בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על חמש שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה. בשאלה 1 עונים על שלושה מארבעת הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה יחידה (במועד זה פורסם מפתח אחד)

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובעים חסומים, אסימפטוטות ומלבן, זיהוי גרף

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל n טבעי מתקיים:

12 + 22 + 32 + … + n2 = n · (n + 1) · (2n + 1)6

ב. במשולש חד־זווית ABC הגבהים AD, ‏BE ו־CF נפגשים בנקודה O (ראו סרטוט).

(1) הוכיחו כי כל אחד מן המרובעים AFOE, ‏BDOF ו־CEOD הוא מרובע בר־חסימה.

נתון כי סכום המרחקים של הנקודה O מקודקודי המשולש הוא 20.

(2) חשבו את סכום ההיקפים של שלושת המעגלים החוסמים את שלושת המרובעים שבסעיף ב(1).

סרטוט סעיף ב: המשולש ABC והגבהים שנפגשים ב־O

ג. נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x√x2 − 25.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים יוצרות מלבן. חשבו את שטח המלבן.

ד. נתונה הפונקציה f(x) = axx2 − 4 , a ≠ 0 הוא פרמטר.

לפניכם חמישה גרפים: א, ב, ג, ד, ה.

(1) איזה מן הגרפים יכול לתאר את הפונקציה f(x) בעבור a > 0? נמקו.

(2) איזה מן הגרפים יכול לתאר את הפונקציה f(x) בעבור a < 0? נמקו.

סרטוט סעיף ד: חמשת הגרפים א–ה

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בדיקה ל־n = 1:
אגף שמאל:
12 = 1
אגף ימין:
1 · 2 · 36 = 1
שני האגפים שווים.
שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k:
12 + 22 + … + k2 = k(k + 1)(2k + 1)6📐 אינדוקציהבודקים ל־n = 1, מניחים נכונות ל־n = k ומוכיחים ל־n = k + 1
שלב 3 – מוכיחים ל־n = k + 1: צריך להראות ש:
12 + … + k2 + (k + 1)2
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6
נשתמש בהנחה:
12 + … + k2 + (k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)2
= (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]6
= (k + 1)(2k2 + 7k + 6)6
2k2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3)
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6
קיבלנו את הנוסחה ל־n = k + 1, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (1) – מרובעים בני־חסימה

המרובע AFOE: ‏CF ו־BE גבהים:
∢AFO = 90 , ∢AEO = 90
∢AFO + ∢AEO = 180📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
שתי זוויות נגדיות שסכומן 180, ולכן המרובע AFOE בר־חסימה.
המרובע BDOF:
∢BDO + ∢BFO = 90 + 90 = 180
המרובע CEOD:
∢CEO + ∢CDO = 90 + 90 = 180
גם הם בני־חסימה, מאותה סיבה.
בסרטוט (בקנה מידה): המרובע AFOE (תכלת) עם שתי הזוויות הישרות ב־E וב־F, והמעגל החוסם אותו (ירוק, מקווקו) שקוטרו AO:
ABCDEFO
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (2) – סכום ההיקפים

במרובע AFOE הזווית AFO היא 90 ונשענת על AO, ולכן AO הוא קוטר המעגל החוסם.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
באותו אופן: BO קוטר המעגל החוסם את BDOF, ו־CO קוטר המעגל החוסם את CEOD.
P = π · AO + π · BO + π · CO📐 היקף מעגלP = 2πr = πd
= π(AO + BO + CO)
= 20π ≈ 62.83
✅ פתרון סופי: 20π

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש חיובי (שורש במכנה):📐 שורש במכנה1√u מוגדר כש־u > 0
x2 − 25 > 0
x < −5
או
x > 5
✅ פתרון סופי: x < −5 או x > 5

סעיף ג (2) – שטח המלבן

אסימפטוטות אנכיות: בקצוות התחום המכנה מתאפס והמונה לא:
x = −5 , x = 5
אופקיות: נוציא |x| מהשורש:
√x2 − 25 = |x| · √1 − 25x2
כש־x → ∞ (|x| = x):
x√x2 − 25 → 1 ⟸ f(x) → 3 + 1 = 4
y = 4
כש־x → −∞ (|x| = −x):
x√x2 − 25 → −1 ⟸ f(x) → 3 − 1 = 2
y = 2
ארבעת הישרים יוצרים מלבן:
5 − (−5) = 10 , 4 − 2 = 2
S = 10 · 2 = 20📐 שטח מלבןS = a · b
✅ פתרון סופי: S = 20

סעיף ד – זיהוי הגרפים

נמצא תכונות של f שעוזרות לזהות:
f(0) = 0
הגרף עובר בראשית.
x = ±2
אלה אסימפטוטות אנכיות, כי המכנה מתאפס והמונה לא.
כש־x → ±∞ המכנה גדל מהר יותר מהמונה, ולכן הישר y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית.
f′(x) = a(x2 − 4) − ax · 2x(x2 − 4)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −a(x2 + 4)(x2 − 4)2
x2 + 4 > 0 תמיד, ולכן הסימן של f′ הפוך לסימן של a:
(1) a > 0: ‏f′ < 0 בכל התחום – הפונקציה יורדת בכל קטע, עוברת בראשית ויש לה אסימפטוטות x = ±2 ו־y = 0. זה גרף ב.
(2) a < 0: ‏f′ > 0 בכל התחום – הפונקציה עולה בכל קטע. זה גרף ה.
✅ פתרון סופי: a > 0 – גרף ב , a < 0 – גרף ה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)20π
סעיף ג (1)x < −5 או x > 5
סעיף ג (2)S = 20
סעיף ד (1)גרף ב
סעיף ד (2)גרף ה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 35 – מציאת אסימפטוטה אופקית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה הנדסית: מכפלות איברים, מנה וסכום אין־סופי

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא an ומנתה היא q.

א. הוכיחו כי a1 · a2n = an · an + 1 מתקיים בעבור כל n טבעי.

בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה ל־10935a1.

נתון: a2k − 2 = 1215.

ב. מצאו את q (שתי אפשרויות).

נתון: a1 = 5.

ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את קביעתכם.

(2) מצאו את k.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין־סופית B באופן הזה: 1a1 , 1a2 , 1a3 , ….

ד. הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי־זוגיים, כך שמתקבלת הסדרה C: ‏−1a1 , 1a2 , −1a3 , 1a4 , ….

ה. מצאו את סכום הסדרה C.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הוכחה

a2n = a1q2n − 1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a1 · a2n = a12q2n − 1
an · an + 1 = a1qn − 1 · a1qn
= a12q2n − 1
שני הביטויים שווים.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב – מציאת q

שני האיברים האמצעיים מבין 2k האיברים הראשונים הם ak ו־ak + 1. לפי סעיף א (עם n = k):
ak · ak + 1 = a1 · a2k
a1 · a2k = 10935a1
a1 ≠ 0, ולכן:
a2k = 10935
a2ka2k − 2 = q2📐 מנה בין איברים בסדרה הנדסיתaman = qm − n
q2 = 109351215 = 9
q = 3
או
q = −3
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3

סעיף ג (1) – עולה או יורדת

a2k = 5q2k − 1 = 10935📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
q2k − 1 = 2187
החזקה 2k − 1 אי־זוגית. חזקה אי־זוגית של מספר שלילי שלילית, אבל 2187 חיובי, ולכן:
q = 3
a1 = 5 > 0 ו־q = 3 > 1, ולכן כל איבר גדול מקודמו: הסדרה עולה.
✅ פתרון סופי: הסדרה עולה

סעיף ג (2) – מציאת k

32k − 1 = 2187 = 37
2k − 1 = 7
k = 4
✅ פתרון סופי: k = 4

סעיף ד – הסדרה B הנדסית

bn = 1an
bn + 1bn = anan + 1 = 1q
המנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה, ולכן B סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתbn + 1bn = קבוע
✅ פתרון סופי: הוכחה – המנה 1q = 13

סעיף ה – סכום הסדרה C

עם a1 = 5 ו־q = 3:
cn = (−1)nan
c1 = −15
cn + 1cn = −anan + 1 = −13
C סדרה הנדסית אין־סופית עם |q| = 13 < 1, ולכן היא מתכנסת:
S = −151 − (−13)📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
= −1543 = −320
✅ פתרון סופי: S = −320

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בq = ±3
סעיף ג (1)עולה
סעיף ג (2)k = 4
סעיף דהוכחה
סעיף הS = −320
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: סקר דוברי אנגלית, ברנולי ותלות

📄 נוסח השאלה

בסקר השתתפו אנשים רבים – מבוגרים וצעירים.

בסקר נמצא שמספר המבוגרים ששולטים באנגלית גדול פי 3 ממספר הצעירים ששולטים בה, ומספר המבוגרים שלא שולטים באנגלית גדול פי 223 ממספר המבוגרים ששולטים בה.

נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר ששולט באנגלית מבין כלל המשתתפים בסקר.

א. מצאו את ההסתברות לבחור באקראי מבוגר ששולט באנגלית מבין כלל המבוגרים שהשתתפו בסקר.

ב. בוחרים באקראי שלושה מבוגרים מבין המבוגרים שהשתתפו בסקר. מצאו את ההסתברות שבדיוק שניים מהם שולטים באנגלית.

ג. (1) הביעו באמצעות p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר שלא שולט באנגלית מבין כלל המשתתפים בסקר.

(2) הראו כי תחום הערכים האפשרי בעבור p הוא 0 < p < 112.

ידוע כי ההסתברות לבחור באקראי מבוגר מבין משתתפי הסקר שלא שולטים באנגלית שווה להסתברות לבחור באקראי צעיר מבין משתתפי הסקר שלא שולטים באנגלית.

ד. מצאו את הערך של p.

ה. האם המאורעות "לשלוט באנגלית" ו"להיות מבוגר" תלויים זה בזה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מבוגר ששולט באנגלית

נבטא כל קבוצה כחלק מכלל המשתתפים. צעירים ששולטים:
p
מבוגרים ששולטים – פי 3:
3p
מבוגרים שלא שולטים – פי 2⅔ מהמבוגרים ששולטים:
83 · 3p = 8p
כל המבוגרים:
3p + 8p = 11p
מבין המבוגרים, החלק ששולט באנגלית:
P = 3p11p = 311📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 311

סעיף ב – שלושה מבוגרים

כל מבוגר שולט באנגלית בהסתברות 311 ולא שולט בהסתברות 811:
P = C(3 , 2) · (311)2 · 811📐 נוסחת ברנוליP = C(n , k) · pk · (1 − p)n − k
= 3 · 9121 · 811
= 2161331 ≈ 0.162
✅ פתרון סופי: 2161331

סעיף ג (1) – צעיר שלא שולט

סכום ההסתברויות של ארבע הקבוצות הוא 1:
p + 3p + 8p + x = 1
x = 1 − 12p
✅ פתרון סופי: 1 − 12p

סעיף ג (2) – תחום הערכים של p

יש צעירים ששולטים באנגלית, ולכן:
p > 0
וההסתברות של צעיר שלא שולט חייבת להיות חיובית (יש גם צעירים שלא שולטים):
1 − 12p > 0 ⟸ p < 112
0 < p < 112
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ד – הערך של p

מבין שלא שולטים באנגלית: מבוגרים 8p, צעירים 1 − 12p. ההסתברויות המותנות שוות כשהחלקים שווים:
8p8p + 1 − 12p = 1 − 12p8p + 1 − 12p📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
8p = 1 − 12p
20p = 1 ⟸ p = 120
✅ פתרון סופי: p = 120

סעיף ה – תלות

עם p = 0.05. ההסתברות לשלוט באנגלית:
p + 3p = 4p = 0.2
ההסתברות להיות מבוגר:
11p = 0.55
ההסתברות לשלוט באנגלית וגם להיות מבוגר:
3p = 0.15
0.2 · 0.55 = 0.11 ≠ 0.15📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
המכפלה לא שווה להסתברות החיתוך, ולכן המאורעות תלויים.
✅ פתרון סופי: תלויים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א311
סעיף ב2161331
סעיף ג (1)1 − 12p
סעיף ג (2)הוכחה
סעיף דp = 120
סעיף התלויים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – טבלה דו־ממדית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: מלבן, מרובע חסום ודמיון

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD הנקודה E נמצאת על הצלע AD.

הקטע CE חותך את האלכסון BD בנקודה F.

המרובע EABF הוא מרובע בר־חסימה במעגל.

א. הוכיחו: המשולש DAB דומה למשולש BFC.

נתון: DE = EA.

ב. חשבו את היחס EFFC.

נסמן את שטח המשולש DEF ב־S.

ג. הביעו באמצעות S את שטחי המשולשים DFC ו־BFC.

ד. חשבו את יחס הדמיון בין המשולש DAB ובין המשולש BFC.

נסמן: DE = a.

ה. (1) הביעו באמצעות a את אורך האלכסון BD.

(2) הביעו באמצעות a את קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

סרטוט שאלה 4: המלבן ABCD

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון המשולשים

EABF מרובע חסום, ו־∢EAB = 90 (זווית במלבן). הזווית הנגדית לה:📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
∢EFB = 180 − 90 = 90
E, ‏F, ‏C על ישר אחד, ולכן הזווית BFC צמודה ל־EFB:
∢BFC = 180 − 90 = 90
∢DAB = ∢BFC = 90
AD ∥ BC (צלעות נגדיות במלבן), ו־BD חותך אותן:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢ADB = ∢FBC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים.📐 דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
המשולש DAB דומה למשולש BFC (בהתאמה D ↔ B , A ↔ F , B ↔ C).
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב – היחס EF:FC

DE ∥ BC, ולכן המשולשים DEF ו־BCF דומים (זוויות מתחלפות, וזוויות קודקודיות ב־F):
EFFC = DEBC📐 משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
BC = AD = 2DE
EFFC = DE2DE = 12
✅ פתרון סופי: EFFC = 12

סעיף ג – שטחי המשולשים

למשולשים DEF ו־DFC יש אותו גובה מ־D לישר EC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SDFCSDEF = FCEF = 2
SDFC = 2S
המשולש BCF דומה למשולש DEF ביחס 2:📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
SBFC = 22 · S = 4S
✅ פתרון סופי: SDFC = 2S , SBFC = 4S

סעיף ד – יחס הדמיון

SDBC = SDFC + SBFC = 2S + 4S = 6S
האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים שווי שטח:
SDAB = SDBC = 6S
SDABSBFC = 6S4S = 1.5📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
k = √1.5 ≈ 1.22
✅ פתרון סופי: k = √1.5 ≈ 1.22

סעיף ה (1) – האלכסון BD

AD = BC = 2a
מסעיף א יחס הדמיון הוא BDBC = √1.5:
BD = √1.5 · 2a = √6a
✅ פתרון סופי: BD = √6a

סעיף ה (2) – קוטר המעגל

∢EAB = 90 היא זווית היקפית במעגל החוסם, ולכן BE קוטר.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
AB2 = BD2 − AD2 = 6a2 − 4a2 = 2a2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
BE2 = EA2 + AB2 = a2 + 2a2 = 3a2
BE = √3a
בסרטוט (בקנה מידה, a = 1): המלבן, הקטעים CE ו־BD (סגול), המשולש DEF (תכלת) והמעגל שקוטרו BE:
ABCDEF
✅ פתרון סופי: √3a

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף ב12
סעיף ג2S , 4S
סעיף ד√1.5
סעיף ה (1)BD = √6a
סעיף ה (2)√3a
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: משיק, משפט הקוסינוסים ומעגל חוסם

📄 נוסח השאלה

מנקודה A שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו R העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודה B, כמתואר בסרטוט.

נסמן: ∢AOD = x , ∢AOB = z.

א. הביעו באמצעות x, ‏z ו־R, אם יש צורך, את:

(1) אורך הקטע AO.

(2) אורך הקטע AB.

נתון: AB = √2 R.

ב. הוכיחו כי cos z = sin2x2cos x.

המשולש ADO חסום במעגל אחר שרדיוסו r.

נתון: Rr = 2√75.

ג. מצאו את גודלי הזוויות x ו־z.

(בשאלון הזוויות מסומנות באותיות יווניות; כאן סימנו אותן באותיות x ו־z.)

סרטוט שאלה 5: המעגל, הנקודה A, המשיק AD והקטע AB

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – הקטע AO

AD משיק ב־D, ולכן OD ⊥ AD: המשולש ODA ישר זווית ב־D.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
cos x = ODAO = RAO📐 cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AO = Rcos x
✅ פתרון סופי: AO = Rcos x

סעיף א (2) – הקטע AB

במשולש AOB: ‏OB = R, ‏AO = Rcos x, והזווית ביניהן z:
AB2 = R2 + R2cos2x📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos C
− 2 · R · Rcos x · cos z
AB2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
✅ פתרון סופי: AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x

סעיף ב – הוכחה

נציב בסעיף א(2):
2R2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
2 = 1 + 1cos2x − 2cos zcos x
2cos zcos x = 1cos2x − 1
1cos2x − 1 = 1 − cos2xcos2x = sin2xcos2x📐 זהותsin2x + cos2x = 1
2cos zcos x = sin2xcos2x
נכפול ב־cos x2:
cos z = sin2x2cos x
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג – הזוויות

המשולש ADO ישר זווית ב־D, ולכן היתר AO הוא קוטר המעגל החוסם אותו.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
r = AO2 = R2cos x
Rr = 2cos x
2cos x = 2√75
cos x = √75 ≈ 0.529
x ≈ 58.05
מסעיף ב:
sin2x = 1 − 725 = 1825
cos z = 18252 · √75 = 95√7 ≈ 0.680
z ≈ 47.13
בסרטוט (בקנה מידה, R = 1): המעגל, המשיק AD והקטע AB (סגול):
OABDxz
✅ פתרון סופי: x ≈ 58.05 , z ≈ 47.13

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)AO = Rcos x
סעיף א (2)AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
סעיף בהוכחה
סעיף גx ≈ 58.05
z ≈ 47.13
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש עם פרמטר, הזזה וערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x2 − 9√x + a , a הוא פרמטר חיובי.

א. הביעו באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי לפונקציה f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לצירים.

ב. (1) מצאו את a.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונות הפונקציות h(x) = |f(x)| , g(x) = −f(x + 2).

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x).

(2) האם שיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה g(x) גדול משיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה h(x), קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

נתון כי ∫−13 h(x) dx = ∫−3k g(x) dx , k > −3.

ד. מצאו את k. הסבירו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש חיובי (שורש במכנה):📐 שורש במכנה1√u מוגדר כש־u > 0
x + a > 0 ⟸ x > −a
✅ פתרון סופי: x > −a

סעיף ב (1) – מציאת a

אסימפטוטה אופקית אין: כש־x → ∞ המונה גדל מהר יותר והפונקציה שואפת לאינסוף.
בקצה התחום x = −a המכנה מתאפס. כדי שלא תהיה שם אסימפטוטה אנכית, גם המונה צריך להתאפס בנקודה הזאת:
(−a)2 − 9 = 0
a2 = 9
a חיובי, ולכן:
a = 3
בדיקה – אז אפשר לצמצם:
f(x) = (x − 3)(x + 3)√x + 3
= (x − 3)√x + 3 , x > −3
כש־x → −3 מימין, f(x) → 0: אין אסימפטוטה אנכית.
✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־x:
(x − 3)√x + 3 = 0
x = 3
הנקודה x = −3 לא בתחום.
חיתוך עם ציר ה־y:
f(0) = (0 − 3)√3 = −3√3
✅ פתרון סופי: (3 , 0) , (0 , −3√3)

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

f′(x) = √x + 3 + (x − 3) · 12√x + 3📐 נגזרת מכפלה ונגזרת שורש(u · v)′ = u′v + uv′(√u)′ = u′2√u
= 2(x + 3) + x − 32√x + 3
= 3x + 32√x + 3
f′(x) = 0 ⟸ x = −1
• −3 < x < −1: ‏f′ < 0 – יורדת.
• x > −1: ‏f′ > 0 – עולה.
f(−1) = (−4)√2 = −4√2 ≈ −5.66
✅ פתרון סופי: מינימום (−1 , −4√2)

סעיף ב (4) – סקיצה

הגרף מתחיל בעיגול ריק בנקודה (−3 , 0), יורד עד המינימום (−1 , −4√2), ואחר כך עולה דרך (0 , −3√3) ו־(3 , 0) לאינסוף.
−3−113−6−4−224xy(−1 , −4√2)(3 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה שלמעלה

סעיף ג (1) – תחומי הגדרה

g(x) = −f(x + 2): צריך ש־x + 2 יהיה בתחום של f:
x + 2 > −3 ⟸ x > −5
h(x) = |f(x)| מוגדרת בדיוק איפה ש־f מוגדרת:
x > −3
✅ פתרון סופי: g: ‏x > −5 , h: ‏x > −3

סעיף ג (2) – השוואת המקסימומים

g: הזזה של f שתי יחידות שמאלה ושיקוף סביב ציר ה־x. המינימום של f הופך למקסימום:📐 הזזה ושיקוףf(x + 2) – הזזה שמאלה, −f – שיקוף סביב ציר ה־x
(−1 − 2 , 4√2) = (−3 , 4√2)
h = |f|: החלק השלילי של f (בין −3 ל־3) משתקף כלפי מעלה. המינימום (−1 , −4√2) הופך למקסימום:
(−1 , 4√2)
בשתי הפונקציות שיעור ה־y של המקסימום הוא 4√2.
בסרטוט: g בסגול, h בירוק, והקו המקווקו בגובה 4√2:
−5−3−113−2246xy
✅ פתרון סופי: שווה – בשתיהן y = 4√2

סעיף ד – מציאת k

בקטע −1 ≤ x ≤ 3 הפונקציה f אינה חיובית, ולכן h(x) = −f(x):
∫−13 h(x) dx = ∫−13 −f(x) dx
באגף ימין: הגרף של g(x) = −f(x + 2) הוא הגרף של −f מוזז 2 יחידות שמאלה. לכן אם מזיזים גם את גבולות האינטגרל ב־2 ימינה, השטח נשאר אותו שטח (−3 עובר ל־−1, ו־k עובר ל־k + 2):
∫−3k g(x) dx = ∫−3k −f(x + 2) dx📐 הזזה באינטגרלהשטח לא משתנה בהזזה אופקית
= ∫−1k + 2 −f(x) dx
∫−13 −f(x) dx = ∫−1k + 2 −f(x) dx
k + 2 = 3 ⟸ k = 1
הפתרון יחיד: −f חיובית בין −1 ל־3 ושלילית אחרי 3, ולכן כל גבול עליון אחר נותן אינטגרל קטן יותר.
✅ פתרון סופי: k = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx > −a
סעיף ב (1)a = 3
סעיף ב (2)(3 , 0)
(0 , −3√3)
סעיף ב (3)מינימום (−1 , −4√2)
סעיף ב (4)סקיצה
סעיף ג (1)g: ‏x > −5
h: ‏x > −3
סעיף ג (2)שווה
סעיף דk = 1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש: פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = sin2(x) − cos2(x) − 1 , המוגדרת לכל x.

א. האם הפונקציה f(x) זוגית? נמקו.

ב. הוכיחו כי לכל x מתקיים: −2 ≤ f(x) ≤ 0.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים בתחום −π ≤ x ≤ π.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π.

נתונה הפונקציה g(x) = f(2x) , המוגדרת לכל x.

ה. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) בתחום −π2 ≤ x ≤ π2, וקבעו את סוגן.

ו. נתון כי ∫0π8 (g′(x) − f′(x)) dx = S. הביעו באמצעות S את ∫−π80 (g′(x) − f′(x)) dx. הסבירו את התשובה.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – זוגיות

f(−x) = sin2(−x) − cos2(−x) − 1📐 זוגיות של sin ו־cossin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
= (−sin x)2 − cos2x − 1
= sin2x − cos2x − 1 = f(x)
הפונקציה זוגית.📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: כן, זוגית

סעיף ב – הוכחת התחום

f(x) = −(cos2x − sin2x) − 1📐 זהות של זווית כפולהcos2x = cos2x − sin2x
= −cos2x − 1
−1 ≤ cos2x ≤ 1
נכפול במינוס 1 (סימני האי־שוויון מתהפכים):
−1 ≤ −cos2x ≤ 1
נחסר 1:
−2 ≤ −cos2x − 1 ≤ 0
−2 ≤ f(x) ≤ 0
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־y:
f(0) = −cos0 − 1 = −2
חיתוך עם ציר ה־x:
−cos2x − 1 = 0 ⟸ cos2x = −1
2x = π + 2πk ⟸ x = π2 + πk📐 פתרון משוואה טריגונומטריתcos t = −1 ⟸ t = π + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π:
x = −π2 , x = π2
✅ פתרון סופי: (0 , −2) , (±π2 , 0)

סעיף ד – סקיצה

f(x) = −cos2x − 1: מחזור π, מקסימום 0 בנקודות x = ±π2, מינימום −2 בנקודות x = 0 , ±π.
−2−1xy−π−π/2π/2π
✅ פתרון סופי: הסקיצה שלמעלה

סעיף ה – נקודות הקיצון של g

g(x) = f(2x) = −cos4x − 1
g′(x) = 4sin4x📐 נגזרת של cos(cos(ax))′ = −a sin(ax)
sin4x = 0 ⟸ 4x = πk ⟸ x = πk4
בתחום −π2 ≤ x ≤ π2:
x = −π2 , −π4 , 0 , π4 , π2
g(0) = −2
g(±π4) = −cosπ − 1 = 0
g(±π2) = −cos2π − 1 = −2
הערכים של g בין −2 ל־0, ולכן הנקודות שבהן g = 0 הן מקסימום, ושבהן g = −2 – מינימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (±π4 , 0) , מינימום (0 , −2)
קצוות: מינימום (±π2 , −2)

סעיף ו – האינטגרל

f ו־g זוגיות, ולכן הנגזרות שלהן אי־זוגיות:
הגרף של פונקציה זוגית סימטרי לציר ה־y, ולכן השיפוע בנקודה −x הפוך לשיפוע בנקודה x.📐 נגזרת של פונקציה זוגיתf′(−x) = −f′(x)
g′(x) − f′(x)
היא פונקציה אי־זוגית. השטח שמתחת לפונקציה אי־זוגית בקטע הסימטרי זהה בגודלו והפוך בסימנו:
∫−π80 (g′(x) − f′(x)) dx = −S
בדיקה בחישוב:
∫0π8 (g′ − f′) dx = [g − f]0π8
∫−π80 (g′ − f′) dx
= (g − f)(0) − (g − f)(−π8)
בגלל הזוגיות (g − f)(−π8) = (g − f)(π8), ולכן התוצאה היא בדיוק −S.
✅ פתרון סופי: −S

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אזוגית
סעיף בהוכחה
סעיף ג(0 , −2)
(±π2 , 0)
סעיף דסקיצה
סעיף המקסימום (±π4 , 0)
מינימום (0 , −2)
מינימום (±π2 , −2)
סעיף ו−S
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: משיק לפולינום ושטח משולש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x3 + 4x2 , המוגדרת לכל x.

הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע השני (ראו סרטוט).

מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x). המשיק חותך את ציר ה־y בנקודה C.

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה B.

א. הביעו באמצעות t את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה B.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה־x.

ב. מהו תחום הערכים של t?

הנקודה O היא ראשית הצירים.

ג. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

סרטוט שאלה 8: גרף f, הנקודה B והמשיק

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – משוואת המשיק

f′(x) = 3x2 + 8x📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
B(t , t3 + 4t2) , f′(t) = 3t2 + 8t
y − (t3 + 4t2) = (3t2 + 8t)(x − t)📐 משוואת משיקy − f(t) = f′(t)(x − t)
y
= (3t2 + 8t)x − 3t3 − 8t2 + t3 + 4t2
y = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2
✅ פתרון סופי: y = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2

סעיף ב – תחום הערכים של t

B ברביע השני: t < 0 ו־f(t) > 0:
t2(t + 4) > 0 ⟸ t > −4
−4 < t < 0
C מתחת לציר ה־x: נציב x = 0 במשיק:
C(0 , −2t3 − 4t2)
−2t3 − 4t2 < 0
−2t2(t + 2) < 0
−2t2 < 0, ולכן צריך:
t + 2 > 0 ⟸ t > −2
שני התנאים יחד:
−2 < t < 0
✅ פתרון סופי: −2 < t < 0

סעיף ג – השטח המקסימלי

הבסיס OC על ציר ה־y, והגובה הוא המרחק של B מציר ה־y, כלומר −t:
OC = 2t3 + 4t2
S(t) = (2t3 + 4t2)(−t)2 = −t4 − 2t3📐 שטח משולשS = a · h2
S′(t) = −4t3 − 6t2 = −2t2(2t + 3)📐 נגזרת של חזקה(tn)′ = n · tn − 1
S′(t) = 0 ⟸ t = −1.5
• −2 < t < −1.5: ‏S′ > 0 – עולה.
• −1.5 < t < 0: ‏S′ < 0 – יורדת.
עלייה ואז ירידה – מקסימום.
S(−1.5) = −5.0625 + 6.75
= 1.6875 = 2716
בסרטוט (בקנה מידה) המצב שבו t = −1.5: הגרף (כחול), המשיק (סגול, מקווקו) והמשולש OBC (תכלת):
xy−4−3−2−11246810B(−1.5 , 5.625)C(0 , −2.25)Of(x)
✅ פתרון סופי: 2716 = 1.6875

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אy = (3t2 + 8t)x − 2t3 − 4t2
סעיף ב−2 < t < 0
סעיף ג2716
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות