📋 סיכום ונוסחאותבעיות קיצון
5 יחידות · כיתה י · שאלון 571 · כל השיטה במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. מהי בעיית קיצון – שלבי הפתרון
מחפשים את הערך שבעבורו גודל מסוים (שטח, היקף, אורך) הוא מקסימלי או מינימלי.
- מסמנים משתנה x (בדרך כלל הוא נתון בשאלה).
- מביעים את שאר הגדלים באמצעות x – לפי הנתון (היקף, שטח, סכום).
- כותבים את הפונקציה שצריך להביא לקיצון.
- גוזרים ומשווים לאפס: f'(x) = 0.
- בודקים בטבלה שזה באמת מקסימום או מינימום.
- עונים על מה שנשאל (אורך, נקודה, שטח).
🔹 בודקים שה־x שקיבלנו בתחום: אורך חיובי, הנקודה ברביע הנכון.
2. כללי הגזירה שצריך
📐 נגזרות
(xn)' = n·xn−1
(ax)' = −ax²
(√x)' = 12√x
(√f(x))' = f'(x)2√f(x)
(u·v)' = u'·v + u·v'
שיעור 7: p = 2x + 2(10 − √x) ← p' = 2 − 1√x = 0 ← √x = 12 ← x = 14
3. בעיות קיצון גאומטריות
| הפונקציה | תשובה | |
|---|---|---|
| שיעור 1 | S = x(8 − x) | ריבוע 4 × 4 |
| שיעור 2 | S = −6x² + 90x | x = 7.5 |
| שיעור 3 | P = 50x + 2x + 4 | x = 5 (מינימום) |
| שיעור 4 | S = x²2 − 3x + 18 | x = 3 (מינימום) |
| שיעור 5 | DF² = d² + (a − d)² | d = a2 |
| שיעור 6 | AB² = 324x² + 4x² | x = 3 (מינימום) |
🔹 צלע שנייה מהיקף: x + y = P2. צלע שנייה משטח: y = Sx.
🔹 שטח משולש ישר זווית = מכפלת הניצבים חלקי 2; צלע לפי פיתגורס: c² = a² + b².
🔹 כשמחפשים מינימום של אורך עם שורש – אפשר לחפש מינימום של הריבוע שלו (AB²).
🔹 שטח משולש ישר זווית = מכפלת הניצבים חלקי 2; צלע לפי פיתגורס: c² = a² + b².
🔹 כשמחפשים מינימום של אורך עם שורש – אפשר לחפש מינימום של הריבוע שלו (AB²).
4. בעיות קיצון עם גרפים
📐 נקודה על גרף
A(x , f(x)) או A(t , f(t))
מלבן עם הצירים: S = x·f(x) , p = 2x + 2f(x)
- מסמנים את ה־x של A ב־x או ב־t; ה־y הוא f(x).
- אורך אופקי = הפרש ה־x, אורך אנכי = הפרש ה־y.
- כותבים שטח או היקף, גוזרים ומשווים ל־0.
| הפונקציה | תשובה | |
|---|---|---|
| שיעור 7 | p = 2x + 2(10 − √x) | A(14 , 9.5) p = 19.5 |
| שיעור 8 | p = 2x + 2(−√x + 2) | x = 14 p = 3.5 |
| שיעור 9 | S = (2 − x)·x³2 | A(1.5 , 3.375) S = 2732 |
| שיעור 10 | S = t·√(25 − t²) | t = √12.5 |
| שיעור 11 | S = x(4x² + 1) | A(2 , 1) S = 4 |
| שיעור 12 | S = (5 − t)(t² + 3) | t = 3 S = 24 |
🔹 "האם קיים שטח 30?" – משווים לערך המקסימלי (או המינימלי): השטח המקסימלי 24, לכן 30 לא ייתכן.
🔹 נקודה סימטרית בגרף זוגי: B(−t , f(t)).
🔹 נקודה סימטרית בגרף זוגי: B(−t , f(t)).
✔️ סדר פתרון בעיית קיצון
- משתנה x וציור עם כל הגדלים.
- הנתון ← ביטוי לכל צלע או נקודה.
- הפונקציה לקיצון (שטח, היקף, אורך).
- גזירה, f'(x) = 0, רק פתרונות בתחום.
- טבלה: מקסימום או מינימום.
- עונים על השאלה ומציבים לקבלת השטח או ההיקף.
מתמטריק · eldadh.co.il
