בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע – התפלגות נורמלית (שאלה 1), אשכול פיננסי כלכלי – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 2–3), אשכול התמצאות במישור ובמרחב – גופים במרחב וראייה מרחבית (שאלות 4–5). יש לענות על שלוש שאלות, 37 נקודות לכל שאלה; סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 372 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: עצי תמר

📄 נוסח השאלה

כמות הפרי שמניבים עצי תמר במועצה אזורית בארץ מתפלגת נורמלית, וסטיית התקן היא 14 ק"ג. ידוע ש־16% מעצי התמר מניבים יותר מ־125 ק"ג פרי.

א. חשבו את כמות הפרי הממוצעת שמניבים עצי התמר במועצה האזורית.

ב. מצאו כמה אחוזים מעצי התמר במועצה האזורית מניבים יותר מ־97 ק"ג ופחות מ־132 ק"ג פרי.

לעצי תמר שמניבים פחות מ־90 ק"ג פרי צריך לתת תוספת דישון כדי שיניבו יותר פרי. באחד היישובים שבמועצה האזורית מגדלים 50,000 עצי תמר.

ג. מצאו לכמה עצי תמר ביישוב זה צריך לתת תוספת דישון על פי גרף ההתפלגות הנורמלית.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הממוצע

בגרף, מימין לסטיית תקן אחת מעל הממוצע יש:
9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
לכן 125 נמצא בדיוק סטיית תקן אחת מעל הממוצע:
הממוצע קטן מ־125 בסטיית תקן אחת:
125 − 14 = 111
1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%111125
✅ פתרון סופי: 111 ק"ג

סעיף ב – בין 97 ל־132 ק"ג

כמה סטיות תקן כל ערך רחוק מן הממוצע:
111 − 97 = 14
זו סטיית תקן אחת מתחת לממוצע (שתי רצועות שמאלה).
132 − 111 = 21
21 : 14 = 1.5
זו סטיית תקן וחצי מעל הממוצע (שלוש רצועות ימינה).
1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%97111132
15 + 19 + 19 + 15 + 9 = 77📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
✅ פתרון סופי: 77%

סעיף ג – כמה עצים צריכים דישון

111 − 90 = 21
21 : 14 = 1.5
90 נמצא סטיית תקן וחצי מתחת לממוצע. הרצועות משמאל לו:
1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%90111
5 + 1.5 + 0.5 = 7📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
7% מן העצים ביישוב:
7100 · 50,000 = 3,500📐 אחוז מכמותהחלק = האחוז100 · הכמות
✅ פתרון סופי: 3,500 עצי תמר

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א111 ק"ג
ב77%
ג3,500 עצים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2-תרגול ממוצע וסטיית תקן בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – תכנון ליניארי: שני מפעלי חולצות

📄 נוסח השאלה

שני מפעלים, מפעל א' ומפעל ב', מייצרים חולצות משני סוגים: חולצות ארוכות וחולצות קצרות. נסמן: x – מספר החולצות הארוכות, y – מספר החולצות הקצרות.

מערכת האילוצים של מפעל א' לייצור חולצות היא:
x ≥ 0
y ≥ 0
y ≥ 2x − 20
y ≤ x + 30

מערכת האילוצים של מפעל ב' לייצור חולצות היא:
x ≥ 0
y ≥ 0
y ≥ x − 20
y ≤ 60

שני הגרפים שלפניכם מתארים את התחומים האפשריים של מערכות האילוצים של כל אחד מן המפעלים א' ו־ב'.

גרף 1 עם הקודקודים O, C, B, A וגרף 2 עם הקודקודים O, E, K, P

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאים למפעל א' ואיזה מהם מתאים למפעל ב'.

הרווח של כל מפעל על חולצה ארוכה הוא 50 שקלים ועל חולצה קצרה – 30 שקלים.

ב. (1) כתבו את פונקציית המטרה של הרווח של המפעלים ממכירת החולצות.
(2) קבעו באיזה מן המפעלים, מפעל א' או מפעל ב', הרווח המקסימלי על החולצות הוא גבוה יותר. מהו הרווח המקסימלי של מפעל זה?

ג. חשבו בכמה שקלים גדול הרווח המקסימלי של המפעל, שמצאתם בסעיף ב, מן הרווח המקסימלי של המפעל האחר.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזה גרף לאיזה מפעל

בגרף 1 הגבול העליון של התחום הוא קו אופקי – ישר שבו y קבוע. אילוץ כזה (y ≤ 60) יש רק במפעל ב'.
בגרף 2 הגבול העליון הוא ישר משופע שחותך את ציר ה־y בנקודה P – זה הישר y = x + 30 של מפעל א'.
✅ פתרון סופי: גרף 1 – מפעל ב' ; גרף 2 – מפעל א'

סעיף ב (1) – פונקציית המטרה

50 שקלים לחולצה ארוכה ו־30 שקלים לחולצה קצרה:
f(x , y) = 50x + 30y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 50x + 30y

סעיף ב (2) – באיזה מפעל הרווח המקסימלי גבוה יותר

מפעל א' (גרף 2) – נמצא את הקודקודים.
E – הישר y = 2x − 20 פוגש את ציר ה־x (y = 0):
0 = 2x − 20
x = 10
כלומר E(10 , 0). P – הישר y = x + 30 פוגש את ציר ה־y: P(0 , 30).
K – חיתוך שני הישרים:
2x − 20 = x + 30
x = 50
y = 50 + 30 = 80
כלומר K(50 , 80). נציב בפונקציית המטרה:
f(10 , 0) = 50 · 10 + 30 · 0📐 תכנון ליניאריהערך הגדול ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
= 500
f(50 , 80) = 2,500 + 2,400
= 4,900
f(0 , 30) = 50 · 0 + 30 · 30
= 900
הרווח המקסימלי של מפעל א': 4,900 שקלים.
מפעל ב' (גרף 1) – נמצא את הקודקודים.
C – הישר y = x − 20 פוגש את ציר ה־x:
0 = x − 20
x = 20
כלומר C(20 , 0). A – הישר y = 60 פוגש את ציר ה־y: A(0 , 60).
B – חיתוך y = 60 עם y = x − 20:
60 = x − 20
x = 80
כלומר B(80 , 60). נציב:
f(20 , 0) = 50 · 20 + 30 · 0📐 תכנון ליניאריהערך הגדול ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
= 1,000
f(80 , 60) = 4,000 + 1,800
= 5,800
f(0 , 60) = 50 · 0 + 30 · 60
= 1,800
הרווח המקסימלי של מפעל ב': 5,800 שקלים.
5,800 > 4,900
✅ פתרון סופי: מפעל ב' – רווח מקסימלי 5,800 שקלים

סעיף ג – ההפרש

5,800 − 4,900 = 900
✅ פתרון סופי: 900 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אגרף 1 – מפעל ב', גרף 2 – מפעל א'
ב (1)50x + 30y
ב (2)מפעל ב', 5,800 שקלים
ג900 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גאומטריה אנליטית: המרובע ABCD

📄 נוסח השאלה

במרובע ABCD הצלע AB מאונכת לצלע BC (ראו סרטוט). נתון: A(4 , 1) , B(10 , 3).

המרובע ABCD, הנקודה C על ציר ה־x והנקודה E על ציר ה־x

א. (1) מצאו את שיפוע הצלע AB.
(2) מצאו את משוואת הצלע BC.

הקודקוד C נמצא על ציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

נתון: הנקודה E(6 , 0) היא אמצע הצלע AD.

ג. מצאו את שיעורי קודקוד D.

ד. הראו כי הצלע DC מאונכת לצלע BC.

ה. הראו כי משולש BCD הוא משולש שווה שוקיים.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שיפוע AB ומשוואת BC

(1)
mAB = 3 − 110 − 4 = 26 = 13📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y1 − y2x1 − x2
(2) BC מאונכת ל־AB:
13 · mBC = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mBC = −3
דרך B(10 , 3):
y − 3 = −3(x − 10)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y − 3 = −3x + 30
y = −3x + 33
✅ פתרון סופי: (1) 13 ; (2) y = −3x + 33

סעיף ב – הקודקוד C

C על ציר ה־x (y = 0) ועל BC:
0 = −3x + 33
3x = 33
x = 11
✅ פתרון סופי: C(11 , 0)

סעיף ג – הקודקוד D

E(6 , 0) אמצע AD, כאשר A(4 , 1). נסמן D(x , y):
4 + x2 = 6📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
4 + x = 12
x = 8
1 + y2 = 0
1 + y = 0
y = −1
✅ פתרון סופי: D(8 , −1)

סעיף ד – DC מאונכת ל־BC

mDC = 0 − (−1)11 − 8 = 13📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y1 − y2x1 − x2
השיפוע של BC הוא −3:
13 · (−3) = −1
מכפלת השיפועים היא −1, ולכן DC מאונכת ל־BC.
ABCDExy
✅ פתרון סופי: מכפלת השיפועים 13 · (−3) = −1 – הצלעות מאונכות

סעיף ה – משולש BCD שווה שוקיים

נחשב את שתי הצלעות שיוצאות מ־C:
BC = √((11 − 10)2 + (0 − 3)2)📐 נוסחת המרחקd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √(1 + 9) = √10
CD = √((11 − 8)2 + (0 − (−1))2)📐 נוסחת המרחקd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √(9 + 1) = √10
BC = CD
שתי צלעות שוות, ולכן המשולש BCD שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: BC = CD = √10 – שווה שוקיים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)13
א (2)y = −3x + 33
בC(11 , 0)
גD(8 , −1)
דהוכחה: 13 · (−3) = −1
ההוכחה: BC = CD = √10
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27-מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גופים במרחב: אוהל פירמידה ואוהל חרוט

📄 נוסח השאלה

בחנות של ציוד מחנאות מוכרים שני סוגי אוהלים: אוהלים בצורת פירמידה שבסיסה ריבוע ואוהלים בצורת חרוט (ראו סרטוטים). כל אחד מן האוהלים נארז בתיק נפרד.

אוהל בצורת פירמידה SABCD שבסיסה ריבוע, עם O מרכז הבסיס ו־E על הצלע AB

בכל תיק לאוהל בצורת פירמידה נארזים:
– 4 מוטות לבניית ריבוע הבסיס ABCD, אורך כל מוט הוא 2 מטר.
– 4 מוטות לבניית צורת האוהל, SA , SB , SC , SD: אורך כל מוט הוא 2.6 מטר.
– מוט אחד מרכזי (SO – גובה הפירמידה), לייצוב האוהל.
– 4 יריעות בד משולשות לפאות הצדדיות.

א. (1) מצאו את הגובה של יריעת בד של פאה צדדית של הפירמידה (SE).
(2) מצאו את השטח הכולל של 4 יריעות הבד.
(3) מצאו את גובה האוהל SO (השאירו בתשובתכם שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

אוהל בצורת חרוט עם קודקוד K ומרכז בסיס M

בכל תיק לאוהל בצורת חרוט נארזים:
– חישוק עגול אחד לבסיס.
– 4 מוטות לבניית צורת האוהל (הקווים היוצרים של החרוט): KA , KB , KC , KD, אורך כל מוט 2 מטר.
– מוט אחד מרכזי (KM – גובה החרוט) לייצוב האוהל, אורך המוט 1.6 מטר.
– יריעת בד למעטפת של החרוט (ללא הבסיס).

ב. (1) מצאו את אורך רדיוס הבסיס של האוהל.
(2) מצאו את השטח של יריעת בד המעטפת.

מיכל רוצה לקנות את האוהל הגבוה ביותר שמוכרים בחנות זו.

ג. איזה סוג אוהל תקנה מיכל? הסבירו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – גובה הפאה SE

הפאה SAB היא משולש שווה שוקיים (SA = SB = 2.6), והגובה SE יורד לאמצע הצלע AB:
AE = 2 : 2 = 1
במשולש הישר זווית SEA היתר הוא SA:
SE2 + 12 = 2.62📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
SE2 = 6.76 − 1 = 5.76
SE = √5.76 = 2.4
✅ פתרון סופי: 2.4 מטר

סעיף א (2) – שטח ארבע היריעות

כל יריעה – משולש שבסיסו 2 וגובהו 2.4:
S = 2 · 2.42 = 2.4📐 שטח משולששטח משולש = צלע · הגובה לצלע2
4 · 2.4 = 9.6
✅ פתרון סופי: 9.6 מ"ר

סעיף א (3) – גובה האוהל SO

O מרכז הריבוע, ולכן OE הוא חצי מצלע הבסיס:
OE = 2 : 2 = 1
במשולש הישר זווית SOE היתר הוא SE:
SO2 + 12 = 2.42📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
SO2 = 5.76 − 1 = 4.76
SO = √4.76 ≈ 2.18
✅ פתרון סופי: 2.18 מטר

סעיף ב – רדיוס הבסיס ושטח המעטפת

(1) הגובה KM, הרדיוס MA והקו היוצר KA יוצרים משולש ישר זווית; KA הוא היתר:
MA2 + 1.62 = 22📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
MA2 = 4 − 2.56 = 1.44
MA = √1.44 = 1.2
(2) יריעת המעטפת – בלי הבסיס:
S = π · 1.2 · 2📐 שטח מעטפת חרוטS = π · r · l
= 2.4π ≈ 7.54
✅ פתרון סופי: (1) 1.2 מטר ; (2) 2.4π ≈ 7.54 מ"ר

סעיף ג – איזה אוהל גבוה יותר

גובה אוהל הפירמידה 2.18 מטר, וגובה אוהל החרוט 1.6 מטר:
2.18 > 1.6
✅ פתרון סופי: מיכל תקנה אוהל בצורת פירמידה – הוא הגבוה יותר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א (1)2.4 מטר
א (2)9.6 מ"ר
א (3)2.18 מטר
ב (1)1.2 מטר
ב (2)2.4π ≈ 7.54 מ"ר
גאוהל פירמידה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12-תרגיל פרמידה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבנה מקוביות עם כתם

📄 נוסח השאלה

בסרטוטים 1–2 שלפניכם מתואר מבנה מקוביות. סרטוט 1 מוסתר בחלקו על ידי כתם. החיצים בכל אחד מן הסרטוטים מייצגים מבט מלפנים. כל אחת מן הקוביות במבנה מונחת על הרצפה או על גבי קובייה אחרת (ראו סרטוט 1). סרטוט 2 מתאר מבט מלמעלה של המבנה.

סרטוט 1: המבנה מקוביות מוסתר בחלקו בכתם; סרטוט 2: מבט מלמעלה

לפניכם תרשימי מספרים 1–3, אחד מהם מתאים לנתוני השאלה.

תרשימי המספרים 1, 2, 3

א. מצאו איזה מן התרשימים 1–3 מתאים לנתוני השאלה.

ב. סרטטו מבט מלפנים המתאים לנתוני השאלה.

ג. האם אפשר להוסיף קובייה אחת למבנה כך שסרטוטים 1 ו־2 לא ישתנו? אם כן – סרטטו תרשים מספרים המתאים למבנה כזה, אם לא – נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – התרשים המתאים

לפי המבט מלמעלה (סרטוט 2), המשבצות שיש בהן קוביות:
בשורה האחורית – האמצעית והימנית; בשורה האמצעית – האמצעית והימנית; בשורה הקדמית – השמאלית והאמצעית.
תרשים 1: יש קובייה בפינה הקדמית הימנית – שם במבט מלמעלה המשבצת ריקה. לא מתאים.
תרשים 3: יש קוביות בפינה האחורית השמאלית – שם במבט מלמעלה המשבצת ריקה. לא מתאים.
תרשים 2: המשבצות המלאות בדיוק כמו במבט מלמעלה.
✅ פתרון סופי: תרשים 2

סעיף ב – מבט מלפנים

תרשים 2 (השורה העליונה – מאחור):
22
31
11
מלפנים רואים בכל עמודה את הגבוה ביותר:
עמודה שמאלית – רק 1. עמודה אמצעית – המספרים 2, 3, 1, הגדול 3. עמודה ימנית – המספרים 2, 1, הגדול 2.
✅ פתרון סופי: עמודה שמאלית בגובה 1, אמצעית 3, ימנית 2

סעיף ג – הוספת קובייה

כדי שהמבט מלמעלה (סרטוט 2) לא ישתנה, אסור להניח את הקובייה במשבצת ריקה – רק על גבי קובייה שכבר קיימת.
כדי שסרטוט 1 לא ישתנה, הקובייה החדשה צריכה להיות מוסתרת על ידי הכתם. הכתם מכסה את הפינה הקדמית השמאלית, שבה יש קובייה אחת.
נניח עליה קובייה נוספת – שם יהיו 2 קוביות:
22
31
21
✅ פתרון סופי: כן – מניחים קובייה על הקובייה שבפינה הקדמית השמאלית (בתרשים המספרים שם 2 במקום 1)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אתרשים 2
במבט מלפנים: 1 משמאל, 3 באמצע, 2 מימין
גכן – בפינה הקדמית השמאלית 2 קוביות
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות