
פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – חורף 2025
פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון שני פרקים ובהם שש שאלות. פרק ראשון – תכנון ליניארי וגאומטרייה אנליטית (שאלות 1–2); פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית וגופים במרחב (שאלות 3–6). יש לענות על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק; לכל שאלה 27 נקודות, וסך הכול לא יותר מ־100 נקודות. אם עונים על יותר מארבע שאלות, נבדקות רק ארבע התשובות הראשונות במחברת. משך הבחינה: שעתיים וחצי. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
📄 השאלון המלא – חורף 2025






⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – תכנון ליניארי, גאומטרייה אנליטית
- שאלה 1 – תכנון ליניארי: ספות וכורסאות
- שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ושטחים
- פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית, גופים במרחב
- שאלה 3 – התפלגות נורמלית: צריכת המים בעיר
- שאלה 4 – מודל ריבועי: מגלשת המים
- שאלה 5 – ראייה מרחבית: שני מבנים מקוביות
- שאלה 6 – גופים במרחב: נרות בצורת פירמידה וחרוט
שאלה 1 – תכנון ליניארי: ספות וכורסאות
במפעל לייצור רהיטים מכינים שני סוגים של רהיטים: ספות וכורסאות. בתהליך הייצור יש שני שלבים: שלב חיתוך העץ ושלב הריפוד. במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת החיתוך במשך 32 שעות לכל היותר ואת מכונת הריפוד במשך 36 שעות לכל היותר.
בטבלה שלפניכם מוצג מספר השעות הנדרש לייצור כל אחד מסוגי הרהיטים.
| חיתוך (שעות) | ריפוד (שעות) | |
|---|---|---|
| ספה | 4 | 2 |
| כורסה | 2 | 6 |
נסמן ב־x את מספר הספות וב־y את מספר הכורסאות שמייצרים במפעל במחזור ייצור אחד.
א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.
ב. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים.
הרווח של המפעל מכל ספה הוא 400 שקלים ומכל כורסה 700 שקלים.
ג. (1) כתבו את פונקציית המטרה.
(2) כמה ספות וכמה כורסאות על המפעל לייצר במחזור ייצור אחד כדי להרוויח רווח מקסימלי?
באחד ממחזורי הייצור ייצרו במפעל כורסאות בלבד. במחזור זה ייצרו את מספר הכורסאות המקסימלי האפשרי.
ד. כמה כורסאות ייצרו במפעל במחזור ייצור זה?
סעיף א – מערכת האילוצים
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי
סעיף ג – פונקציית המטרה והרווח המקסימלי
סעיף ד – כורסאות בלבד
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 4x + 2y ≤ 32 , 2x + 6y ≤ 36 |
|---|---|
| סעיף ב | קודקודים (0,0) (8,0) (6,4) (0,6) |
| ג (1) | 400x + 700y |
| ג (2) | 6 ספות , 4 כורסאות |
| סעיף ד | 6 כורסאות |
שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ושטחים
במשולש ישר זווית ABC (∢ACB = 90 מעלות), הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AB חותכת את ציר ה־x בנקודה D.

נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −12x + 4.
א. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־D.
הנקודה D היא אמצע הצלע AB.
ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
נתון כי משוואת הצלע BC היא y = 13x + 4.
ג. (1) מצאו את משוואת הצלע AC.
(2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.
נתון כי K(0 , −18).
ד. (1) חשבו את שטח המשולש ABC.
(2) חשבו את שטח המרובע BCAK.
סעיף א – הנקודות B ו־D
סעיף ב – הקודקוד A
סעיף ג (1) – משוואת AC
סעיף ג (2) – הקודקוד C
סעיף ד (1) – שטח המשולש ABC
סעיף ד (2) – שטח המרובע BCAK
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | B(0 , 4) , D(8 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | A(16 , −4) |
| ג (1) | y = −3x + 44 |
| ג (2) | C(12 , 8) |
| ד (1) | 80 |
| ד (2) | 256 |
שאלה 3 – התפלגות נורמלית: צריכת המים בעיר
צריכת המים החודשית של משפחות בעיר מסוימת מתפלגת נורמלית, וסטיית התקן היא 2.4 מ"ק (מטר מעוקב). 16% מן המשפחות בעיר זו צורכות פחות מ־7 מ"ק מים בחודש.
א. (1) מצאו את הממוצע של צריכת המים החודשית למשפחה בעיר זו.
(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים את הנתונים החסרים של צריכת המים.
ב. מהו אחוז המשפחות בעיר זו שצורכות יותר מ־13 מ"ק מים בחודש?
560 משפחות בעיר זו צורכות יותר מ־13 מ"ק מים בחודש.
ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה משפחות יש בעיר זו סך הכול?
למשפחות שציון התקן של צריכת המים החודשית שלהן גדול מ־1.5 או קטן מ־(−2.5) נבדק שעון המים.
ד. מהו אחוז המשפחות בעיר זו שנבדק שעון המים שלהן?
משפחת כהן גרה בעיר זו, וצריכת המים החודשית שלה היא 12 מ"ק.
ה. האם למשפחת כהן נבדק שעון המים? נמקו את תשובתכם.

סעיף א (1) – הממוצע
סעיף א (2) – הנתונים בגרף
סעיף ב – יותר מ־13 מ"ק
סעיף ג – מספר המשפחות בעיר
סעיף ד – אחוז המשפחות שנבדק להן השעון
סעיף ה – משפחת כהן
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| א (1) | 9.4 מ"ק |
|---|---|
| א (2) | 3.4 עד 15.4 בקפיצות של 1.2 |
| סעיף ב | 7% |
| סעיף ג | 8,000 |
| סעיף ד | 7.5% |
| סעיף ה | לא |
שאלה 4 – מודל ריבועי: מגלשת המים
בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה y = x2 − 6x + 11. למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה O (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה A.
ציר ה־x מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מן הסולם. ציר ה־y מתאר את גובה המגלשה (במטרים) מעל הקרקע.

נועם התחיל להתגלש במגלשה מן הנקודה A. הוא המשיך עד לנקודה B ומשם חזר לנקודה C, כמתואר בסרטוט. הנקודה C היא נקודת המינימום של הפרבולה.
א. מצאו את גובה הסולם (AO).
ב. מצאו באיזה גובה מעל הקרקע נמצאת הנקודה C.
נקודה B נמצאת בגובה 6 מטרים מעל הקרקע.
ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה B.
ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה נועם במגמת עלייה.
סעיף א – גובה הסולם
סעיף ב – הגובה של C
סעיף ג – שיעור ה־x של B
סעיף ד – מגמת עלייה
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | 11 מטרים |
|---|---|
| סעיף ב | 2 מטרים |
| סעיף ג | x = 5 |
| סעיף ד | 3 < x < 5 |
שאלה 5 – ראייה מרחבית: שני מבנים מקוביות
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני מבנים I–II, הבנויים מקוביות זהות. החץ בסרטוט בכל אחד מן המבנים מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

לפניכם מבט מלמעלה ומבט מימין המתאימים לאחד המבנים.

א. איזה מן המבנים מתאים לשני המבטים הנתונים בשאלה?
ב. סרטטו את המבט מלפנים של המבנה שבחרתם בסעיף א.
ג. (1) כמה קוביות אפשר להסיר מן המבנה שבחרתם בסעיף א בלי שישתנו המבט מלמעלה והמבט מימין?
(2) השלימו בתבנית את תרשים המספרים של המבנה לאחר ההסרה.
ד. קבעו בעבור כל אחד מן ההיגדים 2–1 שלפניכם אם הוא נכון או לא נכון.
1. המבט מלפנים והמבט מאחור של מבנה I זהים.
2. המבט מלפנים והמבט מאחור של מבנה II זהים.
סעיף א – איזה מבנה מתאים
סעיף ב – המבט מלפנים של מבנה I
סעיף ג – כמה קוביות אפשר להסיר
| 1 | 3 | 2 |
| 1 |
| 1 | 3 | 1 |
| 1 |
סעיף ד – מבט מלפנים ומבט מאחור
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | מבנה I |
|---|---|
| סעיף ב | שמאל 1 , אמצע 3 , ימין 2 |
| ג (1) | קובייה אחת |
| ג (2) | 1 3 1 / 0 1 0 |
| סעיף ד | 1. לא נכון ; 2. נכון |
שאלה 6 – גופים במרחב: נרות בצורת פירמידה וחרוט
במפעל מייצרים שני סוגים של נרות שעווה: נר מסוג א', שצורתו פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ונר מסוג ב', שצורתו חרוט ישר (ראו סרטוט).

נתון כי אורך צלע הבסיס של נר מסוג א' הוא 6 ס"מ וגובה הנר הוא 12 ס"מ.
א. מצאו את נפח השעווה של נר מסוג א'.
נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של נר מסוג ב' הוא 4 ס"מ, וגובה הנר הוא 10 ס"מ. ככל שנפח השעווה של נר גדול יותר – הנר ידלק זמן ארוך יותר.
ב. קבעו איזה נר ידלק זמן ארוך יותר – נר מסוג א' או נר מסוג ב'. נמקו את קביעתכם.
ג. (1) מצאו את האורך של הקו היוצר של נר מסוג ב'.
(2) מצאו את שטח המעטפת של נר מסוג ב'.
ביום מסוים התקבלה במפעל הזמנה לייצור 300 נרות מסוג א' ו־250 נרות מסוג ב'.
ד. האם נפח של 60,000 סמ"ק שעווה יספיק למפעל לייצור הזמנה זו? נמקו את תשובתכם.
סעיף א – נפח נר מסוג א'
סעיף ב – איזה נר ידלק יותר זמן
סעיף ג (1) – הקו היוצר
סעיף ג (2) – שטח המעטפת
סעיף ד – האם 60,000 סמ"ק יספיקו
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
| סעיף א | 144 סמ"ק |
|---|---|
| סעיף ב | נר מסוג ב' |
| ג (1) | ≈ 10.77 ס"מ |
| ג (2) | כ־135.34 סמ"ר |
| סעיף ד | לא |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

