בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2023

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גאומטרייה; וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה (שלוש שעות וחצי). קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2023

שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2023 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה הנדסית

📄 נוסח השאלה

יוסי רץ במסלול מסוים. בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים. בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. בתשובותיכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

א. (1) מהו המרחק שרץ יוסי במשך הדקה הרביעית? (2) מהו המרחק הכולל שרץ יוסי במשך ארבע הדקות הראשונות של הריצה?

ב. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n הדקות הראשונות של הריצה.

ג. יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים סך הכול, אך לרשותו עומדות 25 דקות בלבד לעשות זאת. הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.

ד. דני רץ באותו המסלול. בדקה הראשונה הוא רץ מרחק מסוים. גם הוא רץ בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור מרחק של 2,500 מטרים ב־25 דקות.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הדקה הרביעית וארבע הדקות

המרחקים בכל דקה הם סדרה הנדסית: a1 = 75 , q = 1.02.
a4 = 75 · 1.02³ = 75 · 1.061208 ≈ 79.59📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
(2) S4 = 75(1.02⁴ − 1)1.02 − 1 = 75 · 0.082430.02 ≈ 309.12
✅ פתרון סופי: (1) 79.59 מטר   (2) 309.12 מטר

סעיף ב – נוסחה ל־n דקות

Sn = 75(1.02ⁿ − 1)0.02 = 3750(1.02ⁿ − 1)📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
✅ פתרון סופי: Sn = 3750(1.02ⁿ − 1)

סעיף ג – למה לא 2,500 ב־25 דקות

1.02²⁵ ≈ 1.64061
S25 = 3750(1.64061 − 1) = 3750 · 0.64061 ≈ 2402.27
ב־25 דקות יוסי עובר רק כ־2402 מטרים, פחות מ־2500.
✅ פתרון סופי: S25 ≈ 2402.27 < 2500 – לא יצליח

סעיף ד – המרחק המינימלי בדקה הראשונה

נסמן את המרחק של דני בדקה הראשונה a1. צריך S25 ≥ 2500. הקטן ביותר – כשמתקבל בדיוק 2500:
a1(1.02²⁵ − 1)0.02 = 2500📐 סדרה הנדסיתan = a1 · qn−1Sn = a1(qⁿ − 1)q − 1
a1 · 0.64061 = 50
a1 = 500.64061 ≈ 78.05
✅ פתרון סופי: ≈ 78.05 מטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א79.59 ; 309.12
סעיף בSn = 3750(1.02ⁿ − 1)
סעיף ג≈ 2402.27 < 2500
סעיף ד≈ 78.05 מטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

במטע דובדבנים גדול בדקו כמה קילוגרם דובדבנים מניב כל עץ בשנה רגילה. המשקל הממוצע של הדובדבנים שמניב עץ במטע הוא 40 ק"ג. ההתפלגות של משקל הדובדבנים שמניב כל אחד מן העצים במטע היא נורמלית.

א. מהו החציון של משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע?

נתון: אחוז העצים במטע שמניבים פחות מ־30 ק"ג דובדבנים בשנה הוא 18.1%.

ב. מהי סטיית התקן? בתשובתכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

במטע יש 300 עצי דובדבן. בעבור העצים במטע שמניבים יותר מ־55 ק"ג דובדבנים מתבצע סבב קטיף נוסף.

ג. בעבור כמה עצים במטע (בקירוב) מתבצע סבב קטיף נוסף?

ד. בשנה מסוימת ירד הממוצע של משקל הדובדבנים שהניבו העצים במטע ב־20% לעומת שנה רגילה, וסטיית התקן לא השתנתה. כמה עצים במטע (בקירוב) הניבו יותר מ־55 ק"ג דובדבנים בשנה זו?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – החציון

בהתפלגות נורמלית הגרף סימטרי סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע.📐 התפלגות נורמליתממוצע = חציון = שכיח
✅ פתרון סופי: 40 ק"ג

סעיף ב – סטיית התקן

18.1% מתחת ל־30, כלומר 30 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציונים חיוביים, אז מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.181 = 0.819.
נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.819: הוא נמצא בשורה 0.9 ובעמודה 0.01, כלומר ציון התקן הוא 0.91, ושל 30 הוא −0.91.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.01
−0.91 = (30 − 40) : S = −10 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 10 : 0.91 ≈ 10.99
✅ פתרון סופי: S ≈ 10.99 ק"ג

סעיף ג – סבב קטיף נוסף

נחשב את ציון התקן של 55:
z = (55 − 40) : 10.99 = 15 : 10.99 ≈ 1.36📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה: בשורה 1.3 ובעמודה 0.06 רשום 0.913, כלומר 91.3% מהעצים מניבים פחות מ־55 ק"ג.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.3 עמודה 0.06
אנחנו רוצים "יותר מ־55" – עושים 1 פחות:
1 − 0.913 = 0.087
0.087 · 300 ≈ 26📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: כ־26 עצים

סעיף ד – שנה עם ממוצע נמוך

הממוצע החדש: 40 · 0.8 = 32 ק"ג, וסטיית התקן נשארת 10.99.
z = (55 − 32) : 10.99 = 23 : 10.99 ≈ 2.09📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 2.0 ובעמודה 0.09 רשום 0.982.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.0 עמודה 0.09
יותר מ־55 – עושים 1 פחות: 1 − 0.982 = 0.018.
0.018 · 300 ≈ 5.4
✅ פתרון סופי: כ־5 עצים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א40
סעיף בS ≈ 10.99
סעיף גכ־26
סעיף דכ־5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: הוצאה ללא החזרה

📄 נוסח השאלה

בקופה יש 36 מטבעות: 18 מטבעות של שני שקלים, 12 מטבעות של חמישה שקלים, ו־6 מטבעות של עשרה שקלים. הוציאו מן הקופה באקראי שני מטבעות ללא החזרה.

א. מהי ההסתברות ששני המטבעות שהוציאו היו זהים?

ב. ידוע ששני המטבעות שהוציאו היו זהים. מהי ההסתברות שהסכום של שני המטבעות שהוציאו היה גבוה מ־5 שקלים?

החזירו את כל המטבעות לקופה והוסיפו x מטבעות של עשרה שקלים לקופה. נתון: לאחר ההוספה, ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי ללא החזרה שני מטבעות של חמישה שקלים היא 115.

ג. מצאו את x.

ד. האם ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי (ללא החזרה) שני מטבעות זהים גדלה לאחר ההוספה, קטנה או נשארה ללא שינוי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני מטבעות זהים

שני של 2: 1836 · 1735 = 3061260📐 ללא החזרהבמשיכה השנייה יש מטבע אחד פחות
שני של 5: 1236 · 1135 = 1321260
שני של 10: 636 · 535 = 301260
יחד: 306 + 132 + 301260 = 4681260 = 1335 ≈ 0.371
✅ פתרון סופי: 1335 ≈ 0.371

סעיף ב – סכום גבוה מ־5, בידיעה שזהים

שני מטבעות זהים עם סכום מעל 5: שני של 5 (סכום 10) או שני של 10 (סכום 20). שני של 2 נותנים 4 – לא.
P = 132 + 30468 = 162468 = 926 ≈ 0.346📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 926 ≈ 0.346

סעיף ג – מספר המטבעות שהוסיפו

אחרי ההוספה יש 36 + x מטבעות, מתוכם 12 של חמישה שקלים:
1236 + x · 1135 + x = 115
כופלים בהצלבה:
(36 + x)(35 + x) = 15 · 132 = 1980
x² + 71x + 1260 = 1980 ⟸ x² + 71x − 720 = 0
x = −71 ± √5041 + 28802 = −71 ± 892📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 9 (הפתרון x = −80 נפסל)
✅ פתרון סופי: x = 9

סעיף ד – האם ההסתברות לזהים השתנתה

עכשיו 45 מטבעות: 18 של 2, 12 של 5, 15 של 10:
P = 18 · 17 + 12 · 11 + 15 · 1445 · 44 = 306 + 132 + 2101980 = 6481980 ≈ 0.327
לפני ההוספה: 1335 ≈ 0.371. 0.327 < 0.371.
✅ פתרון סופי: ההסתברות קטנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א1335
סעיף ב926
סעיף גx = 9
סעיף דקטנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: משולש ישר זווית ודמיון

📄 נוסח השאלה

במשולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90) הקודקוד B מונח על ציר ה־x והקודקוד A מונח על ציר ה־y. מן הקודקוד C העבירו אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה D (ראו סרטוט). הנקודה O היא ראשית הצירים.

א. הוכיחו: △AOB ∼ △BDC.

נתון: CDOB = 52. משוואת הצלע AB היא y = −23x + 4.

ב. (1) מצאו את אורכי הקטעים OB ו־CD. (2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.

ג. (1) מצאו את גודל הזווית BAC. (2) מצאו את גודל הזווית ACD.

ד. האם אפשר לחסום את המרובע ABDC במעגל? נמקו.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢AOB = ∢BDC = 90 (הצירים מאונכים, CD אנך לציר ה־x).
2. על ציר ה־x בנקודה B: ∢ABO + ∢ABC + ∢CBD = 180, ו־∢ABC = 90, לכן ∢ABO + ∢CBD = 90.
3. במשולש AOB: ∢OAB + ∢ABO = 90. לכן ∢OAB = ∢CBD.📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
4. △AOB ∼ △BDC📐 משפט דמיוןז.ז
✅ פתרון סופי: △AOB ∼ △BDC לפי ז.ז

סעיף ב – אורכים ונקודות

(1) A על ציר ה־y: A(0 , 4). B על ציר ה־x:
0 = −23x + 4  ⟸  x = 6 ← B(6 , 0) , OB = 6
CD = 52 · 6 = 15
(2) מהדמיון (צלעות מתאימות: AO ↔ BD , OB ↔ DC):
AOBD = OBDC ⟸ 4BD = 615📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה
BD = 4 · 156 = 10
xD = 6 + 10 = 16 ← D(16 , 0) , C(16 , 15)
✅ פתרון סופי: (1) OB = 6 , CD = 15   (2) D(16 , 0) , C(16 , 15)

סעיף ג – הזוויות

AB = √6² + 4² = √52📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
BC = √10² + 15² = √325
(1) במשולש ישר הזווית ABC:
tan∢BAC = BCAB = √325√52 = √6.25 = 2.5📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢BAC ≈ 68.2
(2) ∢ACD = ∢ACB + ∢BCD.
∢ACB = 180 − 90 − 68.2 = 21.8📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
במשולש BDC: tan∢BCD = BDCD = 1015 ⟸ ∢BCD ≈ 33.69
∢ACD = 21.8 + 33.69 = 55.49
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 68.2 מעלות   (2) ≈ 55.49 מעלות

סעיף ד – חסימה במעגל

במרובע ABDC הזוויות הנגדיות הן ב־A וב־D:
∢BAC + ∢BDC = 68.2 + 90 = 158.2 ≠ 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
✅ פתרון סופי: לא – סכום הזוויות הנגדיות אינו 180

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אדמיון ז.ז
סעיף בOB = 6 , CD = 15 ; D(16 , 0) , C(16 , 15)
סעיף ג68.2 ; 55.49
סעיף דלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – מציאת משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל ומקבילית

📄 נוסח השאלה

מעגל שמרכזו M משיק לציר ה־x בנקודה E. המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C, כמתואר בסרטוט. הנקודה A נמצאת על המשך ME, כמתואר בסרטוט.

א. (1) הסבירו מדוע MA מקביל לציר ה־y. (2) הוכיחו: ∢CBM = ∢BMA.

נתון: אורך הקטע AB שווה לרדיוס המעגל.

ב. (1) הוכיחו: ∢CMB = ∢MBA. (2) הוכיחו: המרובע ABCM הוא מקבילית.

נתון: M(3 , 5).

ג. (1) מצאו את משוואת המעגל. (2) מצאו את שיעורי הנקודות B ו־C. (3) מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד. חשבו את שטח המקבילית ABCM.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – MA מקביל לציר y

(1) ME ⊥ ציר ה־x (המעגל משיק לציר ה־x ב־E), וגם ציר ה־y מאונך לציר ה־x. שני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים. A על המשך ME, לכן MA ∥ ציר ה־y.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
(2) BC על ציר ה־y, ולכן BC ∥ MA. ∢CBM ו־∢BMA מתחלפות (חותך BM).📐 זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים הן שוות
✅ פתרון סופי: ∢CBM = ∢BMA

סעיף ב – מקבילית

(1) MB = MC (רדיוסים) ← במשולש MBC: ∢MCB = ∢MBC.
AB = MB (נתון: AB שווה לרדיוס) ← במשולש ABM: ∢BAM = ∢BMA.
לפי סעיף א ∢MBC = ∢BMA, ולכן לשני המשולשים השווי־שוקיים זוויות בסיס שוות. זווית הראש בכל אחד:
∢CMB = 180 − 2∢MBC = 180 − 2∢BMA = ∢MBA📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוותסכום הזוויות 180
(2) ∢CMB = ∢MBA הן זוויות מתחלפות בין MC ל־BA (חותך MB), ולכן MC ∥ BA. מסעיף א MA ∥ BC.
שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ← ABCM מקבילית.📐 מקביליתשני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
✅ פתרון סופי: ABCM מקבילית

סעיף ג – המעגל והנקודות

(1) המעגל משיק לציר ה־x, לכן הרדיוס הוא המרחק של M(3 , 5) מציר ה־x: R = 5.
(x − 3)² + (y − 5)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
(2) על ציר ה־y x = 0:
9 + (y − 5)² = 25 ⟸ (y − 5)² = 16
y = 9  או  y = 1
לפי הסרטוט C למעלה: C(0 , 9) , B(0 , 1).
(3) A על הישר x = 3 מתחת ל־E(3 , 0): A(3 , a) עם AB = 5:
(3 − 0)² + (a − 1)² = 25📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
(a − 1)² = 16 ⟸ a = 5  או  a = −3
a = 5 זו M עצמה, ולכן A(3 , −3).
✅ פתרון סופי: (1) (x − 3)² + (y − 5)² = 25   (2) B(0 , 1) , C(0 , 9)   (3) A(3 , −3)

סעיף ד – שטח המקבילית

הבסיס BC על ציר ה־y: BC = 9 − 1 = 8. הגובה – המרחק בין BC (ציר ה־y) לבין MA (הישר x = 3): 3.
S = 8 · 3 = 24📐 שטח מקביליתS = a · h
✅ פתרון סופי: 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אMA ∥ ציר y ; זוויות מתחלפות
סעיף במקבילית
סעיף ג(x − 3)² + (y − 5)² = 25 ; B(0 , 1) , C(0 , 9) ; A(3 , −3)
סעיף ד24
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 35 – מציאת משוואת מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 5xx² + 4 + 1.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 2 · f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת g′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת g′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי הצירים.

הגרפים I–IV לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום ואסימפטוטות

(1) x² + 4 ≥ 4 > 0 – המכנה אף פעם לא 0.
(2) אין אסימפטוטה אנכית (המכנה לא מתאפס).
השבר שואף ל־0 (חזקה במונה קטנה מבמכנה), ולכן f(x) → 0 + 1 = 1.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0
✅ פתרון סופי: (1) כל x   (2) y = 1 (אין אנכית)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 + 1 = 1 ← (0 , 1).
ציר ה־x:
5xx² + 4 = −1
כופלים במכנה:
5x = −x² − 4 ⟸ x² + 5x + 4 = 0
(x + 1)(x + 4) = 0 ⟸ x = −1  או  x = −4
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (−1 , 0) , (−4 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = 5(x² + 4) − 5x · 2x(x² + 4)² = 20 − 5x²(x² + 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
20 − 5x² = 0 ⟸ x² = 4 ⟸ x = ±2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(2) = 108 + 1 = 2.25 , f(−2) = −108 + 1 = −0.25
המכנה חיובי; הסימן לפי 20 − 5x² (חיובי בין −2 ל־2):
xx < −2−2−2 < x < 22x > 2
f′−0+0−
f↘מינ׳↗מקס׳↘
✅ פתרון סופי: מינימום (−2 , −0.25) , מקסימום (2 , 2.25)

סעיף ד – סקיצה

אסימפטוטה y = 1, מינימום (−2 , −0.25), מקסימום (2 , 2.25):
xyy=1(2 , 2.25)(-2 , -0.25)(0 , 1)(-1 , 0)(-4 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא g′(x)

g′(x) = 2f′(x) = 10(4 − x²)(x² + 4)²📐 נגזרת של פונקציה כפול מספר(k · f)′ = k · f′
g′(0) = 4016 = 2.5 > 0. g′ חיובית בין −2 ל־2, שלילית מחוץ לתחום הזה, ושואפת ל־0 בשני הקצוות. היא גם סימטרית לציר ה־y (יש בה רק x²).
רק בגרף III יש שיא חיובי על ציר ה־y עם ירידה מתחת לציר ה־x בשני הצדדים. גרף II שלילי ב־0, וגרפים I ו־IV אינם סימטריים.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־1 g′ > 0 (מעל ציר ה־x):
S = ∫01 g′(x) dx = g(1) − g(0)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
g(1) = 2f(1) = 2(1 + 1) = 4   ,   g(0) = 2f(0) = 2
S = 4 − 2 = 2
✅ פתרון סופי: S = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אכל x ; y = 1
סעיף ב(0 , 1) , (−1 , 0) , (−4 , 0)
סעיף גמינ׳ (−2 , −0.25) , מקס׳ (2 , 2.25)
סעיף הגרף III
סעיף ו2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √4x + 20.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר. נתון כי הישר y = 12 משיק לגרף הפונקציה g(x).

ה. מצאו את c (ציינו את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

4x + 20 ≥ 0  ⟸  x ≥ −5📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ −5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0).
ציר ה־x: x² = 0  ⟸  x = 0 או √4x + 20 = 0  ⟸  x = −5.
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−5 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = 4x + 20, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = 4:
(√u)′ = 42√u = 2√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2x · √u + 2x²√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף √u:
f′(x) = 2x · u + 2x²√u
מציבים u = 4x + 20 במונה:
2x(4x + 20) + 2x² = 8x² + 40x + 2x² = 10x² + 40x = 10x(x + 4)
f′(x) = 10x(x + 4)√4x + 20
10x(x + 4) = 0 ⟸ x = 0  או  x = −4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(−4) = 16 · √−16 + 20 = 16 · 2 = 32
הצבות: f′(−4.5) > 0 , f′(−1) < 0 , f′(1) > 0.
x−5−5 < x < −4−4−4 < x < 00x > 0
f′✕+0−0+
fמינ׳ קצה↗מקס׳↘מינ׳↗
קצה התחום x = −5: f(−5) = 0, ואחריו הפונקציה עולה – מינימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מקסימום (−4 , 32) , מינימום (0 , 0) , מינימום קצה (−5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מתחילה ב־(−5 , 0), עולה עד (−4 , 32), יורדת עד (0 , 0) ועולה בלי הגבלה:
xy(-4 , 32)(0 , 0)(-5 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפרמטר c

g(x) = f(x) + c היא הזזה של f ב־c למעלה או למטה. הישר האופקי y = 12 משיק בנקודת קיצון פנימית: x = −4 או x = 0:
ב־x = −4: 32 + c = 12  ⟸  c = −20
ב־x = 0: 0 + c = 12  ⟸  c = 12
✅ פתרון סופי: c = −20 או c = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ −5
סעיף ב(0 , 0) , (−5 , 0)
סעיף גמקס׳ (−4 , 32) , מינ׳ (0 , 0) , מינ׳ קצה (−5 , 0)
סעיף הc = −20 או c = 12
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – חקירה לפי גרף הנגזרת ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x). נתון: פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות x = −3 , x = 0 , x = 3 בלבד, כמתואר בסרטוט.

א. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (2) מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), ומהו סוגן? נמקו.

ב. אחד מן הגרפים I–III (בתמונה השנייה למטה) מתאר את גרף הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר דרך ראשית הצירים. נסמן ב־S1 את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר x = −3 ועל ידי ציר ה־x בתחום −3 ≤ x ≤ 0. נסמן ב־S2 את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר x = 3 ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ 3.

ג. האם מתקיים S1 + S2 = ∫−33 f(x) dx? נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 4).

ד. מה הם שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), ומהו סוגן? נמקו.

גרף הנגזרת לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8
הגרפים I–III לשאלה 8

סעיף א – עלייה, ירידה וקיצון

(1) מהגרף: f′ < 0 ל־x < −3, f′ > 0 בין −3 ל־3 (ב־0 רק נוגעת בציר), ו־f′ < 0 ל־x > 3.
xx < −3−3−3 < x < 000 < x < 33x > 3
f′−0+0+0−
f↘מינ׳↗—↗מקס׳↘
(2) ב־x = −3 הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ← מינימום. ב־x = 3 מ־+ ל־− ← מקסימום. ב־x = 0 אין החלפת סימן ← לא קיצון.📐 סוג הקיצון לפי הנגזרתמ־+ ל־− ← מקסימוםמ־− ל־+ ← מינימום
✅ פתרון סופי: יורדת x < −3 , x > 3 ; עולה −3 < x < 3 ; מינ׳ x = −3 , מקס׳ x = 3

סעיף ב – איזה גרף

צריך: יורד עד מינימום ב־−3, עולה (עם נקודה שטוחה ב־0) עד מקסימום ב־3, ואז יורד.
גרף III מתאים. בגרף II הסדר הפוך (מקסימום משמאל, מינימום מימין), ובגרף I יש שני מינימומים.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ג – האם הסכום שווה לאינטגרל

f(0) = 0 ו־f עולה בין −3 ל־3. לכן ב־−3 ≤ x < 0 f(x) < 0 (מתחת לציר), וב־0 < x ≤ 3 f(x) > 0.
∫−33 f(x) dx = −S1 + S2📐 אינטגרל ושטחשטח מתחת לציר נספר במינוס
−S1 + S2 ≠ S1 + S2 (כי S1 > 0)
✅ פתרון סופי: לא – האינטגרל שווה ל־S2 − S1

סעיף ד – הקיצון של g(x)

g(x) = f(x − 4) הוא הגרף של f מוזז 4 יחידות ימינה.📐 הזזה ימינהf(x − k) ← הזזה ב־k ימינה
המינימום: −3 + 4 = 1 ; המקסימום: 3 + 4 = 7.
✅ פתרון סופי: מינימום x = 1 , מקסימום x = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אמינ׳ x = −3 , מקס׳ x = 3
סעיף בגרף III
סעיף גלא
סעיף דמינ׳ x = 1 , מקס׳ x = 7
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות