בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2025
פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1–3); פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה ג'
📄 השאלון המלא – חורף 2025
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה
- שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית
- שאלה 2 – וקטורים בתיבה
- שאלה 3 – דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן
- פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטח
- שאלה 5 – חקירת פונקציית ln ופונקציה קדומה
שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית A שהמנה שלה היא q, ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.
א. מצאו את שני הערכים של q.
נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A הוא 1,296, וכי כל איבריה הם חיוביים.
ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.
נתונה סדרה חשבונית B. סכום הסדרה A גדול פי 11 מסכום הסדרה B.
ג. מצאו את סכום הסדרה B.
בסדרה B יש 32 איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה B גדול פי 16 מן ההפרש שלה.
ד. מצאו את הפרש הסדרה B.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – שני הערכים של q
נבטא את האיבר השני ואת האיבר השישי בעזרת a1 ו־q:
a2 = a1 · q2 − 1 = a1 · q📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · q6 − 1 = a1 · q5📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
האיבר השישי פי 81 מהאיבר השני:
a6 = 81 · a2
a1 · q5 = 81 · a1 · q
מחלקים את שני האגפים ב־a1 · q (בסדרה הנדסית a1 ≠ 0 ו־q ≠ 0):
q5 − 1 = 81📐 חילוק חזקותaman = am − n
q4 = 81
81 = 34 (3 · 3 · 3 · 3)
מעריך זוגי – יש שני פתרונות, חיובי ושלילי:
q = 3 או q = −3📐 שורש זוגיq4 = b ⟸ q = ±4√b
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3
סעיף ב – האיבר הראשון
כל האיברים חיוביים. אם q = −3 הסימנים היו מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן q = 3.
בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי.
a5 = a1 · 34 = 81a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · 35 = 243a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a5 + a6 = 1296
81a1 + 243a1 = 1296
324a1 = 1296
a1 = 1296324 = 4
✅ פתרון סופי: a1 = 4
סעיף ג – סכום הסדרה B
קודם סכום הסדרה A: a1 = 4, q = 3, n = 10.
SA = 4 · (310 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
310 = 59049
SA = 4 · 590482 = 2 · 59048 = 118096
סכום A גדול פי 11 מסכום B:
SA = 11 · SB
SB = 11809611 = 10736
✅ פתרון סופי: SB = 10736
סעיף ד – ההפרש של הסדרה B
בסדרה B יש 32 איברים, הפרש d, ואיבר ראשון b1. האיבר השני גדול פי 16 מההפרש:
b2 = 16d
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתbn = b1 + (n − 1)d
b1 + d = 16d
b1 = 16d − d = 15d
סכום 32 האיברים הוא 10736 (סעיף ג):
S32 = 322 · [2 · 15d + (32 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2b1 + (n − 1)d]
S32 = 16 · [30d + 31d] = 16 · 61d = 976d
976d = 10736
d = 10736976 = 11
✅ פתרון סופי: d = 11
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | q = 3 או q = −3 |
|---|---|
| סעיף ב | a1 = 4 |
| סעיף ג | SB = 10736 |
| סעיף ד | d = 11 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – וקטורים בתיבה
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′. הנקודה M היא מפגש האלכסונים בפאה BCC′B′. נקודה P נמצאת על המקצוע DD′ ומקיימת DP = 13 DD′.
נסמן: AB = u , BC = v , AA′ = w
א. הביעו את הווקטורים AP ו־MP באמצעות u, v ו־w.
נתון: |v| = 8 , |w| = |u| = 24.
ב. (1) הוכיחו כי הווקטור AP מאונך לווקטור MP. (2) חשבו את שטח המשולש APM.
נתון: D(0, 0, 0). הקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y והקודקוד D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים C′ , B , C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו את גודל הזווית PMB.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטורים
בתיבה המקצועות המקבילים שווים ובאותו כיוון: AD = BC = v, DD′ = CC′ = AA′ = w. בסגול בסרטוט: AP ו־MP.
הווקטור AP: מ־A ל־D ואז מ־D ל־P.
AP = AD + DP📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
DP = 13DD′ = 13w📐 נתון: חלוקת קטעDP = 13DD′
AP = v + 13w
הווקטור AM: M היא מפגש האלכסונים של המלבן BCC′B′, ולכן היא אמצע האלכסון BC′.
BC′ = BC + CC′ = v + w📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
BM = 12BC′ = 12v + 12w📐 אמצע קטע (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה)BM = 12BC′
AM = AB + BM = u + 12v + 12w📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
הווקטור MP: מ־M ל־A ואז מ־A ל־P.
MP = MA + AP = −AM + AP📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)XY = XZ + ZY
MP = −u − 12v − 12w + v + 13w📐 וקטור נגדיMA = −AM
מחשבים את המקדמים: של v: −12 + 1 = 12; של w: −12 + 13 = −36 + 26 = −16.
MP = −u + 12v − 16w
✅ פתרון סופי: AP = v + 13w
MP = −u + 12v − 16w
MP = −u + 12v − 16w
סעיף ב (1) – הוכחה ש־AP מאונך ל־MP
בתיבה כל שלושת המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, ולכן:
u·v = 0 , u·w = 0 , v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
v·v = 82 = 64 , w·w = 242 = 576📐 מכפלה של וקטור בעצמוa · a = |a|2
AP · MP = (v + 13w) · (−u + 12v − 16w)📐 פתיחת סוגריים(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
= −v·u + 12v·v − 16v·w − 13w·u + 16w·v − 118w·w
מציבים: כל המכפלות של וקטורים שונים הן 0:
= 0 + 12 · 64 − 0 − 0 + 0 − 118 · 576
= 32 − 32 = 0
AP · MP = 0📐 וקטורים מאונכיםa · b = 0 ⟸ a ⊥ b
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AP ⊥ MP
סעיף ב (2) – שטח המשולש APM
הזווית APM ישרה (סעיף ב1), ולכן AP ו־MP הם הניצבים. נחשב את אורכם:
|AP|2 = (v + 13w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
= v2 + 2 · 13 v·w + 19w2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
= 64 + 0 + 5769 = 64 + 64 = 128
|AP| = √128 = √64 · 2 = 8√2
|MP|2 = (−u + 12v − 16w)2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a
כשהווקטורים מאונכים זה לזה, כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשארים רק הריבועים:
= u2 + 14v2 + 136w2📐 ריבוע של סכום שלושה(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
= 576 + 644 + 57636 = 576 + 16 + 16 = 608
|MP| = √608 = √16 · 38 = 4√38 ≈ 24.66
SAPM = 12 · 8√2 · 4√38📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= 16√76 = 16 · 2√19 = 32√19 ≈ 139.48📐 כפל שורשים√(a · b) = √a · √b
✅ פתרון סופי: SAPM = 32√19 ≈ 139.48 יחידות שטח
סעיף ג (1) – שיעורי C′ , B , C
D בראשית. אורכי המקצועות: DA = BC = 8, DC = AB = 24, DD′ = AA′ = 24.
A על החלק החיובי של ציר ה־x במרחק 8 מ־D, C על ציר ה־y במרחק 24, ו־D′ על ציר ה־z במרחק 24:
A(8, 0, 0) , C(0, 24, 0) , D′(0, 0, 24)
B: מ־A זזים כמו מ־D ל־C (24 בכיוון ציר ה־y):
B = A + DC = (8, 0, 0) + (0, 24, 0) = (8, 24, 0)📐 חיבור וקטורים בשיעורים(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
C′: מ־C עולים 24 בכיוון ציר ה־z:
C′ = C + DD′ = (0, 24, 0) + (0, 0, 24) = (0, 24, 24)📐 חיבור וקטורים בשיעורים(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
✅ פתרון סופי: C(0, 24, 0)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
B(8, 24, 0)
C′(0, 24, 24)
סעיף ג (2) – שיעורי M
M אמצע האלכסון BC′ (אלכסוני מלבן חוצים זה את זה):
M = (8 + 02, 24 + 242, 0 + 242)📐 אמצע קטע במרחבM = (x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22)
M = (4, 24, 12)
✅ פתרון סופי: M(4, 24, 12)
סעיף ד – גודל הזווית PMB
הזווית PMB היא הזווית בין הווקטורים MP ו־MB (שניהם יוצאים מ־M).
הנקודה P: DP = 13 · 24 = 8 על ציר ה־z, ולכן P(0, 0, 8).
MP = P − M = (0 − 4, 0 − 24, 8 − 12) = (−4, −24, −4)📐 וקטור בין שתי נקודותMP = P − M
MB = B − M = (8 − 4, 24 − 24, 0 − 12) = (4, 0, −12)📐 וקטור בין שתי נקודותMB = B − M
MP · MB = (−4) · 4 + (−24) · 0 + (−4) · (−12) = −16 + 0 + 48 = 32📐 מכפלה סקלרית בשיעורים(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
|MP| = √(−4)2 + (−24)2 + (−4)2 = √16 + 576 + 16 = √608📐 אורך וקטור|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
|MB| = √42 + 02 + (−12)2 = √16 + 0 + 144 = √160📐 אורך וקטור|(a, b, c)| = √(a2 + b2 + c2)
cos∢PMB = 32√608 · √160 = 32311.90 ≈ 0.1026📐 זווית בין וקטוריםcos∢ = a · b|a| · |b|
∢PMB ≈ 84.11 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢PMB ≈ 84.11 מעלות
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | AP = v + 13w MP = −u + 12v − 16w |
|---|---|
| סעיף ב (1) | AP · MP = 0 ← מאונכים |
| סעיף ב (2) | S = 32√19 ≈ 139.48 |
| סעיף ג (1) | C(0, 24, 0) B(8, 24, 0) C′(0, 24, 24) |
| סעיף ג (2) | M(4, 24, 12) |
| סעיף ד | ≈ 84.11 מעלות |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן
📄 נוסח השאלה
אמיר קנה גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה 3,700 סמ"ק ונפח המזרן היה 7,400 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, נפח הגלגל ונפח המזרן קטנו באחוז קבוע בכל יום (כל אחד מהם באחוז אחר). כעבור 7 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן.
א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות I–II אם היא נכונה או לא נכונה.
I. כעבור 6 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.
II. כעבור 8 ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.
נתון כי נפח הגלגל קטֵן ב־4% בכל יום.
ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטֵן בכל יום.
כעבור t ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן 13 מנפח הגלגל.
ג. מצאו את הערך של t.
לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־22%. בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי 7.5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח.
ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן.
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – נכון או לא נכון
נסמן ב־q1 את המנה היומית של הגלגל וב־q2 את המנה היומית של המזרן (שתיהן בין 0 ל־1, כי הנפח קטן).
נפח הגלגל אחרי t ימים: V1(t), ונפח המזרן: V2(t):
V1(t) = 3700 · q1t , V2(t) = 7400 · q2t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
המזרן התחיל גדול פי 2 מהגלגל, ובכל זאת אחרי 7 ימים הנפחים שווים. לכן המזרן מאבד אוויר מהר יותר: q2 < q1.
בדיקה מדויקת: היחס בין הנפחים הוא
V1(t)V2(t) = 37007400 · (q1q2)t = 12 · rt📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
כאשר r = q1q2 > 1. ביום 7 הנפחים שווים, כלומר היחס הוא 1:
12 · r7 = 1 ⟸ r7 = 2
טענה I (יום 6): 12 · r6 = r72r = 22r = 1r < 1 ← הגלגל קטן מהמזרן ← לא נכונה.
טענה II (יום 8): 12 · r8 = 12 · r7 · r = 1 · r = r > 1 ← הגלגל גדול מהמזרן ← נכונה.
במילים: לפני יום 7 המזרן עדיין גדול יותר; אחרי יום 7 המזרן, שמתרוקן מהר יותר, כבר קטן מהגלגל.
✅ פתרון סופי: טענה I – לא נכונה; טענה II – נכונה
סעיף ב – אחוז הירידה של המזרן
q1 = 1 − 4100 = 0.96📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
ביום 7 הנפחים שווים:
3700 · 0.967 = 7400 · q27📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q27 = 3700 · 0.9677400 = 0.9672
0.967 ≈ 0.75145
q27 ≈ 0.37573
q2 = 7√0.37573 ≈ 0.86949📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
0.86949 = 1 − p100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
p100 = 1 − 0.86949 = 0.13051
p ≈ 13.05
✅ פתרון סופי: נפח המזרן קטן בכ־13.05% בכל יום
סעיף ג – מציאת t
המזרן שווה לשליש מהגלגל:
7400 · 0.86949t = 13 · 3700 · 0.96t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־3700 וב־0.96t:
2 · 0.86949t0.96t = 13
(0.869490.96)t = 16📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
0.90572t = 16 ≈ 0.16667
מוציאים ln משני האגפים:
t · ln 0.90572 = ln 0.16667📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 0.16667ln 0.90572 ≈ −1.7918−0.09902 ≈ 18.09
✅ פתרון סופי: t ≈ 18.09 ימים
סעיף ד – משך הניפוח
בניפוח הנפח גדל ב־22% בדקה:
q = 1 + 22100 = 1.22📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
נסמן ב־M0 את הנפח בתחילת הניפוח. בסוף הנפח גדול פי 7.5:
M0 · 1.22t = 7.5 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.22t = 7.5
t · ln 1.22 = ln 7.5📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 7.5ln 1.22 ≈ 2.01490.19885 ≈ 10.13
✅ פתרון סופי: הניפוח נמשך כ־10.13 דקות
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | I – לא נכונה, II – נכונה |
|---|---|
| סעיף ב | כ־13.05% ביום |
| סעיף ג | t ≈ 18.09 ימים |
| סעיף ד | כ־10.13 דקות |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטח
📄 נוסח השאלה
הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה־x שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו־II, אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).
א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), ונמקו את קביעתכם.
נתון: f(x) = (x2 − 2) · e−2x + 1.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 7 · e−2x + 1 המוגדרת לכל x.
ד. (1) הסבירו מדוע הפונקצייה g(x) חיובית לכל x. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).
דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה־x.
ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי האנכים.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת
נקודת מקסימום של f היא מקום שבו f′ מתאפסת ועוברת מפלוס למינוס, כלומר גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x כשהוא יורד.
מקסימום ← f′ עוברת מפלוס למינוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
גרף I: חותך את ציר ה־x פעמיים: בשיעור x שלילי כשהוא עולה (ממינוס לפלוס – מינימום של f), ובשיעור x חיובי כשהוא יורד (מפלוס למינוס – מקסימום). מקסימום אחד, בשיעור x חיובי – מתאים.
גרף II: חותך את ציר ה־x כשהוא יורד בשיעור x שלילי (שם יש מקסימום של f), ובשיעור x חיובי כשהוא עולה (מינימום). המקסימום בשיעור x שלילי – לא מתאים לנתון.
בסעיף ב נמצא את הנגזרת: היא מתאפסת ב־x = −1 (מינימום) וב־x = 2 (מקסימום), וזה מאשר את גרף I.
✅ פתרון סופי: גרף I – רק בו גרף הנגזרת יורד דרך ציר ה־x בשיעור x חיובי (מקסימום יחיד בשיעור x חיובי)
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
(x2 − 2) · e−2x + 1 = 0
e−2x + 1 > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
הגורם e−2x + 1 אף פעם לא 0, ולכן:
x2 − 2 = 0
x2 = 2
x = ±√2 ≈ ±1.41
✅ פתרון סופי: (√2 , 0) , (−√2 , 0)
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון
גוזרים לפי כלל המכפלה: u = x2 − 2 ⟸ u′ = 2x, v = e−2x + 1.
v′ = −2 · e−2x + 1📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 2x · e−2x + 1 + (x2 − 2) · (−2) · e−2x + 1📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
מוציאים e−2x + 1 כגורם משותף:
f′(x) = e−2x + 1 · (2x − 2x2 + 4)
f′(x) = −2 · e−2x + 1 · (x2 − x − 2)
f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x2 − x − 2 = 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
a = 1 , b = −1 , c = −2
b2 − 4ac = (−1)2 − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9 , √9 = 3
x = 1 ± 32 · 1📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x = 2 או x = −1
f(2) = (4 − 2) · e−4 + 1 = 2e−3 ≈ 0.10
f(−1) = (1 − 2) · e2 + 1 = −e3 ≈ −20.09
סימן הנגזרת: הגורם −2e−2x + 1 תמיד שלילי, ולכן הסימן הפוך לסימן של x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1):
x = −2 : (−4)(−1) = 4 > 0 , f′ < 0 ← יורדת
x = 0 : (−2)(1) = −2 < 0 , f′ > 0 ← עולה
x = 3 : (1)(4) = 4 > 0 , f′ < 0 ← יורדת
ב־x = −1: יורדת ואז עולה ← מינימום. ב־x = 2: עולה ואז יורדת ← מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (−1 , −e3) ≈ (−1 , −20.09)
מקסימום (2 , 2e−3) ≈ (2 , 0.10)
מקסימום (2 , 2e−3) ≈ (2 , 0.10)
סעיף ג – סקיצה
חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = (0 − 2) · e1 = −2e ≈ −5.44.
משמאל: יורדת עד המינימום (−1 , −20.09); עולה, חותכת את ציר ה־x ב־x = ±1.41 ועולה עד המקסימום הקטן (2 , 0.10); אחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה־x מלמעלה (כי e−2x + 1 שואף ל־0).
כש־x שלילי וגדול בערכו המוחלט הגרף עולה מאוד (שני הגורמים גדלים). הגרף סורטט בקנה מידה; המקסימום (0.10) נראה קרוב מאוד לציר.
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
סעיף ד (1) – למה g(x) חיובית
g(x) = 7 · e−2x + 1
e−2x + 1 > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
e בכל חזקה חיובי, ו־7 חיובי, ולכן המכפלה חיובית.
✅ פתרון סופי: לכל x: g(x) > 0 כי 7 > 0 וגם e−2x + 1 > 0
סעיף ד (2) – נקודות החיתוך של f ו־g
(x2 − 2) · e−2x + 1 = 7 · e−2x + 1
מחלקים ב־e−2x + 1 (לא 0):
x2 − 2 = 7📐 תכונה של eet > 0 לכל t
x2 = 9
x = 3 או x = −3
g(3) = 7 · e−6 + 1 = 7e−5 ≈ 0.047
g(−3) = 7 · e6 + 1 = 7e7 ≈ 7676.43
✅ פתרון סופי: (3 , 7e−5) ≈ (3 , 0.047)
(−3 , 7e7) ≈ (−3 , 7676.43)
(−3 , 7e7) ≈ (−3 , 7676.43)
סעיף ה – השטח
השטח מתחת לגרף של g (חיובית, ד1), מעל ציר ה־x, בין האנכים x = −3 ו־x = 3:
S = ∫3−3 7 · e−2x + 1 dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba g(x) dx
∫ 7 · e−2x + 1 dx = 7 · 1−2 e−2x + 1 = −3.5e−2x + 1📐 אינטגרל של e∫ eax + b dx = 1a eax + b + c
S = [−3.5e−2x + 1]−33📐 אינטגרל מסוים∫ab = F(b) − F(a)
S = −3.5e−5 − (−3.5e7)
S = 3.5e7 − 3.5e−5
S ≈ 3.5 · 1096.633 − 3.5 · 0.00674 ≈ 3838.216 − 0.024 ≈ 3838.19
✅ פתרון סופי: S = 3.5e7 − 3.5e−5 ≈ 3838.19 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | גרף I |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (±√2 , 0) |
| סעיף ב (2) | מינימום (−1 , −e3) מקסימום (2 , 2e−3) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | 7 > 0 וגם e−2x + 1 > 0 |
| סעיף ד (2) | (3 , 7e−5) (−3 , 7e7) |
| סעיף ה | 3.5e7 − 3.5e−5 ≈ 3838.19 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln ופונקציה קדומה
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 6x(ln x)2.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־x של הפונקצייה f(x). (3) האם לגרף הפונקצייה f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה של הפונקצייה f(x).
ג. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x).
g(x) היא פונקצייה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). נגזרת הפונקצייה g(x) מקיימת g′(x) = f(x) − c, c הוא פרמטר.
ד. (1) מצאו בעבור c = 5 כמה נקודות קיצון יש לפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם. (2) רשמו ערך כלשהו של c שבעבורו יש לפונקצייה g(x) שלוש נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
שני תנאים: ln מוגדר רק למספרים חיוביים, ומכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
(ln x)2 ≠ 0 ⟸ ln x ≠ 0 ⟸ x ≠ e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1
סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית
ב־x = 1 המכנה מתאפס (ln 1 = 0), והמונה 6 · 1 = 6 ≠ 0. לכן הפונקצייה "מתפוצצת" שם.
מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = 1
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: צריך x = 0, אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (x > 0) ← אין חיתוך.
ציר ה־x: שבר שווה 0 רק כשהמונה 0: 6x = 0 ⟸ x = 0, וגם זה לא בתחום ← אין חיתוך.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים
סעיף ב (1) – נקודת הקיצון
כלל המנה עם u = 6x ⟸ u′ = 6 ו־v = (ln x)2:
v′ = 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(ln x)′ = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 6 · (ln x)2 − 6x · 2 ln xx((ln x)2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים: 6x · 2 ln xx = 12 ln x ו־((ln x)2)2 = (ln x)4:
f′(x) = 6(ln x)2 − 12 ln x(ln x)4
מוציאים גורם משותף 6 ln x ומצמצמים:
f′(x) = 6 ln x (ln x − 2)(ln x)4 = 6(ln x − 2)(ln x)3
f′(x) = 0 ⟸ ln x − 2 = 0 ⟸ ln x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = 6e2(ln e2)2 = 6e222 = 1.5e2 ≈ 11.08📐 ln של חזקת eln eb = b
סימן הנגזרת 6(ln x − 2)(ln x)3 בכל תחום:
0 < x < 1 : ln x < 0 , מונה < 0 , מכנה < 0 , f′ > 0 ← עולה
1 < x < e2 : 0 < ln x < 2 , מונה < 0 , מכנה > 0 , f′ < 0 ← יורדת
x > e2 : ln x > 2 , מונה > 0 , מכנה > 0 , f′ > 0 ← עולה
ב־x = e2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , 1.5e2) ≈ (7.39 , 11.08)
סעיף ב (2) – תחומי העלייה
לפי טבלת הסימנים: f′ > 0 ב־0 < x < 1 וב־x > e2.
f′ > 0 ← עולה📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 וגם x > e2
סעיף ג – איזה גרף
f(x) > 0 לכל x בתחום: המונה 6x > 0 והמכנה (ln x)2 > 0. לכן הגרף כולו מעל ציר ה־x – הגרפים שיש בהם חלק מתחת לציר נפסלים.
ב־0 < x < 1 הפונקצייה עולה (סעיף ב2) – מתחילה ליד הראשית ועולה לכיוון האסימפטוטה x = 1. מימין לאסימפטוטה: יורדת עד המינימום (7.39 , 11.08) ואז עולה.
רק גרף IV מתאים לכל אלה: כולו מעל ציר ה־x, משמאל לאסימפטוטה הוא עולה מהראשית, ומימין יש לו מינימום אחד.
הגרף בקנה מידה של הפונקצייה עצמה (הקו המקווקו הירוק – האסימפטוטה x = 1):
✅ פתרון סופי: גרף IV
סעיף ד (1) – c = 5
נקודות קיצון של g הן מקומות שבהם g′(x) = f(x) − 5 מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר שבהם הגרף של f חוצה את הישר y = 5.
g′(x) = 0 וגם g′ מחליפה סימן📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
בתחום 0 < x < 1: f עולה מערכים קרובים ל־0 עד אינסוף (ליד האסימפטוטה), ולכן היא חוצה את 5 פעם אחת בדיוק, מלמטה למעלה: g′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום של g.
בתחום x > 1: הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום 1.5e2 ≈ 11.08 > 5. לכן שם תמיד f(x) > 5, g′ > 0, ואין נקודות קיצון.
✅ פתרון סופי: ל־g יש נקודת קיצון אחת – מינימום (בתחום 0 < x < 1)
סעיף ד (2) – ערך של c לשלוש נקודות קיצון
צריך שהישר y = c יחצה את הגרף של f שלוש פעמים: פעם אחת בתחום 0 < x < 1 (תמיד קורה כש־c > 0), ופעמיים מימין לאסימפטוטה – משני צדי המינימום. זה קורה כש־c גדול מערך המינימום:
c > 1.5e2 ≈ 11.08
לדוגמה c = 12: f(x) = 12 פעם אחת ב־0 < x < 1, פעם אחת ב־1 < x < e2 (שם f יורדת מאינסוף ל־11.08), ופעם אחת ב־x > e2 (שם היא עולה מ־11.08 לאינסוף). בכל חצייה g′ מחליפה סימן ← שלוש נקודות קיצון.
שלוש חציות עם החלפת סימן ← שלוש נקודות קיצון📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
(ב־c = 1.5e2 בדיוק הישר רק נוגע במינימום, g′ לא מחליפה שם סימן, ויש רק נקודת קיצון אחת.)
✅ פתרון סופי: לדוגמה c = 12 (כל c > 1.5e2 ≈ 11.08 מתאים)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ 1 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 1 |
| סעיף א (3) | אין |
| סעיף ב (1) | מינימום (e2 , 1.5e2) |
| סעיף ב (2) | 0 < x < 1 וגם x > e2 |
| סעיף ג | גרף IV |
| סעיף ד (1) | נקודת קיצון אחת – מינימום |
| סעיף ד (2) | לדוגמה c = 12 (כל c > 1.5e2) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il