בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2022 (ינואר)

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גאומטרייה; וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה (שלוש שעות וחצי). קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 (ינואר)

שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (ינואר) – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית: תשלומים

📄 נוסח השאלה

יוסי רוצה לקנות אופנוע. מחיר האופנוע הוא 43,650 שקלים. הוא מתלבט בין שתי הצעות שהוצעו לו לשלם בעבור האופנוע בתשלומים.

הצעה ראשונה: התשלומים שונים זה מזה. כל תשלום (מלבד התשלום הראשון) גבוה מן התשלום הקודם לו במספר שקלים קבוע. על פי ההצעה הזאת: ההפרש בין התשלום השישי ובין התשלום השני הוא 200 שקלים. התשלום התשיעי גבוה פי 1.2 מן התשלום הראשון.

א. מצא את התשלום הראשון.

ב. מצא את מספר התשלומים שישלם יוסי בעבור האופנוע לפי ההצעה הראשונה.

הצעה שנייה: התשלומים שווים זה לזה. מספר התשלומים שיהיה על יוסי לשלם בעבור האופנוע זהה בשתי ההצעות (מספר התשלומים שמצאת בסעיף ב).

ג. מצא כמה מן התשלומים שעל יוסי לשלם לפי ההצעה הראשונה נמוכים מן התשלום הקבוע שעליו לשלם לפי ההצעה השנייה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – התשלום הראשון

התשלומים בהצעה הראשונה הם סדרה חשבונית. ההפרש בין התשלום השישי לשני:
a6 − a2 = (a1 + 5d) − (a1 + d) = 4d = 200📐 סדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)dSn = n(a1 + an)2
d = 50
a9 = 1.2a1 ⟸ a1 + 8 · 50 = 1.2a1
400 = 0.2a1 ⟸ a1 = 2000
✅ פתרון סופי: 2,000 שקלים

סעיף ב – מספר התשלומים

n[2 · 2000 + (n − 1) · 50]2 = 43650📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n[2a1 + (n − 1)d]2
כופלים ב־2:
n(4000 + 50n − 50) = 87300
50n² + 3950n − 87300 = 0
מחלקים ב־50:
n² + 79n − 1746 = 0
n = −79 ± √6241 + 69842 = −79 ± 1152📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
n = 18 (הפתרון השלילי נפסל)
✅ פתרון סופי: 18 תשלומים

סעיף ג – תשלומים נמוכים מהתשלום הקבוע

התשלום הקבוע בהצעה השנייה: 4365018 = 2425
2000 + (n − 1) · 50 < 2425 ⟸ (n − 1) · 50 < 425 ⟸ n − 1 < 8.5
כלומר n ≤ 9: התשלומים 1 עד 9 (a9 = 2400 , a10 = 2450).
✅ פתרון סופי: 9 תשלומים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א2,000
סעיף ב18
סעיף ג9
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – התפלגות נורמלית: שני מבחנים

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכו שני מבחני מתכונת במתמטיקה. הציונים בכל אחד ממבחני המתכונת מתפלגים נורמלית. במתכונת הראשונה היה הציון הממוצע 65.05, וסטיית התקן של הציונים הייתה 15. הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה היה 70.

א. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה?

הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה היה 78. אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה זהה לאחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שלה במתכונת הראשונה. סטיית התקן של הציונים במתכונת השנייה הייתה 10.

ב. (1) חשב את הציון הממוצע במתכונת השנייה. (2) מהו החציון של הציונים במתכונת השנייה? נמק.

אריאל קיבל ציון זהה בשתי המתכונות. ידוע כי במתכונת הראשונה קיבלו 29.8% מן התלמידים ציון גבוה ממנו.

ג. (1) מהו הציון שקיבל אריאל בשתי המתכונות? (2) באיזו משתי המתכונות הצליח אריאל יותר יחסית לכל התלמידים שנבחנו? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מתחת לציון של שירה

נחשב את ציון התקן של 70:
z = (70 − 65.05) : 15 = 4.95 : 15 = 0.33📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)): בשורה 0.3 ובעמודה 0.03 רשום 0.629.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.03
כלומר 62.9% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך משל שירה.
✅ פתרון סופי: 62.9%

סעיף ב – הממוצע והחציון במתכונת השנייה

(1) אותו אחוז מתחת לציון ← אותו ציון תקן, z = 0.33. נסמן את הממוצע x̄:
0.33 = (78 − x̄) : 10📐 ציון תקןz = x − x̄S
3.3 = 78 − x̄ ⟸ x̄ = 74.7
(2) בהתפלגות נורמלית הגרף סימטרי סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע.📐 התפלגות נורמליתממוצע = חציון
✅ פתרון סופי: (1) 74.7   (2) 74.7

סעיף ג – הציון של אריאל

(1) 29.8% קיבלו יותר ממנו, לכן מתחתיו: עושים 1 פחות: 1 − 0.298 = 0.702.
נחפש בתוך הטבלה את 0.702: הוא נמצא בשורה 0.5 ובעמודה 0.03, כלומר z = 0.53.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.03
0.53 = (x − 65.05) : 15📐 ציון תקןz = x − x̄S
7.95 = x − 65.05 ⟸ x = 73
(2) ציון התקן של 73 במתכונת השנייה:
z = (73 − 74.7) : 10 = −0.17
במתכונת הראשונה הציון שלו מעל הממוצע (z = 0.53), ובשנייה מתחת לממוצע (z = −0.17). ציון תקן גבוה יותר = הצלחה יחסית גבוהה יותר.
✅ פתרון סופי: (1) 73   (2) במתכונת הראשונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א62.9%
סעיף ב74.7 ; 74.7
סעיף ג73 ; הראשונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: חוגים

📄 נוסח השאלה

במרכז הקהילתי יש שני חוגים בלבד: חוג כדורגל וחוג טניס. אפשר להשתתף בחוג אחד בלבד מבין שני החוגים האלה. סך כל הבנים המשתתפים בשני החוגים האלה זהה לסך כל הבנות המשתתפות בהם. 80% מן הבנים משתתפים בחוג כדורגל. מספר הבנות המשתתפות בחוג טניס גדול פי 3 ממספר הבנות המשתתפות בחוג כדורגל. בוחרים באקראי משתתף בחוגים (בן או בת).

א. מהי ההסתברות שנבחר בן המשתתף בחוג כדורגל?

ב. אם ידוע שנבחר משתתף בחוג טניס, מהי ההסתברות שנבחר בן?

ידוע כי בשני החוגים במרכז הקהילתי יש 200 משתתפים (בנים ובנות) סך הכול.

ג. (1) כמה משתתפים סך הכול (בנים ובנות) יש בחוג טניס? (2) מבין כל המשתתפים בחוגים בוחרים באקראי שניים בזה אחר זה (ללא החזרה). מהי ההסתברות ששניהם משתתפים בחוג טניס? דייק 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – בן בכדורגל

בנים ובנות – חצי חצי: 0.5 כל אחד. בנות: כדורגל p , טניס 3p, ו־4p = 1  ⟸  p = 0.25.
0.5 · 0.8 = 0.4📐 כלל הכפל (מותנה)כופלים לאורך הענף בעץ
✅ פתרון סופי: 0.4

סעיף ב – בן, בידיעה שבטניס

בן בטניס: 0.5 · 0.2 = 0.1 ; בת בטניס: 0.5 · 0.75 = 0.375
טניס: 0.1 + 0.375 = 0.475
P = 0.10.475 = 419 ≈ 0.211📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 419 ≈ 0.211

סעיף ג – משתתפי הטניס

(1)
0.475 · 200 = 95
(2) ללא החזרה:
95200 · 94199 = 893039800 ≈ 0.224📐 ללא החזרהבמשיכה השנייה יש אחד פחות
✅ פתרון סופי: (1) 95   (2) 0.224

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.4
סעיף ב419
סעיף ג95 ; 0.224
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: מקבילית בתוך משולש

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר משולש ABC. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AC מקבילה לציר ה־y. נתון: AB = √40 , A(6 , 6). שיעור ה־y של הקודקוד B קטן מ־6.

א. מצא את שיעורי הקודקוד B.

הנקודה E היא אמצע הצלע BC. נתון: הנקודה E נמצאת על ציר ה־x.

ב. מצא את שיעורי הנקודות C ו־E.

הנקודה D היא אמצע הצלע AC. מן הנקודה E העבירו ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הצלע AB בנקודה F.

ג. (1) הוכח כי המרובע FADE הוא מקבילית. (2) חשב את שטח המקבילית FADE.

ד. מצא את גודל הזווית DEF.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הקודקוד B

B(0 , b) על ציר ה־y:
√40 = √(6 − 0)² + (6 − b)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
40 = 36 + (6 − b)² ⟸ (6 − b)² = 4
6 − b = 2  או  6 − b = −2
נתון b < 6, ולכן b = 4.
✅ פתרון סופי: B(0 , 4)

סעיף ב – הנקודות C ו־E

AC מקבילה לציר ה־y, לכן C(6 , c). E אמצע BC ושיעור ה־y שלה 0:
4 + c2 = 0  ⟸  c = −4📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
xE = 0 + 62 = 3
✅ פתרון סופי: C(6 , −4) , E(3 , 0)

סעיף ג – מקבילית ושטחה

(1) D אמצע AC: D(6 , 1).
1. FE ∥ AD – שניהם מקבילים לציר ה־y.
2. DE מחבר את אמצעי AC ו־BC, ולכן DE ∥ AB, כלומר DE ∥ FA.📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ← FADE מקבילית.
(2) הבסיס AD = 6 − 1 = 5 (אנכי). הגובה – המרחק בין הישרים x = 3 ו־x = 6: 3.
S = 5 · 3 = 15📐 שטח מקביליתS = a · h
✅ פתרון סופי: (1) FADE מקבילית   (2) 15

סעיף ד – הזווית DEF

EF אנכי (מקביל לציר ה־y). נחשב את הזווית של ED עם ציר ה־x:
mED = 1 − 06 − 3 = 13📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ = 13  ⟸  ∢ ≈ 18.43📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
∢DEF = 90 − 18.43 = 71.57
✅ פתרון סופי: ≈ 71.57 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אB(0 , 4)
סעיף בC(6 , −4) , E(3 , 0)
סעיף גמקבילית ; 15
סעיף ד71.57
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – תרגול מפגש אלכסונים במקבילית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר מעגל שמרכזו M. הנקודות A , B ו־C נמצאות על המעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את הישר BC בראשית הצירים O, כמתואר בסרטוט. נתון: AC הוא קוטר במעגל.

א. הוכח: △ABC ∼ △OAC.

נתון: OC = 15 , BC = 3.

ב. מצא את אורך AC.

נתון: M(9 , 1012).

ג. מצא את משוואת המעגל.

נתון: משוואת המשיק למעגל בנקודה A היא y = 2x.

ד. (1) מצא את משוואת הישר AM. (2) מצא את שיעורי הנקודה A.

הישר AM חותך את ציר ה־y בנקודה F.

ה. מצא את גודל הזווית OFA.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢ABC = 90📐 זווית היקפיתהנשענת על קוטר היא 90 מעלות
2. ∢OAC = 90📐 רדיוס ומשיקהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
3. ∢C משותפת.
4. △ABC ∼ △OAC📐 משפט דמיוןז.ז
✅ פתרון סופי: דמיון ז.ז

סעיף ב – אורך AC

לפי סדר האותיות ABC ↔ OAC: BC ↔ AC , AC ↔ OC:
BCAC = ACOC📐 יחס דמיוןיחס בין צלעות מתאימות שווה
AC² = 3 · 15 = 45 ⟸ AC = √45 = 3√5 ≈ 6.71
✅ פתרון סופי: AC = √45 ≈ 6.71

סעיף ג – משוואת המעגל

R = √452 ⟸ R² = 454 = 11.25
(x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25

סעיף ד – הישר AM והנקודה A

(1) AM מאונך למשיק y = 2x:
2 · mAM = −1 ⟸ mAM = −12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y − 10.5 = −12(x − 9) ⟸ y = −12x + 15📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) A – חיתוך המשיק עם AM:
2x = −12x + 15 ⟸ 2.5x = 15 ⟸ x = 6
y = 12 ← A(6 , 12)
✅ פתרון סופי: (1) y = −12x + 15   (2) A(6 , 12)

סעיף ה – הזווית OFA

F(0 , 15) (חיתוך AM עם ציר ה־y). במשולש OAF ∢OAF = 90 (משיק ורדיוס):
OA = √6² + 12² = √180   ,   AF = √6² + 3² = √45📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
tan∢OFA = OAAF = √180√45 = 2 ⟸ ∢OFA ≈ 63.43📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
✅ פתרון סופי: ≈ 63.43 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אדמיון ז.ז
סעיף ב√45 ≈ 6.71
סעיף ג(x − 9)² + (y − 10.5)² = 11.25
סעיף דy = −12x + 15 ; A(6 , 12)
סעיף ה63.43
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 44x² − 1 + b, b הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. (1) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה (אם צריך, הבע באמצעות b). (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי הישר y = −2 משיק לפונקציה f(x) בנקודת הקיצון שלה.

ג. מצא את b.

הצב את b שמצאת בסעיף ג בפונקציה וענה על הסעיפים ד–ו.

ד. (1) מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x). (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ה. אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

ו. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 13 ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–III לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

4x² − 1 ≠ 0 ⟸ x² ≠ 14 ⟸ x ≠ ±12📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ ±12

סעיף ב – קיצון, עלייה וירידה

כותבים f(x) = 4(4x² − 1)−1 + b:
f′(x) = −4(4x² − 1)−2 · 8x
f′(x) = −32x(4x² − 1)²📐 נגזרת של חזקה מורכבת(gⁿ)′ = n · gⁿ⁻¹ · g′
−32x = 0  ⟸  x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(0) = 4−1 + b = b − 4
xx < −0.5−0.5−0.5 < x < 000 < x < 0.50.5x > 0.5
f′+✕+0−✕−
f↗✕↗מקס׳↘✕↘
✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (0 , b − 4)   (2) עולה x < 0 (x ≠ −0.5) , יורדת x > 0 (x ≠ 0.5)

סעיף ג – הפרמטר b

b − 4 = −2  ⟸  b = 2
✅ פתרון סופי: b = 2

סעיף ד – אסימפטוטות וסקיצה

(1) אנכיות: x = ±12 (המונה 4 ≠ 0).
אופקית: השבר שואף ל־0, ולכן f → 0 + 2 = 2.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0
(2) מקסימום (0 , −2); בצדדים הגרף מעל y = 2:
xyx=-0.5x=0.5y=2(0 , -2)
✅ פתרון סופי: (1) x = ±0.5 , y = 2

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

f′(x) = −32x(4x² − 1)²: חיובית לכל x < 0 ושלילית לכל x > 0, עוברת בראשית, ויש לה אסימפטוטות אנכיות ב־x = ±0.5. ליד −0.5 היא שואפת ל־+∞ וליד 0.5 ל־−∞.
גרף II מתאים: הענף האמצעי יורד מ־+∞ דרך הראשית ל־−∞, הענף השמאלי מעל ציר ה־x והימני מתחתיו.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ו – השטח

בין 0 ל־13 f′ < 0 (מתחת לציר), לכן השטח הוא מינוס האינטגרל:
S = −∫01/3 f′(x) dx = f(0) − f(13)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(13) = 449 − 1 + 2 = 4−59 + 2 = −7.2 + 2 = −5.2
S = −2 − (−5.2) = 3.2
✅ פתרון סופי: S = 3.2

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ ±0.5
סעיף במקסימום (0 , b − 4)
סעיף גb = 2
סעיף דx = ±0.5 , y = 2
סעיף הגרף II
סעיף ו3.2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ושטח משולש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x · √x + 18.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −2 · f(x).

ה. (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן. (2) נסמן ב־A ו־B את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x) ו־g(x) בהתאמה. הנקודה O היא ראשית הצירים. חשב את שטח המשולש ABO.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x + 18 ≥ 0  ⟸  x ≥ −18📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ −18

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 ← (0 , 0). ציר ה־x: x = 0 או √x + 18 = 0  ⟸  x = −18.
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−18 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

נסמן u = x + 18 (u′ = 1):
(√u)′ = 12√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 1 · √u + x · 12√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף 2√u:
f′(x) = 2u + x2√u = 2x + 36 + x2√u = 3x + 362√x + 18
3x + 36 = 0  ⟸  x = −12📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(−12) = −12 · √6 ≈ −29.39
הצבות: f′(−17) < 0 , f′(0) > 0:
x−18−18 < x < −12−12x > −12
f′✕−0+
fמקס׳ קצה↘מינ׳↗
קצה התחום: f(−18) = 0, ואחריו ירידה ← מקסימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מינימום (−12 , −12√6) , מקסימום קצה (−18 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מ־(−18 , 0) יורדת למינימום (−12 , −29.39) ועולה דרך הראשית:
xy(-12 , -29.39)(-18 , 0)(0 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – g(x) ושטח המשולש

(1) g = −2f: שיקוף סביב ציר ה־x ומתיחה פי 2. מינימום הופך למקסימום ולהפך:
g(−12) = −2 · (−12√6) = 24√6 ≈ 58.79 ← מקסימום
g(−18) = 0 ← מינימום (קצה)
(2) A(−12 , −12√6) , B(−12 , 24√6). הצלע AB אנכית (על הישר x = −12):
AB = 24√6 + 12√6 = 36√6
הגובה מ־O אל הישר x = −12 הוא 12:
S = 36√6 · 122 = 216√6 ≈ 529.1📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (−12 , 24√6) , מינימום קצה (−18 , 0)   (2) 216√6 ≈ 529.1

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ −18
סעיף ב(0 , 0) , (−18 , 0)
סעיף גמינ׳ (−12 , −12√6) , מקס׳ קצה (−18 , 0)
סעיף המקס׳ (−12 , 24√6) ; ≈ 529.1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: מלבן מתחת לפרבולה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² + 3 ונתון הישר x = 5. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון משמאל לישר. מן הנקודה A מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר הנתון בנקודה B. הנקודות C ו־D נמצאות על ציר ה־x כך שהמרובע ABCD הוא מלבן (ראה סרטוט). נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. מצא את הערך של t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

ב. האם ייתכן מלבן ABCD שנבנה באופן המתואר ושטחו הוא 30? נמק.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח מקסימלי

A(t , t² + 3) , B(5 , t² + 3) , 0 < t < 5. רוחב AB = 5 − t , גובה t² + 3:
S(t) = (5 − t)(t² + 3) = −t³ + 5t² − 3t + 15📐 שטח מלבןS = a · b
S′(t) = −3t² + 10t − 3📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
3t² − 10t + 3 = 0
t = 10 ± √100 − 366 = 10 ± 86 ⟸ t = 3  או  t = 13📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
הצבות: S′(0.2) < 0 , S′(1) > 0 , S′(4) < 0:
t0 < t < 131313 < t < 333 < t < 5
S′−0+0−
S↘מינ׳↗מקס׳↘
S(3) = (5 − 3)(9 + 3) = 24
בקצה t → 0 השטח שואף ל־5 · 3 = 15 < 24, לכן t = 3 הוא המקסימום בכל התחום.
✅ פתרון סופי: t = 3 (השטח המקסימלי 24)

סעיף ב – שטח 30?

השטח הגדול ביותר האפשרי הוא 24, ו־30 > 24.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אt = 3
סעיף בלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות