מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותוקטורים במישור ובמרחב

5 יחידות · שאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. גופים וזוויות במרחב

מנסרהשני בסיסים שווים ומקבילים, המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים · V = S · h
פירמידהבסיס וקודקוד אחד מעליו · V = 13 · S · h (S – שטח הבסיס, h – הגובה)
פירמידה ישרהכל המקצועות הצדדיים שווים ← הגובה יורד למרכז המעגל החוסם את הבסיס (בריבוע ובמלבן – מפגש האלכסונים)
זווית בין ישר למישורהזווית בין הישר וההיטל שלו על המישור
זווית בין שני מישוריםמנקודה על ישר החיתוך: ישר בכל מישור, מאונך לישר החיתוך – הזווית ביניהם
ABCDSO
פירמידה ישרה SABCD (כחול): הגובה SO (סגול) יורד למפגש האלכסונים. הזווית בין המקצוע SC לבסיס היא הזווית SCO (ירוק חזק)
במשולש ישר הזווית: SOC : tan(SCO) = SOOC – כלים טריגונומטריים במרחב
🔹 מקצועות נסתרים מסרטטים בקו מקווקו.
🔹 "גובה" = הקטע המאונך מהקודקוד אל מישור הבסיס.

2. חיבור, חיסור וכפל בסקלר

📐 חיבור וחיסור
AB + BC = AC (חוק המשולש)
BA = −AB
AB = OB − OA (סוף פחות התחלה)
📐 מקבילית ABCD
AC = AB + AD
DB = AB − AD
📐 כפל בסקלר
v = k · u ⟺ u ∥ v
k > 0 – אותו כיוון · k < 0 – כיוון הפוך · |k · u| = |k| · |u|
🔹 וקטורים שווים = אותו גודל ואותו כיוון (לא משנה איפה הם מתחילים).
🔹 בכל מסלול סגור הסכום הוא 0.

3. קומבינציה לינארית וחלוקת קטע

📐 אמצע קטע
M אמצע BC ⟸ AM = 12(AB + AC)
📐 נקודה שמחלקת קטע
AP : PB = m : n ⟸ AP = mm + n · AB
בשיעורים: P = n · A + m · Bm + n
📐 מפגש התיכונים G
AG = 13(AB + AC) (G מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1)
ABCMPuv
AB = u , AC = v (כחול), AM (ירוק חזק), PM (תכלת)
דוגמה: M אמצע BC , AP : PB = 1 : 2
AM = 12u + 12v · AP = 13u
PM = AM − AP = 16u + 12v
🔹 מבטאים כל וקטור דרך וקטורי הבסיס (u , v , ובמרחב גם w) – הולכים במסלול לאורך צלעות ידועות.

4. תלות לינארית ויחידות ההצגה

📐 יחידות ההצגה
u , v לא מקבילים (ובמרחב u , v , w לא באותו מישור):
au + bv + cw = a1u + b1v + c1w
⟸ a = a1 , b = b1 , c = c1
📐 שלוש נקודות על ישר אחד
A , B , C על ישר אחד ⟺ AC = k · AB
  1. מבטאים את אותו וקטור בשתי דרכים (שני מסלולים), עם פרמטרים t , s.
  2. משווים מקדמים של u , v , w.
  3. פותרים מערכת ומוצאים יחס או נקודת חיתוך.
דוגמה: au + bv = 2u − 3v , u ∦ v ← a = 2 , b = −3
🔹 לפני שמשווים מקדמים – לוודא שהווקטורים לא מקבילים (במרחב: לא באותו מישור).

5. מכפלה סקלרית

📐 הגדרה
u · v = |u| · |v| · cos
cos – של הזווית בין הווקטורים
cos = u · v|u| · |v|
📐 תכונות
u · u = |u|2
u ⊥ v ⟺ u · v = 0
|u + v|2 = |u|2 + 2u · v + |v|2
(u + v) · w = u · w + v · w
דוגמה: |u| = 2 , |v| = 3 , זווית 60 מעלות
u · v = 2 · 3 · 12 = 3
|u + v|2 = 4 + 6 + 9 = 19 ← |u + v| = √19
🔹 מכפלה שלילית ← זווית קהה. מכפלה 0 ← ניצבים.
🔹 אורך קטע = שורש של המכפלה של הווקטור בעצמו.

6. הצגה אלגברית (שיעורים)

📐 בשיעורים
u = (x1 , y1 , z1) , v = (x2 , y2 , z2)
AB = B − A
|u| = √x12 + y12 + z12
u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2
M = (xA + xB2 , yA + yB2 , zA + zB2)
דוגמה: A(1 , 2 , 3) , B(3 , 0 , 4)
AB = (2 , −2 , 1) ← |AB| = √4 + 4 + 1 = 3
🔹 מקבילים ⟺ השיעורים פרופורציוניים: (2 , −2 , 1) ∥ (−4 , 4 , −2).
🔹 מקבילית ABCD: D = A + C − B.

7. הצגה פרמטרית של ישר

📐 ישר
l : x = A + t · u
A – נקודה על הישר, u – וקטור כיוון
דרך שתי נקודות: u = AB
דוגמה: דרך A(1 , 0 , 2) ו־B(3 , 1 , 0)
x = (1 , 0 , 2) + t(2 , 1 , −2)
נקודה על הישר? הנקודה (5 , 2 , −2):
1 + 2t = 5 ← t = 2
y = t = 2 ✓  ·  z = 2 − 2 · 2 = −2 ✓
← הנקודה על הישר
🔹 אותו t חייב להתאים לשלושת השיעורים.
🔹 נקודה כללית על הישר: (1 + 2t , t , 2 − 2t).

8. המישור: הצגה פרמטרית ומשוואה

📐 הצגה פרמטרית
x = A + t · u + s · v (u ∦ v)
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
n = (a , b , c) – וקטור נורמל (מאונך למישור)
  1. שני וקטורים במישור: u = AB , v = AC.
  2. נורמל: n · u = 0 , n · v = 0 – פותרים ובוחרים ערך לנעלם אחד.
  3. מציבים נקודה ומוצאים את d.
דוגמה: A(1 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C(0 , 0 , 3)
AB = (−1 , 2 , 0) , AC = (−1 , 0 , 3)
−a + 2b = 0 , −a + 3c = 0 ← n = (6 , 3 , 2)
6x + 3y + 2z − 6 = 0
🔹 מישור הבסיס xy: z = 0. מישור מקביל אליו: z = k.
🔹 בודקים: כל אחת משלוש הנקודות מקיימת את המשוואה.

9. מצבים הדדיים

שני ישריםכיוונים מקבילים ← מקבילים (או מתלכדים, אם נקודה של אחד על השני)
לא מקבילים ← משווים:
A + tu = B + sv
יש פתרון ← נחתכים · אין פתרון ← מצטלבים
ישר ומישורמציבים נקודה כללית של הישר במשוואת המישור:
• פתרון אחד ל־t ← נחתכים
• 0 = 0 ← הישר במישור
• 0 = 5 (לא נכון) ← מקבילים
ישר מאונך למישורu ∥ n
שני מישורים• n1 ∥ n2 ← מקבילים (או מתלכדים)
• אחרת ← נחתכים בישר
• n1 · n2 = 0 ← מאונכים
ישר ומישור: x = (1 , 0 , 2) + t(2 , 1 , −2) , x + y + z − 6 = 0
(1 + 2t) + t + (2 − 2t) − 6 = 0 ← t = 3 ← (7 , 3 , −4)
🔹 ישר החיתוך של שני מישורים: פותרים את שתי המשוואות עם פרמטר (למשל z = t).
🔹 נורמל מאונך לישר (n · u = 0) ← הישר מקביל למישור או מוכל בו.

10. מרחקים

📐 נקודה ממישור
מרחק = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
📐 בין מישורים מקבילים
ax + by + cz + d1 = 0 , ax + by + cz + d2 = 0
מרחק = |d1 − d2|√a2 + b2 + c2
נקודה מישרנקודה כללית Q(t) על הישר
PQ · u = 0 ← t
מרחק = |PQ|
ישרים מקביליםנקודה על ישר אחד – מרחקה מהישר השני
ישרים מצטלביםP(t) על הראשון, Q(s) על השני
PQ · u1 = 0
PQ · u2 = 0
מרחק = |PQ|
ישר ומישור מקביליםנקודה כלשהי על הישר – מרחקה מהמישור
נקודה ממישור: (1 , 2 , 3) ו־2x − y + 2z − 3 = 0
מרחק = |2 − 2 + 6 − 3|√4 + 1 + 4 = 33 = 1
נקודה מישר: P(3 , 1 , 2) , x = t(1 , 1 , 0)
Q(t , t , 0) , PQ = (t − 3 , t − 1 , −2)
(t − 3) + (t − 1) = 0 ← t = 2 ← |PQ| = |(−1 , 1 , −2)| = √6

11. זוויות

📐 בין שני ישרים
cos = |u · v||u| · |v| (u , v – וקטורי כיוון)
📐 בין ישר ומישור
sin = |n · u||n| · |u|
sin ולא cos, כי n מאונך למישור
📐 בין שני מישורים
cos = |n1 · n2||n1| · |n2|
nQHP
הישר PQ (כחול) פוגש את המישור ב־Q. PH מאונך למישור (סגול), QH – ההיטל (ירוק חזק). הזווית: PQH , sin = PHPQ
דוגמה: u = (1 , 0 , 1) , המישור z = 0 ← n = (0 , 0 , 1)
sin = 1√2 · 1 ← 45 מעלות
🔹 הערך המוחלט נותן זווית בין 0 ל־90 מעלות.
🔹 אפשר גם בלי נוסחה: משולש ישר זווית עם הגובה וההיטל (טריגונומטריה).

✔️ סדר פתרון שאלה בווקטורים

  1. סרטוט: הגוף, הנקודות הנתונות, וקטורי הבסיס u , v , w.
  2. בלי שיעורים: מבטאים וקטורים דרך הבסיס, מסלולים, אמצע קטע וחלוקת קטע.
  3. ניצבים ← המכפלה הסקלרית שווה 0.
    אורך ← |u|2 = u · u.
  4. עם שיעורים: וקטורים בין נקודות, אורכים, ישר: A + tu · מישור: n ואז d.
  5. מצב הדדי, מרחק או זווית – לפי הטבלאות.
  6. נפח: V = 13 · S · h , הגובה = מרחק הקודקוד ממישור הבסיס.
  7. שטח משולש: S = 12 · |AB| · |AC| · sin A
    את cos A מוצאים מהמכפלה הסקלרית.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות