📋 סיכום ונוסחאותאינדוקציה מתמטית – סכומים, מכפלות, התחלקות וסדרות
5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. הוכחה באינדוקציה – ארבעת השלבים
הרעיון: כמו שורה של אבני דומינו. אם האבן הראשונה נופלת, וכל אבן שנופלת מפילה את האבן שאחריה – כל האבנים נופלות.
📐 אינדוקציה מתמטית
1. בסיס: בודקים שהטענה נכונה בעבור n = 1
2. הנחה: מניחים שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו
3. צעד: מוכיחים בעזרת ההנחה שהיא נכונה בעבור n = k + 1
4. מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי
🔹 בבגרות כותבים את כל ארבעת השלבים. בלי בסיס או בלי צעד – זו לא הוכחה.
🔹 בבסיס בודקים כל אגף בנפרד ומראים ששני האגפים שווים.
🔹 בבסיס בודקים כל אגף בנפרד ומראים ששני האגפים שווים.
2. הוכחת נוסחת סכום
- מה צריך להוכיח: כותבים את הטענה בעבור n = k + 1 – גם את האיבר האחרון וגם את אגף ימין.
- האיבר האחרון: מציבים k + 1 במקום n באיבר הכללי. למשל (2n − 1) ← 2(k + 1) − 1 = 2k + 1
- מציבים את ההנחה במקום הסכום עד האיבר ה־k.
- מוציאים גורם משותף (או מכנה משותף) ומגיעים לאגף ימין.
📐 הצעד בנוסחת סכום
Sk+1 = Sk + ak+1 (הסכום עד k ועוד האיבר האחרון)
דוגמה מהקורס: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2
צעד: 1 + 2 + … + k + (k + 1)
= k(k + 1)2 + (k + 1) ← הנחת האינדוקציה
= (k + 1)(k2 + 1) ← גורם משותף (k + 1)
= (k + 1)(k + 2)2 ✓ זה אגף ימין בעבור n = k + 1
צעד: 1 + 2 + … + k + (k + 1)
= k(k + 1)2 + (k + 1) ← הנחת האינדוקציה
= (k + 1)(k2 + 1) ← גורם משותף (k + 1)
= (k + 1)(k + 2)2 ✓ זה אגף ימין בעבור n = k + 1
סכום של שברים: מצמצמים למכנה משותף, ואז מפרקים את המונה. למשל:
kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)
= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)
= (k + 1)2(k + 1)(k + 2)
= k + 1k + 2
kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)
= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)
= (k + 1)2(k + 1)(k + 2)
= k + 1k + 2
🔹 לא פותחים את כל הסוגריים בהתחלה – קודם מחפשים גורם משותף שמופיע גם באגף ימין.
🔹 בסוף בודקים שקיבלנו בדיוק את אגף ימין שכתבנו ב"מה צריך להוכיח".
🔹 בסוף בודקים שקיבלנו בדיוק את אגף ימין שכתבנו ב"מה צריך להוכיח".
3. הוכחת נוסחה למכפלה
כמו בסכום, רק שהאיבר האחרון כופל ולא מתווסף:
📐 הצעד בנוסחת מכפלה
Pk+1 = Pk · ak+1 (המכפלה עד k כפול הגורם האחרון)
חזקות: 21 · 22 · … · 2n = 2n(n + 1)2
צעד: 2k(k + 1)2 · 2k + 1 = 2k(k + 1)2 + (k + 1)
k(k + 1)2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2 ✓
צעד: 2k(k + 1)2 · 2k + 1 = 2k(k + 1)2 + (k + 1)
k(k + 1)2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2 ✓
שברים: (1 − 12) · (1 − 13) · … · (1 − 1n + 1) = 1n + 1
צעד: 1k + 1 · (1 − 1k + 2)
= 1k + 1 · k + 1k + 2 = 1k + 2 ✓
צעד: 1k + 1 · (1 − 1k + 2)
= 1k + 1 · k + 1k + 2 = 1k + 2 ✓
📐 חוקי חזקות
am · an = am + n
ak + 1 = a · ak
4. התחלקות
📐 מתחלק ללא שארית
הביטוי מתחלק ב־d אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m (m שלם)
- בסיס: מציבים n = 1 ומראים שהתוצאה היא כפולה של d.
- הנחה: הביטוי בעבור k שווה d · m.
- צעד: מסדרים את הביטוי בעבור k + 1 כך שיופיע בו הביטוי מההנחה, מציבים, ומוציאים d כגורם משותף.
- מסבירים שמה שנשאר בסוגריים שלם.
ביטוי עם חזקה של n: n2 + n מתחלק ב־2. הנחה: k2 + k = 2m
(k + 1)2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + k + 1
= (k2 + k) + 2k + 2
= 2m + 2(k + 1) = 2(m + k + 1) ✓
(k + 1)2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + k + 1
= (k2 + k) + 2k + 2
= 2m + 2(k + 1) = 2(m + k + 1) ✓
ביטוי עם n במעריך: 7n − 1 מתחלק ב־6. מההנחה: 7k = 6m + 1
7k + 1 − 1 = 7 · 7k − 1
= 7(6m + 1) − 1 = 42m + 6
= 6(7m + 1) ✓
7k + 1 − 1 = 7 · 7k − 1
= 7(6m + 1) − 1 = 42m + 6
= 6(7m + 1) ✓
🔹 בביטוי עם an: מבודדים מההנחה את ak ומציבים.
🔹 עוזר לזכור: מכפלה של שני מספרים עוקבים זוגית – k(k + 1) = 2t, t שלם.
🔹 עוזר לזכור: מכפלה של שני מספרים עוקבים זוגית – k(k + 1) = 2t, t שלם.
5. אינדוקציה על המספרים הזוגיים
📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים
1. בסיס: בדיקה בעבור n = 2
2. הנחה: נכון בעבור n = k, כאשר k זוגי
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 2
4. מסקנה: נכון לכל n זוגי
🔹 המספר הזוגי הבא אחרי k הוא k + 2, ולכן גם האיבר האחרון הוא האיבר של k + 2.
🔹 בסכום כמו 22 + 42 + … + n2 האיבר הבא הוא (k + 2)2.
🔹 בסכום כמו 22 + 42 + … + n2 האיבר הבא הוא (k + 2)2.
6. סדרות: כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום
נתון כלל נסיגה, וצריך להוכיח נוסחה ל־an לפי המקום n:
- בסיס: a1 הנתון שווה לנוסחה בעבור n = 1.
- הנחה: ak = הנוסחה בעבור k.
- צעד: כותבים ak+1 לפי כלל הנסיגה, מציבים את ההנחה, ומגיעים לנוסחה בעבור k + 1.
דוגמה מהקורס: a1 = 3, an+1 = an + 4. להוכיח: an = 4n − 1
בסיס: 4 · 1 − 1 = 3 ✓
ak+1 = ak + 4 = (4k − 1) + 4
= 4k + 3 = 4(k + 1) − 1 ✓
בסיס: 4 · 1 − 1 = 3 ✓
ak+1 = ak + 4 = (4k − 1) + 4
= 4k + 3 = 4(k + 1) − 1 ✓
הנדסית: a1 = 2, an+1 = 3an. להוכיח: an = 2 · 3n − 1
ak+1 = 3 · 2 · 3k − 1
= 2 · 3k ✓
ak+1 = 3 · 2 · 3k − 1
= 2 · 3k ✓
🔹 שתי הצגות של אותה סדרה (an = bn): מחשבים את ak+1 מהנוסחה ואת bk+1 מכלל הנסיגה עם ההנחה, ומראים ששניהם יוצאים אותו ביטוי.
7. שוויון עם פרמטר
- נתון שהשוויון מתקיים בעבור n מסוים (למשל n = 2): כותבים את אגף שמאל עם כל האיברים עד n זה, ומחשבים.
- מציבים את אותו n באגף ימין, משווים ופותרים את הפרמטר.
- מציבים את הפרמטר שמצאנו, ומוכיחים באינדוקציה בארבעת השלבים.
🔹 בעבור n = 2 יש באגף שמאל שני איברים: מציבים n = 1 ו־n = 2 באיבר הכללי.
🔹 אחרי שהוכחנו נוסחה – אפשר להשתמש בה לחישוב סכום: מציבים את ה־n של האיבר האחרון, ואם הסכום לא מתחיל מהאיבר הראשון – מחסירים את האיברים החסרים.
🔹 אחרי שהוכחנו נוסחה – אפשר להשתמש בה לחישוב סכום: מציבים את ה־n של האיבר האחרון, ואם הסכום לא מתחיל מהאיבר הראשון – מחסירים את האיברים החסרים.
8. הוכחה תקינה או שגויה
| צעד בלי בסיס | הצעד לבדו אינו הוכחה. אם הבסיס לא מתקיים – הטענה לא הוכחה (ואולי אינה נכונה) |
| בדיקת כמה מקרים | דוגמאות, גם הרבה, אינן הוכחה. צריך בסיס וצעד |
| דוגמה נגדית | מקרה אחד שבו הטענה לא מתקיימת מספיק כדי להראות שהיא לא נכונה |
| הצעד נכון לכל פרמטר | את הפרמטר קובעים מהבסיס: מציבים n = 1 ופותרים |
9. כלים אלגבריים שחוזרים בצעד
📐 הוצאת גורם משותף
ab + ac = a(b + c)
📐 נוסחאות הכפל המקוצר
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
📐 חוקי חזקות
am · an = am + n
2 · 2k = 2k + 1
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1 (q ≠ 1)
🔹 "הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת" – מותר גם דרך אחרת, למשל נוסחת סכום של סדרה הנדסית.
✔️ מה שואלים בבגרות 571 (שאלה 1)
| נוסחת סכום | הוכחה בארבעת השלבים; לפעמים קודם מוצאים פרמטר מ־n נתון |
| סכום על הזוגיים | בסיס n = 2, צעד n = k + 2 |
| מכפלה | הצעד: כופלים בגורם האחרון |
| התחלקות | כותבים d · m ומוציאים d כגורם משותף |
| חישוב בעזרת הנוסחה | מציבים בנוסחה שהוכחנו (ומחסירים איברים חסרים) |
| איזו טענה נכונה | בודקים את הבסיס ואת הצעד, ומוכיחים את הנכונה |
מתמטריק · eldadh.co.il
