בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2022 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גאומטרייה; וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה (שלוש שעות וחצי). קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד א'

שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2022 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית וכלל נסיגה

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a1 = 84 , an+1 = an − 2.

א. (1) האם הסדרה הנתונה חשבונית או הנדסית? נמקו את תשובתכם. (2) כתבו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) כתבו את ערכו של האיבר השלילי הראשון בסדרה.

נתון כי סכום האיברים השליליים בסדרה שווה ל־−552.

ג. כמה איברים סך הכול יש בסדרה הנתונה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סוג הסדרה והאיבר הכללי

(1) an+1 − an = −2 – ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם d = −2.
(2)
an = 84 + (n − 1)(−2) = 84 − 2n + 2 = 86 − 2n📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
✅ פתרון סופי: (1) חשבונית , d = −2   (2) an = 86 − 2n

סעיף ב – איברים חיוביים והשלילי הראשון

(1)
86 − 2n > 0  ⟸  n < 43
האיברים a1 עד a42 חיוביים (a43 = 0).
(2) השלילי הראשון הוא a44:
a44 = 86 − 88 = −2
✅ פתרון סופי: (1) 42 איברים   (2) −2

סעיף ג – מספר האיברים

האיברים השליליים: −2 , −4 , −6 , … – סדרה חשבונית עם a1 = −2 , d = −2. נסמן את מספרם k. האחרון: −2k:
k(−2 − 2k)2 = −552📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
−k(1 + k) = −552 ⟸ k² + k − 552 = 0
k = −1 ± √1 + 22082 = −1 ± 472📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
k = 23 (k = −24 נפסל)
סך הכול: 42 חיוביים, האפס a43 ו־23 שליליים:
42 + 1 + 23 = 66
✅ פתרון סופי: 66 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אחשבונית ; an = 86 − 2n
סעיף ב42 ; −2
סעיף ג66
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

חברה להפצת תוכן דיגיטלי בדקה כמה זמן ביום אנשים מאזינים לפודקאסטים (הסכתים) באתר אינטרנט מסוים. על פי הבדיקה, 100,000 אנשים מאזינים לפודקאסטים באתר, וזמן ההאזנה שלהם ביום מתפלג נורמלית. התברר כי זמן ההאזנה הממוצע לאדם הוא 35.65 דקות, וסטיית התקן של זמן ההאזנה היא 15 דקות.

א. מהו אחוז האנשים שמאזינים לפודקאסטים פחות מ־10 דקות ביום?

ב. כמה אנשים מאזינים לפודקאסטים יותר משעה אחת (60 דקות) ביום?

אחרי שינוי בתוכני הפודקאסטים באתר, החברה בדקה שוב את משך זמן ההאזנה של אותם 100,000 אנשים, ומצאה שזמן ההאזנה הממוצע ביום לאדם גדל: הממוצע לאחר השינוי היה 42 דקות. עם זאת, אחוז האנשים שמאזינים לפודקאסטים באתר פחות מ־10 דקות נשאר ללא שינוי.

ג. (1) חשבו את סטיית התקן של זמן ההאזנה לאחר השינוי. (2) פי כמה גדל מספר האנשים שמאזינים לפודקאסטים יותר משעה אחת ביום – לאחר השינוי?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – פחות מ־10 דקות

נחשב את ציון התקן של 10:
z = (10 − 35.65) : 15 = −25.65 : 15 = −1.71📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 1.71. נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)): בשורה 1.7 ובעמודה 0.01 רשום 0.956.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.7 עמודה 0.01
0.956 זה השטח מתחת ל־1.71. בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−1.71 נמצא בדיוק מה שמעל 1.71 – עושים 1 פחות:
1 − 0.956 = 0.044
✅ פתרון סופי: 4.4%

סעיף ב – יותר משעה

ציון התקן של 60:
z = (60 − 35.65) : 15 = 24.35 : 15 ≈ 1.62📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 1.6 ובעמודה 0.02 רשום 0.947, כלומר 94.7% מאזינים פחות משעה.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.6 עמודה 0.02
אנחנו רוצים "יותר משעה" – עושים 1 פחות:
1 − 0.947 = 0.053
0.053 · 100000 = 5300📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 5,300 אנשים

סעיף ג – אחרי השינוי

(1) האחוז מתחת ל־10 לא השתנה, לכן ציון התקן של 10 נשאר −1.71:
−1.71 = (10 − 42) : S = −32 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 32 : 1.71 ≈ 18.71
(2) ציון התקן של 60 אחרי השינוי:
z = (60 − 42) : 18.71 = 18 : 18.71 ≈ 0.96
בטבלה: בשורה 0.9 ובעמודה 0.06 רשום 0.831.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.06
יותר משעה – עושים 1 פחות: 1 − 0.831 = 0.169, כלומר 0.169 · 100000 = 16900 אנשים.
16900 : 5300 ≈ 3.2
✅ פתרון סופי: (1) S ≈ 18.71   (2) פי 3.2 בערך

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א4.4%
סעיף ב5,300
סעיף גS ≈ 18.71 ; פי 3.2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: שלבי מיון

📄 נוסח השאלה

חברה מסוימת מיינה מועמדים לעבודה בחברה. כדי להתקבל לעבודה בחברה, המועמדים צריכים לעבור בהצלחה את שלושת שלבי המיון. מי שלא עבר בהצלחה את השלב הראשון, לא המשיך לשלב השני, ומי שלא עבר בהצלחה את השלב השני, לא המשיך לשלב השלישי. שלבי המיון היו: שלב ראשון – מבחן התאמה; שלב שני – ריאיון אישי; שלב שלישי – סדנה קבוצתית. כל המועמדים שעברו בהצלחה את כל שלושת השלבים התקבלו לעבודה בחברה.

נתון: 75% מן המועמדים עברו בהצלחה את מבחן ההתאמה. 50% מן המועמדים שעברו בהצלחה את מבחן ההתאמה, עברו בהצלחה את הריאיון האישי. 40% מן המועמדים שעברו בהצלחה את הריאיון האישי, עברו בהצלחה את הסדנה הקבוצתית.

א. בחרו באקראי מועמד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לעבודה בחברה?

ב. נטע וגלי השתתפו במיונים האלה. מהי ההסתברות שלכל היותר אחת מהן התקבלה לעבודה בחברה?

ג. גם עדי השתתפה במיונים. מהי ההסתברות שהיא עברה בהצלחה את הריאיון האישי, אם ידוע שהיא לא התקבלה לעבודה בחברה?

ד. ידוע כי 170 מועמדים מבין כל המועמדים לא התקבלו לעבודה בחברה. כמה מועמדים התקבלו לעבודה בחברה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – התקבל לעבודה

P = 0.75 · 0.5 · 0.4 = 0.15📐 כלל הכפל (מותנה)כופלים לאורך הענף בעץ
✅ פתרון סופי: 0.15

סעיף ב – לכל היותר אחת

המשלים: שתיהן התקבלו:
0.15 · 0.15 = 0.0225
1 − 0.0225 = 0.9775📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
✅ פתרון סופי: 0.9775

סעיף ג – עברה ריאיון, בידיעה שלא התקבלה

עברה ריאיון ולא התקבלה = עברה ריאיון ונכשלה בסדנה:
0.75 · 0.5 · 0.6 = 0.225
לא התקבלה: 1 − 0.15 = 0.85
P = 0.2250.85 = 934 ≈ 0.265📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 934 ≈ 0.265

סעיף ד – כמה התקבלו

85% לא התקבלו, וזה 170 מועמדים. נסמן את מספר המועמדים N:
0.85N = 170  ⟸  N = 200
0.15 · 200 = 30
✅ פתרון סופי: 30 מועמדים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.15
סעיף ב0.9775
סעיף ג934
סעיף ד30
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מעגל: מרובע חסום

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD שלפניכם חסום במעגל (ראו סרטוט). נתון: ∢A = ∢C.

א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל.

נתון: B(0 , 12) , D(0 , 2).

ב. מצאו את משוואת המעגל.

נתון כי שיפוע הצלע BC הוא −12.

ג. (1) מצאו את משוואת הצלע DC. (2) מצאו את שיעורי הנקודה C.

נתון כי הנקודה E היא אמצע הצלע DC.

ד. חשבו את שטח המשולש BCE.

ה. (1) חשבו את גודל הזווית BEC. (2) חשבו את גודל הזווית DBE.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – BD קוטר

∢A + ∢C = 180📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
ונתון ∢A = ∢C, לכן ∢A = ∢C = 90.
∢BCD = 90 היא זווית היקפית הנשענת על BD, ולכן BD קוטר.📐 זווית היקפית של 90נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: BD קוטר

סעיף ב – משוואת המעגל

M = (0 , 12 + 22) = (0 , 7) , R = 12 − 22 = 5📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
x² + (y − 7)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: x² + (y − 7)² = 25

סעיף ג – DC והנקודה C

(1) ∢BCD = 90, לכן DC ⊥ BC:
−12 · mDC = −1 ⟸ mDC = 2📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y = 2x + 2 (דרך D(0 , 2))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) הישר BC דרך B(0 , 12): y = −12x + 12. חיתוך:
2x + 2 = −12x + 12 ⟸ 2.5x = 10 ⟸ x = 4
y = 2 · 4 + 2 = 10 ← C(4 , 10)
✅ פתרון סופי: (1) y = 2x + 2   (2) C(4 , 10)

סעיף ד – שטח המשולש BCE

E = (0 + 42 , 2 + 102) = (2 , 6)📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
BC = √4² + 2² = √20   ,   CE = √2² + 4² = √20📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
S = √20 · √202 = 202 = 10📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
✅ פתרון סופי: 10

סעיף ה – הזוויות

(1) במשולש ישר הזווית BCE (∢C = 90):
tan∢BEC = BCCE = √20√20 = 1 ⟸ ∢BEC = 45📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
(2) ∢DBE = ∢DBC − ∢EBC. במשולש BCE: ∢EBC = 90 − 45 = 45.
DC = √4² + 8² = √80
במשולש BCD: tan∢DBC = DCBC = √80√20 = 2 ⟸ ∢DBC ≈ 63.43
∢DBE = 63.43 − 45 = 18.43
✅ פתרון סופי: (1) 45 מעלות   (2) ≈ 18.43 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אBD קוטר
סעיף בx² + (y − 7)² = 25
סעיף גy = 2x + 2 ; C(4 , 10)
סעיף ד10
סעיף ה45 ; 18.43
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ריבוע במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

נתון ריבוע ABCD. הצלע AB עוברת דרך ראשית הצירים O. הצלע AD חותכת את ציר ה־y בנקודה E. הקודקוד C מונח על ציר ה־x (ראו סרטוט).

א. (1) הוכיחו: ∢AEO = ∢BOC. (2) הוכיחו: △OAE ∼ △CBO.

נתון: הנקודה O היא אמצע הצלע AB.

ב. מצאו את היחס BOAE.

נתון: E(0 , −5).

ג. מצאו את אורך הקטע OC ואת שיעורי הנקודה C.

נתון: שיפוע הצלע BC הוא −12.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ה. מצאו את שטח הריבוע ABCD.

ו. האם מתקיים ∢BCO = ∢OCE? נמקו.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – זוויות ודמיון

(1) במשולש OAE ∢A = 90 (זווית של ריבוע), לכן:
∢AEO = 90 − ∢AOE📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
על הישר AB בנקודה O: ∢AOE + ∢EOC + ∢COB = 180, ו־∢EOC = 90 (בין הצירים):
∢BOC = 90 − ∢AOE
לכן ∢AEO = ∢BOC.
(2) ∢OAE = ∢CBO = 90 (זוויות ריבוע), ו־∢AEO = ∢BOC:
△OAE ∼ △CBO📐 משפט דמיוןז.ז
✅ פתרון סופי: ∢AEO = ∢BOC ; דמיון ז.ז

סעיף ב – היחס BO / AE

נסמן את צלע הריבוע a. O אמצע AB, לכן OA = BO = a2 ו־CB = a.
OACB = AEBO📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה
a2a = 12 = AEBO
BOAE = 2
✅ פתרון סופי: BOAE = 2

סעיף ג – OC והנקודה C

היתרים המתאימים: OE (במשולש OAE) ו־CO (במשולש CBO). יחס הדמיון 12:
OECO = 12 ⟸ CO = 2 · 5 = 10
C על החלק החיובי של ציר ה־x (לפי הסרטוט): C(10 , 0).
✅ פתרון סופי: OC = 10 , C(10 , 0)

סעיף ד – הנקודה B

BC:   y − 0 = −12(x − 10) ⟸ y = −12x + 5📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
AB ⊥ BC ⟸ mAB = 2 ⟸ y = 2x (דרך O)📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
2x = −12x + 5 ⟸ 2.5x = 5 ⟸ x = 2
y = 4 ← B(2 , 4)
✅ פתרון סופי: B(2 , 4)

סעיף ה – שטח הריבוע

BC = √(10 − 2)² + (0 − 4)² = √80📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
S = BC² = 80📐 שטח ריבועS = a²
✅ פתרון סופי: 80

סעיף ו – האם ∢BCO = ∢OCE

במשולש OBC (∢B = 90): BO = √2² + 4² = √20 , tan∢BCO = √20√80 = 12📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
במשולש OCE (∢O = 90): tan∢OCE = OEOC = 510 = 12
לשתי הזוויות החדות אותו טנגנס, ולכן הן שוות (כ־26.57 מעלות).
✅ פתרון סופי: כן

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אדמיון ז.ז
סעיף ב2
סעיף גOC = 10 , C(10 , 0)
סעיף דB(2 , 4)
סעיף ה80
סעיף וכן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x² − 1x² − 1.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) + k, k הוא פרמטר. נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x) היא y = 1.

ד. (1) מצאו את k. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), ומהו סוגה?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום, אסימפטוטות וחיתוכים

(1)
x² − 1 ≠ 0  ⟸  x ≠ ±1📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
(2) ב־x = ±1 המונה 4 − 1 = 3 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות x = 1 , x = −1.
אופקית: חזקות שוות במונה ובמכנה: y = 41 = 4.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
(3) ציר ה־y: f(0) = −1−1 = 1 ← (0 , 1). ציר ה־x:
4x² − 1 = 0 ⟸ x² = 14 ⟸ x = ±12
✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ±1 (2) x = ±1 , y = 4 (3) (0 , 1) , (±0.5 , 0)

סעיף ב – נקודת קיצון

f′(x) = 8x(x² − 1) − (4x² − 1) · 2x(x² − 1)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
המונה: 8x³ − 8x − 8x³ + 2x = −6x
f′(x) = −6x(x² − 1)²
−6x = 0  ⟸  x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
xx < −1−1−1 < x < 000 < x < 11x > 1
f′+✕+0−✕−
f↗✕↗מקס׳↘✕↘
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 1)

סעיף ג – סקיצה

אסימפטוטות x = ±1 , y = 4. בין −1 ל־1 "כיפה" עם מקסימום (0 , 1); בצדדים הגרף מעל y = 4.
xyx=-1x=1y=4(0 , 1)(-0.5 , 0)(0.5 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ד – הפונקציה g(x)

(1) f → 4, לכן g → −4 + k:
−4 + k = 1  ⟸  k = 5
(2) g = −f + 5 – שיקוף של f סביב ציר ה־x והזזה ב־5 למעלה. השיקוף הופך מקסימום למינימום:
g(0) = −1 + 5 = 4
g′(x) = −f′(x) = 6x(x² − 1)² – שלילית משמאל ל־0 וחיובית מימין ← מינימום.📐 נגזרת(−f + k)′ = −f′
✅ פתרון סופי: (1) k = 5   (2) מינימום (0 , 4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ ±1 ; x = ±1 , y = 4 ; (0 , 1) , (±0.5 , 0)
סעיף במקסימום (0 , 1)
סעיף דk = 5 ; מינימום (0 , 4)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x − 2 · √x + a, a הוא פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר ה־x בנקודה (6 , 0).

א. הראו כי a = 3.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את הקביעה.

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – a = 3

0 = 6 − 2√6 + a ⟸ √6 + a = 3
מעלים בריבוע:
6 + a = 9  ⟸  a = 3
✅ פתרון סופי: a = 3 ✓

סעיף ב – תחום הגדרה

x + 3 ≥ 0  ⟸  x ≥ −3📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ −3

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = 1 − 2 · 12√x + 3 = 1 − 1√x + 3📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
1√x + 3 = 1 ⟸ √x + 3 = 1 ⟸ x = −2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(−2) = −2 − 2 · 1 = −4
הצבות: f′(−2.75) = 1 − 2 < 0 , f′(1) = 1 − 12 > 0:
x−3−3 < x < −2−2x > −2
f′✕−0+
fמקס׳ קצה↘מינ׳↗
קצה התחום: f(−3) = −3 − 0 = −3 – לפני ירידה ← מקסימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מינימום (−2 , −4) , מקסימום קצה (−3 , −3)

סעיף ד – סקיצה

מ־(−3 , −3) יורדת למינימום (−2 , −4), עולה דרך (0 , −3.46) ו־(6 , 0):
xy(-2 , -4)(-3 , -3)(6 , 0)(0 , -3.46)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

כש־x → −3 המכנה √x + 3 → 0 ולכן f′ → −∞ – אסימפטוטה אנכית משמאל לציר ה־y. f′ מתאפסת ב־x = −2 (משמאל לציר ה־y), חיובית אחר כך ומתקרבת ל־1.
גרף II מתאים: עולה מ־−∞ ליד אסימפטוטה משמאל, חותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y ומתקרב לקבוע.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ו – השטח

השטח בין x = −2 (שם f′ חותכת את ציר ה־x) ל־x = 1, שם f′ > 0:
S = ∫−21 f′(x) dx = f(1) − f(−2)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(1) = 1 − 2√4 = −3
S = −3 − (−4) = 1
✅ פתרון סופי: S = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אa = 3
סעיף בx ≥ −3
סעיף גמינ׳ (−2 , −4) , מקס׳ קצה (−3 , −3)
סעיף הגרף II
סעיף ו1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – חקירה לפי גרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. בסרטוט מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x). פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x = −2 , x = 0 , x = 2 בלבד.

א. הסתמכו על הסרטוט וקבעו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) ואת סוגן.

S הוא השטח הנמצא ברביע הרביעי ומוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x. נתון: S = 8 , f(2) = 312.

ב. מצאו את f(0).

נתון: f(−2) = f(2). לפונקציה f(x) אין אסימפטוטה אופקית.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. בעבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה f(x) ב־2 נקודות שונות בדיוק? נמקו.

גרף הנגזרת לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודות קיצון

מהסרטוט: f′ < 0 ל־x < −2, f′ > 0 בין −2 ל־0, f′ < 0 בין 0 ל־2, ו־f′ > 0 ל־x > 2.
xx < −2−2−2 < x < 000 < x < 22x > 2
f′−0+0−0+
f↘מינ׳↗מקס׳↘מינ׳↗
לפי החלפת הסימן:📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום x = −2 , x = 2 ; מקסימום x = 0

סעיף ב – f(0)

ברביע הרביעי f′ < 0 – זה בין 0 ל־2:
S = −∫02 f′(x) dx = −[f(2) − f(0)] = f(0) − f(2)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
8 = f(0) − 3.5 ⟸ f(0) = 11.5
✅ פתרון סופי: f(0) = 11.5

סעיף ג – סקיצה

מינימום (−2 , 3.5) ו־(2 , 3.5), מקסימום (0 , 11.5). אין אסימפטוטה אופקית, והפונקציה עולה ל־+∞ בשני הצדדים. (הסקיצה – צורה בלבד.)
xy(-2 , 3.5)(2 , 3.5)(0 , 11.5)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ד – ערכי k

ישר אופקי y = k:
k < 3.5 – אין חיתוך.
k = 3.5 – נוגע בשני המינימומים: 2 נקודות.
3.5 < k < 11.5 – 4 נקודות.
k = 11.5 – 3 נקודות (כולל המקסימום).
k > 11.5 – נקודה אחת בכל צד: 2 נקודות.
✅ פתרון סופי: k = 3.5 או k > 11.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אמינ׳ x = ±2 , מקס׳ x = 0
סעיף בf(0) = 11.5
סעיף דk = 3.5 או k > 11.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות