ונקודה עם משיק אופקי על ציר ה־x ב־x < 0.
• גרף III מתאפס בדיוק בשני המקומות האלה: נוגע בציר ב־x < 0 וחותך אותו (מחיובי לשלילי) ב־x > 0 – בדיוק במקום המקסימום של II. לכן III היא הנגזרת של II.
• גרף I מתאפס בשלושה מקומות – בדיוק במקומות נקודות הקיצון של III. לכן I היא הנגזרת של III.
✅ פתרון סופי: f(x) – II , f'(x) – III , f"(x) – I

סעיף ג (2) – מספר נקודות הפיתול

בנקודת פיתול f" מתאפסת ומחליפה סימן.📐 נקודת פיתולf"(x) = 0 + החלפת סימן
גרף I (f") חותך את ציר ה־x בשלוש נקודות, ובכל אחת מהן מחליף סימן.
(באותו אופן: לגרף III, f', יש שלוש נקודות קיצון.)
✅ פתרון סופי: 3 נקודות פיתול

סעיף ג (3) – השטח בין f′ ל־f″

בתחום 0 ≤ x ≤ a: גרף f' (III) מעל ציר ה־x – יורד מ־2 עד 0 ב־x = a. גרף f" (I) מתחת לציר ה־x בתחום הזה (הוא עובר דרך (0 , −2), והאפס הבא שלו נמצא מימין ל־a). לכן f' מעל f".
S = ∫a0(f'(x) − f"(x)) dx📐 שטח בין שני גרפיםהשטח = האינטגרל של (הגרף העליון פחות הגרף התחתון)
פונקציה קדומה של f' היא f, ושל f" היא f':📐 פונקציה קדומה∫f'(x) dx = f(x) + C
S = [f(x) − f'(x)]0a
S
= (f(a) − f'(a)) − (f(0)
− f'(0))
נציב: f(a) = 5 (המקסימום), f'(a) = 0 (בקיצון), f(0) = 4 (חיתוך II עם ציר ה־y), f'(0) = 2 (חיתוך III):
S = (5 − 0) − (4 − 2)
S = 5 − 2 = 3
✅ פתרון סופי: 3

סעיף ד (1) – תחומי חיוביות

המכנה (x2 + 2x)2 הוא ריבוע, ולכן חיובי בכל תחום ההגדרה. הסימן של f הוא הסימן של המונה:
2(x + 1) > 0
x > −1
בלי x = 0 (לא בתחום):
✅ פתרון סופי: −1 < x < 0 , x > 0

סעיף ד (2) – איזה גרף

• x < −1: f < 0 (מתחת לציר), ו־x > −1: f > 0. חיתוך עם ציר ה־x רק ב־x = −1.
• ליד x = −2: המונה שואף ל־−2 והמכנה ל־0+, ולכן f → −∞ משני הצדדים.
• ליד x = 0: המונה שואף ל־2, ולכן f → +∞ משני הצדדים.
• כאשר x → ±∞: החזקה במכנה גבוהה יותר, ולכן f → 0.
רק בגרף III: משמאל מתחת לציר, יורד ל־−∞ משני צדי הקו המקווקו, חותך את הציר ועולה ל־+∞ משני צדי ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ד (3) – השטח

נשים לב שהמונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע:
(x2 + 2x)' = 2x + 2
= 2(x + 1)
∫2(x + 1)(x2 + 2x)2 dx📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫un · u' dx = un+1n + 1 + C
= (x2 + 2x)−1−1
= −1x2 + 2x + C
בתחום 1 ≤ x ≤ 4 הפונקצייה חיובית (סעיף ד (1)), ולכן:
S = [−1x2 + 2x]14
S = −116 + 8 + 11 + 2
S = −124 + 824 = 724
≈ 0.292
✅ פתרון סופי: 724

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (2)171696
ב (2)OF = 12√27
ג (1)f – II, f′ – III, f″ – I
ג (2)3 נקודות פיתול
ג (3)3
ד (1)−1 < x < 0, x > 0
ד (2)גרף III
ד (3)724
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 79 – קשר בין הפונקציות, שאלה קצרה 2025
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 37 – אינטגרל עם זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות אין־סופיות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …. נתון: a4a2 = 4, 2a2 + 8 = a4.

א. מצאו את הערך של a3 (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין־סופית חדשה B. נתון כי איברי B מקיימים bn = 1an · an+1 לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי A סדרה הנדסית אין־סופית נוספת C. איבריה הם ka1 · a2 , ka3 · a4 , ka5 · a6 , …. k ≠ 0 הוא פרמטר.

ג. (1) מצאו את מנת הסדרה C. (2) מצאו בעבור אילו ערכים של k הסדרה C עולה. נמקו.

נסמן ב־SB את סכום הסדרה B, וב־SC את סכום הסדרה C. נתון: SC = 4 · SB.

ד. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הערך של a₃

a4a2 = a1q3a1q = q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
q2 = 4  ⇒  q = 2
או
q = −2
מהנתון השני, עם a4 = a2 · q2 = 4a2:
2a2 + 8 = 4a2
2a2 = 8  ⇒  a2 = 4
a3 = a2 · q = 4 · (±2)
✅ פתרון סופי: a3 = 8 או a3 = −8

סעיף ב – B סדרה הנדסית

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת היא סדרה עם מנה שלילית (הסימנים מתחלפים), ולכן:
q = −2
a1 = a2q = 4−2 = −2
נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים של B:📐 סדרה הנדסיתbn+1bn קבוע
bn+1bn
= 1an+1 · an+2 · an · an+11
= anan+2 = anan · q2 = 1q2
= 1(−2)2 = 14
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית.
b1 = 1a1 · a2 = 1−2 · 4
= −18
✅ פתרון סופי: סדרה הנדסית, מנה 14

סעיף ג (1) – מנת הסדרה C

האיברים של C הם k כפול איברי B במקומות האי־זוגיים:
c1 = k · b1 ,   c2 = k · b3
c3 = k · b5
בין b1 ל־b3 מכפילים פעמיים במנה 14:
c2c1 = b3b1 = (14)2 = 116
c1 = k · (−18) = −k8
✅ פתרון סופי: מנה 116

סעיף ג (2) – מתי C עולה

המנה 116 בין 0 ל־1. בסדרה כזאת כל איבר קרוב יותר ל־0 מקודמו.
• אם c1 > 0 – האיברים חיוביים וקטנים: הסדרה יורדת.
• אם c1 < 0 – האיברים שליליים ומתקרבים ל־0: הסדרה עולה.
c1 = −k8 < 0
k > 0
✅ פתרון סופי: k > 0

סעיף ד – הערך של k

SB = −181 − 14 = −1834 = −16📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q ,   |q| < 1
SC = −k81 − 116 = −k81516 = −2k15
נתון SC = 4 · SB:
−2k15 = 4 · (−16)
−2k15 = −23
2k = 10  ⇒  k = 5
(k = 5 > 0.)
✅ פתרון סופי: k = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א8 או −8
סעיף במנה 14
סעיף ג (1)116
סעיף ג (2)k > 0
סעיף דk = 5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: בחירות, ברנולי והסתברות מותנית

📄 נוסח השאלה

במדינה גדולה התקיימו בחירות. המצביעים יכולים להצביע למפלגה א' או למפלגה ב' בלבד. נסמן ב־P את ההסתברות שמצביע שנבחר באקראי הצביע למפלגה א' (0 < P < 1).

בוחרים באקראי 3 מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א' גדולה פי 2 מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב'.

א. מצאו את הערך של P.

בוחרים באקראי 4 מצביעים. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה.

ב. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א'?

חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי 40% מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב' ו־15% מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א'.

ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד, בזה אחר זה, והפסיק מייד לאחר שריאיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת.

ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל־5 צעירים בדיוק?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של P

כל מצביע מצביע למפלגה א' בהסתברות P, ולמפלגה ב' בהסתברות 1 − P, באופן בלתי תלוי.
P1 = 3 · P · (1 − P)2📐 נוסחת ברנוליP(k) = C(n , k)· pk · (1 − p)n−k
P0 = (1 − P)3
(P1 – בדיוק אחד למפלגה א'; P0 – שלושתם למפלגה ב'.) נתון P1 = 2P0:
3P(1 − P)2 = 2(1 − P)3
נחלק ב־(1 − P)2 (שונה מ־0):
3P = 2(1 − P)
3P = 2 − 2P
5P = 2  ⇒  P = 0.4
✅ פתרון סופי: P = 0.4 = 25

סעיף ב – כולם למפלגה א' בתנאי שכולם לאותה מפלגה

P(AAAA) = 0.44 = 0.0256
P(BBBB) = 0.64 = 0.1296
(A – הצבעה למפלגה א', B – למפלגה ב'.) "כולם לאותה מפלגה" = AAAA או BBBB:
P = 0.02560.0256 + 0.1296📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P = 0.02560.1552 = 1697 ≈ 0.165
✅ פתרון סופי: 1697 ≈ 0.165

סעיף ג – הסתברות לבחור צעיר

נסמן ב־y את ההסתברות לבחור צעיר. אז ההסתברות לבחור מבוגר היא 1 − y.
מבוגרים: 40% הצביעו ב', ולכן 60% הצביעו א'. צעירים: 15% הצביעו א'.
P(A)📐 נוסחת ההסתברות השלמהP(A) = P(B) · P(A|B)+ P(B̄) · P(A|B̄)
= (1 − y) · 0.6 + y · 0.15
לפי סעיף א, P(A) = 0.4:
0.6 − 0.6y + 0.15y = 0.4
0.6 − 0.45y = 0.4
0.45y = 0.2
y = 0.20.45 = 49 ≈ 0.444
✅ פתרון סופי: 49 ≈ 0.444

סעיף ד – דני התקשר ל־5 צעירים בדיוק

אצל הצעירים: מפלגה א' בהסתברות 0.15, מפלגה ב' בהסתברות 0.85.
דני מפסיק בפעם הראשונה שיש לו שני צעירים משתי מפלגות שונות. הוא התקשר ל־5 בדיוק כאשר ארבעת הראשונים הצביעו לאותה מפלגה, והחמישי למפלגה האחרת:
• ארבעה א' ואז ב':
0.154 · 0.85
• ארבעה ב' ואז א':
0.854 · 0.15📐 כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
0.154 · 0.85
= 0.0004303125
0.854 · 0.15
= 0.0783009375
נחבר את שתי האפשרויות:
P = 0.0004303125
+ 0.0783009375
P = 0.07873125
= 12597160000 ≈ 0.0787
✅ פתרון סופי: ≈ 0.0787

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אP = 0.4
סעיף ב1697 ≈ 0.165
סעיף ג49
סעיף ד≈ 0.0787
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: שני מעגלים, משיק ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו R ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים.

דרך הנקודה A העבירו משיק למעגל הקטן. המשיק חותך את המעגל הגדול בנקודה K. הנקודה E נמצאת על המעגל הקטן בתוך המשולש KAO.

סרטוט שני המעגלים משאלה 4

א. הוכיחו כי ∢AOE = 2∢KAE.

המשך הקטע AE חותך את הקטע OK בנקודה M. נתון כי M היא אמצע הקטע OK.

ב. הוכיחו כי הנקודה M היא מרכז המעגל הגדול.

ג. הוכיחו כי △MOA ∼ △OEA.

נתון: R = 1.5r. נסמן ב־S את שטח המשולש MEO.

ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש OKA.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת הקשר בין הזוויות

OA = OE = r (רדיוסים במעגל הקטן), ולכן המשולש AOE שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢OAE = ∢OEA
סכום הזוויות במשולש AOE:
∢AOE + 2∢OAE = 180
∢OAE = 90 − ∢AOE2
AK משיק למעגל הקטן ב־A, ו־OA רדיוס:📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢KAO = 90
∢KAE = 90 − ∢OAE
∢KAE = 90 − (90 − ∢AOE2)
∢KAE = ∢AOE2
∢AOE = 2∢KAE
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב – M מרכז המעגל הגדול

לפי סעיף א, ∢KAO = 90. זו זווית היקפית במעגל הגדול הנשענת על המיתר KO.
זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר, ולכן KO הוא קוטר של המעגל הגדול.📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל, ו־M היא אמצע OK – לכן M היא מרכז המעגל הגדול.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ג – דמיון המשולשים MOA ו־OEA

MOKAE
M מרכז המעגל הגדול, ולכן MA = MO = R – המשולש MOA שווה שוקיים:
∢MOA = ∢MAO
הנקודות A, E, M על ישר אחד, ולכן ∢MAO = ∢EAO (אותה זווית).
במשולש OEA (סעיף א): ∢OEA = ∢OAE.
נשווה את המשולשים MOA ו־OEA:
∢MAO = ∢OAE
(זווית משותפת)
∢MOA = ∢MAO = ∢OAE = ∢OEA
שתי זוויות שוות, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△MOA ∼ △OEA
(ההתאמה: M ↔ O, O ↔ E, A ↔ A.)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ד – שטח המשולש OKA באמצעות S

מהדמיון בסעיף ג, היחס בין צלעות מתאימות:📐 יחס דמיוןMOOE = OAEA = MAOA
MOOE = Rr = 1.5
OAEA = 1.5
⇒ EA = r1.5 = 2r3
MA = R = 1.5r
ME = MA − EA = 1.5r − 2r3
= 5r6
למשולשים MEO ו־MAO אותו גובה מ־O לישר MA, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 משולשים עם גובה משותףS1S2 = a1a2
SSMAO = MEMA = 5r63r2 = 59
SMAO = 9S5
AM תיכון במשולש OKA (M אמצע OK), והתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:📐 תיכון במשולשמחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
SOKA = 2 · SMAO = 2 · 9S5
SOKA = 18S5 = 3.6S
✅ פתרון סופי: SOKA = 3.6S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף בהוכחה
סעיף גהוכחה
סעיף ד3.6S = 18S5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה: מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

📄 נוסח השאלה

במשולש שווה שוקיים ABC (AC = AB) חסום מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r (ראו סרטוט). נסמן: ∢ACB = 2a.

סרטוט המשולש והמעגל החסום משאלה 5

(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה a.)

א. (1) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הקטע CO. (2) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הצלע AC.

נתון כי אורך הצלע AC גדול פי √3 מאורך הקטע CO.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 30 (מעלות) וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע BO בנקודה K. נתון כי אורך הקטע CK הוא √175.

ג. מצאו את הערך של r.

הנקודה E נמצאת על הצלע CB. נתון כי שטח המשולש CKE הוא 18.

ד. חשבו את אורך הקטע BE.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – אורך CO

O מרכז המעגל החסום, ולכן CO חוצה את הזווית C:📐 מרכז מעגל חסוםנמצא על חוצי הזוויות; הרדיוס מאונך לצלע בנקודת ההשקה
∢OCB = 2a2 = a
נסמן ב־D את נקודת ההשקה על CB. אז OD ⊥ CB ו־OD = r. במשולש ישר הזווית ODC:
sin a = ODCO = rCO📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
CO = rsin a
✅ פתרון סופי: CO = rsin a

סעיף א (2) – אורך AC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון לבסיס. המרכז O נמצא עליו, ולכן נקודת ההשקה D היא אמצע CB, והקטע AD מאונך ל־CB.
במשולש ODC:
tan a = ODCD  ⇒  CD = rtan a📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
במשולש ישר הזווית ADC (הזווית C היא 2a):
cos(2a) = CDAC
AC = CDcos(2a)
= rtan a · cos(2a)
AC = r · cos asin a · cos(2a)
✅ פתרון סופי: AC = r · cos asin a · cos(2a)

סעיף ב – הערך של a

AC = √3 · CO
r · cos asin a · cos(2a) = √3 rsin a
נכפול ב־sin ar:
cos acos(2a) = √3
cos a = √3 cos(2a)
cos a = √3(2cos2a − 1)📐 זווית כפולהcos(2a) = 2cos2a − 1
2√3 cos2a − cos a − √3 = 0
cos a = 1 ± √1 + 244√3📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
cos a = 1 ± 54√3
cos a = 64√3 = √32
או
  cos a = −1√3
זוויות הבסיס חדות: 2a < 90, ולכן cos a > 0:
cos a = √32  ⇒  a = 30
✅ פתרון סופי: a = 30 מעלות

סעיף ג – הערך של r

כש־a = 30: ∢C = ∢B = 60, ולכן גם ∢A = 60 – המשולש שווה צלעות.
BO = CO = rsin 30 = 2r
K על המעגל, ולכן OK = r:
BK = BO − OK = 2r − r = r
CB = 2CD = 2 · rtan 30
= 2√3 r
CBAOKEHD
נוריד אנך KH ל־CB. במשולש ישר הזווית KHB הזווית B היא ∢OBC = 30:
KH = BK · sin 30 = r2📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד
BH = BK · cos 30 = √3 r2
CH = CB − BH
= 2√3 r − √3 r2 = 3√3 r2
CK2 = CH2 + KH2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
CK2 = 27r24 + r24 = 7r2
7r2 = 175
r2 = 25  ⇒  r = 5
✅ פתרון סופי: r = 5

סעיף ד – אורך BE

הגובה מ־K לצלע CB הוא KH = r2 = 2.5.
SCKE = CE · KH2 = CE · 2.52📐 שטח משולשS = a · h2
1.25 · CE = 18
CE = 14.4
CB = 2√3 · 5 = 10√3
≈ 17.32
14.4 < 17.32, ולכן E באמת על הצלע:
BE = CB − CE = 10√3 − 14.4
≈ 2.92
✅ פתרון סופי: BE = 10√3 − 14.4 ≈ 2.92

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)CO = rsin a
סעיף א (2)AC = r cos asin a cos(2a)
סעיף בa = 30 מעלות
סעיף גr = 5
סעיף ד10√3 − 14.4 ≈ 2.92
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטרייה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש עם פרמטר, ו־1 חלקי f בריבוע

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x√x2 − a2. a הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א–ו; הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x).

ב. הוכיחו כי הפונקצייה f(x) היא אי־זוגית.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x) (אם יש כאלה).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 1(f(x))2. תחום ההגדרה של g(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ה. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x). (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את g(x). נמקו.

ארבעת הגרפים I–IV משאלה 6

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף g(x), ציר ה־x והישרים x = 2a ו־x = 3a הוא 7.5.

ו. מצאו את הערך של a.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי, והמכנה לא מתאפס – לכן הביטוי חיובי:
x2 − a2 > 0
x2 > a2
✅ פתרון סופי: x < −a או x > a

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±a והמונה שם לא 0:
x → a+:   f → +∞
x → −a−:   f → −∞
אופקיות: נחלק מונה ומכנה ב־|x| (כאשר x > 0, |x| = x):
x → ∞:   f = 1√1 − a2x2 → 1
כאשר x < 0, |x| = −x, ולכן:
x → −∞:   f
= −1√1 − a2x2 → −1
✅ פתרון סופי: x = a , x = −a , y = 1 (ב־x → ∞) , y = −1 (ב־x → −∞)

סעיף ב – f אי־זוגית

תחום ההגדרה סימטרי סביב 0 (אם x בתחום, גם −x).
נציב −x:📐 פונקצייה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
f(−x) = −x√(−x)2 − a2
= −x√x2 − a2 = −f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓ – f אי־זוגית

סעיף ג – עלייה וירידה

(√x2 − a2)' = 2x2√x2 − a2📐 נגזרת של שורש(√u)' = u'2√u
= x√x2 − a2
f'(x)📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
= √x2 − a2 − x · x√x2 − a2x2 − a2
נכפול מונה ומכנה ב־√x2 − a2:
f'(x) = (x2 − a2) − x2(x2 − a2)√x2 − a2
f'(x) = −a2(x2 − a2)√x2 − a2
המונה −a2 < 0 והמכנה חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < −a וב־x > a.
✅ פתרון סופי: יורדת ב־x < −a וב־x > a; אין עלייה

סעיף ד – סקיצה

• ב־x > a: יורדת מ־+∞ (ליד x = a) ומתקרבת ל־y = 1 מלמעלה.
• ב־x < −a: יורדת מ־y = −1 (משמאל) אל −∞ ליד x = −a. (סימטריה סביב הראשית.)
-27-18-991827-3-113xyy = 1y = −1x = ax = −a
✅ פתרון סופי: סקיצה – שני ענפים יורדים, סימטריים סביב הראשית

סעיף ה (1) – עלייה וירידה של g

g(x) = 1(f(x))2 = x2 − a2x2
= 1 − a2x2
לא גוזרים את g. קודם הגרף של f2 (סקיצה 1), ואחר כך g = 1f2 (סקיצה 2, בסעיף ה(2)).
סקיצה 1 – הגרף של f2: מהסקיצה של f (סעיף ד):
• ב־x > a: ‏f חיובית ויורדת מ־+∞ אל 1, ולכן f2 יורדת מ־+∞ אל 1.
• ב־x < −a: ‏f שלילית ויורדת מ־−1 אל −∞ – המרחק שלה מ־0 גדל, ולכן f2 עולה מ־1 אל +∞.
−27−18−99182713xyy = 1x = ax = −af²(x)
f2 חיובית בכל התחום, ולכן g עולה איפה ש־f2 יורדת, ויורדת איפה ש־f2 עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה
• ב־x > a: ‏g עולה (מ־0 אל 1).
• ב־x < −a: ‏g יורדת (מ־1 אל 0).
✅ פתרון סופי: עולה ב־x > a , יורדת ב־x < −a

סעיף ה (2) – איזה גרף מתאר את g

• g = 1 − a2x2 לא שואפת לאין־סוף בשום מקום – אין לה אסימפטוטות אנכיות. כאשר x → ±a, g → 0 (הנקודות (±a , 0) לא בתחום – עיגולים ריקים).
• כאשר x → ±∞, g → 1 – אסימפטוטה y = 1 משני הצדדים.
• g זוגית (g(−x) = g(x)): יורדת משמאל ועולה מימין.
גרף I הוא היחיד שבו שני הענפים יוצאים מעיגולים ריקים על ציר ה־x ומתקרבים לקו אופקי – משמאל יורד ומימין עולה.
סקיצה 2 – הגרף של g:
-27-18-9918270.51xyy = 1(a , 0)(−a , 0)
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ו – הערך של a

בתחום 2a ≤ x ≤ 3a מתקיים g > 0, ולכן השטח הוא האינטגרל:
S = ∫3a2a(1 − a2x−2) dx📐 אינטגרל של חזקה∫xn dx = xn+1n + 1 + C
S = [x + a2x]2a3a
S = (3a + a3) − (2a + a2)
S = a + a3 − a2 = 5a6
5a6 = 7.5
5a = 45  ⇒  a = 9
✅ פתרון סופי: a = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א (1)x < −a או x > a
א (2)x = ±a, y = 1, y = −1
בהוכחה
גיורדת ב־x < −a, x > a
דסקיצה
ה (1)עולה x > a, יורדת x < −a
ה (2)גרף I
וa = 9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 33 – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקצייה טריגונומטרית וערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם שני גרפים I–II בתחום 0 ≤ x ≤ 2π. אחד מתאר את הפונקצייה f(x) ואחד את פונקציית הנגזרת שלה f'(x). הפונקציות מוגדרות לכל x בתחום.

שני הגרפים I–II משאלה 7

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את f(x). נמקו.

נתון כי f(x) = sin x1 + (sin x)2, המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x. (2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של f(x) וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x) − 0.4|, המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x) עם ציר ה־x.

ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף g(x). (2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של g(x) וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – איזה גרף הוא f

במקום שבו לפונקצייה יש קיצון – הנגזרת מתאפסת; היכן שהפונקצייה עולה – הנגזרת חיובית, והיכן שהיא יורדת – שלילית.
• לגרף II יש מקסימום ליד π2 ומינימום ליד 3π2. בדיוק שם גרף I מתאפס.
• גרף II עולה ב־0 < x < π2 וב־3π2 < x < 2π – שם גרף I חיובי; ויורד בין π2 ל־3π2 – שם גרף I שלילי.
• בכיוון ההפוך זה לא מתאים: גרף I יורד מ־x = 0, אבל גרף II שם חיובי (עולה).
✅ פתרון סופי: גרף II מתאר את f(x)

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x

המכנה 1 + sin2x תמיד חיובי, ולכן f = 0 כאשר המונה מתאפס:
sin x = 0
x = 0 , π , 2π📐 פתרון משוואת sinsin x = 0 ⇐ x = πk
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π , 0) , (2π , 0)

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון של f

נגזור לפי נגזרת מנה, עם u = sin x ו־v = 1 + sin2x:📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
u' = cos x
v' = 2sin x cos x
מונה הנגזרת u'v − uv':
cos x(1 + sin2x)
− sin x · 2sin x cos x
המכנה: (1 + sin2x)2.
נוציא cos x גורם משותף במונה:
f'(x)
= cos x(1 + sin2x − 2sin2x)(1 + sin2x)2
f'(x) = cos x(1 − sin2x)(1 + sin2x)2📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= cos3x(1 + sin2x)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן של f' הוא הסימן של cos x:
cos x = 0
⇒ x = π2 , x = 3π2
cos x > 0 ב־0 < x < π2 וב־3π2 < x < 2π, ו־cos x < 0 ב־π2 < x < 3π2.
לכן f עולה ב־0 < x < π2, יורדת ב־π2 < x < 3π2, ועולה ב־3π2 < x < 2π:
מקסימום ב־x = π2, מינימום ב־x = 3π2, מינימום קצה ב־x = 0 ומקסימום קצה ב־x = 2π.
f(π2) = 11 + 1 = 12
f(3π2) = −11 + 1 = −12
f(0) = 0 ,   f(2π) = 0
π/2π3π/22π-0.50.5xy(π/2 , ½)(3π/2 , −½)
✅ פתרון סופי: מינ. קצה (0 , 0), מקס. (π/2 , ½), מינ. (3π/2 , −½), מקס. קצה (2π , 0)

סעיף ג – חיתוך של g עם ציר ה־x

|f(x) − 0.4| = 0
⇒ f(x) = 0.4
sin x1 + sin2x = 0.4
נסמן t = sin x ונכפול במכנה:
t = 0.4 + 0.4t2
0.4t2 − t + 0.4 = 0
נכפול ב־5:
2t2 − 5t + 2 = 0
t = 5 ± 34📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = 2  או  t = 12
sin x = 2 – אין פתרון. נשאר:
sin x = 12 📐 פתרון משוואת sinsin x = sin b ⇐ x = b + 2πkאו x = π − b + 2πk
⇒ x = π6 , x = 5π6
✅ פתרון סופי: (π/6 , 0) , (5π/6 , 0)

סעיף ד (1) – סקיצה של g

קודם נצייר את f(x) − 0.4 (הזזה של f ב־0.4 למטה): היא חותכת את הציר ב־π6 וב־5π6, המקסימום שלה 0.1 והמינימום −0.9.
סקיצה 1 – הגרף של f(x) − 0.4 (כחול):
π/6π/25π/6π3π/22π-0.9-0.40.10.40.9xy
סקיצה 2 – הגרף של g (סגול): הערך המוחלט משקף כלפי מעלה את כל החלקים שמתחת לציר ה־x, והחלקים שמעל הציר נשארים.📐 משפטגרף של |f(x)| – החלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים מעליו
π/6π/25π/6π3π/22π-0.9-0.40.10.40.9xy
✅ פתרון סופי: סקיצה

סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g

נקודות הקיצון של g: נקודות הקיצון של f − 0.4 (באותם x, עם ערך מוחלט), נקודות החיתוך עם הציר (שם g = 0 – מינימום), וקצות התחום.
g(0) = |0 − 0.4| = 0.4
g(π6) = 0 ,   g(5π6) = 0
g(π2) = |0.5 − 0.4| = 0.1
g(3π2) = |−0.5 − 0.4|
= 0.9
g(2π) = |0 − 0.4| = 0.4
לפי הסקיצה: מ־0 יורדת עד π6, עולה עד π2, יורדת עד 5π6, עולה עד 3π2 ויורדת עד 2π.
✅ פתרון סופי: מקס. קצה (0 , 0.4), מינ. (π/6 , 0), מקס. (π/2 , 0.1), מינ. (5π/6 , 0), מקס. (3π/2 , 0.9), מינ. קצה (2π , 0.4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אגרף II
ב (1)(0,0), (π,0), (2π,0)
ב (2)מקס. (π/2 , ½), מינ. (3π/2 , −½)
קצוות: מינ. (0,0), מקס. (2π,0)
סעיף ג(π/6 , 0), (5π/6 , 0)
ד (2)מקס. (0 , 0.4), (π/2 , 0.1), (3π/2 , 0.9)
מינ. (π/6 , 0), (5π/6 , 0), (2π , 0.4)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – משיק לגרף פונקצייה רציונלית ובעיית קיצון של שטח

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = a(x − 1)2 + 9. הפונקצייה מוגדרת בתחום x ≠ 1. a הוא פרמטר חיובי.

גרף הפונקצייה משאלה 8

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x).

הנקודה C נמצאת על גרף f(x), ושיעור ה־x שלה הוא 2. דרך C העבירו משיק לגרף.

ב. הביעו באמצעות a את משוואת המשיק.

המשיק חותך את ציר ה־x בנקודה A ואת הישר x = 1 בנקודה B. D היא הנקודה (1 , 0).

ג. הביעו באמצעות a את שטח המשולש ADB.

ד. מצאו את הערך של a שבעבורו שטח המשולש ADB הוא מינימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 1 (והמונה a ≠ 0): f → +∞.
אופקית: כאשר x → ±∞: a(x − 1)2 → 0, ולכן f → 9.
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 9

סעיף ב – משוואת המשיק

f(2) = a12 + 9 = a + 9
C(2 , a + 9)
f'(x) = a · (−2)(x − 1)−3📐 נגזרת של חזקה (כלל השרשרת)((x − b)n)' = n(x − b)n−1
= −2a(x − 1)3
m = f'(2) = −2a1 = −2a
y − (a + 9) = −2a(x − 2)📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f'(x1)
y = −2ax + 4a + a + 9
y = −2ax + 5a + 9
✅ פתרון סופי: y = −2ax + 5a + 9

סעיף ג – שטח המשולש ADB

-21249121824xyy = 9x = 1C(2 , 12)A(4 , 0)B(1 , 18)D(1 , 0)
הנקודה A – חיתוך המשיק עם ציר ה־x (y = 0):
0 = −2ax + 5a + 9
xA = 5a + 92a
הנקודה B – חיתוך עם הישר x = 1:
yB = −2a + 5a + 9 = 3a + 9
המשולש ADB ישר־זווית ב־D(1 , 0) (צלע אחת על ציר ה־x והשנייה על הישר x = 1):
AD = 5a + 92a − 1 = 3a + 92a
DB = 3a + 9
S = 12 · 3a + 92a · (3a + 9)📐 שטח משולש ישר־זוויתS = a · b2
S = (3a + 9)24a = 9(a + 3)24a
✅ פתרון סופי: S = 9(a + 3)24a

סעיף ד – מינימום השטח

נפתח את הביטוי לסכום:
S(a) = 9(a2 + 6a + 9)4a
S(a) = 9a4 + 272 + 814a
S'(a) = 94 − 814a2📐 נגזרת של חזקה(xn)' = nxn−1
נשווה לאפס:
94 = 814a2
a2 = 9
a > 0:
a = 3
כאשר 0 < a < 3: ‏a2 < 9, ולכן 814a2 > 94 ו־S'(a) < 0 – יורדת.
כאשר a > 3: ‏S'(a) > 0 – עולה. ירידה ואחריה עלייה – מינימום ב־a = 3.
S(3) = 9 · 3612 = 27
✅ פתרון סופי: a = 3 (השטח המינימלי 27)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 1, y = 9
סעיף בy = −2ax + 5a + 9
סעיף גS = 9(a + 3)24a
סעיף דa = 3
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות