בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2026 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1–3); פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד א'

שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית והנדסית: גלידה בחנות

📄 נוסח השאלה

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות גלידה להכין גלידת שוקולד. בכל יום הכינו בחנות 3 ק"ג גלידת שוקולד יותר מביום שלפניו. הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בחנות ביום הראשון וביום הרביעי הייתה 149 ק"ג.

א. מצאו כמה קילוגרמים של גלידת שוקולד הכינו בחנות ביום הראשון.

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 16 ימים סך הכול.

ב. מצאו כמה קילוגרמים סך הכול של גלידת שוקולד הכינו בחנות.

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות d ק"ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 16 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 115 ק"ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב־480 ק"ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה.

ג. מצאו את הערך של d.

לאחר שהסתיים תהליך הכנת גלידת השוקולד וגלידת הווניל, החלו למכור את שני סוגי הגלידה. המכירה נמשכה 5 ימים, ובמהלכה נמכרה כל הגלידה שהכינו בחנות. כמות הגלידה שנמכרה בכל יום הייתה גדולה פי 2 מן הכמות שנמכרה ביום שלפניו.

ד. מצאו כמה קילוגרמים של גלידה נמכרו ביום הראשון.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון

בכל יום מוסיפים אותה כמות (3 ק"ג), ולכן הכמויות היומיות הן סדרה חשבונית עם הפרש d = 3.
נסמן ב־a1 את הכמות (בק"ג) ביום הראשון. נבטא את היום הרביעי (n = 4) בעזרת נוסחת האיבר הכללי:
a4 = a1 + (4 − 1) · 3📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a4 = a1 + 3 · 3
a4 = a1 + 9
הכמות ביום הראשון וביום הרביעי יחד היא 149 ק"ג:
a1 + a4 = 149
a1 + a1 + 9 = 149
2a1 + 9 = 149
2a1 = 149 − 9
2a1 = 140
a1 = 1402 = 70
✅ פתרון סופי: 70 ק"ג ביום הראשון

סעיף ב – כמה גלידת שוקולד הכינו סך הכול

התהליך נמשך 16 ימים, ולכן מחפשים את סכום 16 האיברים הראשונים: n = 16, a1 = 70, d = 3.
S16 = 162 · [2 · 70 + (16 − 1) · 3]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
S16 = 8 · [140 + 15 · 3]
S16 = 8 · [140 + 45]
S16 = 8 · 185
S16 = 1480
✅ פתרון סופי: 1480 ק"ג גלידת שוקולד

סעיף ג – מציאת d

גם הכמויות של גלידת הווניל הן סדרה חשבונית (מוסיפים בכל יום d ק"ג). נסמן ב־b1 את הכמות ביום הראשון.
נתון: n = 16, ביום האחרון b16 = 115.
הסכום של הווניל קטן ב־480 מהסכום של השוקולד (שמצאנו בסעיף ב):
S16 = 1480 − 480 = 1000
ידועים לנו האיבר האחרון והסכום, ולכן נשתמש בנוסחת הסכום עם האיבר הראשון והאחרון:
1000 = 162 · (b1 + 115)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
1000 = 8 · (b1 + 115)
b1 + 115 = 10008
b1 + 115 = 125
b1 = 125 − 115 = 10
עכשיו נציב בנוסחת האיבר הכללי את האיבר ה־16:
b16 = b1 + (16 − 1)d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
115 = 10 + 15d
115 − 10 = 15d
105 = 15d
d = 10515 = 7
✅ פתרון סופי: d = 7 (ק"ג ליום)

סעיף ד – כמה נמכר ביום הראשון

כל הגלידה נמכרה: שוקולד (סעיף ב) ועוד וניל (סעיף ג):
1480 + 1000 = 2480
בכל יום מכרו פי 2 מהיום הקודם, ולכן הכמויות שנמכרו הן סדרה הנדסית עם מנה q = 2, לאורך n = 5 ימים, וסכומה 2480. נסמן ב־a1 את הכמות שנמכרה ביום הראשון.
2480 = a1 · (25 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
2480 = a1 · (32 − 1)1
2480 = 31 · a1
a1 = 248031 = 80
בדיקה: 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 = 2480 ✓
✅ פתרון סופי: 80 ק"ג ביום הראשון

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א70 ק"ג
סעיף ב1480 ק"ג
סעיף גd = 7
סעיף ד80 ק"ג
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במרחב: פירמידה ABCS

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCS. המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS. הנקודה F נמצאת על המקצוע BC כך ש־BF = 23 BC.

נסמן: AB = u , AC = v , AS = w

א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים האלה: BC , BS , AE , AF.

נתון: ∢BAC = 120 מעלות, |u| = |v| = 6 , |w| = 8.

ב. חשבו את נפח הפירמידה.

ג. (1) מצאו את הערך של u · v. (2) הוכיחו כי AE מאונך ל־AF.

ד. (1) מצאו את הערך של |AF|. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.

סרטוט הפירמידה ABCS משאלה 2 בשאלון
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת הווקטורים

הסרטוט בקנה מידה (מחושב מהנתונים של סעיף ב). הקווים המקווקווים הם מקצועות מוסתרים. בסגול: AE ו־AF.
הווקטור BC: הולכים מ־B ל־A ואז מ־A ל־C.
BC = BA + AC📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BA = −AB = −u📐 וקטור נגדיBA = −AB
BC = −u + v
הווקטור BS: מ־B ל־A ואז מ־A ל־S.
BS = BA + AS📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BS = −u + w📐 וקטור נגדיBA = −AB
הווקטור AE: מ־A ל־B ואז מ־B ל־E. הנקודה E אמצע BS, ולכן BE הוא חצי מ־BS.
AE = AB + BE📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BE = 12BS = 12(−u + w)📐 אמצע קטעBE = 12BS
AE = u − 12u + 12w
AE = 12u + 12w
הווקטור AF: מ־A ל־B ואז מ־B ל־F. נתון BF = 23 BC ו־F על BC, ולכן BF = 23BC.
AF = AB + BF📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XA + AY
BF = 23BC = 23(−u + v)📐 נתון: חלוקת קטעBF = 23BC
AF = u − 23u + 23v
מחשבים את המקדם של u: 1 − 23 = 13
AF = 13u + 23v
SABCEF
✅ פתרון סופי: BC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v

סעיף ב – נפח הפירמידה

AS מאונך למישור הבסיס, ולכן AS הוא הגובה של הפירמידה: h = AS = |w| = 8. הבסיס הוא המשולש ABC (מודגש בתכלת).
שטח הבסיס – שתי צלעות והזווית שביניהן: AB = AC = 6, ∢BAC = 120 מעלות.
SABC = 12 · 6 · 6 · sin120📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin∢C
sin120 = √32 ≈ 0.866
SABC = 18 · √32 = 9√3 ≈ 15.59
V = 13 · 9√3 · 8📐 נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
V = 72√33 = 24√3 ≈ 41.57
120SABC
✅ פתרון סופי: V = 24√3 ≈ 41.57 יחידות נפח

סעיף ג (1) – המכפלה הסקלרית u · v

הזווית בין u ל־v היא הזווית BAC, כלומר 120 מעלות.
u · v = |u| · |v| · cos120📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos∢(a,b)
cos120 = −12
u · v = 6 · 6 · (−12)
u · v = 36 · (−12) = −18
✅ פתרון סופי: u · v = −18

סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF

מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית AE · AF שווה 0.
נתונים שנצטרך: AS מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AC:
w · u = 0 , w · v = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
u · u = |u|2 = 62 = 36📐 מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
נציב את הביטויים מסעיף א ונפתח סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):
AE · AF = (12u + 12w) · (13u + 23v)📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
= 12·13 u·u + 12·23 u·v + 12·13 w·u + 12·23 w·v
= 16 u·u + 13 u·v + 16 w·u + 13 w·v
מציבים u·u = 36, u·v = −18 (סעיף ג1), w·u = 0, w·v = 0:
= 16 · 36 + 13 · (−18) + 16 · 0 + 13 · 0
= 6 − 6 + 0 + 0 = 0
AE · AF = 0📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟸ a ⊥ b
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AE ⊥ AF (הזווית EAF ישרה)

סעיף ד (1) – האורך של AF

אורך וקטור בריבוע = המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:
|AF|2 = AF · AF = (13u + 23v)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= (13)2u2 + 2 · 13 · 23 u·v + (23)2v2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 19 · 36 + 49 · (−18) + 49 · 36
= 4 − 8 + 16 = 12
|AF| = √12 = √4 · 3 = 2√3 ≈ 3.46
✅ פתרון סופי: AF = 2√3 ≈ 3.46

סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF

בסעיף ג (2) הוכחנו שהזווית EAF ישרה, ולכן AE ו־AF הם הניצבים של המשולש. חסר לנו האורך של AE:
|AE|2 = (12u + 12w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= (12)2u2 + 2 · 12 · 12 u·w + (12)2w2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 14 · 36 + 12 · 0 + 14 · 64
כאן הצבנו w2 = 82 = 64.
וגם u·w = 0 (AS מאונך ל־AB).
= 9 + 0 + 16 = 25
|AE| = √25 = 5
עכשיו שטח משולש ישר זווית – חצי מכפלת הניצבים:
SEAF = 12 · 5 · 2√3📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
SEAF = 5√3 ≈ 8.66
SABCEF
✅ פתרון סופי: SEAF = 5√3 ≈ 8.66 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אBC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
סעיף בV = 24√3 ≈ 41.57
סעיף ג (1)u · v = −18
סעיף ג (2)AE · AF = 0 ← מאונכים
סעיף ד (1)AF = 2√3 ≈ 3.46
סעיף ד (2)S = 5√3 ≈ 8.66
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה: משתמשים בכלי בינה מלאכותית

📄 נוסח השאלה

בתחילת שנת 2025 בדקו חוקרים את מספר האנשים שמשתמשים בשני כלים של בינה מלאכותית, כלי A וכלי B. על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי A יעלה ב־10% בכל שנה. נתון כי בתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A היה 50 מיליון.

א. מצאו מה צפוי להיות מספר המשתמשים בכלי A בתחילת שנת 2030.

על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי B יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2031 צפוי להיות גדול פי 3 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 2025.

ב. מצאו בכמה אחוזים צפוי לגדול מספר המשתמשים בכלי B בכל שנה.

לפניכם שני גרפים I–II המתארים את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלים A ו־B מתחילת שנת 2025 והלאה.

שני הגרפים I ו־II משאלה 3 בשאלון

ג. איזה מן הגרפים I–II מתאר את מספר האנשים שצפויים להשתמש בכלי B? נמקו את תשובתכם.

על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 2030 יהיה מספר המשתמשים בכלי A גדול ב־30 מיליון ממספר המשתמשים בכלי B.

ד. מצאו את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2025.

ה. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A צפוי להיות שווה למספר המשתמשים בכלי B.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – כלי A בתחילת 2030

מודדים את הזמן t בשנים מתחילת 2025, ואת מספר המשתמשים במיליונים.
כלי A: M0 = 50, עלייה של 10% בשנה, ולכן:
q = 1 + 10100 = 1 + 0.1 = 1.1📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
t = 2030 − 2025 = 5
MA(5) = 50 · 1.15📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.15 = 1.61051
MA(5) = 50 · 1.61051 = 80.5255
✅ פתרון סופי: 80.5255 מיליון, כלומר 80,525,500 משתמשים

סעיף ב – אחוז הגדילה של כלי B

נסמן ב־M0 את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת 2025 (עוד לא ידוע) וב־q את המנה.
t = 2031 − 2025 = 6
בתחילת 2031 המספר גדול פי 3 מהמספר ההתחלתי:
M0 · q6 = 3 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0 (הוא לא 0):
q6 = 3
q = 6√3 = 316 ≈ 1.20094📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
1.20094 = 1 + p100📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
p100 = 0.20094
p = 0.20094 · 100 ≈ 20.094 ≈ 20.09
✅ פתרון סופי: מספר המשתמשים בכלי B גדל בכ־20.1% בשנה

סעיף ג – איזה גרף מתאר את כלי B

כלי A גדל ב־10% בשנה, וכלי B גדל בכ־20.1% בשנה (סעיף ב). כלי B גדל מהר יותר, ולכן הגרף שלו עולה בתלילות רבה יותר, ובסופו של דבר הוא עובר את הגרף של A ונשאר מעליו.
בסרטוט: גרף II מתחיל נמוך מגרף I, עולה תלול יותר, חותך את גרף I ומשם והלאה נמצא מעליו. גרף I מתחיל גבוה יותר ועולה לאט יותר.
qA = 1.1 < qB ≈ 1.20094📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מנה גדולה יותר ← הכמות מוכפלת בכל שנה במספר גדול יותר ← גדילה מהירה יותר.
לכן הגרף שגדל מהר יותר – גרף II – הוא של כלי B. גרף I הוא של כלי A, שמתחיל ב־50 מיליון.
✅ פתרון סופי: גרף II – כלי B גדל באחוז גבוה יותר, ולכן הגרף שלו תלול יותר ועוקף את הגרף של A

סעיף ד – כלי B בתחילת 2025

בתחילת 2030 (t = 5) ב־A יש 80.5255 מיליון (סעיף א), ו־A גדול מ־B ב־30 מיליון:
MB(5) = 80.5255 − 30 = 50.5255
מצד שני, לפי נוסחת הגדילה של כלי B (עם q = 316 מסעיף ב):
MB(5) = M0 · q5📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q5 = (316)5 = 356 ≈ 2.4980📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
M0 · 2.4980 = 50.5255
M0 = 50.52552.4980 ≈ 20.226
✅ פתרון סופי: בתחילת 2025 השתמשו בכלי B כ־20.226 מיליון איש (כ־20,225,980)

סעיף ה – מתי מספר המשתמשים יהיה שווה

מחפשים t שבו מספר המשתמשים בשני הכלים שווה:
MA(t) = MB(t)📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
50 · 1.1t = 20.226 · 1.20094t
מחלקים את שני האגפים ב־20.226 וב־1.1t:
5020.226 = 1.20094t1.1t
5020.226 ≈ 2.4721📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
2.4721 = (1.200941.1)t = 1.09176t
מוציאים ln משני האגפים:
ln 2.4721 = t · ln 1.09176📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 2.4721ln 1.09176 ≈ 0.90510.08779 ≈ 10.31
✅ פתרון סופי: כעבור כ־10.31 שנים מתחילת 2025 (כלומר במהלך 2035)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א80,525,500 משתמשים
סעיף בכ־20.1% בשנה
סעיף גגרף II
סעיף ד20,225,980 משתמשים (כ־20.23 מיליון)
סעיף הכעבור 10.31 שנים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 8 – מציאת q ו־p
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (a − 4x) · e2x − 1, המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = 0 הוא 16e.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 10 בפונקצייה f(x), וענו על סעיפים ב–ו.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 4 · e2x − 1, המוגדרת לכל x.

ד. הסבירו מדוע הפונקצייה g(x) חיובית לכל x.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

ה. מצאו את שיעורי הנקודה A.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – מציאת a

שיפוע המשיק = ערך הנגזרת בנקודה. הפונקצייה היא מכפלה של שתי פונקציות, ולכן נגזור לפי כלל המכפלה:
u = a − 4x ⟸ u′ = −4
v = e2x − 1 ⟸ v′ = 2 · e2x − 1📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = −4 · e2x − 1 + (a − 4x) · 2e2x − 1📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
מוציאים e2x − 1 כגורם משותף ופותחים סוגריים:
f′(x) = e2x − 1 · (−4 + 2a − 8x)
מציבים x = 0:
f′(0) = e2 · 0 − 1 · (−4 + 2a − 0) = e−1 · (2a − 4) = 2a − 4e📐 מעריך שליליa−1 = 1a
השיפוע הנתון הוא 16e:
2a − 4e = 16e📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
2a − 4 = 16
2a = 20
a = 10
✅ פתרון סופי: a = 10

סעיף ב (1) – נקודות החיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = (10 − 4x) · e2x − 1.
חיתוך עם ציר ה־y (מציבים x = 0):
f(0) = (10 − 0) · e−1 = 10e ≈ 3.68📐 מעריך שליליa−1 = 1a
חיתוך עם ציר ה־x (משווים ל־0):
(10 − 4x) · e2x − 1 = 0
e2x − 1 > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
מכפלה שווה 0 רק כשאחד הגורמים 0, ו־e2x − 1 אף פעם לא 0, ולכן:
10 − 4x = 0
10 = 4x
x = 104 = 2.5
✅ פתרון סופי: (0 , 10e) ≈ (0 , 3.68)
(2.5 , 0)

סעיף ב (2) – נקודת הקיצון

מציבים a = 10 בנגזרת שמצאנו בסעיף א:
f′(x) = e2x − 1 · (−4 + 2 · 10 − 8x)📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
f′(x) = e2x − 1 · (16 − 8x)
משווים את הנגזרת ל־0:
e2x − 1 · (16 − 8x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
16 − 8x = 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
16 = 8x
x = 2
f(2) = (10 − 4 · 2) · e2 · 2 − 1 = 2 · e3 = 2e3 ≈ 40.17
קובעים את הסוג בעזרת סימן הנגזרת משני צדי x = 2 (הגורם e2x − 1 תמיד חיובי, אז הסימן נקבע לפי 16 − 8x):
f′(0) : 16 − 0 = 16 > 0 ← עולה
f′(3) : 16 − 24 = −8 < 0 ← יורדת
עולה ואחר כך יורדת – מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: (2 , 2e3) ≈ (2 , 40.17) – נקודת מקסימום

סעיף ג – סקיצה

מה שמצאנו: חיתוך עם ציר ה־y ב־(0 , 3.68), חיתוך עם ציר ה־x ב־(2.5 , 0), מקסימום ב־(2 , 40.17). עולה עד x = 2 ויורדת אחריו.
לכל x < 2.5 הגורם 10 − 4x חיובי, ולכן הגרף מעל ציר ה־x; אחרי 2.5 הוא מתחת לציר.
כש־x קטן מאוד (שלילי), e2x − 1 מתקרב ל־0 מהר מאוד, והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה (ציר ה־x אסימפטוטה משמאל).
הגרף שלמטה סורטט בקנה מידה מהפונקצייה עצמה:
-2-11-2010203040xyf(x)(2, 40.17)(0, 3.68)(2.5, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ד – למה g(x) חיובית

g(x) = 4 · e2x − 1
e2x − 1 > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
e בכל חזקה הוא מספר חיובי, ו־4 חיובי. מכפלה של שני מספרים חיוביים היא חיובית.
✅ פתרון סופי: לכל x: g(x) = 4 · e2x − 1 > 0 כי 4 > 0 וגם e2x − 1 > 0

סעיף ה – הנקודה A

בנקודת חיתוך הפונקציות שוות:
f(x) = g(x)
(10 − 4x) · e2x − 1 = 4 · e2x − 1
מחלקים את שני האגפים ב־e2x − 1 (מותר, הוא אף פעם לא 0):
10 − 4x = 4📐 תכונה של eet > 0 לכל t
−4x = 4 − 10
−4x = −6
x = −6−4 = 1.5
g(1.5) = 4 · e2 · 1.5 − 1 = 4 · e2 = 4e2 ≈ 29.56
✅ פתרון סופי: A(1.5 , 4e2) ≈ (1.5 , 29.56)

סעיף ו – השטח

השטח (בתכלת בסרטוט) נמצא מתחת לגרף של g(x) (שחיובית, סעיף ד), מעל ציר ה־x, בין ציר ה־y (x = 0) לבין האנך דרך A (x = 1.5):
S = ∫1.50 4 · e2x − 1 dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba g(x) dx
פונקציה קדומה של e2x − 1:
∫ 4 · e2x − 1 dx = 4 · 12 e2x − 1 = 2e2x − 1📐 אינטגרל של e∫ eax + b dx = 1a eax + b + c
S = [2e2x − 1]01.5📐 אינטגרל מסוים∫ab = F(b) − F(a)
S = 2e2 · 1.5 − 1 − 2e2 · 0 − 1
S = 2e2 − 2e−1 = 2e2 − 2e📐 מעריך שליליa−1 = 1a
S ≈ 2 · 7.389 − 22.718
S ≈ 14.778 − 0.736 ≈ 14.04
1210203040xyf(x)g(x)A(1.5, 29.56)1.5
✅ פתרון סופי: S = 2e2 − 2e ≈ 14.04 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אa = 10
סעיף ב (1)(0 , 10e)
(2.5 , 0)
סעיף ב (2)מקסימום (2 , 2e3)
סעיף גסקיצה
סעיף ד4 > 0 וגם e2x − 1 > 0
סעיף הA(1.5 , 4e2)
סעיף ו2e2 − 2e ≈ 14.04
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln מגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) המוגדרות בתחום x > 0. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x). כל נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם ציר ה־x של גרף הנגזרת f′(x) מופיעות בסרטוט.

גרף פונקציית הנגזרת משאלה 5 בשאלון

א. לפניכם שני היגדים I–II. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.

I. לפונקצייה f(x) יש בדיוק שלוש נקודות קיצון.

II. שיעור ה־x של נקודת המינימום של הפונקצייה f(x) גדול משיעור ה־x של נקודת המקסימום שלה.

נתון כי f(x) = 14(ln x)2x2.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x − 4).

ד. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)? (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – נכון או לא נכון (לפי גרף הנגזרת)

לפונקצייה f יש נקודת קיצון רק במקום שבו f′ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר במקום שבו גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x.
f′(x0) = 0 וגם f′ מחליפה סימן📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
בסרטוט גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x בשתי נקודות בלבד. נקרא להן x1 < x2:
• משמאל ל־x1 גרף הנגזרת מתחת לציר: f′ < 0, ולכן f יורדת.
• בין x1 ל־x2 גרף הנגזרת מעל הציר: f′ > 0, ולכן f עולה.
יורדת ואחר כך עולה ← ב־x1 יש מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
• אחרי x2 גרף הנגזרת שוב מתחת לציר: f′ < 0, ולכן f יורדת.
עולה ואחר כך יורדת ← ב־x2 יש מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
• נקודות הקיצון של גרף הנגזרת עצמו – ה"פסגה" וה"עמק" שלו – הן לא נקודות קיצון של f, כי שם f′ ≠ 0.
היגד I: ל־f יש בדיוק שתי נקודות קיצון, ב־x1 וב־x2, ולא שלוש ← לא נכון.
היגד II: המינימום ב־x1 והמקסימום ב־x2, ו־x1 < x2. כלומר שיעור ה־x של המינימום קטן משל המקסימום ← לא נכון.
בסעיף ב נמצא ש־x1 = 1 ו־x2 = e, וזה מאשר את הקריאה מהגרף.
✅ פתרון סופי: היגד I – לא נכון (שתי נקודות קיצון). היגד II – לא נכון (המינימום משמאל למקסימום)

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: צריך להציב x = 0, אבל הפונקצייה מוגדרת רק ל־x > 0 ← אין חיתוך עם ציר ה־y.
ציר ה־x: משווים ל־0. שבר שווה 0 כשהמונה 0 (המכנה x2 חיובי):
14(ln x)2x2 = 0
(ln x)2 = 0
ln x = 0
x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: אין חיתוך עם ציר ה־y; חיתוך עם ציר ה־x: (1 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון

גוזרים לפי כלל המנה, עם u = 14(ln x)2 ו־v = x2.
u′ = 14 · 2 ln x · 1x = 28 ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(ln x)′ = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
v′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
f′(x) = 28 ln xx · x2 − 14(ln x)2 · 2x(x2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים: 28 ln xx · x2 = 28x ln x ו־(x2)2 = x4:
f′(x) = 28x ln x − 28x(ln x)2x4
מוציאים גורם משותף 28x ln x במונה ומצמצמים x:
f′(x) = 28x ln x (1 − ln x)x4 = 28 ln x (1 − ln x)x3
משווים את הנגזרת ל־0 (המכנה x3 חיובי, אז המונה 0):
28 ln x (1 − ln x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
1 − ln x = 0 ⟸ ln x = 1 ⟸ x = e1 = e📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
שיעורי ה־y:
f(1) = 14 · 0212 = 0
f(e) = 14 · (ln e)2e2 = 14 · 1e2 = 14e2 ≈ 1.89📐 ln של eln e = 1
סוג הנקודות – סימן הנגזרת בכל תחום (המכנה חיובי, בודקים את המונה 28 ln x (1 − ln x)):
x = 0.5 : ln 0.5 ≈ −0.69 < 0 , 1 − ln 0.5 > 0 ← f′ < 0 יורדת
x = 2 : ln 2 ≈ 0.69 > 0 , 1 − 0.69 = 0.31 > 0 ← f′ > 0 עולה
x = 3 : ln 3 ≈ 1.10 > 0 , 1 − 1.10 = −0.10 < 0 ← f′ < 0 יורדת
ב־x = 1: ממינוס לפלוס ← מינימום. ב־x = e: מפלוס למינוס ← מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 0)
מקסימום (e , 14e2) ≈ (2.72 , 1.89)

סעיף ב (3) – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים של סעיף ב (2), בתחום ההגדרה x > 0:
f′ < 0 ב־0 < x < 1 וב־x > e; f′ > 0 ב־1 < x < e.
f′ > 0 ← עולה; f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: 1 < x < e; ירידה: 0 < x < 1 וגם x > e

סעיף ג – סקיצה

מה שמצאנו: מוגדרת רק ל־x > 0; יורדת עד המינימום (1 , 0) (שהוא גם החיתוך עם ציר ה־x), עולה עד המקסימום (e , 1.89), ואחר כך יורדת.
f(x) ≥ 0 לכל x בתחום: (ln x)2 ≥ 0 ו־x2 > 0. לכן הגרף אף פעם לא יורד מתחת לציר ה־x, והוא רק נוגע בו ב־(1 , 0).
ליד x = 0 (מימין) הגרף עולה מאוד גבוה (למשל f(0.5) ≈ 26.9), וכש־x גדל הגרף יורד ומתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(10) ≈ 0.74).
הגרף שלמטה סורטט בקנה מידה מהפונקצייה עצמה:
246810123xyf(x)(1, 0)(e, 1.89)
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g

g(x) = f(x − 4) = 14(ln(x − 4))2(x − 4)2
f מוגדרת רק כשהקלט שלה חיובי, ולכן צריך:
x − 4 > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
x > 4
✅ פתרון סופי: x > 4

סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g

g(x) = f(x − 4) היא הזזה של הגרף של f ב־4 יחידות ימינה. כל נקודה (x , y) על הגרף של f עוברת ל־(x + 4 , y), והסוג שלה לא משתנה:
(1 , 0) → (1 + 4 , 0) = (5 , 0)📐 הזזה אופקיתg(x) = f(x − k) (x , y) → (x + k , y)
(e , 14e2) → (e + 4 , 14e2)📐 הזזה אופקיתg(x) = f(x − k) (x , y) → (x + k , y)
e + 4 ≈ 6.72 , 14e2 ≈ 1.89
בדיקה: g′(x) = f′(x − 4) מתאפסת כש־x − 4 = 1 או x − 4 = e, כלומר ב־x = 5 וב־x = e + 4 ✓
✅ פתרון סופי: מינימום (5 , 0)
מקסימום (e + 4 , 14e2) ≈ (6.72 , 1.89)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אI – לא נכון, II – לא נכון
סעיף ב (1)(1 , 0); אין חיתוך עם ציר ה־y
סעיף ב (2)מינימום (1 , 0)
מקסימום (e , 14e2)
סעיף ב (3)עלייה: 1 < x < e
ירידה: 0 < x < 1 וגם x > e
סעיף גסקיצה
סעיף ד (1)x > 4
סעיף ד (2)מינימום (5 , 0)
מקסימום (e + 4 , 14e2)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות