בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 172 (35172) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 172 – קיץ 2023 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלה 1 – קריאת גרף, שאלה 2 – הסתברות), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלה 3 – שטח עיגול, שאלה 4 – טרפז ומשפט פיתגורס) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלה 5 – ביטוי קווי וגרפים, שאלה 6 – דיאגרמת עמודות, שכיח וממוצע). תשובה מלאה על שאלה מזכה ב־20 נקודות. מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעה וחצי. מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובדפי הנוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א'

שאלון 172 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 172 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 172 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 172 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 172 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – קריאת גרף: אורך השיער של תמר

📄 נוסח השאלה

לפניכם גרף המתאר את אורך השיער של תמר בשנת 2020, לפי הזמן.

גרף אורך השיער של תמר בשנת 2020 משאלה 1

עיינו בגרף וענו על הסעיפים א–ד שלפניכם. ידוע כי תמר לא הסתפרה בתחילת שנת 2020, ולא בסופה.

א. כמה פעמים הסתפרה תמר בשנת 2020?

ב. מהו משך הזמן הארוך ביותר בשנת 2020 שבו לא הסתפרה תמר?

ג. מה היה האורך המקסימלי של השיער של תמר בשנת 2020?

תמר לא הסתפרה בשלושת החודשים הראשונים בשנת 2021. קצב הצמיחה של השיער שלה נשאר כפי שהיה בשנת 2020.

ד. בכמה סנטימטרים צמח השיער של תמר בשלושת החודשים האלה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – כמה פעמים הסתפרה

כשתמר מסתפרת, אורך השיער יורד בבת אחת – בגרף רואים "קפיצה" למטה.
בגרף יש שלוש קפיצות כאלה:
• אחרי 3 חודשים: מ־9 ס"מ ל־4 ס"מ.
• אחרי 5 חודשים: מ־6 ס"מ ל־4 ס"מ.
• אחרי 10 חודשים: מ־9 ס"מ ל־3 ס"מ.
✅ פתרון סופי: תמר הסתפרה 3 פעמים

סעיף ב – הזמן הארוך ביותר בלי תספורת

התספורות היו בחודשים 3, 5 ו־10. נחשב את משך כל תקופה בלי תספורת:
3 − 0 = 3
5 − 3 = 2
10 − 5 = 5
12 − 10 = 2
התקופה הארוכה ביותר היא מחודש 5 עד חודש 10.
✅ פתרון סופי: 5 חודשים

סעיף ג – האורך המקסימלי

הנקודה הגבוהה ביותר בגרף היא בגובה 9 ס"מ (מיד לפני התספורת בחודש 3, וגם מיד לפני התספורת בחודש 10).
✅ פתרון סופי: 9 ס"מ

סעיף ד – הצמיחה בשלושה חודשים

נמצא את קצב הצמיחה מתוך הגרף. למשל מחודש 0 עד חודש 3 השיער גדל מ־6 ס"מ ל־9 ס"מ:
9 − 6 = 3📐 קצב שינויקצב = השינוי באורךהזמן שעבר
33 = 1
כלומר השיער צומח 1 ס"מ בכל חודש (גם מחודש 5 עד 10: 9 − 4 = 5 ס"מ ב־5 חודשים).
בשלושה חודשים:
3 · 1 = 3
✅ פתרון סופי: השיער צמח 3 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א3 פעמים
סעיף ב5 חודשים
סעיף ג9 ס"מ
סעיף ד3 ס"מ
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: זריקת קובייה

📄 נוסח השאלה

נתונה קובייה מאוזנת, שעל כל אחת מן הפאות שלה רשום אחד מן המספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6. על כל פאה רשום מספר אחר.

קובייה משאלה 2

גיל זורק את הקובייה פעם אחת.

א. מהי ההסתברות שהקובייה תיפול על המספר 2?

ב. מתן זורק את הקובייה שתי פעמים. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים הקובייה תיפול על המספר 4?

ג. גיל ומתן משחקים במשחק שבו כל אחד מהם זורק את הקובייה שתי פעמים. גיל ינצח במשחק, אם באחת הפעמים (הראשונה או השנייה) תיפול הקובייה על המספר 2, ובפעם האחרת היא תיפול על המספר 4. מתן ינצח במשחק אם בשתי הפעמים תיפול הקובייה על המספר 5.

האם לשני השחקנים יש אותו הסיכוי לנצח במשחק? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – המספר 2 בזריקה אחת

לקובייה 6 פאות, ועל אחת מהן בלבד רשום 2. הקובייה מאוזנת, ולכן לכל פאה אותו סיכוי.
ההסתברות לקבל 2:📐 הסתברותהסתברות של מאורע =מספר התוצאות הרצויותמספר כל התוצאות
P = 16
✅ פתרון סופי: 16

סעיף ב – 4 בשתי הזריקות

בכל זריקה ההסתברות לקבל 4 היא 16, והזריקות לא משפיעות זו על זו. נצייר עץ:
16416456לא 456לא 4למעלה: זריקה ראשונה · למטה: זריקה שנייה
ההסתברות לקבל 4 בשתי הפעמים:📐 כלל הכפל בעץהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
P = 16 · 16
P = 136
✅ פתרון סופי: 136

סעיף ג – האם הסיכויים שווים

הסיכוי של גיל: גיל מנצח בשני מסלולים – קודם 2 ואחר כך 4, או קודם 4 ואחר כך 2:
16216456לא 416416256לא 246אחרלמעלה: זריקה ראשונה · למטה: זריקה שנייה
מסלול "2 ואחר כך 4":📐 כלל הכפל בעץהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
16 · 16 = 136
מסלול "4 ואחר כך 2":
16 · 16 = 136
נחבר את שני המסלולים:
P = 136 + 136 = 236 = 118
הסיכוי של מתן: מתן מנצח רק אם יצא 5 בשתי הזריקות:
16516556לא 556לא 5למעלה: זריקה ראשונה · למטה: זריקה שנייה
מסלול "5 ואחר כך 5":📐 כלל הכפל בעץהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
P = 16 · 16 = 136
נשווה:
236 > 136
לגיל יש פי 2 יותר סיכוי לנצח מאשר למתן.
✅ פתרון סופי: לא. הסיכוי של גיל 118 והסיכוי של מתן 136 – לגיל סיכוי גדול יותר

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א16
סעיף ב136
סעיף גלא (גיל 118, מתן 136)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – העוגה העגולה: שטח עיגול ואחוזים

📄 נוסח השאלה

גיא אפה עוגה בתבנית עגולה. אורך הרדיוס של התבנית הוא 14 ס"מ.

א. מצאו את השטח של בסיס התבנית.

סרטוט העוגה: עיגול שוקולד ברדיוס 8 בתוך עיגול ברדיוס 14 משאלה 3

גיא ציפה את החלק העליון של העוגה: את החלק המרכזי של העוגה (השטח האפור בסרטוט) הוא ציפה בשוקולד, ואת שאר העוגה (השטח הלבן בסרטוט) הוא ציפה בקצפת. השטח המצופה בשוקולד הוא בצורת עיגול שהרדיוס שלו 8 ס"מ.

ב. (1) מצאו את השטח שציפה גיא בשוקולד.

(2) מצאו את השטח שציפה גיא בקצפת.

גם יעל אפתה עוגה בתבנית עגולה. קוטר העוגה שאפתה יעל גדול ב־20% מקוטר העוגה שאפה גיא. יעל רצתה להגיש את העוגה שאפתה על מגש בצורת ריבוע.

ג. הסרטוטים 1–3 שלפניכם מתארים מגשים בגדלים שונים. בחרו מבין הסרטוטים 1–3 את המגש שגודלו מתאים לעוגה שאפתה יעל.

שלושה מגשים ריבועיים: 30, 32 ו־34 ס״מ משאלה 3
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שטח בסיס התבנית

בסיס התבנית הוא עיגול שהרדיוס שלו r = 14.
S = π · 142📐 שטח עיגולS = πr2
S = 196π
S ≈ 615.75
✅ פתרון סופי: 196π ≈ 615.75 סמ"ר

סעיף ב (1) – השטח שצופה בשוקולד

השטח המצופה בשוקולד הוא עיגול שהרדיוס שלו r = 8.
S = π · 82📐 שטח עיגולS = πr2
S = 64π
S ≈ 201.06
✅ פתרון סופי: 64π ≈ 201.06 סמ"ר

סעיף ב (2) – השטח שצופה בקצפת

הקצפת מכסה את כל העוגה חוץ מהעיגול של השוקולד. נחסר את השטחים:
196π − 64π = 132π
132π ≈ 414.69
✅ פתרון סופי: 132π ≈ 414.69 סמ"ר

סעיף ג – המגש המתאים לעוגה של יעל

הקוטר של העוגה של גיא הוא פעמיים הרדיוס:
d = 2 · 14 = 28📐 קוטרd = 2r
הקוטר של העוגה של יעל גדול ב־20%:
28 · 120100 = 28 · 1.2📐 הגדלה באחוזיםהגדלה ב־p אחוזים = כפל ב־100 + p100
28 · 1.2 = 33.6
כדי שהעוגה תיכנס למגש ריבועי, צלע המגש צריכה להיות לפחות כמו הקוטר, 33.6 ס"מ.
מגש 3 (30 ס"מ) ומגש 2 (32 ס"מ) קטנים מ־33.6, ולכן העוגה לא נכנסת אליהם. רק מגש 1 (34 ס"מ) גדול מספיק:
33.634
34 > 33.6
✅ פתרון סופי: מגש 1 (צלע 34 ס"מ)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א196π ≈ 615.75 סמ"ר
ב (1)64π ≈ 201.06 סמ"ר
ב (2)132π ≈ 414.69 סמ"ר
סעיף גמגש 1
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – השולחן: טרפז שווה שוקיים ומשפט פיתגורס

📄 נוסח השאלה

תומר בנה שולחן בצורת טרפז שווה שוקיים ABCD (AB ∥ CD). הנקודות M ו־E נמצאות על הבסיס CD כך שהמרובע ABME הוא מלבן (ראו סרטוט).

סרטוט השולחן: טרפז שווה שוקיים ובתוכו מלבן משאלה 4

נתון: אורך הצלע BC הוא 87 ס"מ. אורך הקטע MC הוא 63 ס"מ.

א. מצאו את אורך הקטע BM.

נתון: אורך הצלע DC הוא 2.01 מטרים.

ב. מצאו את אורך הקטע EM.

ג. מצאו את שטח המלבן ABME.

את המלבן ABME צבעו באדום.

ד. פי כמה גדול שטח השולחן ABCD מן השטח שצבוע באדום?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – אורך הקטע BM

ABME מלבן, ולכן BM ⊥ CD. המשולש BMC ישר זווית (הזווית M ישרה), והיתר שלו הוא BC = 87.
ABCDEM876360
BM2 + MC2 = BC2📐 משפט פיתגורסבמשולש ישר זווית:a2 + b2 = c2(c – היתר, מול הזווית הישרה)
BM2 + 632 = 872
BM2 + 3969 = 7569
BM2 = 7569 − 3969
BM2 = 3600
BM = √3600 = 60
✅ פתרון סופי: BM = 60 ס"מ

סעיף ב – אורך הקטע EM

נעביר לסנטימטרים: DC = 2.01 מטרים = 201 ס"מ.
הטרפז שווה שוקיים, ולכן שני המשולשים בצדדים חופפים, ו־DE = MC = 63.
EM = DC − DE − MC
EM = 201 − 63 − 63
EM = 75
✅ פתרון סופי: EM = 75 ס"מ

סעיף ג – שטח המלבן ABME

צלעות המלבן הן EM = 75 ו־BM = 60.
S = 75 · 60📐 שטח מלבןS = אורך · רוחב
S = 4,500
✅ פתרון סופי: 4,500 סמ"ר

סעיף ד – פי כמה שטח השולחן גדול מהשטח האדום

במלבן צלעות נגדיות שוות: AB = EM = 75. הגובה של הטרפז הוא BM = 60.
S = (75 + 201) · 602📐 שטח טרפזS = (בסיס + בסיס) · גובה2
S = 276 · 602
S = 138 · 60
S = 8,280
נחלק את שטח השולחן בשטח האדום:
8,2804,500 = 1.84
✅ פתרון סופי: שטח השולחן גדול פי 1.84 מהשטח האדום

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א60 ס"מ
סעיף ב75 ס"מ
סעיף ג4,500 סמ"ר
סעיף דפי 1.84
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חבילות שיחות: ביטוי קווי וגרפים

📄 נוסח השאלה

הדר ונעמה מתכננות לטוס לטייל בחוץ לארץ. כל אחת מהן רכשה חבילת שיחות במסלול אחר.

הדר רכשה חבילת שיחות של 100 דקות ושילמה עליה סך הכול 130 שקלים. הדר השתמשה בכל 100 דקות השיחה בחבילה שרכשה.

א. כמה שקלים שילמה הדר עבור דקת שיחה אחת?

נעמה רכשה חבילת שיחות שאינה מוגבלת במספר הדקות. היא שילמה עבור החבילה סכום חד־פעמי של 10 שקלים. נוסף על סכום זה, שילמה נעמה 1.5 שקלים עבור כל דקת שיחה שהיא קיימה.

ביום הראשון של הטיול נעמה שוחחה במשך 12 דקות, במסגרת החבילה שרכשה.

ב. כמה שקלים שילמה נעמה עבור 12 דקות השיחה שקיימה (כולל הסכום החד־פעמי)?

לפניכם סרטוט ובו שלושה גרפים.

שלושה גרפים של מחיר החבילה לפי מספר דקות השיחה משאלה 5

ג. קבעו איזה מן הגרפים 1–3 מתאר את חבילת השיחות שרכשה הדר, ואיזה גרף מתאר את חבילת השיחות שרכשה נעמה.

ד. מצאו כמה דקות שוחחה נעמה סך הכול, אם ידוע שהסכום הכולל שהיא שילמה על החבילה שלה היה שווה לסכום ששילמה הדר על החבילה שלה.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – מחיר דקה אצל הדר

הדר שילמה 130 שקלים על 100 דקות. מחיר דקה אחת:
130100 = 1.3📐 מחיר ליחידהמחיר ליחידה = המחיר הכוללמספר היחידות
✅ פתרון סופי: 1.3 שקלים לדקה

סעיף ב – כמה שילמה נעמה על 12 דקות

נעמה משלמת 10 שקלים פעם אחת, ועוד 1.5 שקלים לכל דקה:
10 + 1.5 · 12
10 + 18 = 28
✅ פתרון סופי: 28 שקלים

סעיף ג – איזה גרף מתאים לכל חבילה

הדר: שילמה מחיר קבוע, 130 שקלים, על כל החבילה – לא משנה כמה דקות דיברה. מחיר שלא משתנה הוא קו ישר אופקי, ולכן זה גרף 3.
נעמה: כבר בהתחלה (0 דקות) שילמה 10 שקלים, ואחר כך המחיר עולה ב־1.5 שקלים לכל דקה. זה קו עולה שמתחיל מעל 0 בציר המחיר – גרף 2.
הביטוי של נעמה:📐 קו ישרy = b + mxb – הסכום בהתחלה (כאשר x = 0)m – השינוי לכל דקה
y = 10 + 1.5x
גרף 1 יוצא מראשית הצירים (0 שקלים ל־0 דקות), ולכן הוא לא מתאים לאף אחת מהן.
✅ פתרון סופי: הדר – גרף 3; נעמה – גרף 2

סעיף ד – כמה דקות דיברה נעמה

נסמן ב־x את מספר הדקות של נעמה. היא שילמה כמו הדר, 130 שקלים:
10 + 1.5x = 130
1.5x = 130 − 10
1.5x = 120
x = 1201.5
x = 80
✅ פתרון סופי: נעמה שוחחה 80 דקות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א1.3 ₪
סעיף ב28 ₪
סעיף גהדר – גרף 3; נעמה – גרף 2
סעיף ד80 דקות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – מוצרי החלב: דיאגרמת עמודות, שכיח וממוצע

📄 נוסח השאלה

לפניכם דיאגרמת עמודות המתארת את מספר מוצרי החלב שקונה משפחת לוי בשבוע, לפי סוג המוצר.

דיאגרמת עמודות של מוצרי החלב משאלה 6

א. כמה מוצרי חלב סך הכול קונה משפחת לוי בשבוע?

ב. מבין מוצרי החלב, מהו המוצר השכיח שמשפחת לוי קונה?

לפניכם טבלת מחירים של מוצרי החלב שמשפחת לוי קונה.

מוצריוגורטשמנתחמאהגבינה
מחיר (₪)6495

ג. חשבו את המחיר הממוצע של מוצרי החלב שקונה משפחת לוי בשבוע.

משפחת לוי החליטה שהחל משבוע הבא היא תקנה שתי גבינות נוספות בכל שבוע.

ד. האם המחיר הממוצע של מוצרי החלב שתקנה משפחת לוי החל משבוע הבא יגדל או יקטן? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – כמה מוצרים בשבוע

קוראים בדיאגרמה את גובה כל עמודה: יוגורט 6, שמנת 3, חמאה 1, גבינה 4.
6 + 3 + 1 + 4 = 14
✅ פתרון סופי: 14 מוצרים

סעיף ב – המוצר השכיח

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. העמודה הגבוהה ביותר היא של היוגורט (6 מוצרים).📐 שכיחהשכיח – הערך שמופיע הכי הרבה פעמים
✅ פתרון סופי: המוצר השכיח: יוגורט

סעיף ג – המחיר הממוצע

כל מחיר מופיע כמספר המוצרים מאותו סוג: 6 יוגורטים, 3 שמנות, חמאה אחת ו־4 גבינות.
המחיר הממוצע:📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר כל הערכים
6 · 6 + 4 · 3 + 9 · 1 + 5 · 414
= 36 + 12 + 9 + 2014
= 7714
= 5.5
✅ פתרון סופי: המחיר הממוצע 5.5 שקלים

סעיף ד – האם הממוצע יגדל או יקטן

מוסיפים שתי גבינות, וכל גבינה עולה 5 שקלים. 5 קטן מהממוצע (5.5). כשמוסיפים ערכים קטנים מהממוצע, הממוצע קטן.
נבדוק בחישוב: עכשיו יש 14 + 2 = 16 מוצרים, והסכום גדל ב־2 · 5 = 10 שקלים.
הממוצע החדש:📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר כל הערכים
77 + 1016
= 8716 ≈ 5.44
5.44 < 5.5
✅ פתרון סופי: המחיר הממוצע יקטן (מ־5.5 לכ־5.44 שקלים), כי מחיר הגבינה קטן מהממוצע

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א14 מוצרים
סעיף ביוגורט
סעיף ג5.5 ₪
סעיף דיקטן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – ממוצע
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות